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Étude des endomorphismes associés aux matrices circulantes M(a,b,c) de R³ : rotations, symétries et projecteurs
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Le problème étudie les endomorphismes de R³ associés aux matrices circulantes M(a,b,c). Après un préliminaire construisant une base orthonormée directe adaptée à la droite Δ et au plan P orthogonal, plusieurs exemples (rotation, symétrie, projection) sont étudiés. La partie III détermine, à l'aide des racines cubiques de l'unité, les valeurs propres complexes de M(a,b,c) et les conditions de diagonalisabilité réelle. La partie IV applique ces résultats pour caractériser les projecteurs parmi les endomorphismes f(a,b,c).

  1. 1I. Préliminaire importantConstruction d'une base orthonormée directe adaptée à la droite Δ et au plan P, et démonstration que a+b+c est valeur propre de f(a,b,c) avec P stable par f(a,b,c).
  2. 2II. Quelques exemplesÉtude de trois cas particuliers de matrices M(a,b,c) : reconnaissance d'une rotation, d'une symétrie et d'une projection orthogonale à partir de leurs propriétés algébriques.
  3. 3III. Étude des matrices M(a,b,c)Expression de M(a,b,c) à l'aide des puissances de J et des racines cubiques de l'unité, détermination des valeurs propres complexes, condition de réalité des valeurs propres (b=c) et diagonalisabilité réelle.
  4. 4IV. Application : étude des projecteursCaractérisation des couples (a,b,c) pour lesquels f(a,b,c) est un projecteur non trivial de R³, et détermination des éléments caractéristiques des deux projecteurs obtenus.

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Calculatrices autorisées

Objectif et convention

On étudie dans ce sujet certains endomorphismes de l'espace vectoriel euclidien orienté R^3 usuel. On se propose, entre autres, de reconnaître parmi ceux-ci les endomorphismes de référence : projections orthogonales, réflexions, rotations etc.
On notera B = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de R^3.
Conformément à l'usage, les candidats pourront identifier les vecteurs ( x, y, z ) de R^3 et les matrices colonnes à trois coefficients réels (x; y; z).
On pourra ainsi considérer que e_1 = (1; 0; 0), e_2 = (0; 1; 0) et e_3 = (0; 0; 1).
Pour tous nombres réels a, b et c, on considère la matrice M(a, b, c) = (a, b, c; c, a, b; b, c, a),
f_(a, b, c) désignera l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien orienté R^3 usuel ayant pour matrice M(a, b, c) dans la base canonique (e_1, e_2, e_3) de R^3.
On notera :
I_3 la matrice unité de M_3(R) et Id l'endomorphisme identité de R^3;
P le plan vectoriel de R^3 d'équation, dans la base canonique, x + y + z = 0;
et Δ la droite vectorielle orthogonale à P.
Les parties ne sont pas indépendantes. En particulier, l'étude des valeurs propres, faite dans la partie III, intervient dans la partie IV.

I Préliminaire important

On pose e_1^′ = 1/(√3)(1; 1; 1) et e_2^′ = 1/(√2)(1; − 1; 0).
1^∘ ) Construction d'une base orthonormale directe
1.a) Montrer que e_1^′ est un vecteur unitaire (c'est-à-dire de norme 1) dirigeant la droite Δ.
1.b) Montrer que e_2^′ est un vecteur unitaire appartenant au plan P.
1.c) Déterminer un vecteur e_3^′ de sorte que B^′ = (e_1^′, e_2^′, e_3^′) soit une base orthonormale directe de R^3.
2^∘ ) Soient a, b et c des réels.
2.a) Préciser f_(a, b, c)(e_1^′) et en déduire que le réel a + b + c est une valeur propre de f_(a, b, c).
2.b) Justifier que la famille ( e_2^′, e_3^′ ) est une base orthonormale de P.
2.c) Vérifier que les vecteurs f_(a, b, c)(e_2^′) et f_(a, b, c)(e_3^′) appartiennent au plan P.
2.d) Montrer que P est stable par f_(a, b, c).
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel F de R^3 est stable par un endomorphisme f quand pour tout u de F, son image par f, c'est-à-dire le vecteur f(u), appartient également à F.
Les résultats de ce préliminaire peuvent être utilisés à de nombreuses reprises dans la suite du sujet.

II Quelques exemples

3^∘ ) On note ψ l'endomorphisme de R^3 canoniquement associé à J = M(0, 1, 0).
3.a) Déterminer le rang de la matrice J.J est-elle inversible?
3.b) Calculer le polynôme caractéristique de J et montrer que J n'est pas diagonalisable dans M_3(R).
3.c) Donner la matrice de ψ dans la base B^′ choisie au préliminaire I.1^∘ ) (on pourra utiliser les calculs faits au préliminaire ou utiliser la formule de changement de bases et la calculatrice).
3.d) En déduire que l'endomorphisme ψ est une rotation dont on précisera les éléments caractéristiques (axe orienté, angle).
4^∘ ) Dans cette question, on considère la matrice M_2 = M(1/3, − 2/3, − 2/3).
4.a) Préciser la matrice M_2 × M_2. Que dire du rang de M_2 ?
4.b) Justifier que l'endomorphisme s de R^3 canoniquement associé à M_2 est une symétrie.
Préciser les sous-espaces propres Ker(s − Id) et Ker(s + Id) (associés respectivement aux valeurs propres 1 et -1 ).
4.c) En déduire sans calcul le polynôme caractéristique de M_2.
5^∘ ) Dans cette question, on considère la matrice M_1 = M(1/3, 1/3, 1/3).
5.a) Déterminer le rang de la matrice M_1.M_1 est-elle inversible?
5.b) Calculer, en faisant apparaître le détail des calculs, le polynôme caractéristique de M_1 (on pourra commencer par l'opération élémentaire L_1 ← L_1 + L_2 + L_3 ).
5.c) Préciser chaque sous-espace propre de M_1.
5.d) Justifier que M_1 est diagonalisable dans M_3(R) et reconnaître géométriquement l'endomorphisme de R^3 canoniquement associé à M_1.

III Étude des matrices M(a, b, c)

Dans cette partie, a, b et c désignent des nombres réels. On rappelle que J = M(0, 1, 0).
On désignera par j le complexe exp(i(2π)/3) où i^2 = − 1.
6^∘ ) Sans calculatrice, justifier : j^3 = 1 et 1 + j + j^2 = 0.
7^∘ ) Préciser la matrice J^2 et exprimer la matrice M(a, b, c) à l'aide des matrices I_3, J et J^2 et des réels a, b et c.
8^∘ ) Étude de J dans M_3(C)
8.a) Déterminer les valeurs propres complexes de J et montrer que J est diagonalisable dans M_3(C).
On rappelle que le polynôme caractéristique de J a déjà été obtenu à la question 3.b).
8.b) Expliciter une matrice P à coefficients complexes telle que D = P^(− 1)JP soit une matrice diagonale à coefficients complexes que l'on précisera.
8.c) Montrer que P^(− 1)J^2 P = D^2.
Que vaut la matrice P^(− 1)I_3 P ?
9^∘ ) Soient a, b et c réels.
9.a) Déduire des questions 7^∘ ) et 8^∘ ) que M(a, b, c) est diagonalisable dans M_3(C) et que les valeurs propres complexes (éventuellement confondues) de M(a, b, c) sont :
a + b + c, a + jb + j^2 c et a + j^2 b + jc.
9.b) Préciser les parties réelles et imaginaires de chacune des valeurs propres de M(a, b, c) en fonction de a, b et c.
9.c) Montrer que les valeurs propres de M(a, b, c) sont toutes réelles si, et seulement si, les réels b et c sont égaux.
10^∘ ) Dans cette question, on suppose que les réels b et c sont différents : b ≠ c.
Montrer que la matrice M(a, b, c) n'est pas diagonalisable dans M_3(R).
11^∘ ) Dans cette question, on suppose que les réels b et c sont égaux : b = c.
On rappelle que f_(a, b, b) est l'endomorphisme de R^3 canoniquement associé à la matrice M(a, b, b) de M_3(R).
11.a) Déterminer les valeurs propres de f_(a, b, b), ainsi que les sous-espaces propres associés (on envisagera les deux cas : b = 0 et b ≠ 0 ).
11.b) Montrer que f_(a, b, b) est diagonalisable et plus précisément qu'il existe une matrice à coefficients réels Q orthogonale telle que pour tous réels a et b, la matrice D(a, b) = ^t QM(a, b, b)Q soit diagonale.
Expliciter une telle matrice Q (on pourra utiliser 1.c)), ainsi que la matrice D(a, b) obtenue.

IV Application : Étude des projecteurs

12^∘ ) Soient a, b et c des nombres réels.
12.a) À l'aide de la partie précédente, montrer que : f_(a, b, c) admet deux valeurs propres réelles distinctes si, et seulement si, ( b = c et b ≠ 0 ).
12.b) Déterminer les valeurs des réels a, b et c pour lesquelles l'ensemble des valeurs propres de M_(a, b, c) est exactement {0, 1}.
12.c) En déduire l'équivalence des deux assertions (i) et (ii) ci-dessous :
(i) f_(a, b, c) est un projecteur de R^3 autre que l'identité et l'application nulle
(ii) (a, b, c) = (1/3, 1/3, 1/3) ou (a, b, c) = (2/3, − 1/3, − 1/3)
Préciser les éléments caractéristiques des deux projecteurs obtenus.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP TSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP TSI 2011 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes et la géométrie euclidienne de R³ (rotations, symétries, projections), à l'aide des matrices circulantes et des racines cubiques de l'unité.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, l'énoncé précise que les parties ne sont pas indépendantes : les résultats du préliminaire sont réutilisés dans tout le sujet, et l'étude des valeurs propres de la partie III intervient dans la partie IV.

Quel est l'objectif final du problème ?

L'objectif de la partie IV est de caractériser précisément les couples (a,b,c) pour lesquels l'endomorphisme f(a,b,c) est un projecteur de R³ autre que l'identité ou l'application nulle.

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