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Centrale Physique 2 TSI 2011Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Théorème d'Ampère et champ d'un solénoïde
  • Symétries et invariances des distributions de courant
  • Effet Hall
  • Puissance électrique en régime sinusoïdal
  • Filtres actifs et diagramme de Bode
  • Courants de Foucault et induction électromagnétique
  • Détection synchrone
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Capteurs magnétiques : champ d'un solénoïde, effet Hall et wattmètre, courants de Foucault dans un tube conducteur
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Le sujet étudie plusieurs applications du champ magnétique dans les capteurs. La première partie revient sur les propriétés générales du champ magnétique et calcule le champ créé par un solénoïde infini. La deuxième partie étudie l'effet Hall dans une plaquette conductrice puis son exploitation dans un wattmètre à effet Hall, complété par l'étude d'un filtre passe-bas à amplificateur opérationnel.

  1. 1Partie I : généralités sur le champ magnétique et solénoïde infiniRappeler les propriétés du champ magnétique (flux conservatif, théorème d'Ampère, symétries) et déterminer le champ uniforme créé à l'intérieur d'un solénoïde infiniment long.
  2. 2Partie II : effet Hall et wattmètre à effet HallÉtablir l'expression de la tension de Hall dans une plaquette conductrice parcourue par un courant en présence d'un champ magnétique, puis exploiter cet effet pour mesurer la puissance moyenne consommée par un récepteur, avec l'étude d'un filtre passe-bas associé.
  3. 3Partie III : tube métallique dans un solénoïde et détection synchroneÉtudier les courants de Foucault induits dans un tube conducteur introduit dans un solénoïde, en déduire l'impédance résultante du solénoïde, puis mesurer ses parties réelle et imaginaire par un dispositif de détection synchrone.

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À propos du champ magnétique

Dans notre environnement, de nombreux capteurs utilisent les propriétés du champ magnétique dans leur fonctionnement. Ce problème propose l'étude ou la mesure d'effets magnétiques.
  • La première partie concerne le champ magnétique et ses propriétés.
  • La deuxième partie montre un exemple d'application de l'effet Hall.
  • La troisième partie s'intéresse au principe de la variation d'impédance due aux courants de Foucault dans une bobine parcourue par un courant variable dans laquelle on introduit un tube conducteur.
    Ces trois parties sont indépendantes.

I Généralités sur le champ magnétique

I.A - Les propriétés du champ magnétique

I.A.1) Le champ magnétique est dit à flux conservatif. Écrire cette propriété sous forme locale, puis sous forme intégrale. Indiquer ce que cela signifie concrètement.
La figure 1 donne quatre cartes de champ qui représentent une coupe dans un plan perpendiculaire à l'axe Oz d'un champ de vecteur A⃗, invariant par translation suivant l'axe Oz. Parmi les cartes de champ proposées ci-dessous, lesquelles sont vraisemblablement celles d'un champ à flux conservatif?
Figure 1
On rappelle que divA⃗ = (∂A_x)/(∂x) + (∂A_y)/(∂y) + (∂A_z)/(∂z) en coordonnées cartésiennes et que div A⃗ = 1/r(∂rA_r)/(∂r) + 1/r(∂A_θ)/(∂θ) + (∂A_z)/(∂z) en coordonnées cylindriques.
I.A.2) Énoncer l'équation de Maxwell-Ampère puis le théorème d'Ampère dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Parmi les cartes de champs proposées, lesquelles sont celles d'un champ à rotationnel nul? Lesquelles pourraient être celles d'un champ magnétique?
I.A.3) Définir très brièvement ( 5 lignes maximum) les notions de plan de symétrie et d'antisymétrie d'une distribution de courant et les propriétés du champ qui en résulte.
Figure 2
On s'intéresse à l'image dans un miroir d'un solénoїde (voir figure 2). Indiquer en la justifiant, la direction et le sens du champ magnétique dans le solénoïde image par rapport à celui du solénoïde initial.
Figure 3
I.A.4) On s'intéresse à un solénoïde de longueur l et de rayon R comportant N spires (voir figure 3 ).
a) À quelle condition peut-on dire que ce solénoïde est infiniment long ? On admettra dans la suite que cette condition est réalisée.
b) Identifier les propriétés de symétrie et d'invariance du champ à l'intérieur du solénoïde.
En déduire la direction du champ et les variables dont il dépend.
c) En appliquant le théorème d'Ampère à un contour bien choisi, montrer que le champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde. Donner alors sa valeur, sans calcul.
d) Application numérique
Calculer B pour : N = 1000 spires, l = 1, 00 m, μ_0 = 4π × 10^(− 7) (SI), I = 1, 00 A.
Commenter. Comment faire pour obtenir un champ plus intense? (faire une étude rapide et systématique des différents paramètres et critiquer).

I.B - L'effet Hall

Une plaquette parallélépipédique de grande longueur L, suivant Ox, de largeur a, d'épaisseur b, est parcourue par un courant d'intensité I réparti uniformément sur toute sa section droite (voir figure 4).
Figure 4
I.B.1) a) Quelle est l'action du champ sur un porteur de charge q supposée < 0 ?
b) Que se passe t-il pendant le régime transitoire?
Montrer qu'il apparait alors une différence de potentiel entre les points A et C se situant sur les face latérales parallèles au plan Oxz et tels que AC^(→−) = au⃗_y. La différence de potentiel V_C − V_A est nommée V_H. Quel est son signe? Dépend-il de celui de q ?
I.B.2) On se place ensuite en régime permanent. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un porteur de charges, calculer le champ de Hall E⃗_H.
I.B.3) Donner la relation liant le vecteur densité de courant volumique ȷ⃗_H à la vitesse de déplacement des charges dans la plaquette et à n (nombre de porteurs de charge par unité de volume) et q. Calculer V_H. On montrera que V_H b = R_H IB où R_H est la constante de Hall que l'on explicitera en fonction de n et q. Que peut-on dire du signe de R_H ?

I.B.4) Application numérique

Le matériau est un ruban conducteur de masse volumique ρ, de masse molaire M. Chaque atome met en jeu un électron libre pour la conduction.
Donner la valeur et l'expression de n. En déduire R_H. Calculer V_H si B = 0, 1 T, M = 64 g ⋅ mol^(− 1), ρ = 8, 92 g ⋅ cm^(− 3), I = 1, 00 A, N_A = 6, 02 × 10^(23) mol^(− 1), b = 0, 1 mm et q = − 1, 6 × 10^(− 19)C. Commenter.
Les valeurs choisies pour I et B sont-elles réalistes? Le signe des porteurs de charge, s'il est inconnu, peut-il être déterminé dans cette expérience? Comment?
I.B.5) L'apparition de matériaux semi-conducteurs comme l'arséniure d'indium InAs a permis d'obtenir des tensions de Hall plus élevées. Pourquoi? On donne pour I = 100 mA, |V_H| = 126, 7mV, n = 1, 7 × 10^(22) m^(− 3), b = 0, 1 mm, a = 1 cm et L = 3 cm. Calculer la valeur du champ B⃗. Commenter.
I.B.6) La constante de Hall varie avec la température suivant la loi R_H(T) = Aexp(θ/T) où θ est une constante homogène à une température, T est la température exprimée en K . Quelles sont les raisons de cette variation?
Connaissez-vous d'autres lois, dans d'autres domaines de la physique, similaires à celle-ci?
Avec θ de l'ordre de 2000 K , calculer la variation relative de la constante de Hall lorsque la température s'élève de 10 K par rapport à la température ambiante prise égale à 300 K .
Quels sont les qualités et les défauts des capteurs à effet Hall?

II Réalisation d'un wattmètre à effet Hall

II.A - Étude de l'appareil

La sonde à effet Hall, identique à celle décrite précédemment, est montée comme indiqué figure 5. Le courant i_H qui la traverse entre par la borne T_1 et sort par la borne T_2. Elle est placée à l'intérieur d'un solénoïde infiniment long de n spires par mètre (c'est-à-dire de longueur L grande et comprenant N spires : n = N/L ) créant un champ magnétique tel que : B⃗ = B_0 u⃗_z.
Figure 5
L'interruption du solénoïde par la sonde, peu épaisse sera négligée. i_H circule entre T_1 et T_2 et i_C circule dans le solénoїde entre A_1 et A_2.
II.A.1) Exprimer B_0 en fonction de n et i_C.
II.A.2) En déduire v_H = V_(M1) − V_(M2) en fonction de μ_0, i_H, i_C, n, R_H et b.
II.A.3) Un récepteur électrique, constitué de l'association en série d'une résistance R = 5Ω et d'une bobine d'inductance L = 0, 1H, est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale de fréquence f = 50 Hz et de pulsation ω qui impose aux bornes du récepteur une tension u_c = U_0 cosωt avec U_0 = 100 V. Le courant qui le traverse est : i_c = I_0 cos(ωt + φ).
Figure 6
a) Calculer numériquement φ.
b) Exprimer la puissance instantanée consommée par ce récepteur. Calculer numériquement la puissance moyenne consommée.
II.A.4) On désire mesurer la puissance moyenne consommée par un récepteur. Le dispositif précédent est monté dans un circuit comme indiqué sur la figure 7.
Figure 7
On admettra que i_H est faible devant i_C, R^′ est la résistance de la sonde entre T_1 et T_2. On donne r = 500Ω et R^′ = 10kΩ
Décrire le fonctionnement du dispositif. Montrer que V_H s'écrit : V_H = ku_c i_c. Exprimer k à l'aide des données.
II.A.5) On considère l'utilisation du wattmètre à effet Hall dans le cas où la tension u_c est sinusoïdale, u_c = U_0 cosωt, et où le courant i_c comporte des harmoniques:
i_c = ∑_(n = 1)^∞I_(cn)cos(nωt + φ_n)
a) Calculer V_H.
b) Montrer que la valeur moyenne ⟨V_H⟩ ne fait intervenir que le fondamental du courant. Calculer ⟨V_H⟩.
c) Pour calculer la valeur moyenne ⟨V_H⟩, on filtre la tension V_H. Montrer que la valeur moyenne s'obtient après un filtrage passe-bas convenable.
On rappelle que cosacosb = 1/2(cos(a + b) + cos(a − b)).

II.B - Obtention de ⟨V_H⟩ : étude du filtre

On supposera l'amplificateur opérationnel idéal.
Figure 8
II.B.1) En utilisant le théorème de Millman au point A et au point B , déterminer la fonction de transfert :
H_–(jω) = (V_–_2)/(V_–_1)
II.B.2) Mettre la fonction de transfert sous forme canonique et montrer qu'elle s'écrit alors sous la forme
H_–(jω) = (H_0)/(1 + 2εjω/(ω_0) − (ω/(ω_0))^2)
Calculer H_0. Donner 2 relations entre ε, ω_0 et les éléments du circuit.
II.B.3) On souhaite obtenir une fréquence propre f_0 = 10 Hz et un coefficient d'amortissement ε = (√2)/2. On choisit R = 47kΩ. Calculer C_1 et C_2.
II.B.4) Tracer le diagramme de Bode asymptotique.
II.B.5) En déduire que ce filtre convient pour déterminer ⟨V_H⟩.

III Tube métallique dans un solénoïde

Une bobine, d'axe Oz, de longueur l et de section S, assimilée à un solénoïde infiniment long, est alimentée par un courant sinusoïdal de la forme : i_L(t) = I_0 cos(ωt) Sa résistance est R_0, son inductance est L_0. On introduit dans cette bobine un cylindre conducteur creux, de rayon a, d'épaisseur b petite devant le rayon, de même longueur et de conductivité σ (cf figure 9 ).
Figure 9
III.A - III.A.1) On appelle B⃗_0 le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde créé par le courant i(t). Rappeler l'expression de B⃗_0.
III.A.2) Calculer l'inductance du solénoïde en l'absence du cylindre. On donne N le nombre total de spires et S la section du solénoïde.
III. B - III.B.1) Il apparaît sur le tube un vecteur densité de courant induit ȷ⃗. Avec des arguments de symétrie, donner la géométrie de ȷ⃗ et du champ B⃗_1 qu'il crée.
III.B.2) a) Justifier, en faisant une analogie avec un solénoïde infiniment long, que B_1 = μ_0 bj à l'intérieur du cylindre et que B⃗_1 est nul à l'extérieur.
b) Exprimer ȷ⃗ en fonction du champ E⃗ et de la conductivité σ.
III. C - III.C.1) Écrire l'équation de Maxwell Faraday.
III.C.2) Le champ total B⃗_– est égal à B⃗_–_0 + B⃗_–_1. En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday sous sa forme intégrale, en déduire l'expression de B⃗_–_1 en fonction de B⃗_–_0.
On trouve ( i désigne le nombre complexe tel que i^2 = − 1 ) :
B_–_1 = 1/(− 1 + (2i)/(μ_0 ωabσ))B_–_0
III.C.3) Calculer le flux du champ total en distinguant 2 zones d'application. Calculer la fem d'induction.
III. D - Écrire alors la loi d'Ohm généralisée pour le solénoïde sous la forme : u_– = Z_–I_– avec Z_– = R(ω) + jωL(ω) où R(ω) = R_0 + (πa^2)/S((2L_0)/(μ_0 σab))/(1 + (2/(μ_0 σωab))^2) et L(ω) = L_0(1 − (πa^2)/S1/(1 + (2/(μ_0 σωab))^2)).

III.E - Détection synchrone

On construit ensuite un dispositif de détection synchrone constitué :
  • d'un convertisseur tension-courant,
  • d'un multiplieur,
  • d'un filtre passe-bas de fréquence de coupure bien choisie.
Figure 10

III.E.1) Convertisseur tension-courant

On considère le dispositif de la figure 10 où l'amplificateur opérationnel (AO) est supposé idéal. L'impédance Z_– est celle du solénoїde comportant le tube conducteur.
a) Le fonctionnement de cet AO est-il linéaire ? En déduire l'expression de u en fonction de u_i.
b) Le dipôle Z d'impédance Z_–(ω), de module Z et d'argument ψ est alimenté par une source de courant alternatif sinusoïdal de fréquence f et de pulsation ω qui impose i(t) = I_m cos(ωt). La tension à ses bornes est : u(t) = U_m cos(ωt + ψ) = ZI_m cos(ωt + ψ) où Z est le module de l'impédance complexe et ψ son argument. On réalise le montage dont le schéma est donné figure 11 avec u_i(t) = U_(im)cos(ωt).
Figure 11
Après le dipôle on place un multiplieur de grande impédance d'entrée et un filtre passe-bas.
Montrer qu'avec un filtre passe-bas adapté, la tension mesurée par le voltmètre est proportionnelle à la partie réelle de Z_–.

III.E.2) Déphaseur par détection synchrone de la partie imaginaire

On utilise le circuit de la figure 12
Figure 12
a) Montrer qu'il s'agit d'un circuit déphaseur en calculant sa fonction de transfert.
b) À quelle condition liant R, C et ω peut-on effectuer un déphasage de − π/2 ?
III.E.3) On réalise ensuite le montage de la figure 13.
Le correcteur de phase correspond au déphaseur défini précédemment.
a) Montrer que la tension mesurée par le voltmètre est proportionnelle à la partie imaginaire de Z_–.
b) Le dipole est constitué par le solénoïde (qui contient ou non le tube conducteur creux). Dans une première expérience, le solénoïde ne contient pas le tube. À l'aide des méthodes précédentes, on mesure la partie réelle
Figure 13
et la partie imaginaire de son impédance complexe. Dans une seconde expérience, on introduit le tube dans le solénoïde et on mesure de nouveau le partie réelle et la partie imaginaire de son impédance complexe.
i. Comparer les parties réelles de ces deux impédances.
ii. Comparer les parties imaginaires de ces deux impédances.
iii. Comment s'appelle le courant qui circule dans le tube?
iv. Que se passerait-il si la surface du tube creux était rayée? Conclure.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 2 Centrale TSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 2 Centrale TSI 2011 ?

Il porte sur le champ magnétique et l'induction électromagnétique, appliqués à des capteurs : effet Hall, wattmètre associé et courants de Foucault dans un tube conducteur.

Le sujet demande-t-il des connaissances en électronique ?

Oui, il utilise des amplificateurs opérationnels pour construire un filtre passe-bas et un dispositif de détection synchrone.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que les trois parties (champ magnétique, effet Hall, tube dans un solénoïde) sont indépendantes.

Ce sujet aborde-t-il les courants de Foucault ?

Oui, la troisième partie étudie les courants induits dans un tube métallique placé dans un solénoïde et leur effet sur l'impédance du circuit.

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