Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2021

Considérons le circuit fermé plan constitué du générateur, des rails fixes et de la barre mobile de largeur \ell. D'après la figure 2, le repère (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) est direct : l'axe (Ox) est l'axe de déplacement horizontal, l'axe (Oy) porte la barre de largeur \ell, et l'axe (Oz) est vertical ascendant, colinéaire au champ magnétique uniforme \vec{B} = B\,\vec{e}_z.

La position de la barre le long de l'axe (Ox) est repérée par son abscisse X(t) = \ell_0 + x(t), où \ell_0 est la position d'équilibre et x(t) l'élongation. La surface délimitée par le circuit à l'instant t vaut ainsi :

Le courant i(t) est fléché sur la figure 2 le long du rail inférieur dans le sens de \vec{e}_x, remonte le long de la barre mobile selon \vec{e}_y, puis revient le long du rail supérieur selon -\vec{e}_x. Ce contour est ainsi parcouru dans le sens direct (trigonométrique) dans le plan (xOy).

D'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), la normale unitaire au circuit associée à cette orientation est :

Le flux magnétique à travers la surface orientée du circuit s'écrit donc :

D'après la loi de Faraday, la f.é.m. induite dans le circuit orienté par i(t) est donnée par :

En posant v(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, on obtient bien :

Le circuit fermé est modélisé par une maille unique parcourue par le courant i(t). Il comprend :

• la source de tension E(t) (convention générateur) ;
• la résistance R de la bobine, dont la tension aux bornes est u_R(t) = R\,i(t) (convention récepteur) ;
• l'inductance propre L de la bobine, dont la tension aux bornes est u_L(t) = L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} (convention récepteur) ;
• la force électromotrice induite e(t) = -B\ell v(t) issue du déplacement de la barre dans le champ magnétique (convention générateur, orientée dans le même sens que i(t)).

En appliquant la loi des mailles dans le sens de parcours choisi pour i(t) :

soit :

En remplaçant la f.é.m. induite par son expression e(t) = -B\ell v(t) établie à la question Q1, on obtient l'équation électrique (E.E.) :

Le schéma électrique équivalent associé est le suivant :

On étudie le système {barre + haut-parleur} de masse m_T, assimilé à un solide en translation rectiligne selon l'axe horizontal (\mathrm{O}x), dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni de la base orthonormée directe (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

L'énoncé précise que l'on ne tient pas compte du poids de l'équipage mobile (ou que celui-ci, vertical selon \vec{e}_z, est compensé par la réaction des rails). Le mouvement s'effectuant uniquement le long de l'axe (\mathrm{O}x), le bilan des forces appliquées projeté sur cet axe comprend :

• La force de rappel élastique exercée par la suspension modélisée par le ressort de raideur k, la position d'équilibre correspondant à x = 0 :

  \vec{F}_{\text{él}} = -k\,x(t)\,\vec{e}_x

• La force de frottement fluide exercée par l'air sur la membrane, proportionnelle à la vitesse v(t) = \dot{x}(t) :

  \vec{F}_f = -\alpha\,\vec{v} = -\alpha\,\dot{x}(t)\,\vec{e}_x

• La force de Laplace s'exerçant sur la barre conductrice parcourue par le courant i(t) orienté suivant le vecteur \vec{e}_y et plongée dans le champ magnétique \vec{B} = B\,\vec{e}_z :

  \vec{F}_L = \int_{\text{barre}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} = (i\,\ell\,\vec{e}_y) \wedge (B\,\vec{e}_z) = i(t)\,B\,\ell\,\vec{e}_x

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au système de masse m_T :

Par projection selon le vecteur unitaire \vec{e}_x, on obtient :

Soit, sous forme standard ordonnée, l'équation mécanique (E.M.) :

ou, exprimée en fonction de la vitesse v(t) = \dot{x}(t) :

D'après la question Q2, l'équation électrique s'écrit :

En multipliant cette relation par le courant i(t), on obtient le bilan de puissance électrique instantanée :

D'après la question Q3, l'équation différentielle mécanique du mouvement s'écrit :

En multipliant cette relation par la vitesse v(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, on obtient :

En injectant l'expression de B\ell v(t)i(t) dans le bilan électrique, les puissances de couplage se compensent et l'on obtient le bilan de puissance global :

Commentaire :

• P_{\text{fournie}} = E(t)\,i(t) représente la puissance électrique instantanée fournie par le générateur au dispositif.
• P_J = R\,i^2 est la puissance dissipée sous forme thermique par effet Joule dans les enroulements de la bobine.
• P_{\text{frott}} = \alpha\,v^2 est la puissance cédée par la membrane au fluide environnant (frottement fluide), qui correspond à la puissance acoustique rayonnée sous forme d'ondes sonores (partie utile du haut-parleur).
• \mathcal{E}_{\text{stock}} = \frac{1}{2}L\,i^2 + \frac{1}{2}m_T\,v^2 + \frac{1}{2}k\,x^2 est l'énergie totale emmagasinée dans le système (énergie magnétique de l'inductance, énergie cinétique de l'équipage mobile et énergie potentielle élastique de la suspension).

D'après la question Q1, la force électromotrice induite dans le cadre est :

La puissance électrique associée à cette f.é.m. induite vaut donc :

D'après la question Q3, la force de Laplace subie par la tige s'écrit \vec{F}_L = B\ell i(t)\,\vec{e}_x. Sa vitesse étant \vec{v} = v(t)\,\vec{e}_x, la puissance mécanique développée par la force de Laplace est donnée par :

On en déduit immédiatement la relation entre ces deux puissances :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, on adopte les représentations complexes :

avec la dérivation temporelle correspondant à la multiplication par j\omega. La vitesse étant liée à la position par v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, on a :

D'après la question Q3, l'équation différentielle mécanique (E.M.) s'écrit :

En notation complexe, elle devient :

soit :

D'après la question Q2, l'équation différentielle électrique (E.E.) s'écrit :

En régime sinusoïdal établi, elle se transcrit sous la forme :

En remplaçant \underline{v} par son expression en fonction de \underline{i}, on obtient :

Par identification avec la relation \underline{E} = (R + jL\omega + \underline{Z}_m)\underline{i} = \underline{Z}\,\underline{i}, on déduit :

ou, sous forme factorisée avec le terme raideur au dénominateur :

D'après le résultat de la question Q6, l'impédance motionnelle s'écrit :

L'admittance motionnelle \underline{Y}_m = \dfrac{1}{\underline{Z}_m} est donc donnée par :

En identifiant terme à terme avec la forme imposée par l'énoncé :

on obtient :

D'après la question Q6, la tension complexe délivrée par le générateur vérifie :

L'impédance totale vue par le générateur est donc la somme de trois impédances en série :

• la résistance propre R du bobinage ;
• l'inductance propre L de la bobine ;
• l'impédance motionnelle \underline{Z}_m.

D'après la question Q7, l'admittance motionnelle s'écrit sous la forme d'une somme d'admittances :

Cette relation traduit la mise en parallèle de trois dipôles :

• un conducteur ohmique de résistance R_m = \dfrac{B^2\ell^2}{\alpha} ;
• un condensateur de capacité C_m = \dfrac{m_T}{B^2\ell^2} ;
• une bobine idéale d'inductance L_m = \dfrac{B^2\ell^2}{k}.

On en déduit le schéma électrique équivalent du haut-parleur connecté à la source de tension :

D'après le bilan de puissance instantané établi à la question Q4 :

où \mathcal{E}_{\text{stockée}}(t) = \frac{1}{2}L\,i(t)^2 + \frac{1}{2}m_T\,v(t)^2 + \frac{1}{2}k\,x(t)^2 représente la somme des énergies magnétique, cinétique et élastique emmagasinées dans le haut-parleur.

En régime périodique établi de période T = \frac{2\pi}{\omega}, les grandeurs i(t), v(t) et x(t) sont des fonctions T-périodiques du temps. Par suite, l'énergie totale emmagasinée \mathcal{E}_{\text{stockée}}(t) est elle-même une fonction périodique de période T (ou T/2).

La moyenne temporelle de sa dérivée sur une période T s'écrit :

car \mathcal{E}_{\text{stockée}}(T) = \mathcal{E}_{\text{stockée}}(0).

Par linéarité de l'opération de moyenne temporelle, il vient directement :

Commentaire :

• \langle E\,i \rangle est la puissance électrique moyenne totale fournie par le générateur au haut-parleur ;
• \langle R\,i^2 \rangle est la puissance moyenne dissipée sous forme d'effet Joule dans le bobinage de la bobine mobile (perte thermique inévitable) ;
• \langle \alpha\,v^2 \rangle représente la puissance moyenne cédée au fluide environnant (l'air), c'est-à-dire la puissance utile acoustique rayonnée sous forme d'ondes sonores (ainsi que les frottements visqueux de l'air) ;
• Les éléments réactifs (L, m_T, k) n'échangent en moyenne aucune puissance sur une période : ils stockent et restituent continuellement de l'énergie réactive de façon conservative.

D'après le bilan de puissance moyenne établi à la question Q9 :

En identifiant \langle P_{\text{son}} \rangle = \langle \alpha\,v^2 \rangle, le rendement s'écrit :

En régime sinusoïdal établi, les puissances moyennes s'expriment à partir des amplitudes complexes :

D'après l'équation différentielle mécanique en notation complexe (question Q6) :

Le rapport des puissances dissipées devient alors :

On reconnaît la résistance motionnelle introduite à la question Q7 :

Introduisons la pulsation propre \omega_0 et le facteur de qualité mécanique Q :

On peut ainsi factoriser le terme entre parenthèses :

On en déduit l'expression du rapport des puissances :

Le rendement s'écrit donc bien sous la forme demandée :

avec :

D'après l'expression établie à la question Q10 :

1. À la pulsation propre \omega = \omega_0 : Le terme quadratique s'annule : le dénominateur est minimal, ce qui confère au rendement sa valeur maximale absolue :

À cette pulsation de résonance mécanique, l'admittance motionnelle \underline{Y}_m est purement réelle et minimale (\underline{Y}_m = 1/R_m), de sorte que l'impédance motionnelle est maximale (\underline{Z}_m = R_m). La puissance transférée à l'air par le couplage électromécanique est alors maximale devant les pertes par effet Joule dans la bobine. Pour avoir un bon rendement à la résonance, il faut privilégier R_m \gg R.

2. En basse pulsation (\omega \to 0) :

Physiquement, à très basse fréquence, la force de rappel élastique prédomine (k x \approx F_L). Le déplacement est quasi-statique et la vitesse v \approx \omega x s'annule, rendant la puissance acoustique rayonnée \langle \alpha v^2 \rangle négligeable devant les pertes Joule dans la résistance R.

3. En haute pulsation (\omega \to +\infty) :

Physiquement, à haute fréquence, l'inertie de l'équipage mobile prédomine (m_T \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \approx F_L). L'amplitude de vitesse décroît en 1/\omega : la membrane ne parvient plus à suivre les oscillations imposées par le signal électrique, et la puissance acoustique s'effondre.

4. Allure globale : La courbe \eta(\omega) présente une allure de résonance (type passe-bande), centrée sur \omega_0, avec une largeur de bande inversement proportionnelle à Q.

Lorsqu'un mode propre de vibration stationnaire s'établit sur la plaque, la poudre saupoudrée est éjectée des régions fortement animées de mouvement vibratoire (ventres de vibration) et s'accumule le long des zones immobiles de la surface.

Les lignes noires visibles sur les figures de Chladni représentent donc les lignes nodales (ou lignes de nœuds de vibration) de la plaque, c'est-à-dire l'ensemble des points où l'amplitude d'oscillation transversale est rigoureusement nulle :

L'équation de propagation de la membrane s'écrit :

En injectant la forme à variables séparées z(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t), les dérivées partielles s'expriment à l'aide des dérivées droites :

En reportant ces expressions dans l'équation de propagation et en divisant par z(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t) \neq 0, on obtient :

Le membre de droite dépend exclusivement de t, alors que le membre de gauche ne dépend que des coordonnées d'espace x et y. Les variables x, y et t étant indépendantes, cette égalité n'est vérifiée pour tout (x,y,t) que si les deux membres sont égaux à une même constante :

En isolant le terme en x :

Le membre de gauche est fonction de x seul tandis que le membre de droite est fonction de y seul. Ces deux termes sont donc obligatoirement constants.

En notant respectivement ces constantes de séparation \mp \alpha^2 et \mp \beta^2 (où \alpha et \beta sont deux réels, le signe couvrant les cas d'une constante positive ou négative), on aboutit à :

La membrane est fixée sur tout son contour \Gamma, ce qui impose pour tout instant t :

Puisque z(x, y, t) = X(x) Y(y) T(t), l'existence d'une solution non triviale (c'est-à-dire non identiquement nulle) impose que :

Considérons l'équation spatiale selon x avec le signe négatif :

• Si \alpha \neq 0 (choisi strictement positif sans perte de généralité), la solution générale s'écrit :

  X(x) = A \cosh(\alpha x) + B \sinh(\alpha x)

  La condition X(0) = 0 donne immédiatement A = 0.
  La condition X(a) = 0 devient alors :

  B \sinh(\alpha a) = 0

  Comme a > 0 et \alpha > 0, l'argument \alpha a est strictement positif, de sorte que \sinh(\alpha a) \neq 0. Par conséquent, B = 0.

• Si \alpha = 0, l'équation devient \frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} = 0, d'où X(x) = A x + B. Les conditions X(0) = 0 et X(a) = 0 conduisent également à A = B = 0.

Dans tous les cas, on a donc obligatoirement :

Un raisonnement strictement identique mené sur la fonction Y(y) vérifiant \frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} - \beta^2 Y = 0 avec Y(0) = 0 et Y(b) = 0 conduit à :

Ces solutions conduisent à z(x, y, t) = 0 en tout point et à tout instant : la membrane reste indéfiniment immobile à sa position d'équilibre, ce qui ne décrit aucun mouvement vibratoire.

D'après l'étude menée aux questions Q13 et Q14, les équations différentielles régissant la dépendance spatiale sont :

La solution générale pour X(x) est de la forme :

Les conditions aux limites imposent que la membrane est fixée sur tout son contour \Gamma, soit en particulier pour les bords en x = 0 et x = a :

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (B \neq 0), il est nécessaire que :

En notant X_0 l'amplitude d'intégration (avec X_0 \neq 0), il vient :

De manière strictement analogue pour la coordonnée y, avec les conditions aux limites Y(0) = Y(b) = 0, la constante \beta est quantifiée par :

En introduisant la constante d'intégration Y_0 \neq 0, on obtient :

Les solutions physiquement possibles s'écrivent donc :

avec m \in \mathbb{N}^* et n \in \mathbb{N}^*.

L'équation de propagation régissant le déplacement transversal z(x,y,t) de la membrane s'écrit :

En insérant la solution cherchée sous la forme séparée z(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t), on obtient :

D'après les questions Q14 et Q15, les solutions spatiales physiques vérifient :

En reportant ces expressions dans l'équation d'onde, il vient :

En simplifiant par la fonction spatiale non identiquement nulle X(x)Y(y), on aboutit immédiatement à l'équation temporelle :

Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega, vérifiant :

D'après les conditions aux limites appliquées à la question Q15, les constantes spatiales \alpha et \beta sont quantifiées par les entiers strictement positifs m et n :

En substituant ces valeurs, les pulsations propres du système s'écrivent :

D'après les résultats des questions Q12 et Q15, la composante spatiale du déplacement transversal de la membrane pour le mode propre (m,n) s'écrit :

Les lignes nodales (figures de Chladni) correspondent aux lieux d'immobilité permanente de la membrane, c'est-à-dire aux points vérifiant :

Outre le contour extérieur \Gamma fixé (x=0, x=a, y=0, y=b), les lignes nodales intérieures à la membrane (0 < x < a et 0 < y < b) sont données par :

Détaillons les trois configurations demandées :

• Cas m = 1 et n = 2 : Il n'y a pas de ligne nodale intérieure selon x. Selon y, l'annulation du sinus fournit une unique ligne nodale horizontale en :

  y = \frac{b}{2}

• Cas m = 2 et n = 1 : Il n'y a pas de ligne nodale intérieure selon y. Selon x, l'annulation du sinus fournit une unique ligne nodale verticale en :

  x = \frac{a}{2}

• Cas m = 2 et n = 2 : On obtient le croisement de deux lignes nodales orthogonales en :

  x = \frac{a}{2} \quad \text{et} \quad y = \frac{b}{2}

Les figures de Chladni correspondantes sont représentées ci-dessous (les lignes nodales intérieures sont tracées en trait plein épais et les signes \pm indiquent le signe du déplacement transversal de part et d'autre des nœuds) :

Pour n = 3, la fonction de transfert du filtre passe-bas s'écrit :

Le carré du module du dénominateur vaut :

D'après la définition d'un filtre de Butterworth d'ordre n = 3, ce module doit vérifier :

Par identification des coefficients du polynôme en x, on obtient le système :

Les coefficients étant strictement positifs :

• La troisième équation donne directement :

  a_3 = 1

• La première équation fournit a_2 = \dfrac{a_1^2}{2}. En reportant dans la deuxième équation avec a_3 = 1 :

  \left(\frac{a_1^2}{2}\right)^2 - 2a_1 = 0 \iff \frac{a_1^4}{4} = 2a_1 \iff a_1^3 = 8

  puisque a_1 > 0. On en déduit :

  a_1 = 2

• Il vient immédiatement :

  a_2 = \frac{2^2}{2} = 2

La fonction de transfert fournie s'écrit :

1. Comportement en basse fréquence (\omega \to 0) :

• D'après l'expression analytique :

  \lim_{\omega \to 0} \underline{H}_b(j\omega) = 1

• D'après le schéma électrique (figure 6) : En régime continu (\omega \to 0), l'impédance d'une bobine tend vers zéro (Z_L = jL\omega \to 0, fil conducteur) et celle d'un condensateur tend vers l'infini (Z_C = \frac{1}{jC\omega} \to \infty, circuit ouvert). Les inductances L_1 et L_2 se comportent comme des courts-circuits et le condensateur C_3 comme un circuit ouvert. La tension d'entrée est donc directement appliquée aux bornes de la résistance R :

  \underline{V}_{Sb} \approx \underline{E} \implies \underline{H}_b(0) = 1

L'expression de \underline{H}_b(j\omega) est donc parfaitement compatible à basse fréquence.

2. Comportement en haute fréquence (\omega \to \infty) :

• D'après l'expression analytique : Le terme prépondérant au dénominateur est de degré 3 en j\omega :

  \underline{H}_b(j\omega) \underset{\omega \to \infty}{\sim} \frac{R}{L_1 L_2 C_3\,(j\omega)^3} \xrightarrow[\omega \to \infty]{} 0

• D'après le schéma électrique (figure 6) : Lorsque la pulsation tend vers l'infini, l'impédance des bobines diverge (Z_L \to \infty, circuits ouverts) et celle du condensateur s'annule (Z_C \to 0, court-circuit à la masse). L'inductance série L_1 bloque le passage du courant haute fréquence, le condensateur C_3 dérive le résiduel vers la masse et l'inductance L_2 isole la charge R. Aucun courant n'atteint la résistance :

  \underline{V}_{Sb} \approx 0 \implies \lim_{\omega \to \infty} \underline{H}_b(j\omega) = 0

L'expression analytique est donc également compatible à haute fréquence.

3. Nature du filtre : Le signal passe sans atténuation à basse fréquence (|\underline{H}_b|=1) et est fortement atténué à haute fréquence (|\underline{H}_b| \to 0, avec une pente de -60\text{ dB/décade} due à l'ordre 3).

D'après la question Q18, la fonction de transfert d'un filtre passe-bas de Butterworth d'ordre 3 s'écrit avec la pulsation réduite x = \omega / \omega_0 :

Par identification avec l'expression donnée dans le préambule de la question Q19 :

l'égalité des dénominateurs pour tout \omega conduit au système :

En injectant la relation (2) dans la relation (3), on obtient directement L_2 :

La relation (1) donne ensuite L_1 :

Enfin, la relation (2) fournit la capacité C_3 :

On aboutit ainsi aux valeurs des trois composants :

1. Justification de la structure du filtre pour la voie des aiguës :

• Comportement en basse fréquence (\omega \to 0) : les condensateurs C_1 et C_2 se comportent comme des circuits ouverts (impédance infinie) et l'inductance L_3 comme un court-circuit (impédance nulle) reliant la branche intermédiaire à la masse. Le signal d'entrée est bloqué en amont et dérivé vers la masse, si bien que \underline{V}_{Sh} \to 0.
• Comportement en haute fréquence (\omega \to \infty) : les condensateurs C_1 et C_2 se comportent comme des courts-circuits et l'inductance L_3 comme un circuit ouvert. Le signal d'entrée parvient intégralement à la résistance de charge R sans division de tension, d'où \underline{V}_{Sh} \to \underline{E}, soit une transmittance de module 1.
• Ordre et complémentarité : le circuit comporte trois composants réactifs indépendants (C_1, C_2, L_3), constituant ainsi un filtre passe-haut d'ordre 3. Cette structure s'obtient directement par transformation passe-bas \to passe-haut (dualité) à partir de la voie des basses (figure 6), en permutant les rôles des inductances et des capacités (L_1, L_2 \to C_1, C_2 et C_3 \to L_3), ce qui permet de réaliser le filtrage complémentaire de Butterworth requis pour la voie des aiguës.

2. Étapes proposées pour établir la fonction de transfert \underline{H}_h(j\omega) :

1. Étape 1 : Définir le potentiel \underline{V}_A au nœud intermédiaire situé entre C_1, L_3 et C_2, la masse étant prise comme référence de potentiel.

2. Étape 2 : Exprimer la tension de sortie \underline{V}_{Sh} en fonction de \underline{V}_A à l'aide d'un pont diviseur de tension formé par le condensateur C_2 et la résistance R :

   \underline{V}_{Sh} = \frac{R}{R + \frac{1}{jC_2\omega}}\,\underline{V}_A.

3. Étape 3 : Appliquer le théorème de Millman (ou la loi des nœuds en termes de potentiels) au nœud A relié au générateur \underline{E} via C_1, à la masse via L_3, et au nœud de sortie \underline{V}_{Sh} via C_2 :

   \underline{V}_A \left( jC_1\omega + \frac{1}{jL_3\omega} + jC_2\omega \right) = jC_1\omega\,\underline{E} + jC_2\omega\,\underline{V}_{Sh}.

4. Étape 4 : Éliminer \underline{V}_A entre les deux relations précédentes pour isoler le rapport :

   \boxed{\underline{H}_h(j\omega) = \frac{\underline{V}_{Sh}}{\underline{E}}}

   puis ordonner le dénominateur selon les puissances croissantes de (j\omega) ou de (j\omega)^{-1}.

L'approximation acoustique (ou approximation des petites perturbations) consiste à considérer que le passage de l'onde sonore n'induit que de très faibles fluctuations du fluide autour d'un état d'équilibre macroscopique au repos :

avec les conditions quantitatives d'ordre de grandeur suivantes :

1. Faibles perturbations relatives des grandeurs d'état :

   \boxed{|P_1| \ll P_0 \quad \text{et} \quad |\mu_1| \ll \mu_0}

2. Vitesse particulaire très faible devant la célérité du son (nombre de Mach acoustique négligeable devant l'unité) :

   \boxed{\|\vec{v}_1\| \ll c}

   ce qui équivaut, pour une onde harmonique de pulsation \omega et de longueur d'onde \lambda, à une amplitude de déplacement particulaire \xi_m très petite devant la longueur d'onde (\xi_m \ll \lambda, car v_m = \omega \xi_m = \frac{2\pi c}{\lambda}\xi_m).

Cette approximation permet de linéariser les équations locales de la mécanique des fluides en négligeant systématiquement les termes non linéaires (tels que le terme convectif (\vec{v}_1 \cdot \vec{\nabla})\vec{v}_1 dans l'équation d'Euler et les termes du second ordre comme \mu_1 \vec{v}_1).

L'air est modélisé par un fluide parfait (viscosité négligée). En négligeant le champ de pesanteur conformément à la consigne, l'équation de Navier-Stokes se réduit à l'équation d'Euler :

Pour une propagation unidimensionnelle suivant l'axe (Ox), le champ de vitesse s'écrit \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{e}_x et la pression P(x,t) = P_0 + P_1(x,t), la masse volumique étant \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t), où P_0 et \mu_0 sont constantes.

Projetée sur l'axe (Ox), l'équation d'Euler devient :

Puisque P_0 est uniforme, \dfrac{\partial P_0}{\partial x} = 0.

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• le terme convectif v_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} est du second ordre par rapport aux perturbations car v_1 \ll c ;
• le terme \mu_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial t} est également du second ordre car |\mu_1| \ll \mu_0.

En ne conservant que les termes du premier ordre, on obtient :

L'équation locale traduisant la conservation de la masse au sein du fluide s'écrit :

Le fluide est au repos non perturbé à la masse volumique uniforme et indépendante du temps \mu_0. La perturbation acoustique est unidimensionnelle le long de l'axe (Ox), de sorte que :

En développant la divergence en coordonnées cartésiennes :

Dans le cadre de l'approximation acoustique rappelée à la question Q22, les grandeurs perturbatrices \mu_1 et v_1 sont d'ordre 1 en perturbation. Le terme croisé \mu_1 v_1 est d'ordre 2 et se trouve donc négligé devant le terme d'ordre 1 :

L'équation de conservation de la masse se linéarise ainsi sous la forme :

Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique est donné par :

Dans le cadre de l'approximation acoustique définie à la question Q22, les grandeurs thermodynamiques s'écrivent au premier ordre :

L'évolution étant isentropique, un développement de Taylor de la masse volumique \mu(P) à l'ordre 1 au voisinage de l'état de repos (P_0, \mu_0) conduit à :

Au premier ordre, le préfacteur \frac{1}{\mu} s'approxime par \frac{1}{\mu_0}, de sorte que la dérivée partielle prise à l'état d'équilibre s'identifie à \mu_0 \chi_S :

On en déduit l'expression du coefficient \chi_S dans l'approximation acoustique :

D'après la question Q25, la perturbation de masse volumique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps t, on obtient :

En introduisant cette expression dans l'équation de conservation de la masse issue de la question Q24, il vient :

Dérivons cette équation par rapport au temps :

Or, d'après l'équation d'Euler acoustique établie à la question Q23 :

En substituant ce terme, on aboutit à :

On reconnaît l'équation de propagation de d'Alembert unidimensionnelle vérifiée par la surpression P_1 :

par identification avec la vitesse de propagation c donnée par la relation de Newton-Laplace :

Application numérique :

En respectant deux chiffres significatifs :

À l'abscisse x = 0, les particules fluides au contact immédiat de la membrane suivent le déplacement de celle-ci (continuité du déplacement dans le cadre de l'approximation acoustique) :

L'onde étant une onde plane progressive se propageant dans le milieu non dispersif selon les x croissants à la célérité c, le déplacement à l'abscisse x à l'instant t correspond à la perturbation émise en x=0 à l'instant antérieur t - \frac{x}{c} :

On en déduit l'expression du déplacement des particules de fluide :

avec k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda} le vecteur d'onde (ou pulsation spatiale).

Considérons une onde plane progressive harmonique monochromatique de pulsation \omega et de vecteur d'onde k = \omega/c, se propageant dans le sens des x croissants. En notation complexe, les grandeurs acoustiques s'écrivent :

D'après l'équation différentielle du mouvement du fluide linéarisée (équation d'Euler de la question Q23) :

En injectant les expressions complexes dans cette équation :

On en déduit immédiatement le rapport définissant l'impédance acoustique caractéristique :

Comme la relation de dispersion acoustique impose k = \omega/c, il vient :

L'impédance acoustique est réelle et positive pour une onde progressive dans le sens des x croissants, ce qui traduit le fait que la surpression et la vitesse particulaire oscillent en phase.

Application numérique :
D'après la question Q26, la célérité s'exprime par c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}}, ce qui donne :

Avec \mu_0 = 1{,}2 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \chi_S = 7{,}1\cdot 10^{-6}\text{ Pa}^{-1} :

L'air situé dans le demi-espace x \ge 0 est mis en mouvement par la face avant de la membrane, de surface S. La face arrière est soumise à la pression d'équilibre P_0, tandis que la face avant est soumise à la pression totale P(0,t) = P_0 + P_1(0,t).

La force nette de surpression exercée par le fluide sur la membrane s'écrit :

D'après la question Q28, l'onde se propageant dans le sens des x croissants vérifie la relation d'impédance acoustique P_1(0,t) = Z\,v_1(0,t) = \mu_0 c\,v_1(0,t). La membrane se déplaçant à la vitesse \vec{v} = v_1(0,t)\,\vec{e}_x, la force exercée par le fluide s'exprime donc sous la forme :

La puissance de cette force de surpression reçue par la membrane vaut :

En remplaçant P_1 par \mu_0 c\,v_1, on obtient :

(La puissance mécanique cédée par la membrane au fluide s'écrit donc \mathcal{P}_{\text{cédée}} = \mu_0 c\,S\,v_1^2).

Par identification directe avec la loi de frottement fluide \vec{F}_f = -\alpha \vec{v} introduite dans la partie A, on en déduit que :

L'intensité acoustique (ou sonore), notée I, est la puissance acoustique moyenne traversant une surface unitaire perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde.

Elle correspond à la valeur moyenne temporelle du flux surfacique de puissance transporté par l'onde sonore, c'est-à-dire à la norme de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting acoustique \vec{\Pi} :

Pour une onde progressive se propageant selon un vecteur unitaire \vec{u}, elle s'écrit également :

Dans le Système international, l'intensité acoustique s'exprime en watts par mètre carré (\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}).

L'utilisation d'une échelle logarithmique en décibels pour l'intensité acoustique se justifie par deux raisons physiques et physiologiques fondamentales :

1. La sensibilité logarithmique de l'oreille humaine (loi psychoacoustique de Weber-Fechner) : La réponse auditive (sensation perçue par le système sensoriel humain) n'est pas proportionnelle à la puissance reçue mais varie de façon quasi-logarithmique avec le stimulus physique. Une augmentation d'un facteur 10 de l'intensité sonore perçue correspond à une même variation de niveau sonore (+10 dB).

2. La très large dynamique du domaine audible : L'oreille humaine est sensible à des intensités sonores s'étalant sur plus de douze ordres de grandeur :

   • depuis I_{\text{min}} \approx 10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} (seuil moyen d'audibilité à la fréquence de 1\text{ kHz}) ;
   • jusqu'à I_{\text{max}} \approx 1\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} (seuil de douleur).

   L'introduction de la fonction logarithme décimal permet de comprimer cette vaste échelle de 10^{12} en une échelle pratique d'usage courant variant entre 0\text{ dB} et 120\text{ dB}.

La valeur de référence est choisie comme étant le seuil absolu moyen de perception de l'oreille humaine à la fréquence de référence 1\text{ kHz} :

1. Valeur moyenne du vecteur de Poynting acoustique

D'après la définition du niveau d'intensité acoustique donnée à la question Q31 :

Avec I_{\text{dB}} = 120\text{ dB} et I_{\text{ref}} = 10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

Pour une onde plane progressive se propageant selon les x croissants, la vitesse particulaire s'écrit \vec{v}_1 = v_1(x,t)\vec{e}_x, d'où \vec{\Pi} = P_1 v_1 \vec{e}_x. Le flux moyen d'énergie s'effectue dans le sens de propagation, d'où :

2. Amplitudes P_m et v_m

Les signaux de surpression P_1(x,t) et de vitesse v_1(x,t) sont sinusoïdaux et en phase :

D'après la question Q28, l'impédance acoustique relie directement ces amplitudes par P_m = Z v_m. La valeur moyenne du vecteur de Poynting s'écrit alors :

On en déduit les expressions des amplitudes :

Avec Z \approx 411\text{ Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1} (calculé en Q28) et I = 1{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

3. Validité de l'approximation acoustique

Comparons les grandeurs perturbées aux grandeurs de référence :

La surpression est négligeable devant la pression atmosphérique et la vitesse particulaire est très petite devant la célérité de l'onde :

4. Amplitude du déplacement des particules de fluide

Le déplacement \xi(x,t) et la vitesse v_1(x,t) sont liés par v_1(x,t) = \frac{\partial \xi}{\partial t}. En régime sinusoïdal de pulsation \omega_0 = 2\pi f_0, l'amplitude du déplacement x_m (notée \xi_m) vérifie :

Application numérique avec f_0 = 1{,}0\text{ kHz} = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ Hz} :

Dans le cadre de l'étude à une dimension d'espace, le vecteur de Poynting acoustique s'écrit :

Sa divergence se réduit à la dérivée spatiale selon x :

D'après l'équation d'Euler linéarisée obtenue à la question Q23 :

D'autre part, en combinant la conservation de la masse linéarisée (question Q24), \frac{\partial \mu_1}{\partial t} = -\mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x}, et la relation constitutive relative à la compressibilité isentropique (question Q25), \mu_1 = \mu_0 \chi_S P_1, on a :

En injectant ces deux relations dans l'expression de la divergence :

On obtient ainsi la relation demandée :

Par comparaison directe entre l'équation locale de conservation de l'énergie fournie dans l'énoncé et le résultat établi à la question Q33 :

on identifie l'énergie volumique acoustique totale e :

Chacun des termes admet une signification physique claire :

• Le terme \boxed{\frac{1}{2}\mu_0 v_1^2} représente la densité volumique d'énergie cinétique e_c associée au mouvement oscillatoire d'ensemble des particules de fluide de masse volumique \mu_0 animées de la vitesse acoustique v_1.
• Le terme \boxed{\frac{1}{2}\chi_S P_1^2} représente la densité volumique d'énergie potentielle élastique (ou énergie interne acoustique) e_p emmagasinée par le fluide lors des déformations de volume (compressions et dilatations locales isentropiques) sous l'effet de la surpression P_1.