Centrale Physique 1 TSI 2001Sujet

Le problème analyse une expérience classique de travaux pratiques destinée à mettre en évidence un phénomène de résonance en mécanique. On considère un ressort vertical à spires non jointives dans son domaine de linéarité. I I est caractérisé par une masse linéique μ, une constante de raideur k, et un corps M, de masse m, est accroché à son extrémité inférieure. L'étude mécanique est faite dans le référentiel ( R ) du laboratoir resupposé galiléen et les déplacements envisagés sont verticaux. On utilise les notations suivantes:

I.A - Oscillations libres (on prend μ = 0 ). L'extrémité supérieure du ressort est fixe.
I.A.1) Faire un bilan des forces appliquées à M.
I.A.2) Déterminer l'équation différentielle ( E_1 ) vérifiée par x , déplacement de M par rapport à la position d'équilibre, et sa solution pour les conditions initiales suivantes: x(0) = x_0, x˙(0) = 0.
I.A.3) Proposer deux méthodes indépendantes permettant d'accéder à la valeur de k.
I.A.4) Définir les deux énergies potentielles à considérer, en fonction de k, m, g et x en prenant comme référence la position d'équilibre x = 0.
I.A.5) En déduire l'énergie potentielle totale E_p, en fonction de k et de x, et l'énergie mécanique E en prenant les conditions initiales du I.A.2.
I.A.6) Tracer sur un même diagramme les courbes représentant les variations de E_p et de E en fonction de x et montrer comment on peut y lirela valeur de l'énergie cinétique E_c.

I.A.7) Montrer qu'en valeur moyenne il y a équipartition de l'énergie entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
I.B - Oscillations forcées (on prend μ = 0 )

Grâce à un système bielle-manivelle on impose à l'extrémité supérieure du ressort le déplacement X(t)e→_x = acosωte→_x, a et ω étant des constantes.
I.B.1) Déterminer l'équation différentielle ( E_2 ) du mouvement de M et montrer que l'existence de la sollicitation extérieure revient à introduire dans le bilan établi au I.A. 2 un terme supplémentaire F_(sup) que I'on exprimera en fonction de k et de X.
I.B.2) On s'intéresse au cas ω ≠ ω_0.
a) Donner la solution de ( E_2 ) avec les conditions initiales x(0) = 0, x˙(0) = 0. Mettre le résultat sous la forme du produit de deux fonctions trigonométriques dont on exprimera les pulsations ω_1 et ω_2, ( ω_1 > ω_2 ) en fonction de ω et de ω_0.
b) Tracer l'allure de la courbe représentant les variations de x en fonction du temps t pour ω = 1, 2 ⋅ ω_0, définir et déterminer la période des battements en fonction de ω_2.
c) Proposer une expérience de battements en optique (8 lignes maximum) en précisant son intérêt pratique.
d) Exprimer la variation d'énergie mécanique par unité de temps (dE)/(dt).L'énergie se conserve-t-elle?Augmente-t-elle? Diminue-t-elle? Varie-t-elle en moyenne?
I.B.3) On s'intéresse au cas ω = ω_0.
a) Déterminer la solution de ( E_2 ) avec les conditions initiales x(0) = 0, x˙(0) = 0 par passage à la limite ω → ω_0 de la solution obtenue au I.B.2-a).
b) Tracer la courbe représentant les variations de x en fonction du temps t. Donner l'équation des deux demi-droites enveloppes de la courbe.
c) Quel est le phénomène mis ainsi en évidence ? Qu'est-cequi en limite l'acuité dans la réalité? Donner un exemple d'un tel phénomène dans les domaines de l'acoustique, de l'électrocinétique, de l'optique.
d) Déterminer E(t) et sa variation par unité de temps sur l'intervalle [t, t + T_0] tel que sinω_0 t = 1 et T_0 = 2π/ω_0. Conclure quant à la signification énergétique du phénomène.

Grâce à un dispositif approprié (partie IV) on soumet M à une force de frottement fluide F⃗_f dela forme F⃗_f = − hv⃗, h étant une constante positive et v⃗ repré sentant la vitesse de M. On impose toujours le déplacement X(t) = acosωt à l'extrémité supérieure du ressort. On note

le facteur de qualité et on prend toujours μ = 0.
II.A - Déterminer l'équation différentielle ( E_3 ) du mouvement de M.
II.B - On s'intéresse à la solution en régime forcé. Quel est, en fonction de ω_0 et Q , l'ordre de grandeur du temps τ nécessaire pour considérer seulement cette solution?
II.C - Montrer que l'amplitude A du déplacement de M s'exprime sous la forme:

II.D - Donner une interprétation physique du mouvement de M aux hautes et basses fréquences.
II.E - Montrer que, si Q est supérieur à une valeur minimale Q_(min) à déterminer, A prend une valeur maximale pour une pulsation ω_r à exprimer en fonction de ω_0 et Q .
II.F - Déterminer l'expression V de l'amplitude de la vitesse de M en fonction de a, ω, ω_0 et Q.
II.G - Donner une interprétation physique de la variation de V aux hautes et basses fréquences.
II.H - Montrer que V prend une valeur maximale pour une pulsation indépendante de Q.
II.I - Grâce à un capteur de position de M , on mesure une tension V_(pp) proportionnelle à l'amplitude A . À partir des valeurs expérimentales suivantes tracer les courbes représentant les variations de V_(pp)(mV) et de f ⋅ V_(pp)(V ⋅ Hz) en fonction de la fréquence f(mHz).
Échelles: 1 V ↔ 2 cm, 1 V ⋅ s^(− 1) ↔ 1 cm, 1 Hz ↔ 4 cm.

II.J - À l'évolution de quelle grandeur physique accède-t-on en traçant la courbe représentant les variations de f ⋅ V_(pp) en fonction de f ?
II.K - Définir la bande passante Δf. Déterminer graphiquement Δf et la fréquence propre f_0 associées à la fonction de transfert H_v : f → f ⋅ V_(pp). En déduire le facteur de qualité Q . Comparer ces valeurs aux résultats donnés par un logiciel de modélisation: V_(pp)(0) = 1811 ± 59mV, f_0 = 2228 ± 12mHz, Q = 3, 183 ± 0, 140. Que penser du modèle proposé pour interpréter l'expérience? Sachant que m = 0, 275 kg, calculer h .
II.L - Déterminer le schéma électrique équivalent, c'est-à-dire décrit par une équation différentielle du même type que ( E_3 ) , association d'une résistance R, d'une inductance L, d'une capacité C, alimentée par une source de courant idéale I cosωt. Dresser un tableau d'analogies électromécaniques.

En augmentant la fréquence du système excitateur on observe que des spires paraissent nettes et d'autres paraissent floues. Pour interpréter ces observations on améliore la modélisation précédente en prenant en compte la masse du ressort, mais on néglige son poids devant toutes les autres forces.
III.A - Montrer que l'association de deux ressorts, de constantes de raideur k_1 et k_2, mis bout à bout, est équivalente à un ressort de raideur k_(eq) donnée par la relation

En déduire la constante de raideur K d'une tranche, comprise entre les abscisses x et x + Δx, d'un ressort de longueur à vide L(0 ≤ x ≤ L) et de constante de raideur k en fonction de k, L et Δx.
III.B - On note ξ(x, t) le déplacement du point d'abscisse x à l'instant t par rapport à sa position d'équilibre. Montrer que la force F exercée par le tronçon [x, L] sur le tronçon [0, x] vaut

III.C - En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la tranche [x, x + Δx] et en négligeant son poids devant F, montrer que ξ(x, t) vérifiel'équation (E_4) :

et exprimer c en fonction de k, L et μ. Quelle est la dimension de c ?
III.D - Soit ε(x, t) = ξ(x, t) − ξ_(eq)(x) où ξ_(eq)(x) représente le déplacement du point d'abscisse x à l'équilibre lorsque M est accroché. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la masse m, déterminer la relation liant les dérivées partielles

III.E - On recherche des solutions de ( E_4 ) dela forme ε(x, t) = f(x)cosωt. Quelle est la nature de ces solutions ? Quels arguments suggèrent de s'orienter vers de telles solutions?
III.F - En utilisant la notation complexe ε_∼(x, t) = A_–(x)e^(jωt), montrer en utilisant ( E_4 ) que A(x) peut se mettre sous la forme

En utilisant les conditions aux limites déterminer α_– et β_–.
III.G - Montrer que

Montrer qu'on peut retrouver le résultat du II.C.
Pour Q» 1 déterminer l'équation donnant les fréquences de résonance.

Le dispositif de freinage est constitué d'une plaque d'aluminium, partie inté grante de M, se déplaçant dans le champ magnétique créé par un électroaimant. La plaque de hauteur H selon x^′ x, d'épaisseur e selon y^′ y, de largeur I selon z^′ z de conductivité γ, a un mouvement de translation rectiligne verticale de vitesse v⃗ = ve⃗_x et est soumise à l'action du champ magnétique constant :

dans un volume fixe dans ( R ) (en grisé sur la figure), de hauteur b(b < H), de largeur b(b < 1) et d'épaisseur e ⋅ B⃗ = 0→ partout ailleurs dans la plaque.

On note [E⃗, B⃗] le champ électromagnétique, j⃗ la densité de courant, dans le référentiel galiléen ( R ) du laboratoire et respectivement [E⃗^′, B⃗^′], j^′→ leurs expressions dans le référentiel ( R ') du conducteur.
IV.A - Rappeler la loi d'Ohm locale dans (R').
IV.B - On se place dans le cadre de la relativité galiléenne. Exprimer la force de Lorentz s'exerçant sur une charge ponctuelle dans chacun des référentiels pré cédents. Par application du théorème de composition des vitesses et en admettant l'invariance de la force et de la charge, exprimer [E⃗^′, B⃗^′] en fonction de [E⃗, B⃗] et de la vitesse v⃗ de la plaque.
IV.C - Montrer en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss et l'équation locale de conservation de la charge que la densité volumique de charge est nulle dans le conducteur. On introduira un temps de relaxation fonction de γ et ε_0 dont on
montrera en utilisant des valeurs numériques raisonnables qu'il est négligeable devant les temps caractéristiques à considérer dans l'expérience.
IV.D - En revenant aux définitions de j⃗ et j⃗^′ en fonction des densités volumiques et des vitesses des charges fixes et mobiles dans ( R ') démontrer que j⃗ = j^′→.
IV.E - Quel nom de physicien reste attaché à ces courants ? Situer ce physicien dans son siècle. Quelle expérience l'a rendu célèbre? Que voulait-il montrer ? Donner une autre application pratique courante et intéressante de ces courants.
IV.F - Montrer que E⃗ est un champ de gradient et définir le champ électromoteur E⃗_m, terme non conservatif dans l'expression de E⃗ ',

IV.G - On assimile la plaque à un ensemble de tiges conductrices horizontales se déplaçant dans un plan vertical. Ces tiges de longueur I > b selon z^′ z, d'épaisseur e selon y'y sont recouvertes sur leur surface latérale d'un vernis isolant dont on néglige l'épaisseur. Leur nombre par unité de longueur selon x'x est noté n et leur résistance électrique r. Leurs extrémités en z = − 1/2 sont reliées par un fil conducteur dont on néglige la résistance; il en est de même pour les extrémités en z = + I/2. Exprimer la forme intégrale de la loi d'Ohm donnant la tension aux bornes d'unetige, parcourue par un courant d'intensité i et soumise à l'action de B⃗, en fonction de v, b, B_0, r et i. On représentera le schéma électrique équivalent en précisant le sens du courant et de la tension.
IV.H - Que devient son expression pour une tige parcourue par un courant d'intensité i ' et non soumise à l'action de B⃗ ?
IV.I - Exprimer i ', en fonction de i, b et H puis i en fonction de v, b, B_0, r et H , enfin r en fonction de γ, I, e et n. Montrer que la puissance totale P_J dissipée par effet J oule dans la plaque est donnée par

IV.J - Déterminer la force de Laplace exercée sur la plaque ainsi que sa puissance P_L. Comparer P_J et P_L. En déduire l'expression du coefficient de frottement h en fonction de γ, e, b, B_0, l et H.
Avec γ = 3, 65 ⋅ 10^7 S.m^(− 1), e = 2 mm, b = 4 cm, (B_0 = 0, 15 T), I = 6 cm et H = 16 cm, calculer la valeur numérique de h et la comparer à celle obtenue à Ia question II.K.