Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2025 (page 2/3 : Partie I (questions 14 à 26))

On étudie le mouvement de l'électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge -e, dans le référentiel galiléen lié au noyau situé en O.

L'électron est soumis à deux forces électrostatiques :

• la force due au champ du laser :

  \vec{F}_{\text{laser}}(t) = -e \vec{E}(t) = e E_0 \sin(\omega t) \, \vec{e}_x

• la force coulombienne attractive exercée par le noyau, toujours dirigée vers l'origine O :

  \vec{F}_{\text{noyau}} = -\frac{q^2}{x^2}\operatorname{sgn}(x) \, \vec{e}_x = \begin{cases} -\dfrac{q^2}{x^2} \, \vec{e}_x & \text{si } x > 0 \\[8pt] +\dfrac{q^2}{x^2} \, \vec{e}_x & \text{si } x < 0 \end{cases}

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Ox :

On obtient donc les deux équations différentielles suivantes :

• Pour x(t) > 0 :

  \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{q^2}{x^2} = e E_0 \sin(\omega t)}

• Pour x(t) < 0 :

  \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} - \frac{q^2}{x^2} = e E_0 \sin(\omega t)}

D'après la question 14, l'équation différentielle régissant le mouvement de l'électron s'écrit de façon condensée :

où la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau est une fonction impaire de la position x.

Soit x(t) la solution T-périodique du mouvement forcé (avec T = 2\pi/\omega). Évaluons l'équation du mouvement à l'instant t + \frac{T}{2} :

En multipliant l'ensemble de cette équation par -1, on obtient :

Considérons la fonction y(t) = -x\left(t + \frac{T}{2}\right). Ses dérivées temporelles vérifient \ddot{y}(t) = -\ddot{x}\left(t + \frac{T}{2}\right), et par imparité de la force coulombienne :

La fonction y(t) satisfait donc exactement la même équation différentielle que x(t) :

Étant de plus T-périodique, l'unicité de la réponse forcée périodique impose que y(t) = x(t), d'où :

La fonction x(t) étant T-périodique, elle admet un développement en série de Fourier sous forme complexe :

où \omega = \dfrac{2\pi}{T}. En appliquant la condition établie à la question 15, x\!\left(t + \dfrac{T}{2}\right) = -x(t), et sachant que \omega \dfrac{T}{2} = \pi, on a :

L'égalité x\!\left(t + \dfrac{T}{2}\right) = -x(t) impose donc, par unicité des coefficients de Fourier :

• Si n est pair (en incluant la valeur moyenne n = 0), 1 + (-1)^n = 2, ce qui impose c_n = 0.
• Si n est impair, 1 + (-1)^n = 0, le coefficient c_n peut être non nul.

D'après l'équation du mouvement établie à la question 14, en négligeant la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron selon l'axe Ox s'écrit :

soit pour l'accélération :

Une première intégration par rapport au temps donne la vitesse :

où v_0 est une constante d'intégration homogène à une vitesse.

Une seconde intégration par rapport au temps fournit la position générale :

où x_0 est une seconde constante d'intégration homogène à une position.

La solution générale de l'équation du mouvement est donc :

D'après la question Q17, la vitesse générale d'un électron libre soumis au champ électrique \vec{E}(t) = -E_0\sin(\omega t)\,\vec{e}_x s'écrit :

Pour que le mouvement x(t) soit purement périodique (régime sinusoïdal forcé sans vitesse de dérive moyenne), la constante d'intégration doit être nulle :

La vitesse de l'électron se réduit alors à :

L'énergie cinétique instantanée s'en déduit :

L'énergie cinétique moyenne U_P est obtenue par moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. Sachant que \langle\cos^2(\omega t)\rangle = \frac{1}{2}, on obtient :

L'équation différentielle du mouvement de l'électron libre soumis uniquement au champ électrique du laser s'écrit :

avec les conditions initiales en t = t_i :

Une première intégration par rapport au temps donne :

La condition \dot{x}(t_i) = 0 fixe la constante d'intégration :

d'où la vitesse de l'électron pour t \ge t_i :

Une seconde intégration donne :

La condition x(t_i) = 0 impose C_2 = \frac{e E_0}{m\omega^2}\sin(\omega t_i), ce qui conduit finalement à :

D'après la question Q19, la position de l'électron s'écrit, en notant x_0 = \dfrac{e E_0}{m\omega^2} et u = \dfrac{t}{T} (soit \omega t = 2\pi u) :

Étudions les trois cas demandés :

• Pour t_i = 0 (u_i = 0) : \sin(0) = 0 et \cos(0) = 1, d'où :

  \frac{x(t)}{x_0} = 2\pi u - \sin(2\pi u)

  La vitesse \dot{x}(t) \propto 1 - \cos(2\pi u) \ge 0 est toujours positive ou nulle. Le mouvement est une dérive moyenne uniforme vers les x > 0 superposée à une oscillation. Pour u \in [0 \,;\, 1{,}5], la trajectoire part de l'origine avec une tangente horizontale et croît continûment sans jamais revenir en x = 0 (x/x_0 = 3\pi \approx 9{,}4 en u = 1{,}5).

• Pour t_i = T/4 (u_i = 0{,}25) : \sin(\pi/2) = 1 et \cos(\pi/2) = 0, d'où :

  \frac{x(t)}{x_0} = 1 - \sin(2\pi u)

  La vitesse de dérive moyenne est nulle : le mouvement est purement oscillatoire entre 0 et 2x_0. L'électron part de x=0 à u=0{,}25, atteint son maximum 2x_0 en u=0{,}75, puis revient tangentiellement à l'origine en u = 1{,}25 (t = 5T/4).

• Pour t_i = T/2 (u_i = 0{,}5) : \sin(\pi) = 0 et \cos(\pi) = -1, d'où :

  \frac{x(t)}{x_0} = -2\pi(u - 0{,}5) - \sin(2\pi u)

  La vitesse \dot{x}(t) \propto -1 - \cos(2\pi u) \le 0 est toujours négative ou nulle. L'électron dérive vers les x < 0 et ne revient jamais à l'origine (x/x_0 = -2\pi \approx -6{,}3 en u = 1{,}5).

D'après la question Q19, la position de l'électron libéré en x(t_i) = 0 à la date t_i sans vitesse initiale s'écrit, pour tout t \ge t_i :

Par définition, l'instant de retour t_r > t_i correspond au retour de l'électron à sa position initiale en x=0, soit x(t_r) = 0. Comme \frac{e E_0}{m\omega^2} \neq 0, cela conduit directement à :

ou, sous forme équivalente :

Lors de la recombinaison de l'électron avec l'ion parent en t = t_r, la conservation de l'énergie impose que l'énergie totale libérée par le système soit intégralement cédée au photon émis.

D'après l'énoncé, l'énergie du photon émis, notée E_{\text{ph}}, vaut :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon est reliée à la pulsation \Omega de l'onde électromagnétique associée par :

On en déduit l'expression de la pulsation de l'onde émise :

L'énergie cinétique de l'électron au moment de son retour en x=0 (t = t_r) s'écrit :

Elle est donc directement proportionnelle au carré de la pente (en valeur absolue) de la courbe x(t) à l'instant d'intersection avec l'axe des abscisses x=0.

• Énergie cinétique maximale : Au point de retour, la pente en valeur absolue est la plus grande pour la courbe en trait plein, correspondant à :

  \boxed{t_i = 0{,}30\,T}

  (le retour s'effectue vers t_r \approx 0{,}95\,T).

• Énergie cinétique minimale : La pente en valeur absolue est la plus faible pour la courbe en tirets, où la trajectoire s'aplatit au voisinage de son retour vers t_r \approx 1{,}22\,T, correspondant à :

  \boxed{t_i = 0{,}26\,T}

D'après le résultat de la question Q19, la vitesse de l'électron à l'instant de retour t_r au noyau s'écrit :

L'énergie cinétique de l'électron à cet instant est donc :

Or, d'après la question Q18, l'énergie pondéromotrice vaut U_P = \dfrac{(e E_0)^2}{4 m \omega^2}, d'où \dfrac{(e E_0)^2}{2 m \omega^2} = 2 U_P. On obtient ainsi :

D'après l'analyse de la figure 1 et la formule établie à la question 24 :

avec la condition de retour \sin(\omega t_r) - \sin(\omega t_i) = \omega(t_r - t_i)\cos(\omega t_i) (question 21) :

• Borne inférieure (E_c = 0) : pour un départ en t_i = 0{,}50\,T = T/2, l'électron subit une force qui le ramène immédiatement vers l'origine lors de la seconde demi-période, d'où un retour quasi-instantané t_r \to 0{,}50\,T avec une vitesse nulle, soit \dfrac{E_c}{U_P} = 0.

• Point t_i = 0{,}40\,T : la figure 1 montre que la courbe s'annule en t_r \approx 0{,}70\,T. Avec \omega t_i = 0{,}8\pi et \omega t_r = 1{,}4\pi, on obtient :

  \frac{E_c}{U_P} = 2\left[\cos(1{,}4\pi) - \cos(0{,}8\pi)\right]^2 \approx 0{,}5

• Point t_i = 0{,}35\,T : la figure 1 donne un retour en t_r \approx 0{,}80\,T. Avec \omega t_i = 0{,}7\pi et \omega t_r = 1{,}6\pi, on a :

  \frac{E_c}{U_P} = 2\left[\cos(1{,}6\pi) - \cos(0{,}7\pi)\right]^2 \approx 1{,}6

• Maximum (E_c \approx 3{,}17\,U_P) : pour t_i \approx 0{,}30\,T, le retour a lieu en t_r \approx 0{,}95\,T. On calcule :

  \frac{E_c}{U_P} = 2\left[\cos(1{,}9\pi) - \cos(0{,}6\pi)\right]^2 \approx 3{,}17

  ce qui correspond parfaitement au sommet de la figure 2.

• Point t_i = 0{,}26\,T : la figure 1 donne un retour plus tardif, en t_r \approx 1{,}15\,T, avec :

  \frac{E_c}{U_P} \approx 0{,}6
• Borne supérieure (E_c = 0) : lorsque t_i \to 0{,}25\,T = T/4, \cos(\omega t_i) = 0, l'équation de retour impose \sin(\omega t_r) = 1, d'où t_r \to 1{,}25\,T, avec \cos(\omega t_r) = 0 et donc \dfrac{E_c}{U_P} \to 0.

On reproduit ainsi l'allure de la courbe en y reportant les valeurs correspondantes de t_i :

1. Interprétation de l'allure du spectre (figure 3)

Le spectre d'intensité présente plusieurs caractéristiques remarquables :

• Pics discrets impairs : seuls les ordres harmoniques impairs (q = 3, 5, \dots, 31) sont présents, en accord avec l'invariance par demi-période démontrée à la question 16 (x(t+T/2) = -x(t)).

• Allure globale en trois régimes :

  • une décroissance initiale rapide aux tout premiers ordres (q \le 7), correspondant au régime d'optique non linéaire perturbative ;
  • un plateau d'ordres d'harmoniques (7 \lesssim q \lesssim 29) où l'intensité reste sensiblement du même ordre de grandeur ;
  • une coupure (cutoff) abrupte au-delà de q \approx 31, où l'intensité chute de plusieurs ordres de grandeur.

2. Vérification de la condition de la question 3

À la question 3, il a été établi que les harmoniques de période inférieure à la période atomique T_e devaient vérifier n \ge n_{\min} = 18.

Le plateau s'étend ici jusqu'à des ordres q \approx 31 > 18 : la condition T_n < T_e est donc parfaitement vérifiée pour une large plage d'harmoniques du plateau (19 \le q \le 31).

3. Expression du rang maximal n_{\max}

D'après la question 22, un photon émis lors de la recombinaison possède une énergie :

Pour une harmonique de rang n, la pulsation vaut \Omega = n\omega, de sorte que :

Le rang maximal n_{\max} correspond à l'énergie cinétique maximale de retour E_{c,\max}. D'après la figure 2 (question 25), le maximum vaut E_{c,\max} \approx 3{,}17\,U_P (ou \approx 3{,}2\,U_P). On en déduit :