Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2023 (page 2/2 : Parties II et III)

On étudie la masse ponctuelle m dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base cylindro-polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) où \vec{u}_z = \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y est orthogonal au plan du mouvement.

Le vecteur position s'écrit :

Le vecteur vitesse de la masse m est :

Le moment cinétique de la masse m par rapport au point fixe O vaut :

Le bilan des forces appliquées à la masse m comprend :

• la tension de la tige \vec{T} = -T \, \vec{u}_r, de moment nul en O : \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{T}) = \vec{0} ;

• le poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta \, \vec{u}_r - mg\sin\theta \, \vec{u}_\theta, dont le moment en O est :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) = (\ell \, \vec{u}_r) \wedge (mg\cos\theta \, \vec{u}_r - mg\sin\theta \, \vec{u}_\theta) = -mg\ell\sin\theta \, \vec{u}_z

En appliquant le théorème du moment cinétique en O :

soit :

En simplifiant par m\ell^2 \neq 0, on obtient l'équation différentielle non linéaire du pendule simple :

D'après la question précédente, l'équation différentielle exacte régissant le mouvement du pendule est :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles, on effectue le développement limité au premier ordre \sin\theta \simeq \theta, ce qui conduit à l'équation différentielle linéarisée :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_0. La période T_0 des oscillations s'obtient directement par la relation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} :

La propriété remarquable associée à cette approximation est l'isochronisme des petites oscillations : la période T_0 ne dépend pas de l'amplitude angulaire \theta_0 des oscillations.

Le pendule simple est soumis à son poids \vec{P} et à la tension de la tige \vec{T}. La liaison étant sans frottement et la tige de longueur \ell constante, le vecteur déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{OM} = \ell\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta est orthogonal à \vec{T} = -T\,\vec{u}_r : la tension ne travaille pas. Le poids dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

en choisissant l'origine des potentiels en x=0. L'énergie cinétique du point matériel m vaut :

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p est constante au cours du mouvement. À l'instant initial t=0, le pendule est lâché sans vitesse initiale depuis \theta = \theta_0 :

Par conservation de l'énergie mécanique :

L'expression générale de la vitesse angulaire est donc :

le signe dépendant du sens de parcours (négatif lors du premier quart de période où \theta décroît).

Le mouvement oscillatoire est périodique et symétrique. Le temps mis par le pendule pour passer de l'élongation maximale \theta_0 à la position d'équilibre \theta = 0 correspond à un quart de période : \Delta t = T/4. Sur cet intervalle, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} < 0, d'où :

En intégrant entre t=0 (\theta=\theta_0) et t=T/4 (\theta=0) :

Comme T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} (d'après la question Q17), on a \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \frac{T_0}{2\pi}. En multipliant par 4, on obtient bien :

Propriété remarquable : L'intégrale dépend explicitement de la borne supérieure \theta_0 ainsi que de la fonction sous le radical. La période T dépend donc de l'amplitude des oscillations : l'isochronisme des oscillations n'est pas conservé aux grandes amplitudes.

Soit la fonction f : \chi \mapsto 1 + \sqrt{\chi} définie sur [0; 9]. On souhaite approcher l'intégrale :

Principe de la méthode des rectangles médians On subdivise l'intervalle [a, b] = [0, 9] en N = 9 sous-intervalles réguliers [x_i, x_{i+1}] de même largeur h = \frac{b-a}{N} = 1, avec x_i = i pour i \in \{0, \dots, 9\}.

Sur chaque sous-intervalle [x_i, x_{i+1}], la fonction f est approchée par sa valeur au point médian :

L'aire sous la courbe est ainsi approchée par la somme des aires des 9 rectangles de largeur h et de hauteur f(m_i) :

Effet du doublement du nombre de rectangles La méthode du point milieu (rectangles médians) est une méthode d'intégration numérique d'ordre 2 : l'erreur globale commise s'écrit sous la forme :

Si l'on double le nombre de rectangles utilisés (N' = 2N), le pas d'intégration est divisé par deux (h' = h/2).

Par conséquent, la différence entre la valeur exacte de I et la valeur approchée numériquement est approximativement divisée par 2^2 = 4 :

Pour calculer numériquement l'intégrale elliptique complète de première espèce :

par la méthode des rectangles au point médian, on discrétise le segment [a,b] = [0, \pi/2] en N sous-intervalles de même largeur :

Sur chaque sous-intervalle [\phi_i, \phi_{i+1}] = [a + i h,\, a + (i+1)h] avec i \in \{0, \dots, N-1\}, le point médian vaut :

L'intégrale est alors approchée par la somme des aires des rectangles :

où l'intégrande est la fonction f(\chi, \phi) = \frac{1}{\sqrt{1 - \chi \sin^2\phi}}.

Voici le code complété :

import math as m

def f(x, phi):
    return 1.0 / m.sqrt(1.0 - x * m.sin(phi)**2)

S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi / 2.
pas = (b - a) / N
theta_0 = m.pi / 3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi = a + (i + 0.5) * pas
    S = S + f(x, phi)
print(pas * S)

1. Évaluation de la période T :

Sur la figure 4, l'axe des abscisses présente des graduations principales espacées de 20^\circ, avec une subdivision intermédiaire tous les 10^\circ. L'angle \theta_0 = 50^\circ correspond donc à la ligne verticale médiane entre 40^\circ et 60^\circ.

Sur l'axe des ordonnées, la ligne horizontale intermédiaire entre 1{,}0 et 1{,}1 correspond à 1{,}05. On constate que la courbe représentative coupe cette ligne à l'abscisse \theta_0 = 50^\circ :

Puisque T_0 = 1\text{ s}, on en déduit immédiatement :

2. Décalage temporel sur une heure :

Considérons une horloge à balancier étalonnée dans le cadre de l'approximation des petits angles, qui incrémente son compteur de T_0 = 1\text{ s} à chaque oscillation.

Si cette horloge mesure une durée affichée de \Delta t_{\text{mes}} = 1\text{ h} = 3600\text{ s}, elle a accompli un nombre d'oscillations :

La durée réelle écoulée durant ces N oscillations vaut :

Le décalage temporel absolu induit par l'approximation est donc :

Remarque réciproque : Si l'on s'intéresse au temps affiché par l'horloge au bout d'une heure réelle (\Delta t_{\text{réel}} = 3600\text{ s}), le nombre d'oscillations accomplies est N' = \frac{\Delta t_{\text{réel}}}{T} = \frac{3600}{1{,}05} \simeq 3429. Le temps indiqué par l'horloge est alors \Delta t'_{\text{mes}} = N' T_0 \simeq 3429\text{ s} \simeq 57\text{ min } 9\text{ s}, soit un retard de 171\text{ s} \approx 3\text{ min}. Dans les deux cas, le décalage est d'environ 3 minutes.

Dans la vie courante, la cycloïde est la trajectoire décrite par un point fixé sur la circonférence d'un cercle (ou d'une roue) qui roule sans glisser à vitesse constante le long d'une droite rectiligne.

Sur le plan physique et mathématique, la cycloïde possède deux propriétés remarquables célèbres :

• Propriété tautochrone (ou isochrone) : un point matériel glissant sans frottement sur une gouttière cycloïdale sous l'effet de la pesanteur oscille avec une période rigoureusement indépendante de l'amplitude du lâcher (propriété exploitée par Christiaan Huygens pour son horloge à pendule cycloïdal) ;
• Propriété brachistochrone : la cycloïde inversée est la courbe reliant deux points qui minimise le temps de parcours d'un mobile glissant sans frottement sous l'effet de la seule pesanteur (problème posé par Jean Bernoulli en 1696).

Lord Kelvin avait estimé l'âge de la Terre à quelques dizaines de millions d'années (entre 20 et 100 millions d'années) en supposant que le globe terrestre, initialement fondu, se refroidissait de manière purement conductive, sans source d'énergie interne.

L'erreur de ce résultat s'explique de nos jours principalement par deux éléments méconnus à son époque :

1. L'existence de sources d'énergie thermique internes (radioactivité) : Kelvin ignorait la radioactivité, découverte par Henri Becquerel en 1896 puis étudiée par Pierre et Marie Curie. La désintégration radioactive d'isotopes instables à longue durée de vie présents dans le manteau et la croûte terrestre (notamment ^{238}\mathrm{U}, ^{235}\mathrm{U}, ^{232}\mathrm{Th} et ^{40}\mathrm{K}) dégage continuellement de la chaleur (chaleur radiogénique), compensant en grande partie les pertes thermiques superficielles.
2. Le mode de transfert thermique dans le manteau (la convection) : Kelvin considérait la Terre comme un solide rigide où la chaleur ne se propage que par conduction pure. En réalité, le manteau terrestre se comporte aux grandes échelles de temps comme un fluide très visqueux au sein duquel s'organise une convection thermique vigoureuse. Ce brassage convectif transporte la chaleur beaucoup plus efficacement vers la base de la lithosphère que la simple diffusion thermique, maintenant un gradient thermique superficiel élevé sur une durée bien plus longue (argument soulevé dès 1895 par John Perry, ancien assistant de Kelvin).

L'âge actuellement admis de la Terre est d'environ 4{,}55 milliards d'années, déterminé grâce aux méthodes de datation radiométrique (notamment le système plomb-plomb sur les météorites).

1. Définition et dimension du vecteur densité de flux thermique

Le vecteur densité de flux (ou de courant) thermique \vec{j}_Q caractérise localement le transfert d'énergie thermique par conduction. Le transfert thermique élémentaire \delta^2 Q (ou \delta \phi_Q selon les notations du préambule) traversant une surface orientée \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\,\mathrm{d}S pendant une durée \mathrm{d}t s'exprime par :

La puissance thermique élémentaire traversant cette surface s'écrit donc :

La puissance \Phi ayant la dimension d'une énergie par unité de temps ([\Phi] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}, en watts \mathrm{W}), la dimension de la norme du vecteur densité de flux thermique est :

2. Loi de Fourier et conditions d'application

La loi de Fourier est une loi phénoménologique linéaire reliant le flux de chaleur au gradient de température :

où \kappa > 0 désigne la conductivité thermique du milieu.

Ses conditions d'application sont les suivantes :

• Milieu continu au repos à l'échelle macroscopique : le transfert d'énergie a lieu uniquement par conduction (absence de convection ou de déplacement de matière) ;
• Milieu isotrope : la réponse thermique est identique dans toutes les directions de l'espace, ce qui assure que \kappa est un scalaire (et non un tenseur d'ordre 2) ;
• Approximation des régimes linéaires / équilibre thermodynamique local : les gradients spatiaux de température doivent être suffisamment faibles à l'échelle du libre parcours moyen des porteurs d'énergie (phonons ou électrons), garantissant la proportionnalité entre le flux et le gradient thermique.

3. Dimension de la conductivité thermique

D'après la loi de Fourier, la norme du vecteur densité de flux thermique est reliée au gradient thermique par j_Q = \kappa\,\|\vec{\nabla}T\|, avec \|\vec{\nabla}T\| \sim \frac{\Delta T}{L}, d'où :

en notant \Theta la dimension de la température (kelvin).

1. Énergie thermique \delta Q reçue par la tranche :

La tranche de sol de section \mathcal{S} est comprise entre les abscisses y et y+\mathrm{d}y. Le transfert thermique s'effectue selon la direction \vec{u}_y :

• en y, l'énergie thermique entrant dans la tranche à travers la surface \mathcal{S} orientée selon +\vec{u}_y pendant \mathrm{d}t vaut : \delta Q_{\text{ent}} = j_Q(y, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t ;
• en y+\mathrm{d}y, l'énergie thermique sortant de la tranche pendant \mathrm{d}t vaut : \delta Q_{\text{sort}} = j_Q(y+\mathrm{d}y, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t.

Le bilan d'énergie thermique nette reçue s'écrit donc :

2. Intérêt de l'échelle mésoscopique :

L'échelle mésoscopique correspond à un volume élémentaire \mathrm{d}V = \mathcal{S}\,\mathrm{d}y vérifiant un compromis de deux échelles :

• suffisamment grand devant l'échelle microscopique pour contenir un très grand nombre d'atomes, garantissant ainsi la validité de la description thermodynamique continue et le caractère négligeable des fluctuations statistiques ;
• suffisamment petit devant les échelles macroscopiques caractéristiques des gradients de température, permettant de considérer les grandeurs locales (température, masse volumique) comme uniformes dans la tranche et de linéariser leurs variations spatiales par un développement de Taylor au premier ordre (\mathrm{d}y).

3. Expressions de la variation d'énergie interne \mathrm{d}U :

En appliquant le premier principe de la thermodynamique à la tranche de matière (système fermé immobile et indéformable, donc \delta W = 0) en l'absence de source volumique de chaleur :

d'où :

Par ailleurs, pour une phase condensée indéformable de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = \rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y et de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne associée à l'élévation de température \mathrm{d}T = \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t s'écrit :

soit :

4. Équation de la chaleur et coefficient de diffusion D :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U obtenues :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle (question précédente), j_Q = -\kappa\,\frac{\partial T}{\partial y}. En considérant la conductivité thermique \kappa uniforme et constante :

On obtient ainsi l'équation de diffusion thermique à une dimension :

La dimension du coefficient de diffusion thermique D est :

5. Longueur caractéristique L :

D'après l'équation de diffusion, l'analyse dimensionnelle impose \frac{[T]}{t} \sim D\,\frac{[T]}{L^2}, soit :

La température adimensionnée est définie par :

où T_0 et T_1 sont des constantes indépendantes du temps t et de l'espace y.

En dérivant par rapport à t et à y :

D'après l'équation de la chaleur établie à la question Q25, \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}. Par linéarité, la fonction \theta(y,t) vérifie donc la même équation de diffusion thermique :

Déterminons à présent les valeurs demandées :

• À l'instant initial, le milieu y > 0 est à température uniforme T(y>0, t=0) = T_1, d'où :

  \theta(y>0, t=0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0

• Pour tout t > 0, la surface en y = 0 est maintenue à la température imposée T_0, donc T(y=0, t>0) = T_0 :

  \theta(y=0, t>0) = \frac{T_0 - T_1}{T_0 - T_1} = 1

• Pour tout temps fini t > 0, le milieu étant semi-infini, l'onde de diffusion thermique n'a pénétré que sur une épaisseur finie caractéristique L \sim \sqrt{Dt}. Le milieu à l'infini n'a pas encore ressenti le changement de température en surface : \lim_{y \to +\infty} T(y,t) = T_1, d'où :

  \theta(y \to +\infty, t>0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0

On récapitule :

La fonction \theta ne dépend des variables d'espace et de temps qu'à travers la variable de similarité sans dimension :

Calculons les dérivées partielles de \eta par rapport à y et à t :

Par dérivation de la fonction composée \theta(y,t) = \theta(\eta(y,t)), la dérivée temporelle s'écrit :

Pour la variable spatiale y, la dérivée première vaut :

Puisque le préfacteur \dfrac{1}{2\sqrt{Dt}} est indépendant de y, la dérivée seconde s'obtient directement :

D'après le résultat de la question Q26, la température adimensionnée satisfait l'équation de la chaleur sans terme source :

En y substituant les dérivées obtenues ci-dessus :

Pour tout t > 0, en multipliant par 4t et en regroupant les termes, on obtient l'équation différentielle ordinaire cherchée :

D'après l'équation établie à la question Q27, la fonction \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta(\eta)}{\mathrm{d}\eta} vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

La séparation des variables conduit à \frac{\mathrm{d}\varphi}{\varphi} = -2\eta\,\mathrm{d}\eta, ce qui donne par intégration :

En intégrant de 0 à \eta, on obtient :

D'après la question Q26, en y=0 pour t>0, on a \eta = 0 et \theta(0) = 1. L'expression devient :

La condition à l'infini imposée en Q26 s'écrit \lim_{\eta\to+\infty} \theta(\eta) = 0. En utilisant l'intégrale de Gauss fournie :

On en déduit l'expression de la température adimensionnée :

Par définition de \theta(y,t) (question Q26) et sachant que \eta = \frac{y}{2\sqrt{Dt}} :

En remplaçant \theta(\eta) par son expression :

soit, sous forme simplifiée :

D'après la question Q27, la température adimensionnée \theta(\eta) vérifie l'équation différentielle :

En posant \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta}, la séparation des variables conduit à :

où C_1 est une constante d'intégration. En intégrant une seconde fois :

En utilisant la définition de la fonction d'erreur \operatorname{erf}(\eta) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\eta e^{-z^2}\,\mathrm{d}z, cette solution s'écrit sous la forme générale :

où A et B sont des constantes réelles.

Déterminons ces constantes grâce aux conditions aux limites données dans l'énoncé de la partie III.B :

• À la surface extérieure y = 0, la température vaut T(0,t) = T_0, ce qui correspond à \eta = 0 :

  \theta(0) = \frac{T(0,t) - T_0}{T_f - T_0} = 0

  Comme \operatorname{erf}(0) = 0, on en déduit immédiatement B = 0.

• À l'interface de solidification y = y_s(t), la température vaut T(y_s,t) = T_f, ce qui correspond à \eta = \eta_s = \lambda :

  \theta(\lambda) = \frac{T(y_s,t) - T_0}{T_f - T_0} = \frac{T_f - T_0}{T_f - T_0} = 1

  On a donc A\,\operatorname{erf}(\lambda) = 1, soit A = \frac{1}{\operatorname{erf}(\lambda)}.

On obtient ainsi le profil de température adimensionnée :

Considérons la tranche de lave d'épaisseur \mathrm{d}y_s et de surface S qui se solidifie entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Sa masse s'exprime en fonction de la masse volumique \rho par :

La solidification est la transformation inverse de la fusion (\text{liquide} \to \text{solide}). L'enthalpie massique de solidification à la température T_f est donc :

Cette transformation étant exothermique, l'énergie thermique \delta Q libérée par la solidification de la masse \mathrm{d}m est une grandeur positive donnée par :

On en déduit :

La lave en fusion (y > y_s(t)) est à la température uniforme T_f, son gradient thermique est donc nul et elle n'apporte aucun flux de chaleur à l'interface :

Dans la croûte solide (0 \leqslant y \leqslant y_s(t)), la température croît avec la profondeur de T(0,t) = T_0 jusqu'à T(y_s,t) = T_f > T_0. D'après la loi de Fourier (question Q24), le vecteur densité de flux thermique au voisinage immédiat de l'interface, du côté solide, s'écrit :

Puisque le gradient \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_{y=y_s} est positif, le transfert thermique s'effectue vers le haut, c'est-à-dire dans le sens opposé à l'axe \vec{u}_y (vers la surface froide y=0).

Le flux d'énergie thermique sortant de l'interface vers la croûte solide à travers la surface S pendant l'intervalle \mathrm{d}t s'exprime par le produit de la composante selon -\vec{u}_y par la surface et la durée :

D'après la question Q30, la solidification de l'épaisseur \mathrm{d}y_s de surface S libère l'énergie thermique :

L'énoncé précisant que la totalité de cette énergie libérée est évacuée par diffusion dans le solide, le bilan énergétique à l'interface s'écrit :

En divisant de part et d'autre par S \, \mathrm{d}t, on obtient la relation demandée :

D'après la définition de la constante \lambda, la position de l'interface de solidification s'écrit :

Sa dérivée temporelle est donc :

D'autre part, la température s'exprime en fonction de la température adimensionnée \theta selon (question Q29) :

Par dérivation en chaîne, le gradient de température dans la croûte solide s'écrit :

Or :

Au niveau du front de solidification (y = y_s(t), soit \eta = \lambda), on obtient :

En injectant ces résultats dans le bilan d'énergie à l'interface établi en Q31 :

Le facteur temporel \sqrt{t} se simplifie des deux côtés. En multipliant par \sqrt{D} et en rappelant que par définition de la diffusivité thermique (question Q25), \kappa = \rho c D d'où \dfrac{\kappa\sqrt{D}}{D} = \rho c \sqrt{D}, il vient :

En simplifiant par \rho et en regroupant les termes dépendant de \lambda dans le membre de gauche, on conclut :

L'équation établie à la question Q32 se met sous la forme g(\lambda) = 0, avec :

La fonction g est continue et strictement décroissante sur ]0, +\infty[. Pour trouver numériquement la constante \lambda, on peut utiliser l'algorithme de dichotomie (ou la méthode de Newton-Raphson).

Fonctionnement de l'algorithme de dichotomie :

• Initialisation : On choisit deux réels a et b encadrant la solution, tels que g(a) \cdot g(b) < 0 (par exemple [a, b] = [0{,}5\,;\,2] au vu du tracé de la figure 7).

• Itération : À chaque étape, on évalue la fonction au milieu de l'intervalle m = \dfrac{a + b}{2} :

  • si g(a) \cdot g(m) \leqslant 0, la racine appartient à l'intervalle [a, m] : on pose b \leftarrow m ;
  • sinon, la racine appartient à [m, b] : on pose a \leftarrow m.
• Critère d'arrêt : La longueur de l'intervalle de recherche est divisée par deux à chaque itération. Le processus s'arrête dès que la largeur b - a devient inférieure à une précision ou tolérance \varepsilon fixée à l'avance. L'approximation de \lambda est alors le dernier milieu m.

D'après la question Q32, la constante \lambda vérifie l'équation :

Calculons numériquement le membre de droite avec les données de l'énoncé :

Sur la figure 7, la courbe coupe le niveau d'ordonnée y \simeq 0{,}71 (légèrement au-dessus de la graduation 0{,}7) à l'abscisse :

(une valeur comprise entre 0{,}8 et 0{,}9 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

L'épaisseur de la croûte solide à l'instant t est reliée à la variable de similarité par :

Pour une durée de six mois, soit une demi-année :

Le produit de diffusion vaut :

d'où :

On en déduit l'épaisseur de la croûte solide :

Comparaison avec les mesures de la figure 8 : Sur la figure 8, à l'abscisse t = 0{,}5\text{ an}, la courbe théorique et les points expérimentaux (mesures in situ sur les lacs de lave Makaopuhi et Kilauea Iki) donnent une épaisseur y_m \simeq 5{,}3\text{ m} (l'ensemble des points expérimentaux se situe entre 4{,}5\text{ m} et 5{,}5\text{ m}).

La valeur calculée est en excellent accord avec les observations de terrain, confirmant la validité du modèle de Stefan en \sqrt{t} pour la solidification des coulées magmatiques.