Centrale Physique 1 TSI 2010Sujet et corrigé

Ce problème porte sur l'étude sommaire du confinement d'un électron (de masse m et de charge − q ) dans une petite région de l'espace à l'aide d'un champ électromagnétique. On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que les forces électromagnétiques. L'électron se déplace dans le référentiel ℛ(Oxyz), supposé galiléen ; on appelle respectivement e_x^(→−), e_y→, e_z→ les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz. Suivant les questions, on repérera un point M de l'espace par ses coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) ou cylindriques ( r, θ, z ) avec r = √(x^2 + y^2).

L'électron, se déplaçant dans le vide, est soumis à l'action d'un champ magnétique B⃗ uniforme et permanent (indépendant du temps). Le champ magnétique B⃗ est colinéaire à Oz : B⃗ = Be_z→(B > 0). On pose ω_c = qB/m.
À l'instant initial, l'électron se trouve en O avec la vitesse v_0^(→−) = v_(ox)e_x^(→−) + v_(oz)e_z→(v_(ox) et v_(oz) désignent des constantes positives).
I.A - Déterminer la coordonnée z(t) de l'électron à l'instant t.
I.B - On étudie la projection du mouvement de l'électron dans le plan Oxy.
I.B.1) Déterminer les composantes v_x et v_y de la vitesse de l'électron en fonction de v_(ox), ω_c et du temps t.
I.B.2) En déduire les coordonnées x(t) et y(t) de l'électron à l'instant t.
I.B.3) Montrer que la projection de la trajectoire de l'électron dans le plan Oxy est un cercle Γ de centre H et de rayon r_H. Déterminer les coordonnées x_H et y_H de H, le rayon r_H et la fréquence de révolution f_c de l'électron sur ce cer-

cle en fonction de v_(ox) et ω_c. Tracer, avec soin, le cercle Γ dans le plan Oxy. Préciser en particulier le sens de parcours de l'électron sur Γ.
I.C - Application numérique : calculer la fréquence f_c pour B = 1, 0 T.
I.D - Tracer l'allure de la trajectoire de l'électron dans l'espace. L'électron est-il confiné au voisinage de O ?

À l'aide d'électrodes de forme appropriée (cf figures 1 et 2), on crée autour du point O, dans une zone vide de charges, un champ électrostatique E⃗ quadrupolaire de révolution autour de l'axe Oz, dérivant du potentiel :
U(x, y, z) = α_0 + α_1(x^2 + y^2) + α_2 z^2 où α_0, α_1 et α_2 sont des constantes.
On peut également mettre U sous la forme U(r, z) = α_0 + α_1 r^2 + α_2 z^2.

II.A - Étude du potentiel U et du champ E⃗
II.A.1) À quelle équation aux dérivées partielles doit satisfaire le potentiel U ?
II.A.2) En déduire une relation entre α_2 et α_1.
II.A.3) Les surfaces internes des 2 électro desE_(A1) et E_(A2), de révolution autour de Oz, ont pour équation : r^2 − 2z^2 = − 2z_0^2 (les points A_1 et A_2 de la figure 2 ont respectivement pour ordonnées + z_0 et − z_0 sur l'axe Oz). Ces 2 électrodes sont au potentiel nul (cf figure 3). La surface interne de l'électrode latérale E_B également de révolution autour de Oz, a pour équation : r^2 − 2z^2 = r_0^2 (le point B de la figure 2 est à la distance r_0 de l'axe Oz ). Cette élec-

trode est au potentiel V_0(V_0 > 0). On définit la constante positive d par 4d^2 = r_0^2 + 2z_0^2.
Exprimer le potentiel U(r, z) en fonction de d, z_0, V_0, r et z.
II.A.4) Représenter, au voisinage du point O, dans le plan méridien rOz (voir Figure 2), les lignes équipotentielles (préciser en particulier les lignes équipotentielles qui passent par O ) et les lignes de champ en justifiant brièvement le schéma. Préciser également le sens du champ E⃗ sur les lignes de champ.
II.A.5) Représenter, au voisinage du point O, dans le plan Oxy, les lignes équipotentielles et les lignes de champ, en précisant le sens du champ E⃗ sur les lignes de champ.
II.A.6) Calculer les composantes cartésiennes E_x, E_y et E_z du champ E⃗ en un point M en fonction de d, V_0, x, y, z.

II.B.1) Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes Ox, Oy et Oz. On introduira la constante

II.B.2) Montrer que le mouvement de l'électron suivant Oz (mouvement longitudinal) est périodique et déterminer sa fréquence f_0 en fonction de ω_0.
II.B.3) Application numérique : r_0 = 3, 0 mm, z_0 = 2, 0 mm, V_0 = 10 V. Calculer f_0. Comparer les valeurs numériques de f_0 et de f_c.
II.B.4) Montrer que le mouvement de l'électron dans le plan Oxy (mouvement transversal) n'est pas borné. Il n'y a donc pas confinement de l'électron au voisinage de O dans le champ quadrupolaire.

L'électron est maintenant soumis simultanément au champ magnétique B⃗ de la Partie I et au champ électrique quadrupolaire E⃗ de la Partie II.
III.A - Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes Ox, Oy et Oz. On utilisera les constantes ω_c et ω_0.
III.B - Montrer que le mouvement longitudinal suivant l'axe Oz, déterminé à la question II.B.2) n'est pas modifié.
III.C - Pour déterminer le mouvement transversal dans le plan Oxy, on utilise la variable complexe u_– = x + iy.
III.C.1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par u_–.
III.C.2) Montrer que l'électron sera confiné autour de O si la pulsation ω_c est supérieure à une certaine valeur ω_(c0) que l'on exprimera en fonction de ω_0. En déduire la valeur minimale B_0 de B qui permet le confinement de l'électron. Exprimer B_0 en fonction de V_0, d, m et q.
III.C.3) On suppose dorénavant ω_c»ω_0, ce qu'indiquaient les valeurs numériques précédentes. Déterminer, dans ce cas, u en fonction de deux pulsations ω_1 et ω_2, (ω_1 < ω_2) du temps t et de deux constantes d'intégration A_1 et A_2 qu'on ne cherchera pas à déterminer (la constante A_1 est associée à la pulsation ω_1 et la constante A_2 à la pulsation ω_2 ). Exprimer ω_1 et ω_2 en fonction de ω_0 et ω_c (compte tenu de ω_c > ω_0 ).
III.C.4) Application numérique : calculer les fréquences f_1 et f_2 associées aux pulsations ω_1 et ω_2.
III.C.5) Montrer qu'à chaque pulsation ω_1 ou ω_2 est associé un mouvement circulaire de l'électron.
III.D - Le mouvement de l'électron apparaît donc comme la superposition de trois mouvements : (1) un mouvement circulaire à la pulsation ω_1 dans le plan Oxy; (2) un second mouvement circulaire à la pulsation ω_2 dans le plan Oxy; (3) un mouvement sinusoïdal longitudinal à la pulsation ω_0 le long de l'axe Oz.

Compte tenu des valeurs numériques des différentes pulsations et en supposant A_2 nettement plus petit que A_1, tracer l'allure de la projection de la trajectoire de l'électron dans le plan Oxy, puis l'allure générale de la trajectoire dans l'espace.

Toute particule chargée accélérée émet une onde électromagnétique. L'énergie de ce rayonnement étant prélevée sur l'énergie mécanique, il en résulte un amortissement des oscillations qu'on se propose de caractériser dans cette partie.
IV.A - On considère le mouvement longitudinal de l'électron suivant l'axe Oz.
IV.A.1) Montrer qu'à ce mouvement, de pulsation ω_0,on peut associer une énergie mécanique

IV.A.2) L'amplitude des oscillations variant lentement, on définit l'amplitude quadratique moyenne z_m(t) des oscillations de l'électron par:

Exprimer ℰ(t) en fonction de m, ω_0 et z_m(t); puis en fonction de m, ω_0 et de la valeur quadratique moyenne a_m(t) de l'accélération longitudinale de l'électron suivant Oz, d^2 z/dt^2.
IV.A.3) La puissance moyenne P_m(t) rayonnée par l'électron est donnée par la relation :

De ce fait, l'énergie mécanique ℰ(t) diminue lentement avec une constante de temps τ_0 très grande devant la période T_0 d'oscillation de l'électron suivant Oz. Écrire l'équation qui lie ℰ et P_m et en déduire l'équation différentielle que vérifie l'énergie ℰ(t).
IV.A.4) Montrer que l'énergie décroît de manière exponentielle et exprimer la constante de temps τ_0 en fonction de m, q, c, μ_0 et ω_0.
IV.A.5) Application numérique : calculer τ_0 et comparer la valeur obtenue à celle de la période T_0.
IV.B - On considère le mouvement transversal de l'électron dans le plan Oxy

On admet (même si cela n'est pas tout à fait vrai, les ordres de grandeur sont respectés) que les résultats précédents sont transposables directement et indépendamment aux deux mouvements circulaires de pulsations ω_1 et ω_2; on sup-
pose donc que l'expression de la constante de temps τ en fonction de la pulsation ω (cf question IV.A.4) est inchangée.
IV.B.1) Application numérique : calculer les constantes de temps τ_1 et τ_2 associées respectivement aux mouvements circulaires de pulsations ω_1 et ω_2.
IV.B.2) Expliquer pourquoi on peut ainsi supposer que le mouvement circulaire associé à la pulsation ω_2 a un rayon B nettement plus petit que celui A associé à la pulsation ω_1 (cf question III.D).

Dans cette partie, on considère uniquement le mouvement longitudinal de l'électron suivant Oz et on ne tient pas compte de l'amortissement de ce mouvement dû au rayonnement.
L'oscillation de l'électron suivant Oz provoque une variation des charges des électrodes et donc un courant dans le circuit électrique extérieur aux électrodes (tout comme une variation de charges des armatures d'un condensateur produit un courant dans le circuit extérieur au condensateur). Ce courant peut dissiper de l'énergie par effet Joule dans la résistance du circuit. Par suite, l'énergie mécanique de l'électron diminue, ce que l'on peut modéliser en ajoutant à la force électromagnétique qui agit sur l'électron − mω_0^2 ze_z→ (cf Partie III), une force supplémentaire F⃗, de frottement.
On considère le circuit de la figure 4 où on a ajouté une résistance R et un générateur de tension sinusoïdale V_1 = V_(10)cosωt; I désigne l'intensité du courant dans la résistance R.
On admet que la force F⃗ a pour expression

α désigne un coefficient caractéristi-

que de la forme des électrodes.
V.A - Quelle est l'unité du coefficient α ? Justifier brièvement votre réponse.
V.B - Écrire la nouvelle équation différentielle qui régit le mouvement longitudinal de l'électron suivant Oz.
V.C - On définit le facteur de qualité Q du système par (ω_0)/Q = R/m((αq)/(2d))^2.

En déduire l'équation différentielle que vérifie la tension V_2(t) aux bornes de la résistance R. On fera apparaître les constantes ω_0 et Q dans cette équation.
V.D - On se place en régime sinusoïdal établi. Dans ces conditions, la tension V_2(t) peut se mettre sous la forme V_2(t) = V_(2c)cosωt + V_(2s)sinωt, V_(2c) et V_(2s) désignant deux constantes indépendantes du temps.
V.D.1) Déterminer, en notation complexe, la tension V_2(t).
V.D.2) En déduire l'expression des amplitudes V_(2c) et V_(2s)^– en fonction de V_(10), Q, ω_0 et de la pulsation ω.
V.D.3) Tracer l'allure des amplitudes V_(2c) et V_(2s) en fonction de la pulsation ω. L'étude de ces courbes permet d'avoir les informations sur le mouvement longitudinal de l'électron suivant Oz.
V.E - L'analyse des amplitudes V_(2c) et V_(2s) est réalisée par détection synchrone. Le principe de cette méthode est expliqué figure 5.

déphasage φ à la tension V_1(t) = V_(10)cosωt ( V_1(t) est identique à la tension délivrée par le générateur relié à l'électrode E_(A2) ).

b) En déduire que la tension V_3(t) est de la forme V_3(t) = V_(10)cos(ωt + φ). Pour une pulsation ω donnée, tracer l'allure du déphasage φ en fonction de la capacité C_2.

V.E.2) Écrire la tension V_4(t) à la sortie du multiplieur sous la forme : V_4(t) = V_(40) + V_(41)(t) où V_(40) désigne la composante continue de V_4(t) et V_(41)(t) sa composante variable. Exprimer V_(40) en fonction de K, V_(10), V_(2C), V_(2s), φ et V_(41)(t) en fonction de K, V_(10), V_(2C), V_(2s), φ, ω et t.
V.E.3) Un filtre passe-bas PB est représenté figure 7.
a) Déterminer, en notation complexe, la fonction de transfert

b) Représenter l'allure du diagramme de Bode en amplitude de ce filtre.
c) À quelle condition portant sur le produit R_4 C_4 ω, le filtre passe-bas est-il efficace? On suppose que cette condition est réalisée par la suite.
d) Exprimer la tension V_5 de sortie en fonction K, V_(10), V_(2C), V_(2s) et φ.
V.E.4) Quelle valeur faut-il donner au déphasage φ pour que la tension de sortie V_5 soit proportionnelle à V_(2C) ? Comment faut-il choisir C_2 dans ce cas ?
V.E.5) Quelle valeur faut-il donner au déphasage φ pour que la tension de sortie V_5 soit proportionnelle à V_(2s) ? Déterminer la valeur à donner à C_2 en fonction de R_2 et de la pulsation ω dans ce cas.
V.E.6) Compte tenu des valeurs numériques des différentes fréquences caractéristiques du mouvement de l'électron, peut-on utiliser les circuits électroniques proposés dans cette partie?