Centrale Mathématiques 1 TSI 2001Sujet et corrigé

Les parties II, III et IV sont relativement indépendantes.

Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4 .
A_1, A_2, …, A_n sont n points tous distincts dans un plan. Ces points sont, dans cet ordre, les sommets d'un polygone convexe. Autrement dit, en convenant que A_(n + 1) = A_1 la propriété suivante est vérifiée : pour tout côté A_i A_(i + 1) du polygone, tous les sommets du polygone autres que A_i et A_(i + 1) sont du même côté de la droite joignant A_i à A_(i + 1).
On appelle diagonale du polygonetout segment joignant deux sommets non consécutifs. On trace un certain nombre de ces diagonales de manière à découper le polygone en triangles. Les diagonales utilisées ne doivent avoir, deux par deux, aucun point commun à l'intérieur du polygone.
Pour n fixé, on note a_n le nombre de découpages possibles du polygone.
Pour n = 4, par exemple, il y a deux découpages possibles, l'un utilisant la diagonale A_1 A_3 et l'autre utilisant la diagonale A_2 A_4, donc a_4 = 2.
I.A - Ici, n = 5. Montrer que le triangle A_1 A_2 A_3 figure dans 2 découpages possibles, le triangle A_1 A_2 A_4 dans un seul découpage et le triangle A_1 A_2 A_5 dans 2 découpages possibles.
En déduire que a_5 = 5.
I.B - Ici, n = 6. Combien y-a-t-il de découpages possibles du polygone dans lesquels figurent le triangle A_1 A_2 A_3 ? le triangle A_1 A_2 A_4 ? le triangle A_1 A_2 A_5 ? le triangle A_1 A_2 A_6 ?
Calculer a_6.
I.C - J ustifier que

I.D - Donner en la justifiant, une formule généralisant les précédentes et permettant, pour n ≥ 7, de calculer a_n connaissant a_4, …, a_(n − 1).

I.E - On convient que a_2 = a_3 = 1. Montrer que l'on a, pour tout n supérieur ou égal à 3 ,

I.F - Écrire une procédure ou une fonction qui, recevant à l'entrée la valeur de n, renvoie un tableau contenant les valeurs a_2, …, a_n. Ce programme sera écrit dans le langage du logiciel de calcul formel connu du candidat, qui sera précisé sur la copie. II devra être accompagné de commentaires I e rendant compréhensible par le correcteur.

On se propose, dans cette partie, d'expliciter l'entier a_n défini dans la première partie. On convient que a_0 = a_1 = 0.
II.A - Montrer que l'on a, pour tout n supérieur ou égal à 3 ,

II.B - Soit (b_n)_(n ∈ IN) une suite de réels tels que la série entière ∑b_n x^n ait un rayon de convergence r non nul. Pour x ∈ ] − r, r[, on pose:

II.B.1) Soit m fixé dans IN . Montrer que, sur ]-r, r[, la fonction h définie par

II.B.2) En déduire que g admet, au voisinage de 0 , un développement limité d'ordre m. Préciser la partie polynomiale de ce développement limité.
II.B.3) Si p est un entier inférieur ou égal à m, quel est le coefficient de x^p dans le développement limité d'ordre m, au voisinage de 0 , de la fonction x a g^2(x)?(g^2(x) désigne le produit du réel g(x) par lui-même).

Quel est le coefficient de x^p dans le développement limité d'ordre m de la fonction xa g^2(x) − xg(x) + x^3 ?
II.C - On revient à la suite (a_n)_(n ∈ IN). On note R le rayon de convergence de la série entière ∑_(+ ∞)a_n x^n et on utilise la fonction f définie sur ]R, + R [ par

II.C.1) Que peut-on dire, si R n'est pas nul, de l'existence et de la valeur de f^′(0) ?
II.C.2) Dire pourquoi les résultats de II.B suggèrent qu'on a peut-être, si R n'est pas nul :

II.C.3) Trouver un réel β, le plus grand possible, et une fonction h (que l'on explicitera en résolvant une équation du second degré) définie et continue sur ] − ∞, β[, dérivable en 0 avec h^′(0) = 0, tels que:

II.D.1) Le réel α étant fixé, rappeler le développement en série entière de la fonction xa(1 + x)^α et son rayon de convergence.
II.D.2) En déduire le développement en série entière de la fonction xa√(1 − x). On essaiera d'écrire le coefficient de x^n dans ce développement sous la forme d'une fraction dont les deux termes seraient des produits d'entiers.
II.D.3) Donner de h(x) une expression, valable pour x ∈ ] − 1/4, 1/4[, sous formede série entière.
II.D.4) En utilisant II.C. 3 et II.B.3, montrer que, pour tout entier naturel n, le coefficient de x^n dans le développement de h(x) en série entière est exactement égal à a_n.
II.E - Déduire de tout ce qui précède une expression simple de a_n, valable pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , et utilisant le coefficient binomial C_(2n − 4)^(n − 2).
On rappelle que, avec la convention 0! = 1, on a C_p^q = (p!)/(q!(p − q)!).
II.F - En déduire que, pour n supérieur ou égal à 2 , I'entier C_(2n − 4)^(n − 2) est divisible par l'entier n − 1.

On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent del'entier a_n défini dans la première partie. Pour n ∈ IN, on considère l'intégrale

III.A - Établir l'existence de I_n pour n ∈ 𝕀N. Calculer I_0 et I_1.

III.B.1) Montrer que ( I_n ) est une suite décroissante.
III.B.2) Montrer que I_(n + 2) = (n + 1)/(n + 2)I_n pour n ∈ IN.
III.B.3) En déduire que I_(n + 1) est équivalent à I_n lorsque n → ∞.
III.C - Montrer, en utilisant III.B.2, que (n + 1)I_n I_(n + 1) est une constante que I'on explicitera.
En déduire un équivalent de I_n lorsque n → ∞.
III.D - Pour n ≥ 2, calculer I_(2n − 4) puis exprimer a_n au moyen de I_(2n − 4). En déduire un équivalent de a_n Iorsque n → ∞.

On se propose dans cette partie d'étudier la fonction φ définie par

IV.A - Montrer que :

Étudier les variations et tracer le graphe de la restriction de φ à ] − 1/4, 1/4[.
IV.B - Soit n_0 ∈ I N, n_0 ≥ 2.
IV.B.1) Soit x ∈ ]0, 1/4[. Montrer que

IV.B.2) En déduire que

IV.B.3) φ est-elle définie pour x = 1/4 ? est-elle définie pour x = − 1/4 ?
IV.C - Conclure quant à l'ensemble de définition de φ. La fonction φ est-elle continue sur cet ensemble? Donner de φ(x) une expression simple valable pour tout x appartenant à l'ensemble de définition.

IV.D.1) Citer les théorèmes qui permettent de justifier la dérivabilité de la série entière définissant φ sur ] − 1/4, 1/4[, d'écrire φ^′(x) comme somme d'une série entière que l'on explicitera, et de donner le rayon de convergence de cette série.
IV.D.2) Montrer que φ est solution, sur ] − 1/4, 1/4[, del'équation différentielle (E) linéaire du premier ordre

où p est un polynôme du second degré que l'on déterminera.
IV.D.3) Vérifier que la fonction xa x/2 est solution de (E) sur IR.
IV.D.4) Résoudre (E) sur chacun des intervalles

IV.D.5) Vérifier que φ est la seule solution de (E), de classe C^1 sur ] − 1/4, 1/4[, avec une dérivée nulle en 0 .

IV.E.1) La fonction φ ' est-elle bornée sur ] − 1/4, 1/4[ ?
IV.E.2) La série entière égale à φ^′(x) pour
x ∈ ] − 1/4, 1/4[ est-elle convergente pour x = 1/4 ?
IV.E.3) On note
x_n = n/(n − 1)C_(2n − 4)^(n − 2)1/4^(n − 1). Vérifier que l'on a (x_n)/(x_(n + 1)) > 1 + 1/(2n) pour tout n ≥ 2.
En déduire la nature de la série de terme général ln(x_n) − ln(x_(n + 1)) et la nature de la suite (x_n)_(n ∈ IN).
IV.E.4) La série entière égale à φ^′(x) pour x ∈ ] − 1/4, 1/4[ est-elle convergente pour x = − 1/4 ?
φ est-elle dérivable en ce point?