Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2025 (page 3/4 : Partie III)

Notons V_A le potentiel au point milieu de la branche de gauche (entre \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_4) et V_B celui de la branche de droite (entre \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_3). D'après la flèche de tension sur le schéma, la tension de sortie s'écrit :

Étudions les deux phases de fonctionnement au cours d'une période T :

• Pour t \in \left]0, \frac{T}{2}\right[ : les interrupteurs \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont fermés, tandis que \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont ouverts. Le point A est relié à la borne positive du générateur (V_A = E) et le point B à sa borne négative (V_B = 0). Il vient donc :

  u(t) = +E

• Pour t \in \left]\frac{T}{2}, T\right[ : les interrupteurs \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont fermés, tandis que \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont ouverts. Le point B est relié à la borne positive (V_B = E) et le point A à la borne négative (V_A = 0). Il vient donc :

  u(t) = -E

Le fonctionnement étant périodique de période T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 20\text{ ms}, la tension u(t) est un signal rectangulaire alternatif symétrique (créneau) de valeur crête E.

Sur deux périodes, soit pour t \in [0, 2T], le graphe de la tension u(t) est le suivant :

D'après l'expression fournie par l'énoncé :

Le facteur 1 - \cos(n\pi) = 1 - (-1)^n vaut :

• 0 si n est pair ;
• 2 si n est impair, d'où b_n = \dfrac{4E}{n\pi}.

Le signal ne comporte donc que des harmoniques de rangs impairs :

• Pour le fondamental (n=1, fréquence \nu_1 = f) :

  b_1 = \frac{4E}{\pi} \approx 1{,}27\,E
• Pour n=2 (\nu_2 = 2f) : b_2 = 0.

• Pour l'harmonique 3 (n=3, fréquence \nu_3 = 3f) :

  b_3 = \frac{4E}{3\pi} = \frac{b_1}{3} \approx 0{,}42\,E
• Pour n=4 (\nu_4 = 4f) : b_4 = 0.

• Pour l'harmonique 5 (n=5, fréquence \nu_5 = 5f) :

  b_5 = \frac{4E}{5\pi} = \frac{b_1}{5} \approx 0{,}25\,E

Le spectre d'amplitude est un spectre de raies représenté ci-dessous :

D'après la figure 5 du sujet, la tension u(t) est orientée de telle sorte que u(t) = V_{\mathrm{G}} - V_{\mathrm{D}}, où V_{\mathrm{G}} est le potentiel du nœud situé entre \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_4, et V_{\mathrm{D}} celui entre \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_3.

Analysons les configurations présentées dans le tableau 1 :

• Configuration 1 : t \in ]0, \tau[ et t \in ]T - \tau, T[ \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_2 sont ouverts ; \mathrm{K}_4 et \mathrm{K}_3 sont fermés. Les deux bornes de la charge sont reliées au pôle négatif du générateur : la charge est court-circuitée par le bas, donc :

  u(t) = 0

• Configuration 2 : t \in ]\tau, T/2 - \tau[ \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont fermés ; \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont ouverts. La borne gauche est reliée au pôle positif et la borne droite au pôle négatif :

  u(t) = +E

• Configuration 3 : t \in ]T/2 - \tau, T/2 + \tau[ \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_2 sont fermés ; \mathrm{K}_3 et \mathrm{K}_4 sont ouverts. Les deux bornes de la charge sont reliées au pôle positif du générateur : la charge est court-circuitée par le haut, d'où :

  u(t) = 0

• Configuration 4 : t \in ]T/2 + \tau, T - \tau[ \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont fermés ; \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont ouverts. La borne droite est reliée au pôle positif et la borne gauche au pôle négatif :

  u(t) = -E

Tracé du signal u(t) sur l'intervalle ]0, T[ :

Pour un signal u(t) de période T, la valeur moyenne U_0 et la valeur efficace U_{\mathrm{eff}} sont définies par :

D'après la question Q25, le signal u(t) vaut :

• +E sur l'intervalle [\tau, T/2 - \tau], de durée \Delta t_1 = \dfrac{T}{2} - 2\tau ;
• -E sur l'intervalle [T/2 + \tau, T - \tau], de durée \Delta t_2 = \dfrac{T}{2} - 2\tau ;
• 0 sur le reste de la période.

Calcul de la valeur moyenne U_0 :

Calcul de la valeur efficace U_{\mathrm{eff}} : La grandeur u^2(t) est nulle lorsque u(t) = 0 et vaut (\pm E)^2 = E^2 pendant les deux créneaux non nuls, soit sur une durée cumulée \Delta t_{\text{tot}} = \Delta t_1 + \Delta t_2 = T - 4\tau :

D'où l'expression de la valeur efficace :

D'après la formule (6) de l'énoncé, le mode fondamental correspond au terme de rang n = 1 de la série de Fourier de u(t) :

Pour les valeurs usuelles de réglage (\tau < T/4), le coefficient d'amplitude b_1 est strictement positif. Le fondamental u_1(t) est donc un signal sinusoïdal de même période T = 1/f que u(t), caractérisé par :

• des passages par zéro en t = 0, t = T/2 et t = T ;
• un maximum positif en t = T/4, correspondant précisément au centre de l'intervalle d'application du palier +E ;
• un minimum négatif en t = 3T/4, correspondant au centre de l'intervalle d'application du palier -E.

On représente ci-dessous le signal en créneaux u(t) tracé à la question Q25 ainsi que l'allure du mode fondamental u_1(t) :

D'après l'expression fournie par l'équation (6) :

Pour tout entier pair n = 2p, \cos(2p\pi) = 1, de sorte que b_n = 0.

Pour un entier impair n, on a 1 - \cos(n\pi) = 2, ce qui donne :

Le terme n = 1 correspond au mode fondamental. Les harmoniques correspondent aux entiers n \ge 2. L'harmonique n=2 étant identiquement nulle, la première harmonique non identiquement nulle est celle de rang n = 3, de fréquence 3f.

Son amplitude s'annule si et seulement si b_3 = 0, soit :

La plus petite valeur strictement positive de \tau est obtenue pour k = 0, soit :

On vérifie bien que \tau = \frac{T}{12} < \frac{T}{2}, ce qui est compatible avec le domaine de définition de la commande décalée.

Application numérique : Avec f = 50\text{ Hz}, soit une période T = \frac{1}{f} = 20\text{ ms} :

Le but de ce montage est de conserver la composante fondamentale de fréquence f = 50\text{ Hz} tout en atténuant les harmoniques de fréquences multiples plus élevées (5f, 7f, \dots) afin de rendre la tension la plus sinusoïdale possible : on cherche donc à réaliser un filtre passe-bas.

Analysons qualitativement le comportement du circuit LR série :

• à basse fréquence (\omega \to 0), la bobine se comporte comme un fil (court-circuit). La tension d'entrée se retrouve alors intégralement aux bornes de la résistance R : la tension v(t) n'est pas atténuée ;
• à haute fréquence (\omega \to \infty), l'impédance de la bobine devient prépondérante et elle tend vers un circuit ouvert. La quasi-totalité de la tension chute aux bornes de l'inductance, et la tension aux bornes de R tend vers zéro : les composantes de fréquences élevées (les harmoniques) sont fortement atténuées.

Prélever la tension aux bornes du conducteur ohmique R réalise ainsi un filtre passe-bas, adapté au lissage de la tension.

À l'inverse, prélever la sortie aux bornes de la bobine L donnerait un filtre passe-haut, ce qui aurait pour effet indésirable d'amplifier les harmoniques et d'atténuer le fondamental.

En régime sinusoïdal établi de pulsation \omega, les impédances complexes de la bobine idéale et du conducteur ohmique s'écrivent respectivement :

Le conducteur ohmique et la bobine étant montés en série et parcourus par le même courant, la formule du pont diviseur de tension donne directement :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert sous forme canonique :

Le gain du filtre est donné par le module de la fonction de transfert :

Le gain statique maximal vaut H_0 = 1. Par définition, la pulsation de coupure à -3\text{ dB} vérifie G(\omega_{\mathrm{c}}) = \dfrac{H_0}{\sqrt{2}}, ce qui se traduit par :

Comme \omega_{\mathrm{c}} = 2\pi f_{\mathrm{c}}, la fréquence de coupure s'écrit :

D'après la question Q30, la fréquence de coupure du filtre passe-bas s'écrit :

À résistance R fixée, la fréquence de coupure f_{\mathrm{c}} est inversement proportionnelle à l'inductance L.

• Si L est trop petite : la fréquence de coupure f_{\mathrm{c}} est très élevée (f_{\mathrm{c}} \gg f). La bande passante du filtre est alors trop large : les harmoniques de rang supérieur (5f, 7f, \dots) ne sont quasiment pas atténuées. Le signal de sortie v(t) reste très déformé, ce qui entraîne une pollution harmonique inacceptable pour l'injection sur le réseau électrique.
• Si L est trop grande : la fréquence de coupure devient trop basse (f_{\mathrm{c}} < f). La composante fondamentale à la fréquence f = 50\text{ Hz} se trouve alors dans la bande atténuée du filtre : elle subit une forte atténuation en amplitude ainsi qu'un déphasage important, ce qui dégrade l'efficacité du transfert de puissance vers le réseau. De surcroît, une valeur de L très élevée nécessite une bobine volumineuse, lourde, coûteuse et présentant une résistance série parasite non négligeable génératrice de pertes par effet Joule supplémentaires.

Le choix de l'inductance L est donc un compromis : elle doit être suffisamment grande pour atténuer efficacement les harmoniques indésirables, mais suffisamment petite pour transmettre la composante fondamentale sans atténuation excessive, ce qui conduit à choisir f_{\mathrm{c}} \approx f.

D'après la fonction de transfert établie à la question Q30 :

Le gain en décibels vaut :

L'atténuation apportée par le filtre, définie positivement par A_{\mathrm{dB}}(f) = -G_{\mathrm{dB}}(f), s'écrit donc :

1. Vérification du cahier des charges :

• Pour la composante fondamentale (f = f_1 = f = f_{\mathrm{c}}) :

  \begin{aligned} A_{\mathrm{dB}}(f_1) &= 10\log(1 + 1^2) = 10\log(2) \\ A_{\mathrm{dB}}(f_1) &\approx 10 \times 0{,}30 = 3{,}0\text{ dB} \end{aligned}

  Cette valeur est inférieure à 4\text{ dB}, le fondamental n'est donc pas atténué de plus de 4\text{ dB}. Le premier critère est validé.

• Pour la première harmonique non nulle : Le signal u(t) ne contient que des harmoniques impaires car 1 - \cos(n\pi) = 0 pour n pair. De plus, le choix de \tau à la question Q28 élimine l'harmonique de rang 3 (b_3 = 0). La première harmonique non nulle est donc l'harmonique de rang 5, de fréquence f_5 = 5f = 5f_{\mathrm{c}}.

  \begin{aligned} A_{\mathrm{dB}}(f_5) &= 10\log\left(1 + 5^2\right) = 10\log(26) \\ A_{\mathrm{dB}}(f_5) &\approx 10 \times 1{,}41 = 14{,}1\text{ dB} \end{aligned}

  Cette valeur est strictement supérieure à 14\text{ dB}. Le second critère est donc également validé.

Le cahier des charges est ainsi pleinement respecté.

2. Calcul de l'inductance L : La condition f_{\mathrm{c}} = f donne :

Avec R = 100\,\Omega et f = 50\text{ Hz} :

Pour atténuer plus efficacement les harmoniques résiduelles sans dégrader le fondamental, on peut agir sur deux plans :

1. Amélioration du filtrage (solution matérielle en aval) :

   • Utiliser un filtre passe-bas d'ordre supérieur (par exemple un filtre passif du second ordre de type LC, RLC ou en cellule LCL). La pente de réjection en haute fréquence passe ainsi de -20\text{ dB/décade} (ordre 1) à -40\text{ dB/décade} (ordre 2), ce qui permet d'atténuer beaucoup plus fortement les harmoniques de rangs 5, 7, etc., tout en préservant le fondamental.
   • Insérer des filtres résonants accordés (circuits bouchons ou pièges harmoniques LC) réglés sur les fréquences harmoniques dominantes restantes (5f, 7f).

2. Amélioration de la commande de l'onduleur (solution logicielle en amont) :

   • Mettre en œuvre une commande par Modulation de Largeur d'Impulsion (MLI ou PWM). En découpant la tension à une fréquence porteuse très supérieure à la fréquence du réseau (f_{\text{découpage}} \gg f), le spectre harmonique est repoussé au voisinage de cette fréquence élevée, rendant le filtrage passif nettement plus simple et très efficace.
   • Utiliser une structure d'onduleur multiniveaux afin de générer une forme d'onde en escalier plus proche d'un signal sinusoïdal.