Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2025 (page 3/3 : Parties II et III)

L'onde lumineuse est une superposition d'harmoniques de pulsations q\omega. En représentation complexe, le champ scalaire associé s'écrit :

La puissance instantanée I(t) (intensité lumineuse) est proportionnelle au carré du module du champ complexe :

En développant le produit des deux sommes, à une constante multiplicative globale près (qu'on peut poser égale à 1) :

I(t) étant une grandeur réelle, on peut regrouper les termes deux à deux (ou prendre la partie réelle) :

ce qui peut également s'écrire sous la forme :

Dépendance vis-à-vis des phases :

• Mathématiquement, le calcul de |\underline{E}(t)|^2 = \underline{E}(t)\underline{E}^*(t) fait intervenir le produit d'un terme en \mathrm{e}^{i\varphi_q} par un terme en \mathrm{e}^{-i\varphi_{q'}}, de sorte que les phases n'apparaissent que sous la forme du déphasage relatif \varphi_q - \varphi_{q'}.
• Physiquement, I(t) résulte de l'interférence entre les différentes composantes spectrales. L'interférence entre l'harmonique q et l'harmonique q' ne dépend que de leur déphasage relatif \varphi_q - \varphi_{q'}. Une translation globale de toutes les phases d'une même constante \phi_0 (\underline{E} \to \underline{E}\,\mathrm{e}^{i\phi_0}) laisse le module au carré |\underline{E}(t)|^2 invariant.

Toutes les amplitudes étant égales à A_q = A et toutes les phases étant identiques à \varphi_q = \varphi, le champ complexe s'écrit :

Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison \mathrm{e}^{i\omega t} \neq 1 (pour \omega t \not\equiv 0 \pmod{2\pi}) :

Le champ complexe s'exprime donc sous la forme :

La puissance instantanée I(t) \propto |\underline{E}(t)|^2 vaut alors :

où I_1 \propto A^2 est l'intensité due à une harmonique isolée.

1. Périodicité et espacement des pics : Lorsque t varie de T = \frac{2\pi}{\omega}, la quantité \frac{\omega t}{2} varie de \pi et \frac{N\omega t}{2} varie de N\pi. Par conséquent :

La fonction I(t) est donc strictement périodique de période :

Les maxima principaux ont lieu lorsque le dénominateur s'annule, c'est-à-dire pour \frac{\omega t}{2} = p\pi, soit :

À ces instants, par équivalent usuel \sin(u) \sim u, la valeur maximale vaut :

Les pics sont donc espacés de la période T du laser fondamental.

2. Demi-largeur des pics : Au voisinage du pic situé en t = 0, pour t \ll T :

Le premier zéro de part et d'autre du maximum correspond à une annulation du numérateur sans que le dénominateur ne s'annule :

La demi-largeur au premier zéro (distance temporelle séparant le centre du pic de son premier minimum) est donc :

Comme N \gg 1, on a \Delta t \ll T : les pics de puissance sont extrêmement étroits devant leur période de répétition T.

Puisque les amplitudes sont identiques (A_q = A) et que les phases \varphi_q forment une progression arithmétique, il existe une constante \varphi_0 et une raison \Delta\varphi (telle que \Delta\varphi = \varphi_{q+1} - \varphi_q) vérifiant :

L'expression de la phase associée à l'harmonique q devient alors :

Le champ électrique scalaire complexe s'écrit donc :

Ainsi, à un facteur de phase globale \mathrm{e}^{i\varphi_0} près (qui n'affecte pas l'intensité), le champ à l'instant t est identique au champ \underline{E}_0 sans déphasage relatif calculé à l'instant décalé t - t_0 :

La puissance instantanée I(t) \propto |\underline{E}(t)|^2 vaut par conséquent :

où I_0(t) est le profil temporel obtenu à la question Q28.

Les pics d'intensité, initialement situés aux instants t_p = p\,T (p \in \mathbb{Z}), sont tous décalés de la même quantité temporelle :

La forme globale du train d'impulsions (forme et largeur des pics) est rigoureusement conservée, seule leur position temporelle est translatée.

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon associé à une onde de pulsation \omega_q et de fréquence \nu_q est donnée par :

Pour l'harmonique de rang q, la fréquence est un multiple entier de celle du laser incident, soit \nu_q = q\nu et \omega_q = q\omega. On en déduit l'expression de l'énergie du photon :

À l'aide des formules d'Euler, exprimons les amplitudes réelles sous forme de combinaisons d'exponentielles complexes :

Développons le produit A_p(t) A_s(t). Les pulsations temporelles résultantes sont de la forme (\pm q \pm 1)\omega et (\pm (q+2) \pm 1)\omega.

Parmi ces termes, ceux qui oscillent à la pulsation positive (q+1)\omega, soit en \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}, proviennent exclusivement de deux contributions :

• le produit de \mathrm{e}^{i(q\omega t + \varphi_q)} et de \mathrm{e}^{i(\omega t + \omega\tau)} :

  \frac{1}{4} \mathrm{e}^{i(\varphi_q + \omega\tau)} \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}

• le produit de \mathrm{e}^{i((q+2)\omega t + \varphi_{q+2})} et de \mathrm{e}^{-i(\omega t + \omega\tau)} :

  \frac{1}{4} \mathrm{e}^{i(\varphi_{q+2} - \omega\tau)} \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}

En sommant ces deux termes, la composante proportionnelle à \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t} dans le produit A_p(t)A_s(t) s'écrit :

D'après le résultat de la question Q31, l'amplitude complexe associée à l'éjection d'un électron d'énergie E_{q+1}-I_P s'écrit :

La probabilité de transition \mathcal{P}(\tau) est proportionnelle au module au carré de cette amplitude de probabilité :

En introduisant le déphasage \Delta\varphi_q = \varphi_{q+2} - \varphi_q et une constante de proportionnalité \mathcal{P}_0, on obtient :

Origine du terme « interférence de transitions à deux photons » :
L'état final de l'électron (d'énergie cinétique E_{q+1} - I_P) peut être atteint par deux voies quantiques distinctes et indistinguables mettant chacune en jeu deux photons :

• l'absorption d'un photon harmonique d'énergie E_q = q\hbar\omega suivie de l'absorption d'un photon sonde d'énergie \hbar\omega (E_q + \hbar\omega = E_{q+1}) ;
• l'absorption d'un photon harmonique d'énergie E_{q+2} = (q+2)\hbar\omega suivie de l'émission stimulée d'un photon sonde d'énergie \hbar\omega (E_{q+2} - \hbar\omega = E_{q+1}).

Comme ces deux processus mènent au même état quantique final sans que l'on puisse déterminer la voie empruntée, leurs amplitudes de probabilité s'additionnent de manière cohérente, donnant lieu à des interférences quantiques constructives ou destructives selon le retard \tau.

Intervalle entre deux maximums de probabilité :
La fonction \cos(2\omega\tau - \Delta\varphi_q) est périodique en retard \tau, de pulsation 2\omega. L'intervalle séparant deux maximums successifs est donc :

1. Commentaire de la figure 4 selon la parité de q :

• Pour q impair : ces signaux correspondent à l'ionisation directe par absorption d'un seul photon du faisceau d'harmoniques d'énergie E_q = q\hbar\omega (seules les harmoniques impaires sont produites, d'après les questions 16 et 26). Ce processus n'implique pas le faisceau sonde : le nombre de photoélectrons éjectés est donc indépendant du retard \tau, ce qui se traduit par des bandes horizontales d'intensité continue.
• Pour q pair : ces signaux (appelés « bandes latérales » ou sidebands) proviennent d'une transition à deux photons faisant intervenir le faisceau sonde (absorption d'un photon d'harmonique q-1 et absorption d'un photon sonde \omega, ou absorption d'un photon d'harmonique q+1 et émission stimulée d'un photon sonde \omega). Conformément aux questions 31 et 32, l'interférence entre ces deux chemins quantiques produit une probabilité d'ionisation oscillant sinusoïdalement avec le retard \tau : on observe ainsi une alternance périodique de zones sombres et claires.

2. Détermination de la période T du laser :

D'après la question 32, l'intervalle entre deux maxima successifs de probabilité pour une harmonique paire vaut :

Sur la figure 4, entre \tau = 0\text{ fs} et \tau = 10\text{ fs} (intervalle de 10\text{ fs}), on dénombre environ 7{,}5 périodes d'oscillation complètes, d'où :

On en déduit la période du laser fondamental :

Cette valeur expérimentale est en parfait accord avec le calcul théorique de la question 3 (T = \lambda/c \approx 2{,}7\text{ fs}).

D'après la question 32, la probabilité d'éjection d'un photoélectron pour une bande latérale d'ordre pair (située entre les harmoniques impaires q et q+2) varie selon :

Les maxima de signal (zones claires sur la figure 4) sont obtenus pour :

soit pour des retards :

Par conséquent, la différence de phase \Delta\varphi_q = \varphi_{q+2} - \varphi_q se traduit par un décalage temporel des oscillations :

• Si \varphi_{q+2} - \varphi_q est indépendant de q, les positions \tau_{\max} des maxima sont identiques pour tous les ordres pairs successifs.
• Sur la figure 4, cela se vérifie en observant que les maxima d'intensité (zones les plus claires pour les ordres q pairs : 18, 20, 22, 24) sont verticalement alignés à des valeurs de retard \tau identiques.

Lorsque la différence de phase \varphi_{q+2} - \varphi_q est indépendante de q, les phases des harmoniques sont en progression arithmétique. D'après le résultat de la question 29, cela induit uniquement un retard global sans affecter la durée de l'impulsion. L'impulsion est alors limitée par transformée de Fourier (harmoniques en phase au sommet de l'impulsion).

D'après la question 28, la durée (largeur à mi-hauteur ou demi-largeur) \Delta t d'un paquet d'ondes de largeur spectrale totale \Delta\omega est reliée à la période T = 2\pi/\omega du laser fondamental par la relation d'incertitude temps-fréquence :

où \Delta q = q_{\max} - q_{\min} représente la plage des ordres harmoniques contribuant de façon cohérente à l'impulsion.

Sur la figure 4, les bandes latérales et harmoniques clairement mesurées et synchronisées s'étendent de q \approx 17 à q \approx 25 (soit environ 5 harmoniques impaires), ce qui correspond à :

En utilisant la valeur de la période fondamentale obtenue à la question 3, T \approx 2{,}7\times 10^{-15}\text{ s}, on obtient pour la durée de l'impulsion :

On étudie le mouvement d'un électron, de masse m et de charge -e, dans un champ magnétique uniforme et stationnaire \vec{B} = B\,\vec{e}_z (avec B = \|\vec{B}\|), dans un référentiel galiléen de laboratoire.

La seule force agissant sur l'électron est la force magnétique de Lorentz :

Cette force ne travaille pas car \vec{F}\cdot\vec{v} = 0. Le théorème de la puissance cinétique assure donc que la norme de la vitesse est constante au cours du mouvement :

La projection du principe fondamental de la dynamique suivant l'axe de \vec{B} donne \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0, et comme v_z(0) = 0, la trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à \vec{B}.

Dans la base de Frenet (\vec{\tau}, \vec{n}) associée à la trajectoire plane, l'accélération tangentielle est nulle (\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0), de sorte que l'accélération est purement normale :

où r est le rayon de courbure de la trajectoire. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur la normale rentrante \vec{n} s'écrit :

Le rayon de courbure est donc constant, ce qui correspond à un mouvement circulaire uniforme de rayon :

Soit C le centre de la trajectoire circulaire de l'électron. Le moment cinétique de l'électron par rapport à ce centre s'écrit :

La trajectoire étant un cercle de rayon r, le vecteur position \vec{CM} et le vecteur vitesse \vec{v}_\perp sont constamment orthogonaux. La valeur absolue du moment cinétique est donc :

D'après la relation obtenue à la question 36, la vitesse s'exprime en fonction du rayon sous la forme :

En injectant cette relation dans l'expression de J, on obtient :

soit finalement :

Soit \vec{B} le champ magnétique supposé uniforme. Décomposons le vecteur vitesse initiale \vec{v} en ses composantes parallèle et perpendiculaire à \vec{B} :

L'angle entre \vec{v} et \vec{B} étant noté \theta, la norme de la composante orthogonale au champ s'écrit :

La force de Lorentz s'exprime par :

Elle est purement orthogonale à \vec{B} et ne dépend que de \vec{v}_\perp. Le mouvement dans le plan perpendiculaire au champ magnétique est donc identique à celui étudié à la question Q36 avec la vitesse v_\perp.

En remplaçant v_\perp par son expression dans le résultat de la question Q36, on obtient le rayon de la trajectoire circulaire projetée :

D'après la figure 5, les lignes de champ magnétique s'écartent les unes des autres en allant de gauche à droite : leur densité spatiale diminue.

D'après l'équation de conservation du flux magnétique (\mathrm{div}\,\vec{B} = 0), le flux à travers la section droite \mathcal{S} d'un tube de champ se conserve :

La section d'un tube de champ augmentant de gauche à droite, la norme B = \|\vec{B}\| du champ magnétique diminue en conséquence (B_f < B_i).

D'après les questions 37 et 38, le rayon cyclotronique s'écrit r = \frac{m v \sin\theta}{e B} et le moment cinétique vaut :

La seule force s'exerçant sur l'électron est la force de Lorentz magnétique \vec{F} = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B}, qui est à chaque instant orthogonale à la vitesse \vec{v}. Sa puissance est donc identiquement nulle :

Le théorème de la puissance cinétique assure que l'énergie cinétique est conservée, si bien que la norme de la vitesse v reste constante tout au long de la trajectoire :

Puisque le moment cinétique J est conservé (J_i = J_f), on a :

En simplifiant par la quantité non nulle \frac{m^2 v^2}{e}, on obtient la relation cherchée :

(où les angles \theta_i, \theta_f \in [0, \pi/2] sont pris par convention par rapport au sens du champ).

Dans la zone de dérive de longueur L, le champ magnétique \vec{B}_f est quasiment uniforme et dirigé selon l'axe Oz. L'électron y effectue un mouvement hélicoïdal à vitesse scalaire constante v. Sa composante de vitesse longitudinale le long de l'axe Oz vaut :

Le temps de vol mis par l'électron pour parcourir la distance L le long de l'axe est donc :

L'expérimentateur, mesurant ce temps de parcours t sur la distance axiale L, évalue la vitesse de l'électron par la relation :

L'incertitude (ou erreur systématique par défaut) commise sur la vitesse est donc :

Puisque les angles \theta_f sont petits (\theta_f \ll 1), on effectue un développement limité à l'ordre 2 :

D'après la relation établie à la question Q40, \sin\theta_f = \sqrt{\dfrac{B_f}{B_i}}\sin\theta_i. On en déduit :

Les photoélectrons étant émis dans des directions aléatoires, la valeur de \sin\theta_i n'est pas connue a priori mais vérifie au plus \sin\theta_i \le 1. L'incertitude relative maximale sur la vitesse vaut ainsi :