Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2021 (page 2/2 : Parties III et IV)

À la surface de l'étoile naine, la température a été déterminée à la question Q9 : T_s \simeq 3 \times 10^4\text{ K}.

L'énergie thermique caractéristique par particule est :

En convertissant en électron-volts avec 1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} :

De même, l'énergie des photons correspondant au maximum d'émission du corps noir (\lambda_{\max} \simeq 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}) vaut :

Comparons ces grandeurs aux énergies d'ionisation successives :

• L'énergie de première ionisation E_{i1} \simeq 11\text{ eV} est inférieure à l'énergie des photons les plus abondants (E_{\text{ph}} \simeq 12\text{ eV}) et accessible dans la queue de distribution thermique de Maxwell-Boltzmann (les collisions inélastiques et la photo-ionisation sont très efficaces).
• L'énergie de deuxième ionisation E_{i2} \simeq 24\text{ eV} est deux fois plus élevée que E_{\text{ph}} et représente près de dix fois l'énergie thermique (E_{i2} \approx 9\, k_B T_s), ce qui rend la seconde ionisation très minoritaire.
• L'énergie de dernière ionisation E_{i6} \simeq 490\text{ eV} est très largement supérieure aux énergies disponibles (E_{i6} \gg k_B T_s).

Par conséquent, un atome de carbone présent à la surface de la naine blanche est ionisé, avec un degré d'ionisation égal à 1 (ion \mathrm{C}^+ prédominant).

L'étoile est modélisée comme étant constituée d'atomes de carbone ^{12}\mathrm{C} intégralement ionisés (Z = 6, A = 12).

La masse d'un électron étant négligeable devant celle d'un nucléon (m_e \ll m_p), et sachant que m_n \simeq m_p, la masse d'un noyau de carbone-12 vaut :

Si l'étoile contient N_C noyaux de carbone, sa masse totale s'écrit :

Chaque atome de carbone étant totalement ionisé, il libère ses Z = 6 électrons. Le nombre total d'électrons contenus dans la naine blanche est donc :

d'où :

Une pression est homogène à une force par unité de surface, ou de manière équivalente à une énergie par unité de volume :

Examinons la dimension des différents termes intervenant dans l'expression de la pression de dégénérescence quantique :

• Le préfacteur \dfrac{\pi^{4/3}}{15} \times 3^{5/3} ainsi que le nombre d'électrons N_e sont sans dimension : [N_e] = 1.

• Le volume V_\star a pour dimension une longueur au cube : [V_\star] = \mathrm{L}^3, d'où :

  \left[\left(\frac{N_e}{V_\star}\right)^{5/3}\right] = (\mathrm{L}^{-3})^{5/3} = \mathrm{L}^{-5}
• La masse m_e a pour dimension une masse : [m_e] = \mathrm{M}.

• La constante de Planck réduite \hbar a la dimension d'un moment cinétique ou d'une action (E = \hbar\omega) :

  [\hbar] = \frac{[E]}{[\omega]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

  Par conséquent :

  [\hbar^2] = \mathrm{M}^2\cdot\mathrm{L}^4\cdot\mathrm{T}^{-2}

En combinant ces grandeurs :

On retrouve bien :

P_e a donc bien la dimension d'une pression (exprimée en pascals, \mathrm{Pa}).

Considérons deux corps ponctuels de masses respectives m_1 et m_2, situés aux points M_1 et M_2 séparés d'une distance r = M_1 M_2.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle exercée par le corps 1 sur le corps 2 s'écrit :

où \widehat{u}_{1\to 2} = \frac{\overrightarrow{M_1 M_2}}{r} est le vecteur unitaire dirigé de 1 vers 2, le signe négatif traduisant le caractère attractif de l'interaction.

Cette force dérive d'une énergie potentielle d'interaction E_p(r). Le travail élémentaire reçu par le système lors d'une variation relative \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\,\widehat{u}_{1\to 2} s'écrit :

On en déduit :

En choisissant conventionnellement la référence d'énergie potentielle nulle pour des masses infiniment éloignées (\lim_{r\to+\infty} E_p(r) = 0), la constante d'intégration est nulle, d'où :

Les forces de gravitation étant conservatives, le travail élémentaire qu'elles développent lors d'une modification de la configuration de l'étoile s'écrit :

Les forces d'auto-gravitation s'opposent à une dilatation de l'étoile (\delta W_g < 0 si \mathrm{d}V_\star > 0) ; elles exercent donc une action compressive équivalente à une pression P_g > 0, dont le travail mécanique d'expansion associé est :

On en déduit l'expression thermodynamique de la pression gravitationnelle :

L'étoile étant assimilée à une sphère de rayon R_\star, son volume vaut :

L'énergie potentielle gravitationnelle s'écrivant E_g = -\dfrac{3GM_\star^2}{5R_\star}, sa dérivée par rapport au rayon est :

Il vient ainsi :

L'étoile est modélisée par une sphère de rayon R_\star, de volume V_\star = \dfrac{4}{3}\pi R_\star^3.

D'après le résultat de la question Q11, le nombre d'électrons libres est N_e = \dfrac{M_\star}{2m_p}. On a donc :

En injectant cette relation dans l'expression de la pression de dégénérescence de Fowler :

car 8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32.

D'après la question Q14, la pression d'origine gravitationnelle s'écrit :

À l'équilibre, la pression gravitationnelle compense la pression de dégénérescence quantique (P_e = P_g) :

On en déduit l'expression du rayon d'équilibre R_\star :

Application numérique :

On écrit m_p = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}, de sorte que :

d'après l'indication numérique de l'énoncé.

Par ailleurs :

• \hbar^2 = (1{,}1 \times 10^{-34})^2 \simeq 1{,}2 \times 10^{-68}\text{ J}^2\cdot\text{s}^2
• G m_e = 6{,}7 \times 10^{-11} \times 9{,}1 \times 10^{-31} \simeq 6{,}1 \times 10^{-41}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}
• M_\star^{1/3} = (10^{30})^{1/3} = 10^{10}\text{ kg}

Il vient alors :

On obtient finalement :

Le carbone possède un numéro atomique Z = 6. Les atomes étant intégralement ionisés au cœur de l'étoile, chaque atome libère 6 électrons. La neutralité globale impose donc :

D'après la question Q11, la masse de l'étoile est essentiellement portée par les nucléons des noyaux de carbone-12 (A = 12). La masse d'un noyau étant m_c \simeq 12 m_p, la masse totale s'écrit M_\star = N_c m_c = 12 m_p N_c (résultat cohérent avec N_e = \frac{M_\star}{2 m_p}), d'où :

Chaque noyau occupe le centre d'une cellule cubique de côté a et de volume a^3. Il y a ainsi un noyau par cellule élémentaire de volume a^3. Le volume total V_\star de la naine blanche, assimilée à une sphère de rayon R_\star, s'écrit :

On en déduit l'expression du paramètre de réseau a :

Soit finalement :

Application numérique : Avec R_\star = 1 \times 10^7\text{ m}, M_\star = 1 \times 10^{30}\text{ kg} et m_p = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg} :

Sachant que 85^{1/3} \simeq 4{,}4, on obtient :

On retrouve bien la valeur indiquée par l'énoncé.

Dans le modèle de Wigner-Seitz proposé, le nuage électronique est modélisé par une distribution sphérique continue de rayon a, centrée en O, et de densité volumique de charge uniforme :

Symétries et invariances :

• La distribution de charges présente une symétrie sphérique par rapport au centre O : elle est invariante par toute rotation autour de tout axe passant par O. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r.
• Tout plan contenant la droite (OM) est un plan de symétrie de la distribution de charges, le champ électrostatique appartient donc à leur intersection : \vec{E}(M) est purement radial.

On en déduit l'expression du champ en coordonnées sphériques :

Application du théorème de Gauss : Choisissons comme surface de Gauss \Sigma la sphère centrée en O et de rayon r tel que r < a, orientée vers l'extérieur. Le flux sortant du champ électrostatique à travers \Sigma s'écrit :

La charge totale Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de la sphère de Gauss de rayon r est :

D'après le théorème de Gauss :

En simplifiant par 4\pi r^2, on obtient la composante radiale :

D'où l'expression vectorielle du champ électrostatique dans lequel évolue le noyau :

1. Confinement du mouvement dans un plan

Le noyau de carbone possède le numéro atomique Z = 6 ; étant totalement ionisé, sa charge est q = +6e et sa masse est m_c = 12m_p. Il subit la force électrostatique due au champ \vec{E} déterminé à la question précédente (Q17) :

Cette force est centrale de centre O (de la forme \vec{F} = -k\vec{r} avec k = \frac{12e^2}{\varepsilon_0 a^3}).

Dans le référentiel lié au réseau (supposé galiléen), le théorème du moment cinétique appliqué au noyau en O s'écrit :

Le moment cinétique \vec{L}_O = \vec{r} \wedge (m_c\vec{v}) est donc un vecteur constant au cours du temps.

• Si \vec{L}_O \neq \vec{0}, le vecteur position \vec{r}(t) reste orthogonal au vecteur constant \vec{L}_O : le mouvement est strictement confiné dans le plan passant par O et perpendiculaire à \vec{L}_O.
• Si \vec{L}_O = \vec{0}, le mouvement est rectiligne passant par O, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

2. Oscillations harmoniques et pulsation \omega

Munissons ce plan d'un repère cartésien orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y) centré en O, de sorte que \vec{r}(t) = x(t)\vec{u}_x + y(t)\vec{u}_y. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Par projection sur les axes Ox et Oy, les coordonnées cartésiennes vérifient deux équations d'oscillateurs harmoniques découplées de même pulsation \omega :

avec :

3. Nature de la courbe \mathscr{C}

Les solutions générales sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation \omega :

La trajectoire \mathscr{C} = \{t \in \mathbb{R}, \vec{r}(t)\} est une combinaison linéaire de deux mouvements harmoniques orthogonaux isochrones : il s'agit d'une ellipse centrée en O (qui peut dégénérer en un segment de droite si le déphasage est \Delta\phi \equiv 0 \pmod \pi, ou en un cercle si X_0 = Y_0 et \Delta\phi \equiv \pm \frac{\pi}{2} \pmod \pi).

4. Expression de s_0^2 = \langle \vec{r}^{\,2}(t)\rangle

En notant les conditions initiales à t = 0 par \vec{r}(0) = \vec{r}_0 et \dot{\vec{r}}(0) = \vec{v}_0, la solution vectorielle s'écrit :

Le carré de la distance au centre est :

Puisque \langle\cos^2(\omega t)\rangle = \langle\sin^2(\omega t)\rangle = \frac{1}{2} et \langle\cos(\omega t)\sin(\omega t)\rangle = 0, la moyenne temporelle vaut :

En choisissant les axes cartésiens selon les axes principaux de l'ellipse et l'origine des dates t = 0 au passage par l'un des sommets (où \vec{r}_0 \perp \vec{v}_0), on a y_0 = 0 et \dot{x}_0 = 0. Les quatre conditions initiales se réduisent à (x_0, 0, 0, \dot{y}_0), de sorte que deux d'entre elles sont nulles et s_0^2 s'exprime uniquement à l'aide des deux conditions initiales non nulles x_0 et \dot{y}_0 :

Le noyau de carbone, de masse m_c = 12 m_p et de charge q = +6e, est soumis à la force électrostatique :

avec k = m_c \omega^2 = 12 m_p \omega^2, en reprenant la pulsation \omega = \frac{e}{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}} établie à la question Q18.

Cette force centrale conservative dérive d'une énergie potentielle électrostatique (choisie nulle en \vec{r}=\vec{0}) :

L'énergie cinétique du noyau s'écrit quant à elle :

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{cl}} = E_c(t) + E_p(t) est une constante du mouvement. Sa valeur instantanée est donc égale à sa valeur moyenne temporelle :

Pour un oscillateur harmonique isotrope, les moyennes temporelles des énergies cinétique et potentielle sont égales (théorème du viriel, ou par équipartition temporelle entre termes en \cos^2(\omega t) et \sin^2(\omega t) dont la moyenne vaut 1/2) :

On en déduit :

Comme m_c = 12 m_p, il vient :

Un oscillateur harmonique quantique est ici en équilibre thermique à la température T avec un thermostat. Dans l'ensemble canonique, la probabilité pour que l'oscillateur se trouve dans l'état quantique d'énergie \mathcal{E}_i est donnée par le facteur de Boltzmann normalisé :

où \beta = \frac{1}{k_B T} et Z est la fonction de partition canonique :

Comme \beta\hbar\omega > 0, la raison géométrique vérifie \mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega} \in ]0, 1[. La somme converge vers :

En injectant l'expression de Z et de \mathcal{E}_i dans la loi de probabilité, le terme d'énergie de point zéro \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\beta\hbar\omega} se simplifie :

Par définition, l'énergie moyenne de l'oscillateur harmonique dans l'ensemble canonique s'écrit :

D'après la question Q20, la fonction de partition canonique est :

soit en prenant le logarithme népérien :

En dérivant par rapport à \beta :

On peut également factoriser par \frac{1}{2}\hbar\omega :

D'où l'expression sous forme hyperbolique :

D'après la question Q19, l'énergie mécanique classique d'un noyau s'écrit en fonction de l'amplitude quadratique s_0^2 :

À l'échelle du volume V, en moyennant sur l'ensemble des oscillateurs et en introduisant le critère de Lindemann s^2 = \gamma^2 a^2, l'énergie mécanique moyenne d'un noyau vaut :

En rapprochant cette valeur classique moyennée de l'énergie moyenne quantique obtenue à la question Q21 :

on pose l'égalité \langle \mathcal{E}_{\mathrm{cl}} \rangle_V = \mathcal{E}_{\mathrm{qs}}, soit :

On en déduit :

En réinjectant l'expression de la pulsation établie à la question Q18, \omega = \dfrac{e}{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}} :

• Pour l'argument de la tangente hyperbolique :

  \frac{\hbar\omega}{2 k_B T} = \frac{\theta}{T} \quad \text{avec} \quad \theta = \frac{1}{2} \frac{\hbar e}{k_B \sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}}

  On identifie directement :

  \boxed{B = \frac{1}{2}}

• Pour le préfacteur \gamma_0^2 :

  \begin{aligned} \gamma_0^2 &= \frac{\hbar}{24 m_p a^2 \left(\dfrac{e}{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}}\right)} \\ &= \frac{1}{24}\frac{\hbar}{e} \frac{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}}{m_p a^2} \\ &= \frac{1}{24}\frac{\hbar}{e}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{m_p a}} \end{aligned}

  On identifie ainsi :

  \boxed{A = \frac{1}{24}}

On aboutit bien à la relation demandée :

D'après la question Q22, le paramètre de Lindemann vérifie :

avec \gamma_0^2 \simeq 10^{-3} et \theta \simeq 5{,}5 \times 10^5\text{ K}.

1. À la surface de la naine blanche : La température de surface a été déterminée à la question Q9 : T_s \simeq 3 \times 10^4\text{ K}. Calculons le rapport :

Puisque \frac{\theta}{T_s} \gg 1, on a \tanh\left(\frac{\theta}{T_s}\right) \simeq 1, ce qui donne :

2. Au cœur de la naine blanche : La température au cœur est estimée à T_c \simeq 10^7\text{ K}. Calculons le rapport :

Pour x \ll 1, \tanh x \simeq x, d'où :

En prenant la racine carrée :

Avec un seul chiffre significatif :

3. État de la matière : Le critère de Lindemann stipule que la fonte se produit dès que \gamma \sim 10\% :

• Au cœur de l'étoile, \gamma_c \gtrsim 10\% : l'agitation thermique dépasse le seuil de stabilité du réseau, la matière est à l'état fluide / liquide (plasma dense sous forme de liquide de Fermi).
• Vers la surface (sous la mince couche atmosphérique gazeuse), \gamma_s \simeq 3\% < 10\% : l'amplitude des oscillations est bien inférieure au pas du réseau, la matière y est à l'état solide cristallin.