Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2021

Lors d'une transition de phase d'un corps pur à la température T (sous la pression d'équilibre correspondante), la transformation est réversible, isotherme et isobare. Pour l'unité de masse, le transfert thermique reçu est égal à la variation d'enthalpie massique :

D'après le second principe de la thermodynamique, l'entropie échangée pour une transformation réversible isotherme à la température T s'écrit :

Par définition de la grandeur massique \zeta = h - Ts (qui correspond à l'enthalpie libre massique g) :

En utilisant la relation établie précédemment T \Delta s = L(T), il vient :

On en déduit donc bien qu'à l'équilibre thermodynamique liquide-vapeur :

Considérons une masse m de corps pur sous une seule phase. L'identité thermodynamique fournie en section 1.3 pour un système fermé monophasique s'écrit :

En divisant par la masse fixée m, on obtient l'identité thermodynamique en grandeurs massiques (u = U/m, s = S/m, v = V/m) :

L'enthalpie massique est définie par h = u + Pv. Sa différentielle s'écrit :

En injectant l'expression de \mathrm{d}u, il vient :

Par définition, la fonction \zeta (enthalpie libre massique g) vaut \zeta = h - Ts. En différentiant cette relation :

En remplaçant \mathrm{d}h par son expression :

On en déduit immédiatement :

Lorsque les deux phases coexistent à l'équilibre à la température T sous la pression de vapeur saturante P = e_s(T), les enthalpies libres massiques des deux phases sont égales d'après la question Q1 :

Pour une variation infinitésimale de température \mathrm{d}T le long de la courbe de coexistence, la pression varie de \mathrm{d}e_s de sorte que l'équilibre soit maintenu, soit :

En utilisant la relation établie à la question Q2, \mathrm{d}\zeta = -s\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P, avec \mathrm{d}P = \mathrm{d}e_s, il vient :

En regroupant les termes :

D'après la question Q1, la variation d'entropie massique de vaporisation s'écrit s_v - s_l = \dfrac{L(T)}{T}. On en déduit la relation de Clapeyron :

Par définition de l'enthalpie massique de vaporisation (équation 6) :

En modélisant la vapeur d'eau comme un gaz parfait (dont l'enthalpie ne dépend que de T) et l'eau liquide comme une phase condensée indilatable et incompressible (pour laquelle l'influence de la pression sur l'enthalpie est négligeable), les enthalpies massiques vérifient :

où c_{p,v} et c_{p,l} sont les capacités thermiques massiques à pression constante respectives de la vapeur d'eau et de l'eau liquide.

On en déduit la relation de Kirchhoff différentielle :

En supposant les capacités thermiques constantes sur le domaine de température considéré et en intégrant entre T_m et T, il vient :

Application numérique : Entre les températures T_1 = -40\,^\circ\text{C} = 233\text{ K} et T_2 = +40\,^\circ\text{C} = 313\text{ K}, l'écart de température est \Delta T = T_2 - T_1 = 80\text{ K}.

La variation correspondante de chaleur latente est :

Avec les valeurs fournies :

Avec un chiffre significatif :

Comparons cette variation à la valeur de référence L(T_m) = 2,44 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} :

Cette variation relative restant inférieure à 10\,\% sur une plage de température de 80\text{ K}, elle est négligeable en première approximation devant L(T_m).

D'après la question Q3, la formule de Clapeyron s'écrit :

Sur l'intervalle de température [-40^\circ\text{C}, 40^\circ\text{C}], nous effectuons les trois approximations suivantes :

1. Volume massique du liquide négligeable devant celui de la vapeur :

   v_l \ll v_v \implies v_v - v_l \simeq v_v

   En effet, v_l \approx 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1} alors que pour la vapeur sous quelques dizaines d'hectopascals, v_v \gtrsim 10\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}.

2. Comportement de gaz parfait pour la vapeur d'eau sous la pression partielle e_s :

   e_s v_v = \frac{R}{M_e} T \implies v_v = \frac{R T}{M_e e_s}
3. Enthalpie massique de vaporisation constante : d'après l'étude menée à la question Q4, on peut poser L(T) \simeq L = L(T_m) sur toute la plage considérée.

En injectant ces approximations dans la relation de Clapeyron, on obtient :

La séparation des variables conduit à :

On intègre cette équation différentielle entre la température de référence T_m = 273\text{ K} et une température quelconque T :

En prenant l'exponentielle, on retrouve l'expression demandée :

où e_m = e_s(T_m) est la pression de vapeur saturante de l'eau à la température T_m = 273\text{ K} (point de fusion sous 1 atm, soit 0^\circ\text{C}, où e_m \simeq 6{,}1\text{ hPa}).

La pression de vapeur saturante e_s(T) est une fonction strictement croissante de la température, augmentant de près de trois ordres de grandeur entre -40\text{ }^\circ\text{C} (environ 0,1\text{ hPa}) et +40\text{ }^\circ\text{C} (environ 70\text{ hPa}). En représentation semi-logarithmique (\log_{10}(e_s) en ordonnée et T en abscisse linéaire), elle présente une allure quasi-rectiligne de pente positive, traduisant la croissance exponentielle rapide de la saturation avec la température.

L'accélération de la pesanteur à l'altitude z s'exprime, en assimilant la Terre à une sphère de rayon R_T \simeq 6{,}4 \times 10^3\text{ km} :

D'après le document 3.1 (lignes 31–33), 99 % de la masse de l'atmosphère est concentrée sous z \approx 30\text{ km}, et la quasi-totalité des phénomènes météorologiques se déroule dans la troposphère (z \lesssim 15\text{ km}).

Pour l'épaisseur utile de l'atmosphère (z \lesssim 30\text{ km}), la variation relative de pesanteur vérifie :

Cette variation étant négligeable devant les autres incertitudes du problème, on peut considérer g uniforme et indépendante de z :

L'énoncé précise que les différents constituants de l'atmosphère se comportent comme des gaz parfaits n'interagissant pas entre eux. Chaque gaz peut donc être traité comme un système thermodynamique indépendant à la température T_0.

Considérons une tranche horizontale de diazote d'épaisseur \mathrm{d}z et de section droite S, située entre les altitudes z et z + \mathrm{d}z. Le diazote est soumis :

• aux forces de pression exercées sur ses faces inférieure et supérieure :

  \vec{F}_p = p_{\mathrm{N}_2}(z) S \,\vec{e}_z - p_{\mathrm{N}_2}(z+\mathrm{d}z) S \,\vec{e}_z = - \frac{\mathrm{d}p_{\mathrm{N}_2}}{\mathrm{d}z} S \mathrm{d}z \,\vec{e}_z

• à son propre poids :

  \vec{P} = - \mathrm{d}m_{\mathrm{N}_2} g \,\vec{e}_z = - \rho_{\mathrm{N}_2}(z) S \mathrm{d}z \, g \,\vec{e}_z

  où \rho_{\mathrm{N}_2} désigne la masse volumique du diazote dans l'atmosphère.

À l'équilibre mécanique (équilibre hydrostatique), la somme des forces est nulle, ce qui conduit à la relation fondamentale de la statique des fluides appliquée au diazote :

En utilisant la loi des gaz parfaits pour le diazote, p_{\mathrm{N}_2} = \dfrac{\rho_{\mathrm{N}_2}}{M_{\mathrm{N}_2}} R T_0, cette condition s'écrit également sous la forme d'une équation différentielle :

D'après le résultat de la question Q8, la pression partielle de diazote vérifie l'équation différentielle :

La température T_0 et l'accélération de la pesanteur g étant supposées indépendantes de z, l'intégration directe de cette équation différentielle linéaire du premier ordre donne :

soit :

où p_{\mathrm{N}_2}(0) désigne la pression partielle de diazote au niveau du sol (z = 0), et où la longueur caractéristique (hauteur d'échelle) associée au diazote s'écrit :

Application numérique : Avec R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 288\text{ K}, M_{\mathrm{N}_2} = 28\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 28 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

Dans le cadre du modèle d'une atmosphère isotherme à la température T_0, sèche et sans interactions entre constituants (assimilés à des gaz parfaits indépendants), le dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 vérifie la même équation d'équilibre hydrostatique que le diazote (établie aux questions Q8 et Q9) :

Par intégration, la pression partielle de dioxyde de carbone s'écrit :

où la longueur caractéristique associée (hauteur d'échelle du \mathrm{CO}_2) est donnée par :

Application numérique avec les données de l'énoncé (M_{\mathrm{CO}_2} = 44\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 288\text{ K} et g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

Soit, avec un chiffre significatif :

D'après le modèle de la partie 4.1, chaque gaz constituant l'atmosphère est supposé parfait, isotherme à T_0 = 288\text{ K} et à l'équilibre hydrostatique. L'air sec étant très majoritairement constitué de diazote (M_{\mathrm{N}_2} = 28\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}) et de dioxygène (M_{\mathrm{O}_2} = 32\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), de masse molaire moyenne M \approx 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, la loi des gaz parfaits relie la masse volumique totale à la pression par :

Puisque P(z) décroît exponentiellement avec l'altitude selon la hauteur d'échelle H, la masse volumique suit la même loi :

Numériquement, avec M \approx 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 288\text{ K} et g \approx 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

En échelle semi-logarithmique décimale (abscisse en échelle logarithmique, ordonnée en échelle linéaire), la relation s'écrit :

Le modèle prédit donc une droite, avec une diminution d'une décade (\Delta \log_{10}\rho = -1) sur une épaisseur :

Sur la figure 4c, on constate que :

• La courbe \rho(z) est quasiment une droite en échelle semi-logarithmique de z = 0 à z = 50\text{ km}, ce qui confirme la forme exponentielle prévue par le modèle.
• À l'altitude z = 0\text{ km}, on lit \rho \approx 1,2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.
• La masse volumique vaut \rho = 10^{-1}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} à z \approx 16\text{ km}, \rho = 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} à z \approx 32\text{ km}, et \rho = 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} à z \approx 48\text{ km}.

La hauteur par décade mesurée est donc très régulière et vaut :

ce qui correspond à une hauteur d'échelle mesurée :

Les valeurs H_{\mathrm{mod}} \approx 8\text{ km} et H_{\mathrm{mes}} \approx 7\text{ km} sont du même ordre de grandeur (écart relatif d'environ 15\,\%).

1. Incompatibilité quantitative avec le résultat de la question Q10

La concentration relative en volume (ou en mole) du \mathrm{CO}_2 est donnée par le rapport de sa pression partielle sur la pression totale P(z) de l'air :

D'après les questions Q9 et Q10, la pression partielle d'un gaz de masse molaire M suit une loi barométrique régie par sa propre hauteur d'échelle H = \frac{R T_0}{M g}. L'air étant majoritairement composé de diazote et de dioxygène de masse molaire moyenne M_d \approx 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, la pression totale décroît avec une hauteur d'échelle H_d = \frac{R T_0}{M_d g} \approx 8\text{ km}, tandis que pour le \mathrm{CO}_2 (M_{\mathrm{CO}_2} = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), la hauteur d'échelle calculée en Q10 est H_{\mathrm{CO}_2} \approx 6\text{ km} (ou 5,5\text{ km}).

Le modèle prévoit donc une concentration relative décroissant exponentiellement avec l'altitude :

où la longueur caractéristique de séparation gravitationnelle vaut :

Entre z_1 = 15\text{ km} et z_2 = 30\text{ km} (domaine couvert par la figure 6), la différence d'altitude est \Delta z = 15\text{ km} \approx H_\Delta. Le modèle prévoit ainsi que la concentration relative devrait chuter d'un facteur :

La concentration relative devrait donc chuter d'environ 60\,\%, passant d'environ 370\text{ ppm} à moins de 140\text{ ppm}.

Or, sur la figure 6, la concentration mesurée reste quasiment constante entre 15\text{ km} et 35\text{ km}, oscillant dans une plage très étroite de 365 à 370\text{ ppm} (variation inférieure à 2\,\%). Le profil de la figure 6 est donc quantitativement incompatible avec la prédiction du modèle.

0.5em 2. Hypothèse du modèle en cause

L'hypothèse erronée introduite au début de la partie 4.1 est de considérer que « les différents constituants de l'atmosphère n'interagissent pas entre eux », c'est-à-dire d'appliquer l'équilibre hydrostatique de manière indépendante à chaque constituant dans une atmosphère statique au repos (hypothèse de séparation barométrique pure).

0.5em 3. Phénomène physique responsable

Le phénomène physique responsable est le brassage dynamique macroscopique de l'atmosphère (mouvements convectifs, turbulents et advectifs). Ce mélange turbulent opère sur des échelles de temps considérablement plus courtes que la diffusion moléculaire, assurant l'homogénéisation de la composition de l'air sec dans toute la basse et moyenne atmosphère (couche appelée homosphère, jusqu'à environ 100\text{ km}).

La composition relative d'un constituant atmosphérique n'est homogénéisée par le brassage turbulent que si ce constituant est chimiquement inerte et ne subit pas de changement de phase (gaz passif et non condensable sur les échelles de temps du transport).

1. Cas de l'eau : L'eau est une espèce condensable. Dans la troposphère, la température décroît avec l'altitude (figure 4a). D'après la loi de Clausius-Clapeyron (question Q5), la pression de vapeur saturante e_s(T) diminue de manière exponentielle avec l'altitude. Dès que la saturation est atteinte, la vapeur se condense en gouttelettes ou cristaux, puis est éliminée de l'atmosphère par les précipitations. Ce phénomène de condensation et de lessivage, renforcé par le « piège froid » de la tropopause (T \approx 215\text{ K}), assèche considérablement les couches supérieures (comme l'illustre la figure 4d, où la masse volumique de vapeur chute de 5 ordres de grandeur entre 0 et 15 km). La fraction relative en eau décroît donc fortement avec l'altitude.

2. Cas de l'ozone (\mathrm{O_3}) : L'ozone est une espèce chimiquement et photochimiquement réactive. Sa présence résulte d'un équilibre photochimique (cycle de Chapman) :

   • il est produit principalement par photodissociation du dioxygène \mathrm{O_2} sous l'effet du rayonnement ultraviolet solaire (\lambda < 240\text{ nm}), produisant des atomes \mathrm{O} qui se recombinent selon \mathrm{O} + \mathrm{O_2} + \mathrm{M} \to \mathrm{O_3} + \mathrm{M} ;
   • il est détruit par photolyse UV et par des cycles catalytiques.

   Le flux solaire UV nécessaire est maximal en haute altitude mais la densité moléculaire y est très faible, tandis qu'en basse altitude le flux UV efficace a été totalement absorbé en amont. Le taux de production net présente ainsi un maximum très marqué à une altitude intermédiaire (entre 20 et 30 km, visible sur le pic de concentration de la figure 4e). Le temps caractéristique de ces réactions photochimiques étant court devant les temps de mélange vertical dans cette zone, l'ozone n'est pas brassé uniformément.

L'énoncé mentionne la « masse volumique » tout en lui attribuant l'unité \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} et la notation M_d : il s'agit manifestement d'un lapsus du sujet pour désigner la masse molaire moyenne de l'air sec (la masse volumique variant quant à elle fortement avec l'altitude, comme vu à la question Q11).

La masse molaire moyenne de l'air sec s'exprime en fonction des fractions molaires x_i (égales aux proportions volumiques pour des gaz parfaits) et des masses molaires M_i des constituants :

• Dans la troposphère et la stratosphère (zone appelée l'homosphère, jusqu'à environ 85\text{ à }100\text{ km}), le brassage convectif et turbulent prédomine très largement sur la diffusion moléculaire (séparation gravifique).
• Les constituants majeurs de l'air sec (\mathrm{N}_2, \mathrm{O}_2, \mathrm{Ar}), qui représentent plus de 99,9\,\% en volume (tableau 1), ne subissent ni condensation ni réactions chimiques notables à ces altitudes : leurs proportions relatives x_i sont donc strictement indépendantes de z.

D'après le tableau 1 (x_{\mathrm{N}_2} \approx 0,78, x_{\mathrm{O}_2} \approx 0,21, x_{\mathrm{Ar}} \approx 0,01) :

La masse molaire moyenne de l'air sec est donc bien uniforme dans la troposphère et la stratosphère :

L'enthalpie massique d'un fluide est définie par h = u + Pv, où u est l'énergie interne massique, P la pression et v = 1/\rho le volume massique.

En différentiant et en utilisant l'identité thermodynamique massique issue de l'équation (1) (\mathrm{d}u = T\,\mathrm{d}s - P\,\mathrm{d}v), on obtient la première identité thermodynamique pour l'enthalpie massique :

Par hypothèse, l'atmosphère considérée est isentropique, ce qui signifie que l'entropie massique ne dépend pas de l'altitude z :

D'autre part, l'atmosphère est à l'équilibre hydrostatique dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z :

En combinant ces deux relations, la variation verticale d'enthalpie s'écrit :

On en déduit immédiatement :

L'enthalpie généralisée h_* = h + gz est donc indépendante de l'altitude :

L'air sec étant assimilé à un gaz parfait, son enthalpie ne dépend que de la température (deuxième loi de Joule) :

D'après la question Q15, l'enthalpie généralisée est constante dans une atmosphère isentropique sèche en équilibre hydrostatique, ce qui donne :

On en déduit l'expression du gradient thermique adiabatique sec :

Application numérique : Avec g \approx 9,8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c_p = 1,006 \times 10^3 \text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} :

Avec un chiffre significatif :

Comparaison avec l'atmosphère standard (figure 4a) : Sur le profil de température de la troposphère (figure 4a), la température décroît linéairement depuis T(0) \approx 288\text{ K} à l'altitude z = 0 jusqu'à T(H_t) \approx 217\text{ K} au niveau de la tropopause à z = H_t \approx 11\text{ km}. Le gradient thermique observé dans l'atmosphère standard vaut donc :

On constate que :

La décroissance de température observée dans l'atmosphère réelle est nettement moins rapide que celle prédite par le modèle adiabatique sec.

L'ajustement de pression au sein de la parcelle de fluide de dimension caractéristique a \sim 10\text{ m} s'effectue par propagation d'ondes acoustiques à la célérité du son c_{\text{son}}. Le temps caractéristique d'équilibrage en pression est donc :

Avec a = 10\text{ m} et c_{\text{son}} \approx 336\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (donnée 1.2), on obtient avec 1 chiffre significatif :

L'égalisation de la température entre la parcelle et l'atmosphère environnante s'opère par diffusion thermique à travers l'échelle a. L'équation de la diffusion thermique donne un temps caractéristique :

Avec \kappa = 2 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} (donnée 1.2), on trouve :

soit environ deux mois :

Le temps caractéristique du mouvement vertical de la parcelle est \tau_{\text{dyn}} \sim a / w. Même pour des vitesses de courants verticaux élevées de l'ordre de 1\text{ à }10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (section 3.1), ce temps est de l'ordre de quelques secondes (\tau_{\text{dyn}} \sim 1\text{ à }10\text{ s}). On a donc la hiérarchie des temps :

• Comme \tau_p \ll \tau_{\text{dyn}}, l'équilibrage mécanique est quasi-instantané : la parcelle s'ajuste continûment à la pression extérieure, P_p(z) = P_{\text{ext}}(z).
• Comme \tau_{\text{dyn}} \ll \tau_{\text{th}}, la diffusion thermique n'a pas le temps d'avoir lieu pendant le déplacement : les transferts thermiques conductifs sont tout à fait négligeables (évolution adiabatique).

D'après l'étude menée à la question Q17 :

• Le temps caractéristique des transferts thermiques conductifs (\tau_{\text{th}} \sim 10^6\text{ s}) est immensément plus grand que la durée d'ascendance d'une parcelle (quelques dizaines de secondes) : les échanges thermiques avec le milieu extérieur sont négligeables, la transformation est donc adiabatique (\delta Q = 0).
• Le temps d'équilibrage mécanique (\tau_p \sim 3\times 10^{-2}\text{ s}) est au contraire extrêmement court devant le temps de déplacement, si bien que la parcelle reste à chaque instant en équilibre mécanique avec l'extérieur, sans frottements visqueux notables : la transformation est quasi-statique et réversible.

Une transformation adiabatique et réversible est isentropique :

L'air sec étant modélisé par un gaz parfait de coefficients calorimétriques constants, la loi de Laplace s'applique le long de cette isentropique. Avec le volume massique v = 1/\rho_p :

En appliquant cette relation entre l'état initial en z_i et l'état en z_i + \mathrm{d}z, on obtient :

Au premier ordre en \mathrm{d}z, puisque la variation relative de température est infinitésimale :

Soit une parcelle d'air sec de volume V_p, initialement à l'équilibre à l'altitude z_i, où sa masse volumique est \rho_i = \rho(z_i) et sa température T_i = T(z_i).

On lui impose un déplacement vertical infinitésimal \mathrm{d}z > 0. À l'altitude z_i + \mathrm{d}z, la parcelle est soumise à deux forces :

• son poids : \vec{P}_{\text{oids}} = - \rho_p(z_i+\mathrm{d}z)\,V_p\,g\,\vec{e}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par le fluide environnant : \vec{\Pi} = \rho(z_i+\mathrm{d}z)\,V_p\,g\,\vec{e}_z.

La projection verticale de la résultante des forces s'écrit :

D'après le résultat de la question Q17, la parcelle est en équilibre de pression avec l'atmosphère extérieure :

L'air étant modélisé comme un gaz parfait de masse molaire M_d, on a \rho = \frac{P M_d}{R T}. À pression fixée, une différentiation logarithmique donne \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = -\frac{\mathrm{d}T}{T}. Au premier ordre en \mathrm{d}z, la différence de masse volumique s'exprime donc directement à l'aide des températures :

Évaluons les deux températures à l'altitude z_i+\mathrm{d}z :

• Pour le fluide environnant :

  T(z_i+\mathrm{d}z) = T_i + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\,\mathrm{d}z = T_i - \left(-\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right)\mathrm{d}z

• Pour la parcelle, la transformation est isentropique (question Q18), le gradient de température suivi est donc le gradient adiabatique sec \Gamma_d défini en équation (9) :

  T_p(z_i+\mathrm{d}z) = T_i - \Gamma_d\,\mathrm{d}z

On en déduit l'écart de température :

La composante verticale de la force résultante devient :

L'atmosphère est stable si la force résultante tend à ramener la parcelle vers sa position initiale. Pour un déplacement ascendant (\mathrm{d}z > 0), la force nette doit être dirigée vers le bas (F_z < 0), ce qui impose :

(Le même raisonnement mené avec \mathrm{d}z < 0 conduit à exiger une force vers le haut F_z > 0, aboutissant à la même condition).

L'atmosphère sèche est donc mécaniquement stable sous la condition :

D'après la question Q19, une atmosphère sèche est mécaniquement stable si son gradient thermique vertical vérifie :

où \Gamma_d \approx 9,8\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} \approx 10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} d'après la question Q16.

Examinons les différentes couches de l'atmosphère standard (figure 4a) :

• Dans la troposphère (de 0 à environ 11\text{ km}), la température décroît de 288\text{ K} à 217\text{ K}, ce qui correspond à un gradient thermique moyen :

  \Gamma_{\text{std}} = -\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} \approx 6,5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} < \Gamma_d
• Dans la tropopause et la basse stratosphère (entre 11\text{ km} et 20\text{ km}), la température est constante (-\mathrm{d}T/\mathrm{d}z = 0 < \Gamma_d).
• Plus haut dans la stratosphère, la température croît avec l'altitude (-\mathrm{d}T/\mathrm{d}z < 0 < \Gamma_d), ce qui est une situation d'inversion thermique particulièrement stable.

Le critère de stabilité mécanique vis-à-vis de l'air sec est donc satisfait à toutes les altitudes.

L'enthalpie H est une grandeur extensive. En négligeant toute enthalpie de mélange entre les gaz parfaits (air sec et vapeur d'eau) et la phase condensée liquide, l'enthalpie totale de la parcelle d'air s'écrit comme la somme des enthalpies de chacun de ses constituants :

L'enthalpie massique h = H / m_t de la parcelle est donc obtenue en divisant par la masse totale m_t :

D'après les définitions données dans le préambule :

On en déduit l'expression de l'enthalpie massique de la parcelle :

D'après la question Q21, l'enthalpie massique du mélange s'écrit :

En utilisant la définition de l'enthalpie massique de vaporisation L = h_v - h_l, soit h_v = h_l + L, il vient :

L'enthalpie massique du mélange s'exprime donc rigoureusement sous la forme :

Justifions successivement les approximations effectuées :

1. Faible fraction massique d'eau (q_e \ll 1) :
   À la température maximale considérée T = 40\,^\circ\text{C} = 313\text{ K}, la pression de vapeur saturante vaut (d'après la figure 3 ou l'équation (8)) e_s \approx 70\text{ hPa} = 7 \times 10^3\text{ Pa}. Au niveau du sol où la pression totale est P_0 \approx 10^5\text{ Pa}, la fraction massique maximale de vapeur est :

   q_s \approx \frac{M_e}{M_d} \frac{e_s}{P_0} = \frac{18}{29} \times 0,07 \approx 4\times 10^{-2} = 4\,\%.

   Comme la fraction d'eau condensée est encore plus faible (q_l \ll q_v), la fraction massique totale d'eau vérifie à toute altitude :

   q_e \ll 1 \implies 1 - q_e \simeq 1.

2. Terme d'eau liquide négligeable devant la chaleur latente (q_e h_l \ll L q_v) :
   En choisissant l'état de référence de l'eau liquide tel que h_l(T_m) = 0 à T_m = 273\text{ K}, l'enthalpie massique du liquide à 40\,^\circ\text{C} (\Delta T = 40\text{ K}) vaut :

   |h_l| \approx c_{p,l} |T - T_m| \approx 4,2 \times 10^3 \times 40 \approx 1,7 \times 10^5\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}.

   Cette valeur reste très faible devant L \approx 2,44 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} :

   \frac{|h_l|}{L} \approx \frac{1,7 \times 10^5}{2,44 \times 10^6} \approx 7\,\% \ll 1.

   Puisque q_e est du même ordre de grandeur que q_v, le terme q_e h_l est négligeable devant L q_v.

3. Approximation de la chaleur latente constante :
   Comme établi à la question Q4, la variation relative de L sur la plage [-40\,^\circ\text{C}, +40\,^\circ\text{C}] ne dépasse pas 8\,\%, ce qui permet de la traiter comme une constante.
4. Enthalpie de l'air sec :
   En prenant pour référence h_d(0\text{ K}) = 0, le gaz étant parfait, on a h_d = c_p T (une éventuelle constante de référence disparaissant lors de la dérivation).

En combinant ces approximations, l'enthalpie massique s'écrit simplement :

Par définition de l'enthalpie généralisée h_{*,m} = h + gz (question Q15), on obtient bien :

Dans une atmosphère isentropique (\mathrm{d}s = 0) à l'équilibre hydrostatique (\mathrm{d}p = -\rho g\,\mathrm{d}z), l'identité thermodynamique appliquée au mélange diphasique à l'équilibre s'écrit :

ce qui assure, comme à la question Q15, la conservation de l'enthalpie généralisée :

D'après le résultat de la question Q22 (équation 10) :

En différentiant cette relation par rapport à l'altitude z, et en considérant L constant en première approximation (comme établi à la question Q4) :

On en déduit l'expression de la dérivée verticale de température :

soit, pour le gradient thermique défini positivement :

D'après la relation obtenue à la question Q23, le gradient thermique saturé s'écrit :

Lorsqu'une parcelle d'air saturé s'élève (\mathrm{d}z > 0), la baisse de pression entraîne une détente qui la refroidit, ce qui diminue la pression de vapeur saturante e_s(T) (loi de Clapeyron, question Q5). Une partie de la vapeur d'eau se condense alors en eau liquide sous forme de gouttelettes, si bien que la teneur en vapeur d'eau diminue au cours de l'ascension :

Comme l'enthalpie massique de vaporisation L > 0 et la capacité thermique massique de l'air sec c_p > 0, le terme correctif \frac{L}{c_p}\frac{\mathrm{d}q_v}{\mathrm{d}z} est strictement négatif. On en déduit directement :

Origine physique qualitative : Lors de l'ascension d'une parcelle d'air saturé, la condensation d'une partie de la vapeur d'eau libère de l'enthalpie de changement d'état (chaleur latente). Cet apport thermique compense partiellement le refroidissement dû à la détente adiabatique, ce qui limite la décroissance de la température avec l'altitude.

À saturation, la pression partielle de vapeur d'eau est fixée par la température : p_v = e_s(T). L'air étant assimilé à un mélange de gaz parfaits où la vapeur d'eau est très diluée (q_s \ll 1), la fraction massique à saturation s'écrit en fonction de la température T et de la pression totale p :

La grandeur q_s est donc une fonction des deux variables locales indépendantes T(z) et p(z) :

Sa différentielle totale s'écrit :

En divisant par la variation d'altitude \mathrm{d}z, on obtient :

où les dérivées partielles sont :

• \left(\frac{\partial q_s}{\partial T}\right)_{\!p} : la dérivée partielle de q_s par rapport à la température à pression totale p constante ;
• \left(\frac{\partial q_s}{\partial p}\right)_{\!T} : la dérivée partielle de q_s par rapport à la pression à température T constante.

Rappelons que la fraction massique de vapeur d'eau à saturation s'écrit au premier ordre en e_s/p \ll 1 :

Calculons les deux dérivées partielles introduites à la question Q25 :

• D'après la relation de Clausius-Clapeyron (question Q3 avec v_v \gg v_l et gaz parfait) :

  \frac{\mathrm{d}e_s}{\mathrm{d}T} = \frac{M_e L}{R T^2} e_s(T) = \frac{L}{R_v T^2} e_s(T).

  Par conséquent :

  \left(\frac{\partial q_s}{\partial T}\right)_{\!p} = \frac{R_d}{R_v p}\frac{\mathrm{d}e_s}{\mathrm{d}T} = \frac{R_d}{R_v p} \frac{L e_s}{R_v T^2} = \frac{L q_s}{R_v T^2}.

• Par dérivation par rapport à la pression à température fixée :

  \left(\frac{\partial q_s}{\partial p}\right)_{\!T} = -\frac{R_d}{R_v}\frac{e_s(T)}{p^2} = -\frac{q_s}{p}.

D'autre part, l'atmosphère est à l'équilibre hydrostatique, et pour un air humide très dilué (q_s \ll 1), la masse volumique totale est très proche de celle de l'air sec :

En injectant ces trois relations dans la dérivée totale établie en Q25 :

Les termes en p se simplifient dans le second terme, ce qui conduit directement à :

D'après la question Q23, pour une atmosphère isentropique saturée où q_v = q_s, la conservation de l'enthalpie généralisée massique conduit à :

Par définition du gradient thermique saturé (équation 11 de la question Q24), on pose \Gamma_s = -\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right|_s, soit \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\Gamma_s.

En substituant cette égalité dans l'expression de \frac{\mathrm{d}q_s}{\mathrm{d}z} établie à la question Q26 (équation 13) :

En reportant cette relation dans celle du gradient thermique :

En regroupant tous les termes en \Gamma_s dans le membre de gauche :

On en déduit immédiatement l'expression demandée :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données par l'énoncé :

• R_v = 462\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• R_d = 287\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• c_p = 1,006 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• L(273\text{ K}) = 2,44 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• T = 288\text{ K}.

Le rapport demandé s'écrit :

Soit, avec un chiffre significatif :

Ce rapport correspond précisément au quotient des deux termes correctifs dépendant de q_s intervenant respectivement au numérateur et au dénominateur de l'équation (14) :

Le terme correctif du dénominateur est donc environ 5 fois plus grand que celui du numérateur :

Puisque la fraction massique saturante q_s(T) croît très rapidement (exponentiellement) avec la température d'après la loi de Clausius-Clapeyron, c'est le terme \dfrac{L^2 q_s}{c_p R_v T^2} au dénominateur qui domine largement les variations et qui est responsable de la diminution de \Gamma_s lorsque la température augmente.

À pression p fixée, lorsque la température T augmente, la pression de vapeur saturante e_s(T) croît très rapidement (croissance exponentielle d'après la relation de Clausius-Clapeyron établie à la question Q5). Il en découle que la fraction massique d'eau à saturation :

est une fonction fortement croissante de T.

Or, d'après le résultat de la question Q28, le terme correctif du dénominateur est relié à celui du numérateur par :

Le dénominateur de l'expression (14) augmente donc environ cinq fois plus vite avec q_s que le numérateur. Par conséquent, le quotient :

diminue lorsque T augmente. Le gradient thermique saturé \Gamma_s est donc une fonction décroissante de la température à pression donnée.

Ce comportement est bien visible sur la figure 7 : à une pression fixée de 1000\text{ hPa}, \Gamma_s passe de 9\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} pour T \approx 250\text{ K} à moins de 4\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} pour T \approx 315\text{ K}.

Basses températures : Lorsque la température devient très faible (T \to 0), la pression de vapeur saturante tend vers zéro (e_s(T) \to 0), et donc :

Les termes en q_s au numérateur et au dénominateur deviennent négligeables devant 1, ce qui conduit à :

On retrouve le gradient thermique adiabatique sec \Gamma_d déterminé à la question Q16. Sur la figure 7, pour T \le 240\text{ K}, \Gamma_s est en effet très proche de 9,8\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} (isovaleurs tendant vers 10).

Dans la partie 4.4 (question Q19), le déplacement vertical infinitésimal \mathrm{d}z > 0 d'une parcelle d'air sec s'effectue de manière isentropique, de sorte que sa température varie selon :

L'atmosphère environnante présente quant à elle une variation de température :

Pour que le profil soit stable, la force d'Archimède nette doit être un rappel vers la position d'équilibre, ce qui exige que la parcelle déplacée vers le haut soit plus froide (donc plus dense à même pression) que le milieu environnant : T_p < T_{\text{env}}, soit -\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} < \Gamma_d.

Pour une atmosphère saturée en eau, la transformation isentropique de la parcelle s'accompagne d'une libération de chaleur latente par condensation de la vapeur d'eau. La température de la parcelle suit alors le gradient thermique saturé \Gamma_s :

Par stricte analogie, la condition de rappel (T_p < T_{\text{env}} pour \mathrm{d}z > 0) conduit au critère de stabilité :

D'après la figure 4a (et la question Q16), le gradient thermique moyen dans la troposphère (0 \le z \le 11\text{ km}) pour l'atmosphère standard vaut :

Sur la figure 7, pour les conditions de la troposphère :

• au niveau de la surface (p \approx 1000\text{ hPa}, T \approx 288\text{ K}), on lit \Gamma_s \approx 5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} ;
• en moyenne troposphère (p \approx 500\text{ hPa}, T \approx 250\text{ K}), on lit \Gamma_s \approx 7\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}.

En moyenne sur la troposphère, le gradient thermique saturé est donc de l'ordre de \Gamma_s \approx 6\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}, ce qui est très proche de \Gamma_{\text{std}}.

Commentaires :

1. Rôle de l'humidité et de la convection : La valeur observée \Gamma_{\text{std}} est nettement inférieure au gradient adiabatique sec \Gamma_d \approx 10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} et coïncide très bien avec la valeur moyenne de \Gamma_s. Cela confirme que le profil thermique de la troposphère est régie par la convection humide : la libération de chaleur latente de condensation réchauffe les parcelles ascendantes et adoucit la décroissance de température avec l'altitude.
2. Instabilité conditionnelle : On a la hiérarchie \Gamma_s \lesssim \Gamma_{\text{std}} < \Gamma_d. L'atmosphère standard est donc stable pour de l'air sec, mais se trouve à la limite de l'instabilité (ou instable) pour de l'air saturé en humidité : c'est le régime d'instabilité conditionnelle, propice au déclenchement de mouvements convectifs verticaux (orages, cumulonimbus) dès qu'il y a saturation.

D'après l'équation (5) de la partie 1.4, la loi de déplacement de Wien relie la température T du corps noir à la longueur d'onde \lambda_m d'émission maximale :

Pour la surface terrestre à la température moyenne T_0 = 288\text{ K} (précisée dans l'introduction de la partie 5.1), on obtient :

Soit, avec le nombre de chiffres significatifs requis :

D'après les données de la partie 1.4, 98\,\% de l'énergie rayonnée par un corps noir (ce qui constitue l'essentiel de l'énergie) est concentré dans l'intervalle [0,5\,\lambda_m \,;\, 8\,\lambda_m]. Les bornes de ce domaine sont donc :

L'essentiel de l'énergie est donc émis dans le domaine :

D'après la figure 8 représentant le spectre d'irradiance solaire en haut de l'atmosphère :

• Le maximum d'émission solaire est situé à \lambda_{m,\odot} \approx 500\text{ nm} = 0{,}5\text{ }\mu\text{m}, au cœur du domaine visible. D'après la loi de Wien, cela correspond à une température d'émission de surface du Soleil :

  T_{\odot} = \frac{2{,}898 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}}{0{,}5 \times 10^{-6}\text{ m}} \approx 6 \times 10^3\text{ K}.
• L'essentiel de l'énergie solaire est émis entre environ 250\text{ nm} (0{,}25\text{ }\mu\text{m}, UV) et 2500\text{ nm} (2{,}5\text{ }\mu\text{m}, proche infrarouge).

En comparaison avec le rayonnement terrestre étudié en Q32 :

• Le maximum d'émission terrestre se situe à \lambda_{m,\oplus} \approx 10\text{ }\mu\text{m}, soit une longueur d'onde environ 20 fois plus grande que celle du Soleil, ce qui s'explique directement par le rapport des températures :

  \frac{\lambda_{m,\oplus}}{\lambda_{m,\odot}} = \frac{T_{\odot}}{T_0} \approx \frac{6000\text{ K}}{288\text{ K}} \approx 20.
• Le domaine d'émission terrestre s'étend typiquement de 5\text{ }\mu\text{m} à 80\text{ }\mu\text{m} (infrarouge thermique ou lointain).

Commentaires physiques :

Le rayonnement solaire entrant est concentré dans les courtes longueurs d'onde (\lambda < 4\text{ }\mu\text{m}, « ondes courtes »), tandis que le rayonnement thermique réémis par la Terre l'est dans les grandes longueurs d'onde (\lambda > 5\text{ }\mu\text{m}, noté avec l'indice L pour longwave dans la suite). Cette séparation spectrale est la condition nécessaire de l'effet de serre : l'atmosphère est en grande partie transparente au flux solaire incident mais fortement absorbante pour le rayonnement infrarouge terrestre émis par la surface.

Une expression similaire de la puissance absorbée par une tranche d'épaisseur infinitésimale \mathrm{d}z, proportionnelle à l'intensité incidente I_\lambda, à l'épaisseur traversée \mathrm{d}z et à la densité du milieu absorbant, se rencontre principalement dans la loi de Beer-Lambert en spectrophotométrie (ou optique des milieux absorbants).

Dans ce cadre, la diminution élémentaire d'intensité lumineuse d'un faisceau monochromatique traversant une épaisseur \mathrm{d}z d'une solution contenant une espèce absorbante à la concentration massique \rho (ou molaire C) s'écrit :

ce qui conduit, après intégration en milieu homogène, à la décroissance exponentielle usuelle :

où le produit k_\lambda \rho joue le rôle de coefficient d'atténuation linéique.

On rencontre également ce formalisme :

• en physique nucléaire et radioprotection pour l'atténuation de faisceaux de photons énergétiques (rayons X et \gamma) dans la matière, où k_\lambda correspond au coefficient d'atténuation massique \mu/\rho ;
• en océanographie optique pour l'extinction exponentielle du flux solaire dans l'eau en fonction de la profondeur.

Considérons le rayonnement se propageant selon +\vec{e}_z à travers la tranche d'atmosphère comprise entre z et z+\mathrm{d}z. Le bilan de flux énergétique s'écrit :

D'après l'énoncé :

• l'énergie absorbée par la tranche est \delta I_{\lambda,\mathrm{abs}} = I_\lambda k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z ;
• l'énergie émise par la tranche dans la direction \vec{e}_z est \delta I_{\lambda,\text{émis}} = A_\lambda k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z.

La variation du flux énergétique le long de la verticale s'exprime donc par :

La variable d'épaisseur optique \tau_\lambda étant définie par \mathrm{d}\tau_\lambda = - k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z, on a k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z = -\mathrm{d}\tau_\lambda. Il vient alors :

On obtient ainsi l'équation de transfert radiatif :

où A_\lambda = \frac{B_\lambda}{\pi} d'après la partie 1.4.

Les rayons composant le flux hémisphérique se propagent selon des directions inclinées d'un angle \theta par rapport à la verticale, parcourant ainsi une distance oblique \mathrm{d}s = \mathrm{d}z/\cos\theta > \mathrm{d}z supérieure à l'épaisseur verticale de la tranche atmosphérique. Le trajet optique moyen étant allongé par rapport au trajet purement vertical, l'atténuation effective du flux diffus est amplifiée par ce facteur géométrique moyen \zeta = \langle 1/\cos\theta \rangle > 1 (appelé facteur de diffusivité).

La coordonnée optique \tau_\lambda (définie par \mathrm{d}\tau_\lambda = - \kappa_\lambda \rho\,\mathrm{d}z) est orientée vers le bas : elle est nulle au sommet de l'atmosphère et croît vers la surface terrestre.

• Le flux énergétique hémisphérique ascendant U_\lambda se propage vers le haut (selon +\vec{e}_z), c'est-à-dire dans le sens des \tau_\lambda décroissants. Son équation de transfert (16) s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}U_\lambda}{\mathrm{d}\tau_\lambda} = U_\lambda - B_\lambda.
• Le flux énergétique hémisphérique descendant D_\lambda est orienté vers le bas (selon -\vec{e}_z, dans le sens des \tau_\lambda croissants). Au cours de sa propagation vers le sol (\mathrm{d}\tau_\lambda > 0), il subit l'absorption par la couche atmosphérique traversée (terme d'extinction proportionnel à -D_\lambda) et s'enrichit de l'émission thermique locale émise vers le bas (terme de source +B_\lambda).

Par inversion de la direction de propagation par rapport à la coordonnée \tau_\lambda, on en déduit directement l'équation pour D_\lambda (ou avec la notation simplifiée \tau) :

ou, sous une forme similaire à l'équation (16) faisant apparaître le signe opposé :

D'après l'équation (16) de l'énoncé et le résultat de la question Q37, les flux monochromatiques montant U_\lambda et descendant D_\lambda vérifient :

Puisque la profondeur optique \tau est supposée indépendante de la longueur d'onde \lambda dans le domaine infrarouge, l'opérateur de dérivation par rapport à \tau commute avec l'intégration sur les longueurs d'onde. En intégrant ces équations pour \lambda \ge 5\,\mu\mathrm{m}, avec les notations :

on obtient :

D'après la question Q32, pour les températures terrestres (T \approx 288\text{ K}), on a \lambda_m \approx 10\,\mu\mathrm{m} et seulement 1\,\% du flux d'un corps noir est émis pour \lambda < 0{,}5\,\lambda_m = 5\,\mu\mathrm{m}. On peut donc assimiler le flux infrarouge B_L au flux hémisphérique total émis B = \sigma T^4 :

En soustrayant membre à membre les deux équations de transfert, on établit l'égalité demandée :

En additionnant membre à membre ces deux mêmes équations, les termes d'émission en B s'annulent :

Considérons une tranche horizontale d'atmosphère de surface S, comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z.

Le rayonnement montant apporte à travers la face inférieure en z une puissance S U_L(z) et quitte la tranche par la face supérieure en z + \mathrm{d}z avec une puissance S U_L(z + \mathrm{d}z). De même, le rayonnement descendant apporte à travers la face supérieure en z + \mathrm{d}z une puissance S D_L(z + \mathrm{d}z) et en ressort par la face inférieure avec une puissance S D_L(z).

La puissance thermique nette absorbée par cette tranche d'air s'écrit :

En l'absence de convection (hypothèse de la partie 5.2), l'équation de conservation de l'énergie pour la tranche d'air de masse volumique \rho et de capacité thermique c_p s'écrit :

L'hypothèse d'équilibre radiatif local stipule qu'il n'y a ni échauffement ni refroidissement de la tranche d'air (\partial T / \partial t = 0). On en déduit immédiatement :

Le flux descendant D_L(\tau = 0) représente le flux radiatif dans le domaine infrarouge thermique (\lambda \ge 5\ \mu\text{m}) entrant au sommet de l'atmosphère (\tau = 0).

Ce flux provient exclusivement de l'espace extérieur :

• le milieu spatial extranaturel est assimilable à un réservoir à la température du fond diffus cosmologique (T \approx 2{,}7\text{ K}), dont le rayonnement thermique dans cette bande spectrale est strictement négligeable ;
• le rayonnement solaire incident, représenté sur la figure 8, est concentré dans les domaines ultraviolet, visible et proche infrarouge. La radiance solaire décroît rapidement au-delà de 1\ \mu\text{m} et devient quasi nulle à \lambda = 2{,}5\ \mu\text{m}. Pour le domaine infrarouge considéré ici (\lambda \ge 5\ \mu\text{m}), le flux solaire incident est donc négligeable.

On en déduit que le flux infrarouge incident au sommet de l'atmosphère est nul :

D'après l'équation (18) établie à la question Q38 :

En dérivant cette relation par rapport à \tau :

Comme la variable \tau est reliée à l'altitude z par \mathrm{d}\tau = -k_L \rho\,\mathrm{d}z, l'hypothèse d'équilibre radiatif local (question Q39), qui impose \frac{\mathrm{d}(U_L - D_L)}{\mathrm{d}z} = 0, implique directement :

On en déduit l'égalité demandée :

Par conséquent, le flux net U_L - D_L est constant dans toute l'atmosphère. En utilisant les conditions au sommet de l'atmosphère (\tau = 0) établies à la question Q40, où U_L(0) = U_{Lt} et D_L(0) = 0 :

L'équation (18) devient alors :

En intégrant entre 0 et \tau :

Comme (U_L + D_L)(0) = U_{Lt} + 0 = U_{Lt}, il vient :

En sommant et en soustrayant les deux relations précédentes :

Enfin, l'équation (17) à l'équilibre radiatif local (\frac{\mathrm{d}(U_L - D_L)}{\mathrm{d}\tau} = 0) donne 2B = U_L + D_L. On obtient finalement :

D'après la définition introduite en partie 5.2, la profondeur optique effective \tau(z) (en intégrant le facteur de diffusivité \zeta) s'écrit, pour une tranche comprise entre l'altitude z et le sommet de l'atmosphère où \tau \to 0 :

où \rho(z) est la masse volumique du (ou des) gaz à effet de serre absorbant dans l'infrarouge.

Dépendance exponentielle : Si le profil de masse volumique de l'absorbant décroît exponentiellement selon \rho(z) = \rho(0)\exp(-z/H_a), l'intégration donne immédiatement :

La profondeur optique \tau(z) hérite donc exactement de la forme exponentielle et de la hauteur d'échelle du profil de densité du gaz absorbant.

Ordre de grandeur de H_a = 2\text{ km} : D'après le tableau 2, l'eau est le principal gaz à effet de serre (contribution de 60\,\%). Contrairement aux gaz non condensables bien mélangés (comme le diazote ou le dioxyde de carbone dont la hauteur d'échelle est H \approx 8\text{ km}, questions Q9 à Q11), la vapeur d'eau est un gaz condensable :

• La température décroît avec l'altitude dans la troposphère (\Gamma \approx 6,5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} d'après la figure 4a).
• La pression de vapeur saturante e_s(T) diminue extrêmement vite avec l'altitude selon la loi de Clausius-Clapeyron (question Q5), ce qui provoque la condensation de l'eau et limite drastiquement sa concentration en altitude.

La vapeur d'eau est donc fortement confinée dans les basses couches de la troposphère.

Sur la figure 4d, on lit que la masse volumique de vapeur d'eau vaut environ 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} au sol (z = 0) et chute à environ 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} à l'altitude z \approx 4\text{ km}. La hauteur d'échelle effective associée est donc :

ce qui justifie parfaitement la valeur retenue :