Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2024

Le cycle se décompose en six étapes successives :

• A_0 \to A : admission isobare à la pression atmosphérique P_A = P_{A_0} = P_{\mathrm{atm}}, le volume augmentant de V_{\min} à V_{\max} ;
• A \to B : compression adiabatique réversible (loi de Laplace P V^\gamma = \text{cste}), le volume diminuant de V_{\max} à V_{\min} et la pression augmentant de P_{\mathrm{atm}} à P_B ;
• B \to C : combustion isobare à la pression P_B = P_C, le volume augmentant de V_{\min} à V_C avec V_{\min} < V_C < V_{\max} ;
• C \to D : détente adiabatique réversible (loi de Laplace P V^\gamma = \text{cste}), le volume augmentant de V_C à V_{\max} et la pression chutant de P_C à P_D ;
• D \to A : refroidissement isochore à volume constant V_{\max}, la pression chutant brutalement de P_D à P_{\mathrm{atm}} ;
• A \to A_0 : éjection isobare à la pression P_{\mathrm{atm}}, le volume diminuant de V_{\max} à V_{\min} (trajet confondu avec A_0 A, parcouru en sens inverse).

Le gaz est modélisé par un gaz parfait diatomique de coefficient isentropique \gamma constant.

1. Expression de P_B : L'évolution AB est une compression adiabatique et réversible d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'écrit :

Sachant que P_A = P_{\text{atm}}, V_A = V_{\max} et V_B = V_{\min}, on obtient :

D'où :

2. Expression de P_D : L'évolution BC étant isobare, on a P_C = P_B.

L'évolution CD est une détente adiabatique et réversible entre l'état C (volume V_C) et l'état D (volume V_D = V_{\max}). La loi de Laplace s'écrit :

D'où l'expression de la pression au point D :

Comme y = V_{\max}/V_C, il vient :

Soit finalement :

Le rendement thermodynamique \eta_D d'un moteur thermique est le rapport entre l'énergie mécanique utile fournie à l'extérieur, -W, et l'énergie thermique reçue par le fluide moteur lors de la combustion, Q_c = Q_{BC} :

Les évolutions d'admission A_0 \to A et d'éjection A \to A_0 s'effectuant à la même pression P_{\mathrm{atm}}, leurs travaux se compensent exactement :

Il suffit donc d'étudier le cycle fermé A-B-C-D-A.

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur ce cycle :

Les transformations A \to B et C \to D étant adiabatiques (Q_{AB} = Q_{CD} = 0), le travail total fourni s'écrit :

Le rendement prend donc la forme :

Calculons les transferts thermiques reçus par le gaz parfait :

• pour la transformation isobare B \to C :

  Q_{BC} = \Delta H_{BC} = n\,C_{pm}(T_C - T_B) > 0

• pour la transformation isochore D \to A :

  Q_{DA} = \Delta U_{DA} = n\,C_{vm}(T_A - T_D) = -n\,C_{vm}(T_D - T_A) < 0

En remarquant que \dfrac{C_{vm}}{C_{pm}} = \dfrac{1}{\gamma}, on obtient :

D'après la question Q3, le rendement s'écrit :

En modélisant le gaz par un gaz parfait (T = \frac{PV}{nR}), exprimons les températures des différents états en fonction de T_A = \frac{P_{\mathrm{atm}} V_{\max}}{nR} :

• État B : P_B = P_{\mathrm{atm}} x^\gamma et V_B = V_{\min} = \frac{V_{\max}}{x}, d'où :

  T_B = \frac{P_B V_B}{nR} = \frac{P_{\mathrm{atm}} x^\gamma \frac{V_{\max}}{x}}{nR} = T_A\, x^{\gamma-1}

• État C : la combustion étant isobare, P_C = P_B et V_C = \frac{V_{\max}}{y}, d'où :

  T_C = \frac{P_B V_C}{nR} = \frac{P_{\mathrm{atm}} x^\gamma \frac{V_{\max}}{y}}{nR} = T_A\, x^{\gamma-1}\frac{x}{y}

• État D : V_D = V_{\max} et d'après Q2, P_D = P_{\mathrm{atm}}\left(\frac{x}{y}\right)^\gamma, d'où :

  T_D = \frac{P_D V_D}{nR} = T_A \left(\frac{x}{y}\right)^\gamma

En substituant ces températures dans l'expression du rendement :

On en déduit l'expression du rendement théorique du cycle Diesel :

Application numérique : Avec x = 20, y = 7 (soit \frac{x}{y} = \frac{20}{7} \approx 2{,}86) et \gamma = 1{,}4 :

Soit :

Commentaire : Le rendement observé en pratique (\eta_{\mathrm{exp}} \approx 0{,}45) est nettement inférieur au rendement théorique (\eta_D \approx 0{,}61). Cet écart s'explique par les nombreuses irréversibilités et pertes non prises en compte dans le modèle idéalisé :

• des transferts thermiques non négligeables à travers les parois du cylindre (les phases de compression et de détente ne sont pas strictement adiabatiques) ;
• des frottements mécaniques (pistons, embiellage) et des pertes de charge visqueuses lors de l'écoulement des gaz à travers les tubulures et les soupapes ;
• une combustion non instantanée, non rigoureusement isobare et parfois incomplète.

Lors de l'étape de combustion isobare B \to C, le transfert thermique reçu par les n moles de gaz parfait s'écrit :

D'après les résultats des questions précédentes, avec n = \frac{P_{\mathrm{atm}} V_{\max}}{R T_A} et C_{pm} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} :

d'où :

En substituant ces expressions, on obtient :

Avec \gamma = 1{,}4, \frac{\gamma}{\gamma - 1} = 3{,}5, x = 20, y = 7 (d'où \frac{x}{y} - 1 = \frac{13}{7}), on remarque la simplification \frac{\gamma}{\gamma-1}\left(\frac{x}{y}-1\right) = 3{,}5 \times \frac{13}{7} = 6{,}5 :

Application numérique :

Le travail mécanique fourni à l'extérieur par cycle est :

Le moteur effectuant un cycle par tour à la fréquence f = \frac{N}{60} (avec N = 2000\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1}, soit f = \frac{100}{3}\text{ Hz}), la puissance mécanique moyenne délivrée vaut :

Pour parcourir une distance d = 100\text{ km} à la vitesse constante v = 140\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la durée du trajet est :

L'énergie thermique totale que doit fournir la combustion du gasoil durant ce temps est :

En notant m_g la masse de gasoil consommée et \Delta_{\mathrm{comb}} h son enthalpie massique de combustion :

Application numérique :

Par définition, en électrochimie :

• l'anode est le siège d'une réaction d'oxydation (libération d'électrons) ;
• la cathode est le siège d'une réaction de réduction (consommation d'électrons).

D'après le bilan réactionnel global fourni :

• Le dihydrogène \mathrm{H}_2 est oxydé en protons \mathrm{H}^+ à l'anode :

  \boxed{\text{À l'anode : } \quad \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} = 2\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^-}

• Le dioxygène \mathrm{O}_2 est réduit en eau \mathrm{H}_2\mathrm{O} à la cathode :

  \boxed{\text{À la cathode : } \quad \frac{1}{2}\,\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}}

  (ou de manière équivalente : \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} + 4\,\mathrm{H}^+ + 4\,\mathrm{e}^- = 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}).

D'après la question Q6 :

• À l'électrode de gauche a lieu l'oxydation du dihydrogène \mathrm{H}_2 : c'est l'anode. Les électrons y sont produits et injectés dans le circuit extérieur : l'anode constitue donc le pôle négatif (-) de la pile.
• À l'électrode de droite a lieu la réduction du dioxygène \mathrm{O}_2 : c'est la cathode. Les électrons y sont consommés : la cathode constitue le pôle positif (+) de la pile.

Circulation des porteurs de charge et du courant :

• Dans le circuit extérieur, les électrons circulent spontanément de l'anode (pôle -) vers la cathode (pôle +).
• Le courant conventionnel I circule dans le sens opposé aux électrons à l'extérieur, soit de la cathode (pôle +) vers l'anode (pôle -).
• Dans la membrane échangeuse de protons (électrolyte), les ions \mathrm{H}^+ migrent de l'anode vers la cathode, fermant ainsi le circuit électrique en assurant un transport de charge positive dans le même sens que le courant intérieur.

L'équation-bilan de fonctionnement de la pile s'écrit :

1. Enthalpie standard de réaction D'après la loi de Hess :

Les corps simples dans leur état standard de référence ayant une enthalpie standard de formation nulle, on obtient :

2. Entropie standard de réaction De même, en appliquant le troisième principe :

3. Enthalpie libre standard de réaction Par définition de l'enthalpie libre :

4. Force électromotrice standard D'après les demi-équations établies à la question Q6, l'avancement d'une mole de réaction correspond au transfert de n_e = 2 moles d'électrons de l'anode vers la cathode. La relation entre enthalpie libre standard et force électromotrice standard s'écrit :

On en déduit l'expression de e^\circ :

Application numérique :

La présence du signe « - » s'explique par les signes respectifs des grandeurs en jeu et la positivité du rendement :

• Par définition, l'énergie électrique W_{\mathrm{e}} fournie au circuit extérieur est une grandeur positive (W_{\mathrm{e}} > 0).

• La réaction globale de fonctionnement de la pile (\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + \frac{1}{2}\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} = \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}) est une combustion fortement exothermique, ainsi que l'atteste la valeur négative de l'enthalpie standard de réaction calculée à la question précédente (\Delta_{\mathrm{r}} H^\circ = -286\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0). La variation d'enthalpie du système électrochimique est donc négative :

  \Delta H < 0
• Le rendement thermodynamique \eta étant le rapport d'une énergie utile fournie au milieu extérieur (W_{\mathrm{e}}) sur l'énergie chimique libérée par la réaction (-\Delta H > 0), il s'agit d'une grandeur sans dimension nécessairement positive.

Le signe « - » permet ainsi d'assurer la positivité du rendement :

Considérons le système électrochimique fermé subissant une transformation à pression P et température T constantes.

Premier principe de la thermodynamique La variation d'énergie interne du système s'écrit :

où :

• W_p = -\int P_{\text{ext}} \mathrm{d}V = -P\Delta V est le travail des forces de pression (la pression étant constante) ;
• W_{\text{autre}} est le travail électrique reçu par le système. L'énoncé définissant W_{\mathrm{e}} comme le travail électrique fourni à l'extérieur, on a W_{\text{autre}} = -W_{\mathrm{e}} ;
• Q est le transfert thermique reçu par le système.

La variation d'enthalpie H = U + PV s'écrit donc :

Deuxième principe de la thermodynamique La transformation étant monotherme à la température T, la variation d'entropie s'exprime par :

On en déduit l'expression du transfert thermique :

Variation d'enthalpie libre Par définition, l'enthalpie libre est G = H - TS. À température constante :

Comme la température thermodynamique vérifie T > 0 et que l'entropie créée vérifie S_{\text{créée}} \ge 0, on a -T S_{\text{créée}} \le 0, ce qui conduit à :

D'après l'inégalité établie en question Q10, le travail électrique fourni à l'extérieur vérifie W_{\mathrm{e}} \le -\Delta G.

Dans les conditions standard, pour un fonctionnement réversible, isotherme et isobare, le travail électrique fourni est maximal :

D'après la définition du rendement donnée par l'énoncé, le rendement maximal s'écrit alors :

Pour une transformation effectuée sous une avance \xi, on a \Delta G^\circ = \xi \Delta_{\mathrm{r}} G^\circ et \Delta H^\circ = \xi \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ. Le rendement théorique maximal s'exprime donc par le rapport des grandeurs de réaction :

En utilisant la relation thermodynamique définissant l'enthalpie libre de réaction, \Delta_{\mathrm{r}} G^\circ = \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ - T \Delta_{\mathrm{r}} S^\circ, on obtient :

À la température T = 60\text{ }^\circ\text{C} = 333{,}15\text{ K}, l'eau formée reste à l'état liquide sous la pression standard (T < 100\text{ }^\circ\text{C}).

Dans l'approximation d'Ellingham, on suppose que l'enthalpie standard de réaction \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ et l'entropie standard de réaction \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ ne dépendent pas de la température. D'après la question Q8 :

D'après la formule établie à la question Q11 :

L'application numérique donne :

1. Nombre de cellules en série

Les cellules élémentaires étant branchées en série, la tension totale U délivrée par la pile est la somme des tensions nominales U_n de chaque cellule :

Application numérique avec U = 300\text{ V} et U_n = 0{,}7\text{ V} :

Le nombre de cellules devant être un entier, il faut brancher :

2. Surface des électrodes d'une cellule

La puissance électrique totale fournie sous la tension U s'écrit \mathcal{P} = U \, I, où I est le courant qui traverse l'ensemble des cellules en série :

Par définition de la densité de courant j_n, pour une surface active S d'électrode :

Application numérique avec \mathcal{P} = 200\text{ kW} = 2{,}00 \times 10^5\text{ W}, U = 300\text{ V} et j_n = 0{,}45\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} :

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

À l'anode de chaque cellule élémentaire, l'oxydation du dihydrogène s'écrit :

La consommation d'une mole de dihydrogène libère z = 2\text{ moles d'électrons}, soit une quantité de charge électrique q = 2\,\mathcal{F}.

L'intensité du courant I traversant une cellule est reliée au débit molaire de dihydrogène consommé par cette cellule, noté \dot{n}_{\mathrm{cell}}, par la loi de Faraday :

Les N cellules étant branchées électriquement en série, chacune d'elles est traversée par le même courant I et consomme sa propre alimentation en combustible. Le débit molaire total de dihydrogène de la pile, noté \dot{n}_{\mathrm{H}_2}, est donc la somme des débits de chaque cellule :

Comme la puissance électrique totale est \mathcal{P} = U I = N U_n I, on peut également écrire :

Application numérique :

Pour parcourir la distance D = 1000\text{ km} à la vitesse moyenne v = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la durée de fonctionnement continu à puissance nominale est :

La quantité totale de matière de dihydrogène nécessaire est :

La masse molaire de \mathrm{H}_2 vaut M(\mathrm{H}_2) = 2\,M(\mathrm{H}) = 2{,}00\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}00 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}. La masse totale d'hydrogène s'en déduit :

Application numérique :

1. Représentation de la maille de \mathrm{FeTi}

D'après le texte, la maille est cubique de paramètre a, avec un atome de titane à chaque sommet et un atome de fer au centre du cube (structure de type \mathrm{CsCl}, réseau cubique centré à deux espèces).

2. Détermination du paramètre de maille a

Déterminons la composition d'une maille :

• Les atomes de titane sont situés aux 8 sommets du cube et sont partagés chacun par 8 mailles :

  N(\mathrm{Ti}) = 8 \times \frac{1}{8} = 1

• L'atome de fer est situé au centre du cube et appartient en propre à la maille :

  N(\mathrm{Fe}) = 1 \times 1 = 1

Chaque maille contient donc en propre Z = 1 groupement formulaire \mathrm{FeTi}.

La masse d'une maille s'écrit :

Le volume d'une maille cubique étant V_{\text{maille}} = a^3, la masse volumique théorique \rho_{\mathrm{FeTi}} de l'alliage s'exprime par :

On en déduit l'expression littérale du paramètre de maille :

Application numérique :

• M(\mathrm{Fe}) = 55{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• M(\mathrm{Ti}) = 47{,}9 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• M(\mathrm{FeTi}) = 103{,}7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \rho_{\mathrm{FeTi}} = 6{,}35 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}

Dans la maille de type \mathrm{CsCl} de \mathrm{FeTi} :

• Les atomes de titane \mathrm{Ti} occupent les 8 sommets du cube.
• L'atome de fer \mathrm{Fe} occupe le centre du cube.

Examinons les sites octaédriques interstitiels de cette structure :

• Centres des faces du cube : Le centre d'une face est entouré par :

  • les 4 atomes de \mathrm{Ti} situés aux quatre sommets de cette face, formant un carré dans le plan de la face (à la distance d = \frac{a\sqrt{2}}{2}) ;
  • les 2 atomes de \mathrm{Fe} situés aux centres des deux mailles cubiques adjacentes partageant cette face, sur la normale passant par son centre (à la distance d' = \frac{a}{2}).

  Ces 6 atomes (4\text{ Ti} et 2\text{ Fe}) forment bien un octaèdre (légèrement déformé).

• Milieux des arêtes du cube : Le milieu d'une arête est entouré de 2 atomes de \mathrm{Ti} (sommets de l'arête) et de 4 atomes de \mathrm{Fe} (centres des quatre mailles partageant l'arête). Ce type de site ne correspond donc pas à la condition imposée.

Les sites interstitiels considérés sont donc situés au centre de chacune des 6 faces du cube.

Formule stœchiométrique maximale théorique :

• Le cube possède 6 faces, et chaque face est partagée entre 2 mailles adjacentes. Le nombre de ces sites en propre par maille est donc :

  N_{\mathrm{H}} = 6 \times \frac{1}{2} = 3\text{ atomes de H par maille}
• La maille contient Z = 1 groupement formulaire \mathrm{FeTi} (voir question Q15).

Le rapport stœchiométrique maximal théorique est donc n = 3, ce qui donne pour formule de l'hydrure :

Considérons un volume V = 1\text{ m}^3 d'alliage \mathrm{FeTi}. La masse correspondante d'alliage est :

La quantité de matière d'unités formulaires \mathrm{FeTi} contenue dans ce volume s'écrit :

D'après la stœchiométrie de l'hydrure \mathrm{FeTiH}_{1,9}, chaque mole de \mathrm{FeTi} absorbe x = 1{,}9\text{ mol} d'atomes d'hydrogène (soit \frac{1{,}9}{2}\text{ mol} de \mathrm{H}_2). La masse d'hydrogène insérée dans le volume V est donc :

Par définition, la capacité volumique d'absorption C_V est la masse d'hydrogène insérée par unité de volume d'alliage :

Remarque : On retrouve exactement la même expression à l'échelle de la maille élémentaire de volume a^3 contenant Z = 1 motif et donc 1{,}9 atome d'hydrogène :

Application numérique :

• M(\mathrm{FeTi}) = 55{,}8 + 47{,}9 = 103{,}7\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• M(\mathrm{H}) = 1{,}00\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \rho_{\mathrm{FeTi}} = 6{,}35 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

1. Volume d'alliage FeTi nécessaire

D'après la question Q17, la capacité volumique d'absorption de l'alliage \mathrm{FeTi} vaut C_V \approx 116\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}. Pour une masse m_{\mathrm{H}_2} = 108\text{ kg} de dihydrogène, le volume d'alliage requis est :

2. Comparaison avec les deux autres modes de stockage

• Stockage sous forme liquide (à -253\text{ }^\circ\text{C} et 10\text{ bar}) :
  Avec \rho_{\mathrm{H}_2(\mathrm{l})} = 70{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (donnée), le volume nécessaire est :

  \begin{aligned} V_{\text{liq}} &= \frac{m_{\mathrm{H}_2}}{\rho_{\mathrm{H}_2(\mathrm{l})}} = \frac{108}{70{,}8} \approx 1{,}53\text{ m}^3 = 1{,}53 \times 10^3\text{ L} \end{aligned}

• Stockage sous forme de gaz comprimé (à P = 700\text{ bar} = 7{,}00 \times 10^7\text{ Pa} et T = 298\text{ K}) :
  En modélisant le dihydrogène par un gaz parfait de masse molaire M(\mathrm{H}_2) = 2{,}00\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}00 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

  \begin{aligned} P V_{\text{gaz}} &= \frac{m_{\mathrm{H}_2}}{M(\mathrm{H}_2)} R T \implies V_{\text{gaz}} = \frac{m_{\mathrm{H}_2} R T}{M(\mathrm{H}_2) P} \\ V_{\text{gaz}} &= \frac{108 \times 8{,}314 \times 298}{2{,}00 \times 10^{-3} \times 7{,}00 \times 10^7} \approx 1{,}91\text{ m}^3 = 1{,}91 \times 10^3\text{ L} \end{aligned}

3. Conclusion

Le stockage sous forme d'hydrure métallique est le plus compact en volume : il nécessite un volume environ 1{,}6 fois plus faible que le stockage liquide et plus de 2 fois inférieur à celui du gaz comprimé à 700\text{ bar}. De plus, il s'opère à pression modérée et température ambiante, ce qui offre un avantage majeur en matière de sécurité.

Cependant, la masse de l'alliage métallique correspondant est considérable :

Ce surpoids est un handicap important pour un véhicule de transport, même si le domaine ferroviaire y est moins sensible que l'automobile ou l'aéronautique. En pratique, le Coradia iLint privilégie ainsi des réservoirs à hydrogène gazeux sous pression (350 bar sur le toit), offrant le meilleur compromis masse/encombrement sans les pertes d'évaporation du stockage liquide.

On étudie le système \Sigma_1 (les dix wagons et leur chargement, de masse totale M_{\mathrm{c}}) dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère d'espace (O, \vec{u}_x, \vec{u}_z) où \vec{u}_x est le vecteur unitaire horizontal colinéaire à l'accélération \vec{a}_0 = a_0 \, \vec{u}_x et \vec{u}_z est le vecteur unitaire vertical ascendant.

Le système \Sigma_1 est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :

• son poids : \vec{P}_1 = - M_{\mathrm{c}} g \, \vec{u}_z ;
• l'action normale résultante exercée par les rails sur l'ensemble des roues des wagons, notée \vec{N}_{r/1} = N_{r/1} \, \vec{u}_z (la composante tangentielle est nulle car les roues sont supposées de masse négligeable) ;
• la force de traction horizontale exercée par la locomotive \Sigma_2 : \vec{F}_{\Sigma_2/\Sigma_1} = F_{\Sigma_2/\Sigma_1} \, \vec{u}_x.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système \Sigma_1 s'écrit :

En projetant sur l'axe horizontal (\vec{u}_x), on obtient :

On étudie le système \Sigma_2 constitué de la locomotive de Trevithick, de masse M_\ell, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_z) où \vec{u}_x est horizontal orienté dans le sens de la marche (et de l'accélération \vec{a}_0 = a_0 \vec{u}_x) et \vec{u}_z est vertical ascendant.

Le système \Sigma_2 est soumis aux actions extérieures suivantes :

• Son poids :

  \vec{P}_2 = - M_\ell g \, \vec{u}_z

  appliqué au centre d'inertie G_2 de la locomotive ;

• L'action exercée par les wagons \Sigma_1 sur la locomotive \Sigma_2 au niveau de l'attelage. D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) et le résultat de la question Q19 :

  \vec{F}_{\Sigma_1/\Sigma_2} = - \vec{F}_{\Sigma_2/\Sigma_1} = - M_{\mathrm{c}} \vec{a}_0 = - M_{\mathrm{c}} a_0 \, \vec{u}_x

  Cette force est horizontale et orientée vers l'arrière (-\vec{u}_x) ;

• Les actions de contact rail-roue exercées sur chacune des quatre roues motrices i \in \{1, 2, 3, 4\} au point de contact I_i :

  \vec{F}_{r/2, i} = \vec{N}_{r/2, i} + \vec{T}_{r/2, i}

  où la réaction normale \vec{N}_{r/2, i} est verticale ascendante (+\vec{u}_z) et la composante tangentielle \vec{T}_{r/2, i} est motrice, donc orientée vers l'avant (+\vec{u}_x) pour propulser l'ensemble vers l'avant sans glissement.

Sur le schéma de profil ci-dessous, la locomotive est représentée avec ses deux essieux visibles (chacun regroupant deux roues) et les actions de contact sont représentées au niveau des roues.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au système \Sigma_2 (la locomotive, de masse M_\ell) dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

Les forces normales \vec{N}_{r/2}^{(i)} ainsi que le poids M_\ell \, \vec{g} sont strictement verticaux. Par symétrie et selon l'énoncé, les quatre roues motrices sont soumises à la même force tangentielle \vec{T}_{r/2}.

En projetant cette relation sur l'axe horizontal Ox orienté dans le sens du mouvement, et en utilisant la troisième loi de Newton \vec{F}_{\Sigma_1/\Sigma_2} = -\vec{F}_{\Sigma_2/\Sigma_1} = -M_{\mathrm{c}} \, \vec{a}_0 établie à la question Q20 :

On en déduit immédiatement :

soit :

Puisque le train démarre avec une accélération non nulle (\vec{a}_0 \neq \vec{0}) et que la masse totale du convoi M_\ell + M_{\mathrm{c}} est strictement positive, la composante tangentielle \vec{T}_{r/2} est nécessairement non nulle.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la locomotive \Sigma_2 dans le référentiel terrestre galiléen. En projection sur la verticale ascendante \vec{u}_y, le mouvement étant purement horizontal (accélération verticale nulle) et l'action de l'attelage \vec{F}_{\Sigma_1/\Sigma_2} étant horizontale :

D'après la question Q21, la composante tangentielle sur chacune des quatre roues motrices s'écrit :

En utilisant la condition imposée par l'énoncé, \|\vec{T}_{r/2}\| = 0{,}1 f_a \|\vec{N}_{r/2}\|, il vient :

Le démarrage s'effectuant à accélération constante a_0 depuis l'arrêt (v(0) = 0), la vitesse à l'instant t est v(t) = a_0 t. Le temps \Delta t nécessaire pour atteindre la vitesse de croisière v_0 s'exprime donc par :

Application numérique :

• v_0 = 8\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{8}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2{,}22\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• M_\ell = 1\text{ t} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}
• M_{\mathrm{c}} = 10\text{ t} = 1{,}0 \times 10^4\text{ kg}, soit M_\ell + M_{\mathrm{c}} = 11\text{ t}
• f_a = 0{,}12
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

On calcule d'abord l'accélération :

Puis la durée nécessaire :

Soit O le centre du cercle \mathcal{C} et R_{\mathcal{C}} son rayon. Les deux tronçons rectilignes A_0A et BB_0 se raccordent tangentiellement au cercle \mathcal{C} respectivement en A et en B. Par conséquent, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes en ces points :

Notons S le point d'intersection des deux droites (A_0A) et (BB_0) (matérialisé par les pointillés sur la figure 4). L'angle formé par les deux tronçons est l'angle obtus \widehat{ASB} = 120^\circ.

Dans le quadrilatère convexe OASB, la somme des angles vaut 360^\circ :

Sachant que \widehat{OAS} = \widehat{SBO} = 90^\circ, il vient pour l'angle au centre \theta = \widehat{AOB} :

Le triangle OAB est isocèle en O puisque OA = OB = R_{\mathcal{C}}. Possédant un angle au sommet \widehat{AOB} = 60^\circ, il est donc équilatéral.

La distance en ligne droite entre A et B étant notée d_{AB} = AB, on en déduit directement :

De manière générale, pour un angle quelconque \alpha entre les deux tronçons, l'angle au centre vaut \theta = 180^\circ - \alpha, et la relation trigonométrique dans le triangle isocèle donne d_{AB} = 2 R_{\mathcal{C}} \sin(\theta / 2), soit R_{\mathcal{C}} = \frac{d_{AB}}{2\sin(30^\circ)} = d_{AB}.

Dans la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n) associée à la trajectoire, l'accélération d'un point matériel se décompose selon :

où R est le rayon de courbure local de la trajectoire et v(t) = V_0 est la vitesse scalaire, constante sur tout le trajet (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0).

Le mouvement se décompose en trois phases :

• Pour t \in [0, t_A[, le train circule sur le tronçon rectiligne A_0A : le rayon de courbure est infini (R \to \infty). L'accélération est donc identiquement nulle :

  \|\vec{a}(t)\| = 0

• Pour t \in ]t_A, t_B[, le train parcourt l'arc de cercle AB de rayon constant R_{\mathcal{C}} à la vitesse V_0. L'accélération est purement centripète :

  \vec{a}(t) = \frac{V_0^2}{R_{\mathcal{C}}} \, \vec{u}_n \implies \|\vec{a}(t)\| = a_{\mathcal{C}} = \frac{V_0^2}{R_{\mathcal{C}}}

• Pour t \in ]t_B, t_{\mathrm{f}}], le train circule sur le tronçon rectiligne BB_0 (R \to \infty) :

  \|\vec{a}(t)\| = 0

Les instants de transition s'écrivent :

où \mathcal{L}_{AB} = R_{\mathcal{C}} \frac{\pi}{3} est la longueur de l'arc circulaire (l'angle au centre étant \theta = 60^\circ = \pi/3\text{ rad}).

L'évolution de la norme de l'accélération est représentée ci-dessous :

D'après les questions Q23 et Q24, entre les points A et B, le mouvement est circulaire uniforme sur un arc de cercle de rayon R_{\mathcal{C}} = d_{AB} à la vitesse V_0. L'accélération est purement normale et a pour norme :

Convertissons les grandeurs dans le système international d'unités :

L'application numérique donne :

Dans le référentiel non galiléen lié au train en virage circulaire uniforme de rayon R_c = 4{,}0\text{ km} à la vitesse v = 287\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{287}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 79{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la masse m_{\mathrm{p}} du pendule est soumise à :

• son poids : \vec{P} = m_{\mathrm{p}} \vec{g} (vertical descendant) ;
• la force d'inertie d'entraînement (centrifuge) : \vec{F}_{\mathrm{ie}} = m_{\mathrm{p}} \dfrac{v^2}{R_c} \vec{u}_{\mathrm{ext}} (horizontale, dirigée vers l'extérieur du virage) ;
• la tension du fil \vec{T}.

À l'équilibre, le fil s'aligne selon la direction du champ de pesanteur effectif \vec{g}_{\mathrm{eff}} = \vec{g} + \dfrac{v^2}{R_c}\vec{u}_{\mathrm{ext}}. L'angle \theta_0 entre \vec{g}_{\mathrm{eff}} et la verticale terrestre vérifie :

Numériquement :

1. Rail surélevé : Pour compenser la force centrifuge \vec{F}_{\mathrm{ie}} qui déporte les passagers vers l'extérieur du virage, le train doit être incliné vers l'intérieur. La composante du poids parallèle au plancher, P_\parallel = m_{\mathrm{p}} g \sin\alpha, est alors dirigée vers l'intérieur du virage et s'oppose à la force centrifuge. C'est donc le rail extérieur au virage qui est surélevé.

2. Estimation du dévers : Le segment noir matérialise la direction perpendiculaire au plancher du train (verticale lorsque le train est à plat). Sur la photographie de droite, le fil du pendule fait un angle résiduel \theta_{\mathrm{rel}} avec ce segment noir, mesuré à environ :

L'angle de dévers de la voie est donc :

La différence de hauteur entre les deux rails (le dévers) s'en déduit par h = E_{\mathrm{r}} \sin\alpha :

Le référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} a pour origine le centre de masse de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines supposées fixes.

Le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{t}} est lié à la Terre solide.

Par conséquent, le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{t}} est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} autour de l'axe des pôles (axe Sud-Nord géographique).

• Sens de rotation : de l'ouest vers l'est (sens direct lorsqu'on regarde le pôle Nord depuis l'espace).

• Période de rotation : le jour sidéral, de durée :

  T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s} \approx 86\,164\text{ s}

• Vitesse angulaire de rotation :

  \Omega = \frac{2\pi}{T_{\text{sid}}} \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

1. Bilan cinématique et force d'inertie de Coriolis

Le train circule de Paris (latitude 48{,}9^\circ\,\text{N}) vers Lyon (latitude 45{,}8^\circ\,\text{N}) le long d'une ligne méridienne nord-sud. Sa vitesse par rapport au référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{t}} est donc orientée vers le sud :

où (\vec{u}_{\mathrm{E}}, \vec{u}_{\mathrm{N}}, \vec{u}_z) désigne la base locale orthonormée directe (Est, Nord, Verticale ascendante).

Le vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} s'écrit dans cette base :

avec \Omega > 0 et la latitude \lambda > 0 dans l'hémisphère nord.

La force d'inertie de Coriolis subie par une masse m liée au train s'exprime par :

Comme \vec{u}_{\mathrm{N}} \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_{\mathrm{E}}, on obtient :

où \vec{u}_{\mathrm{O}} = -\vec{u}_{\mathrm{E}} est le vecteur unitaire orienté vers l'ouest.

2. Identification du rail concerné

La force d'inertie de Coriolis est orientée horizontalement vers l'Ouest (vers la droite dans le sens de la marche du train). Elle plaque le boudin de la roue droite contre la face intérieure du rail droit.

Pour maintenir le train sur une trajectoire rectiligne, le rail situé à l'ouest doit compenser cette force en exerçant une force normale horizontale de réaction orientée vers l'Est.

3. Schéma des forces de contact

Plaçons-nous face au train (le train avance vers l'observateur, \odot vers le sud) :

• L'ouest (droite du train) se trouve à la gauche du schéma ;
• L'est (gauche du train) se trouve à la droite du schéma.

Les forces de contact exercées par les rails sur les roues dans le plan de coupe sont :

• Deux forces normales d'appui vertical \vec{N}_{\mathrm{v,1}} et \vec{N}_{\mathrm{v,2}}, dirigées vers le haut ;
• Une force normale horizontale \vec{N}_{\mathrm{h}} exercée par la face intérieure du rail ouest sur le boudin de la roue droite, dirigée vers l'est.

La loi de Preston-Archard modélise le volume V de matière arrachée par usure abrasive sous la forme :

L'analyse de chaque terme met en évidence des comportements physiques tout à fait intuitifs :

• Dépendance vis-à-vis de la distance de glissement d (V \propto d) : l'usure est proportionnelle à la distance parcourue avec frottement. Plus le glissement se prolonge, plus le travail des forces de frottement est important, ce qui conduit à un arrachement cumulatif accru de matière.
• Dépendance vis-à-vis de la force normale F_{\mathrm{n}} (V \propto F_{\mathrm{n}}) : l'effort presseur favorise l'interpénétration des aspérités microscopiques de la roue et du rail. Une augmentation de la charge normale accroît l'aire réelle de contact et les contraintes de cisaillement au niveau des micro-jonctions, facilitant ainsi leur rupture et la formation de débris.
• Dépendance vis-à-vis de la dureté H (V \propto 1/H) : la dureté mesure la résistance mécanique superficielle du matériau à la pénétration et à la déformation plastique locale. Un matériau plus dur s'oppose plus efficacement à l'abrasion par les aspérités antagonistes, ce qui réduit le volume de débris formés.
• Rôle du coefficient d'Archard k : ce préfacteur phénoménologique traduit la probabilité qu'a une aspérité en contact de se rompre pour engendrer une particule d'usure. Il synthétise l'effet de l'état de surface, de la lubrification éventuelle, de la température et de l'environnement chimique.

D'après la loi d'usure de Preston-Archard :

Déterminons la dimension de chacune des grandeurs :

• Le volume de matière usée : [V] = \mathrm{L}^3.
• La dureté H, dont l'unité est donnée dans l'énoncé en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-2} : [H] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-2}.
• La force normale F_{\mathrm{n}}, homogène à une masse multipliée par une accélération : [F_{\mathrm{n}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}.
• La distance de glissement : [d] = \mathrm{L}.

En effectuant le quotient des dimensions :

L'unité de k dans le Système International est donc le \mathrm{s}^2\cdot\mathrm{m}^{-1}.

D'après la loi de Preston-Archard établie à la question précédente :

En supposant la dureté H et le coefficient k identiques pour les deux zones de contact, le rapport des volumes de matière usée s'écrit :

1. Rapport des forces normales :

• Sur la face supérieure (table de roulement), les roues supportent le poids du train. En supposant une répartition équitable de la masse M entre les deux rails :

  F_{\mathrm{n,sup}} \approx \frac{1}{2} M g

• Sur la face intérieure du rail Ouest (question Q28), la force normale compense la force d'inertie de Coriolis F_{\mathrm{ie}} = 2 M V_0 \Omega \sin\lambda :

  F_{\mathrm{n,int}} \approx 2 M V_0 \Omega \sin\lambda

Le rapport des forces normales vaut donc :

Avec V_0 = 300\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{300}{3{,}6} \approx 83{,}3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \Omega \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, une latitude moyenne \lambda \approx 47^\circ (\sin\lambda \approx 0{,}73) et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

La force normale sur la face intérieure est environ mille fois plus faible que sur la face supérieure.

2. Rapport des distances de glissement :

• Sur la face supérieure, le contact correspond macroscopiquement à un roulement sans glissement. Le glissement n'a lieu que par déformation élastique dans l'aire de contact (pseudo-glissement de contact de Carter-Reynolds), soit une distance de glissement d_{\mathrm{sup}} = \varepsilon D, avec un taux de glissement \varepsilon \sim 10^{-3}\text{ à } 10^{-2} sur la distance totale parcourue D.
• Sur la face intérieure, le contact entre le boudin de la roue et le flanc du rail s'effectue avec un glissement cinématique continu sur une distance d_{\mathrm{int}} \sim D (ou une fraction notable de D).

Ainsi, le rapport des distances de glissement est de l'ordre de :

3. Bilan comparatif et approximations :

• Si l'on fait l'approximation usuelle de premier niveau d_{\mathrm{int}} \approx d_{\mathrm{sup}}, l'usure de la face intérieure est négligeable devant celle de la face supérieure (V_{\mathrm{int}} \ll V_{\mathrm{sup}} d'un facteur 10^3).
• En tenant compte de la différence entre roulement avec micro-glissement (\varepsilon \ll 1) et frottement franc sur le boudin (d_{\mathrm{int}} \sim D), le facteur d_{\mathrm{int}}/d_{\mathrm{sup}} compense le faible rapport des forces normales : le volume usé V_{\mathrm{int}} est du même ordre de grandeur que V_{\mathrm{sup}}. De plus, l'aire de contact boudin-rail étant beaucoup plus étroite que celle de la table de roulement, l'usure linéaire (profondeur d'usure) sur la face intérieure est particulièrement marquée et asymétrique.

Approximations réalisées :

• Voie rectiligne et horizontale sans dévers, vitesse V_0 constante.
• Répartition égale du poids du train sur les deux rails.
• Guidage latéral assuré uniquement par le contact boudin-rail du rail Ouest soumis à la force de Coriolis.
• Identité des caractéristiques tribologiques (k et H) pour les deux surfaces en contact.

D'après le schéma de la figure 8, la loi des mailles dans le circuit émetteur en convention récepteur pour la résistance r_e et la diode D_1 s'écrit :

D'après les caractéristiques de la diode électroluminescente données dans le document :

• tant que u_1 < V_{sb}, la diode est bloquée et aucun courant ne la traverse (i_1 = 0), il n'y a donc pas d'émission de photons ;
• pour i_1 > 0, la diode est passante, la tension à ses bornes est fixée à sa tension de seuil u_1 = V_{sb} = 2{,}90\text{ V} et elle émet de la lumière.

Lorsque la diode conduit, le courant vaut :

Pour obtenir une émission lumineuse, il faut que le courant soit strictement positif (i_1 > 0), soit :

La valeur minimale constante de la tension u_e permettant l'émission lumineuse est donc la tension de seuil de la diode :

D'après le schéma de la figure 8, la loi des mailles dans le circuit émetteur s'écrit :

Pour i_1 = i_0 = 0{,}73\text{ A} > 0, la diode électroluminescente D_1 est polarisée en sens direct et passante. Sa tension à ses bornes est donc égale à sa tension de seuil :

Pour obtenir ce courant continu i_0, la tension constante d'alimentation U_0 doit valoir :

Application numérique :

La puissance électrique reçue par la diode s'exprime par :

Le rendement en puissance de la diode étant noté \eta_{\text{led}}, la puissance lumineuse émise vaut :

On remarque que cela permet d'identifier la constante de proportionnalité K_e définie par \Phi_e = K_e \, i_1 :

Application numérique avec \eta_{\text{led}} = 33\,\% = 0{,}33 :

D'après le schéma fonctionnel de la figure 9, le bloc multiplieur M_1 délivre la tension :

En choisissant l'origine des dates de sorte que la phase à l'origine du signal informatif soit nulle, celui-ci s'écrit a(t) = a_m \cos(\omega_a t). Avec p(t) = p_m \cos(\omega_p t + \alpha_p), on a :

Le bloc additionneur A_1 réalise la somme de la composante continue de polarisation U_0 et du signal modulé m_1(t) :

D'où l'expression de la tension d'entrée du circuit émetteur :

D'après la question Q32, la diode électroluminescente émet de la lumière dès lors que le courant direct i_1(t) est strictement positif, c'est-à-dire tant que la tension d'attaque vérifie :

Comme la pulsation de la porteuse est très grande devant celle du signal modulant (\omega_a \ll \omega_p), le produit des deux cosinus oscille entre -1 et +1. La valeur minimale atteinte par la tension u_e(t) au cours du temps est donc :

Pour s'assurer que la diode ne s'éteint jamais (absence de surmodulation et maintien de la conduction), il faut donc :

D'après la question Q33, on sait que U_0 - V_{sb} = r_e i_0. La valeur maximale du produit est donc :

Application numérique :