Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2023 (page 3/4 : Partie II)

Le signal s(t) est composé :

• d'une composante continue S_0 = 1{,}5\text{ V} ;
• d'une composante sinusoïdale d'amplitude crête-à-crête de 3\text{ V}, soit une amplitude A = 1{,}5\text{ V} ;

• d'une fréquence f = 100\text{ Hz}, correspondant à une période temporelle :

  T = \frac{1}{f} = \frac{1}{100} = 10\text{ ms}.

En choisissant conventionnellement une phase à l'origine nulle, le signal s'écrit :

Ce signal oscille donc entre s_{\min} = 0\text{ V} et s_{\max} = 3\text{ V}.

Principe de l'échantillonnage :
L'échantillonnage consiste à convertir un signal analogique continu dans le temps s(t) en une suite discrète de valeurs \{s_n\} prélevées à des instants périodiques discrets t_n = n\,T_e (avec n \in \mathbb{N} et où T_e = 1/f_e désigne la période d'échantillonnage). En pratique, cela revient à mesurer la tension s(t) pendant une fenêtre temporelle très brève à chaque période T_e :

Le montage constitue un échantillonneur-bloqueur (ou track-and-hold) et le condensateur de capacité C_e joue le rôle d'élément de mémorisation analogique :

• Phase d'échantillonnage (acquisition) : lorsque le signal d'horloge est au niveau haut (durée du pic), l'interrupteur CD4016 est fermé (résistance passante R_{\text{ON}} \approx 400\;\Omega). Le condensateur se charge très rapidement avec une constante de temps \tau_{\text{charge}} = R_{\text{ON}} C_e choisie bien inférieure à la durée de l'impulsion, de sorte que la tension V_{\mathrm{ech}}(t) rejoint la valeur instantanée du signal d'entrée s(t).
• Phase de blocage (maintien) : lorsque l'interrupteur s'ouvre, le condensateur se retrouve isolé (l'interrupteur présente une très grande résistance à l'état bloqué et un courant de fuite négligeable de l'ordre de 0{,}1\text{ nA}). En l'absence de chemin de décharge, le condensateur conserve sa charge q = C_e V_{\mathrm{ech}} : la tension V_{\mathrm{ech}}(t) reste constante, égale à la valeur échantillonnée, pendant toute la durée séparant deux impulsions d'horloge.

Cette stabilisation de la tension pendant l'intervalle d'échantillonnage permet à l'étage suivant (typiquement un convertisseur analogique-numérique) d'effectuer la mesure sans que la grandeur à convertir n'évolue pendant le temps de conversion.

La période du signal d'horloge T_e est reliée à sa fréquence f_e = 1{,}0\text{ kHz} par :

ce qui est bien en accord avec l'oscillogramme de la figure 3 où les pics se succèdent toutes les 1\text{ ms}.

Par définition, le rapport cyclique \alpha est le rapport entre la durée du pic \tau (pendant laquelle le signal est à l'état haut 10\text{ V}) et la période T_e du signal :

Avec \alpha = 2\,\% = 0{,}020, on obtient numériquement :

L'oscillogramme de la figure 4 appelle les commentaires suivants :

1. Forme en « marches d'escalier » (bloqueur d'ordre zéro) : Le signal échantillonné V_{\mathrm{ech}}(t) est une fonction constante par morceaux. Pendant chaque pic d'horloge (durée \tau = 20\ \mu\text{s}), l'interrupteur est passant et le condensateur se charge quasi-instantanément à la valeur instantanée s(t_n) ; lorsque l'interrupteur s'ouvre (durée (1-\alpha)T_e \approx 0{,}98\text{ ms}), le condensateur maintient sa tension constante. Chaque palier a donc une durée égale à la période d'échantillonnage :

   T_e = 1{,}0\text{ ms}.

2. Discrétisation temporelle et fidélité de restitution : Sur une période du signal s(t) (T = 1/f = 10\text{ ms}), on observe exactement :

   N = \frac{T}{T_e} = \frac{10\text{ ms}}{1\text{ ms}} = 10\text{ paliers par période}.

   Sur la fenêtre temporelle de 50\text{ ms}, on retrouve bien 5 oscillations complètes du signal s(t).

3. Respect de la condition de Shannon : La fréquence d'échantillonnage f_e = 1{,}0\text{ kHz} est dix fois supérieure à la fréquence du signal f = 100\text{ Hz}. La condition de Shannon-Nyquist (f_e > 2f) étant largement satisfaite, le signal échantillonné-bloqué suit fidèlement les variations de la sinusoïde d'entrée, sans déformation macroscopique ni repliement de spectre.

1. Existence des pics de fréquence supérieure à 100\text{ Hz}

L'échantillonnage idéal d'un signal continu s(t) à la période T_e = 1/f_e correspond temporellement à la modulation de s(t) par un peigne de Dirac (ou un train d'impulsions périodique de période T_e). En vertu des propriétés de la transformée de Fourier, la multiplication dans le domaine temporel correspond à un produit de convolution dans le domaine fréquentiel :

Le spectre de la porteuse d'échantillonnage h(t) étant constitué de raies discrètes aux fréquences p f_e (p \in \mathbb{Z}), le spectre du signal échantillonné présente une duplication (périodisation) du spectre initial S(f) autour de chaque multiple entier p f_e de la fréquence d'échantillonnage.

L'échantillonneur-bloqueur applique de plus un maintien de tension sur chaque période T_e (bloqueur d'ordre zéro), ce qui correspond à une convolution temporelle par une porte de largeur T_e, modélisable dans l'espace fréquentiel par un filtre d'enveloppe en sinus cardinal :

Ce filtrage atténue les composantes de haute fréquence (comme en témoigne la décroissance des amplitudes des pics avec f sur la figure 5), sans toutefois les supprimer totalement : les raies associées aux répétitions spectrales restent présentes dans le spectre de V_{\text{ech}}(t).

2. Commentaire des valeurs des fréquences obtenues

Le signal d'entrée possède une composante sinusoïdale de fréquence f = 100\text{ Hz} et la fréquence d'échantillonnage vaut f_e = 1{,}0\text{ kHz} = 1000\text{ Hz}. Les répliques spectrales de cette composante apparaissent de part et d'autre des multiples de f_e, aux fréquences :

En détaillant les premières valeurs de p :

• Pour p = 0 : raie fondamentale f = 100\text{ Hz} (pic 1), correspondant au signal utile ;

• Pour p = 1 (f_e = 1000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} f_1^- &= f_e - f = 1000 - 100 = 900\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 2}) \\ f_1^+ &= f_e + f = 1000 + 100 = 1100\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 3}) \end{aligned}

• Pour p = 2 (2f_e = 2000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} f_2^- &= 2f_e - f = 2000 - 100 = 1900\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 4}) \\ f_2^+ &= 2f_e + f = 2000 + 100 = 2100\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 5}) \end{aligned}

• Pour p = 3 (3f_e = 3000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} f_3^- &= 3f_e - f = 3000 - 100 = 2900\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 6}) \\ f_3^+ &= 3f_e + f = 3000 + 100 = 3100\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 7}) \end{aligned}

Les fréquences observées sont donc rigoureusement conformes aux raies d'échantillonnage théoriques symétriques autour des harmoniques de l'horloge p f_e.

Le signal s(t) est donné par son développement en série de Fourier :

On reconnaît la décomposition d'un signal créneau périodique de période T = \frac{1}{f} = \frac{1}{110\text{ Hz}} \approx 9{,}09\text{ ms}, évoluant entre 0 et S, de rapport cyclique 1/2 et de valeur moyenne \langle s \rangle = \frac{S}{2}.

Allure temporelle En se limitant au rang k = 3, le signal tronqué s'écrit :

Cette somme tronquée reproduit l'allure du créneau avec de légères ondulations aux abords des discontinuités (phénomène de Gibbs).

Allure spectrale Le spectre est composé de raies discrètes associées à la composante continue et aux harmoniques d'ordre impair (2k+1)f pour k \in \{0, 1, 2, 3\} :

• Composante continue (f = 0) : amplitude A_0 = \frac{S}{2} = 0{,}50\,S ;
• Fondamental (k = 0, f_1 = f = 110\text{ Hz}) : amplitude A_1 = \frac{2S}{\pi} \approx 0{,}64\,S ;
• Harmonique 3 (k = 1, f_3 = 3f = 330\text{ Hz}) : amplitude A_3 = \frac{2S}{3\pi} \approx 0{,}21\,S ;
• Harmonique 5 (k = 2, f_5 = 5f = 550\text{ Hz}) : amplitude A_5 = \frac{2S}{5\pi} \approx 0{,}13\,S ;
• Harmonique 7 (k = 3, f_7 = 7f = 770\text{ Hz}) : amplitude A_7 = \frac{2S}{7\pi} \approx 0{,}09\,S.

D'après la question Q29, le signal s(t) tronqué au rang k = 3 contient une composante continue (0\text{ Hz}) ainsi que les composantes de fréquences impaires :

d'amplitudes proportionnelles à 1, 1/3, 1/5 et 1/7.

L'échantillonnage à la fréquence f_e = 1{,}0\text{ kHz} = 1000\text{ Hz} engendre des répliques spectrales aux fréquences |p f_e \pm f_h| où p \in \mathbb{N} et f_h \in \{0, f_1, f_3, f_5, f_7\}.

Dans la bande de fréquences [0\,;\,1200\text{ Hz}], on observe ainsi :

• le spectre original (p = 0) :

  \begin{aligned} &0\text{ Hz}\quad (\text{continu}) ; \quad 110\text{ Hz}\ (f_1) ; \quad 330\text{ Hz}\ (f_3) ; \quad 550\text{ Hz}\ (f_5) ; \quad 770\text{ Hz}\ (f_7) ; \end{aligned}

• la réplique autour de p = 1 (f_e = 1000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} &f_e - f_7 = 1000 - 770 = 230\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1/7) ; \\ &f_e - f_5 = 1000 - 550 = 450\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1/5) ; \\ &f_e - f_3 = 1000 - 330 = 670\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1/3) ; \\ &f_e - f_1 = 1000 - 110 = 890\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1) ; \\ &f_e = 1000\text{ Hz} \quad (\text{réplique du continu}) ; \\ &f_e + f_1 = 1000 + 110 = 1110\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1). \end{aligned}

On note l'apparition de nouvelles composantes parasites à 230\text{ Hz} et 450\text{ Hz} en dessous de la fréquence de Nyquist f_e / 2 = 500\text{ Hz}.

1. Phénomène observé

À la question précédente, des raies non présentes dans le signal d'origine (notamment à 230\text{ Hz} et 450\text{ Hz}) se superposent dans la bande utile [0\,;\,f_e/2]. Cela provient du fait que des composantes spectrales initiales (550\text{ Hz} et 770\text{ Hz}) dépassent la demi-fréquence d'échantillonnage f_e/2 = 500\text{ Hz}. Leurs répliques spectrales centrées autour de f_e viennent se rabattre dans les basses fréquences. Ce phénomène s'appelle le repliement spectral (ou recouvrement spectral).

2. Critère quantitatif pour y remédier

Pour qu'il n'y ait aucun chevauchement entre le spectre de base et ses répliques centrées en \pm f_e, la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le spectre du signal analogique s(t) :

Dans le cas du signal tronqué au rang k = 3, la fréquence maximale vaut f_{\max} = 7f = 770\text{ Hz}. La condition s'écrit alors numériquement :

Pour le signal théorique complet (dont le spectre s'étend jusqu'à l'infini), il est nécessaire d'intercaler préalablement un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure f_c \leqslant f_e/2.

3. Nom du critère

Ce résultat constitue le critère de Shannon (ou théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

Pour réaliser un filtre passe-bas du premier ordre à l'aide d'un dipôle RC, on associe en série une résistance R et un condensateur de capacité C :

• la tension d'entrée s_e(t) est appliquée à l'ensemble du dipôle \{R, C\} ;
• la tension de sortie s_s(t) est prélevée aux bornes du condensateur C (en sortie ouverte, c'est-à-dire non chargée).

Pour le filtre passe-bas RC série en sortie ouverte (tension de sortie prélevée aux bornes du condensateur de capacité C), le pont diviseur de tension en régime sinusoïdal forcé donne :

La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre s'écrit alors :

avec un gain statique H_0 = 1 et une pulsation (ou fréquence angulaire) de coupure à -3\text{ dB} donnée par :

D'après l'expression de la fonction de transfert canonique établie à la question Q33 :

En effectuant le produit en croix, il vient en régime harmonique :

En identifiant le temps caractéristique du premier ordre :

et en utilisant la correspondance entre dérivation temporelle et multiplication par \mathrm{i}\omega en régime linéaire (\mathrm{i}\omega \longleftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}), on obtient l'équation différentielle temporelle régissant le filtre :

D'après la chaîne de traitement du signal représentée sur la figure 6 :

• L'opérateur 1 est un Convertisseur Analogique-Numérique (CAN) (ou ADC). Sa fonction est de convertir le signal continu temporel et analogique en une suite de nombres discrets (signal numérique). Il réalise successivement les opérations d'échantillonnage temporel, de quantification en amplitude et de codage binaire.
• Le calculateur (processeur, DSP, microcontrôleur ou ordinateur) réalise le traitement numérique du signal (ici un filtrage numérique). Sa fonction est d'exécuter un algorithme (généralement modélisé par une équation de récurrence) calculant les échantillons de sortie S_s[n] à partir des échantillons d'entrée S_e[n].
• L'opérateur 2 est un Convertisseur Numérique-Analogique (CNA) (ou DAC), généralement associé à un filtre de restitution (ou de lissage). Sa fonction est de transformer la suite de valeurs numériques discrètes fournies par le calculateur en une tension analogique continue exploitable (par exemple pour commander un haut-parleur).

Le filtrage numérique présente plusieurs atouts majeurs par rapport au filtrage analogique :

• Flexibilité et reconfigurabilité : il est possible de modifier les caractéristiques du filtre (fréquence de coupure, ordre, type de filtrage) par simple modification logicielle des coefficients du programme, sans changer le matériel physique ;
• Stabilité et reproductibilité : le filtrage numérique est insensible aux tolérances de fabrication des composants, au vieillissement et aux dérives thermiques (contrairement aux composants passifs réels R, L, C).

En contrepartie, son inconvénient majeur est :

• Le temps de calcul (ou latence) : le délai introduit par les étapes d'échantillonnage, de conversion et d'exécution de l'algorithme retarde le signal de sortie, ce qui peut être contraignant pour les applications en temps réel.

Puisque la période d'échantillonnage T_e est petite devant le temps caractéristique \tau du filtre, la fonction s_s(t) varie peu sur l'intervalle [t_{n-1}, t_n]. On effectue un développement de Taylor à l'ordre 1 au voisinage de t_n :

En introduisant les grandeurs échantillonnées S_s[n] = s_s(t_n) et S_s[n-1] = s_s(t_{n-1}), on en déduit l'approximation par différence finie régressive (ou méthode d'Euler rétrograde) :

D'après la question Q34, l'équation différentielle liant l'entrée s_e(t) et la sortie s_s(t) s'écrit :

À l'ordre 1 en T_e, le taux d'accroissement déterminé à la question Q37 approche également la dérivée temporelle de la sortie à l'instant t_{n-1} :

En évaluant l'équation différentielle à l'instant d'échantillonnage t_{n-1} = (n-1)T_e (schéma d'Euler explicite), il vient :

En multipliant par \frac{T_e}{\tau} et en isolant S_s[n] :

On obtient ainsi la relation de récurrence du filtre passe-bas numérique d'ordre 1 :

D'après la relation de récurrence issue de la discrétisation établie à la question Q38 :

Pour calculer pas à pas les termes de la suite pour n \geqslant 1, le calculateur nécessite impérativement :

1. La condition initiale sur le signal de sortie, c'est-à-dire la valeur :

   \boxed{S_s[0]}

   (souvent fixée à 0\text{ V} si le système est initialement au repos).

2. Les paramètres temporels du filtre, à savoir le temps caractéristique \tau (ou la pulsation de coupure \omega_c = 1/\tau) et la période d'échantillonnage T_e afin de calculer les coefficients scalaires de la récurrence.

1. Identification de la zone de fréquences à filtrer :

• Sur le spectre de gauche (dictée au calme), le signal utile de la voix humaine est principalement concentré dans les basses fréquences, entre 100\text{ Hz} et environ 1\,000\text{ Hz} (pics autour de 150\text{ Hz}, 400\text{ Hz} et 600\text{ Hz}). Au-delà de 1\,000\text{ Hz}, l'amplitude chute rapidement sous -60\text{ dB}.
• Sur le spectre de droite (en présence de cris d'enfants), on observe une composante parasite très énergétique pour les fréquences supérieures à 1\,000\text{ Hz}, caractérisée par un pic très marqué culminant autour de 2\,500\text{ Hz} à 3\,000\text{ Hz} (niveau atteignant près de -15\text{ dB}).

La zone de fréquences à filtrer est donc la bande des fréquences aiguës :

2. Choix de la fréquence de coupure f_c :

Le filtre passe-bas d'ordre 1 doit laisser passer le signal de parole (situé en dessous de 1\,000\text{ Hz}) sans trop l'atténuer, tout en réduisant l'amplitude des composantes parasites situées au-delà de 2\,000\text{ Hz}.

On choisit donc une fréquence de coupure f_c située à la frontière entre le signal utile et la perturbation :

À l'aide de la relation de récurrence obtenue à la question Q38 :

avec T_e = 1/f_e et \tau = 1/\omega_c = 1/(2\pi f_c), on complète le script Python :

import numpy as np
import scipy.io.wavfile

fe, Se = scipy.io.wavfile.read("dictee.wav")

# Parametres du filtre passe-bas
fc = 1000.0                       # Frequence de coupure en Hz (Q40)
tau = 1.0 / (2.0 * np.pi * fc)    # Temps caracteristique tau = 1/omega_c
Te = 1.0 / fe                     # Periode d'echantillonnage
a = Te / tau

# Initialisation du vecteur de sortie
N = len(Se)
Ss = np.zeros(N)
Ss[0] = Se[0]                     # Condition initiale (Q39)

# Calcul du signal filtre par recurrence
for n in range(1, N):
    Ss[n] = (1.0 - a) * Ss[n - 1] + a * Se[n - 1]

# Enregistrement optionnel du fichier audio filtre
scipy.io.wavfile.write("dictee_filtree.wav", fe, Ss.astype(Se.dtype))