Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2025 (page 2/4 : Partie II)

Considérons un volume cylindrique de directrice parallèle à l'axe (Ox), de section droite d'aire S quelconque dans le plan (yOz), délimité par les plans x = -e_1 et x = e_2.

La charge électrique totale contenue dans ce volume s'obtient par intégration de la densité volumique de charge :

La neutralité électrique globale de la zone de déplétion impose Q_{\mathrm{tot}} = 0 pour toute section S, ce qui conduit à la condition littérale :

ou de manière équivalente, sachant que \rho_2 < 0 :

L'équation locale de Maxwell-Gauss relie le champ électrostatique \vec{E} à la distribution volumique de charge \rho en tout point de l'espace :

Pour établir la forme intégrale, on considère un volume arbitraire \mathcal{V} délimité par une surface fermée \Sigma, orientée conventionnellement vers l'extérieur par le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}.

En intégrant l'équation de Maxwell-Gauss sur le volume \mathcal{V}, on obtient :

D'une part, le théorème de Green-Ostrogradsky (théorème de flux-divergence) transforme l'intégrale volumique de la divergence en flux sortant à travers la surface fermée \Sigma :

D'autre part, la charge totale contenue à l'intérieur du volume \mathcal{V} est donnée par :

On en déduit l'expression intégrale du théorème de Gauss :

On repère un point de l'espace par ses coordonnées cartésiennes \mathrm{M}(x,y,z) dans la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

Invariances et dépendance spatiale La distribution de charges est constituée de deux couches planes d'extension infinie selon Oy et Oz, avec des densités volumiques \rho dépendant uniquement de x :

La distribution est donc invariante par toute translation selon \vec{u}_y et selon \vec{u}_z. Par conséquent, les composantes du champ électrostatique ne dépendent ni de y ni de z : le champ ne dépend que de l'unique variable spatiale x.

Symétries et direction du champ Soit \mathrm{M}(x,y,z) un point quelconque de l'espace. Considérons les deux plans passant par \mathrm{M} suivants :

• le plan \Pi_1 parallèle au plan (xOy), d'équation Z = z ;
• le plan \Pi_2 parallèle au plan (xOz), d'équation Y = y.

Comme la densité de charge ne dépend que de la coordonnée x, elle est invariante par réflexion par rapport à \Pi_1 et par rapport à \Pi_2. Ces deux plans sont donc des plans de symétrie de la distribution de charges.

D'après les propriétés de symétrie du champ électrostatique, le vecteur \vec{E}(\mathrm{M}) est contenu dans tout plan de symétrie passant par \mathrm{M}. Il appartient ainsi à l'intersection de \Pi_1 et \Pi_2, qui est la droite passant par \mathrm{M} dirigée selon \vec{u}_x :

En combinant l'étude des invariances et des symétries, le champ électrostatique s'écrit en tout point \mathrm{M} de l'espace :

Dans le domaine d'étude, \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x} = \frac{\rho(x)}{\varepsilon_0}.

1. Première zone : pour x \in [-e_1, \, 0], la densité volumique de charge vaut \rho(x) = \rho_1. En intégrant entre -e_1 et x, et sachant que E(-e_1) = 0 par continuité avec l'extérieur :

En particulier, à l'interface x = 0, la continuité donne E(0) = \frac{\rho_1 e_1}{\varepsilon_0}.

2. Seconde zone : pour x \in [0, \, e_2], la densité volumique de charge vaut \rho(x) = \rho_2. En intégrant entre x et e_2, et compte tenu de E(e_2) = 0 :

D'après la relation de neutralité de la question Q11, \rho_2 = -\rho_1\,\frac{e_1}{e_2}. En injectant cette expression, on obtient :

On remarque que pour x = 0, cette expression redonne bien E(0) = \frac{\rho_1 e_1}{\varepsilon_0}, ce qui confirme la continuité du champ en x = 0.

Le champ électrostatique à l'intérieur de la zone de déplétion s'écrit donc :

D'après les résultats de la question Q14, le champ électrostatique \vec{E}(x) = E(x)\,\vec{u}_x est colinéaire à \vec{u}_x et sa composante E(x) est positive ou nulle sur tout l'espace :

La norme de \vec{E}(M) est donc une fonction continue affine par morceaux :

• nulle pour x \le -e_1 et pour x \ge e_2 ;
• croissant linéairement de 0 à E_{\max} sur [-e_1, 0] avec une pente \dfrac{\rho_1}{\varepsilon_0} > 0 ;
• décroissant linéairement de E_{\max} à 0 sur [0, e_2] avec une pente \dfrac{\rho_2}{\varepsilon_0} = -\dfrac{\rho_1 e_1}{\varepsilon_0 e_2} < 0.

Le maximum est atteint à l'interface métallurgique x = 0 :

D'après les résultats des questions Q14 et Q15, le champ électrostatique régnant dans la zone de déplétion est orienté selon les x croissants :

Ce champ est donc dirigé de la région dopée N vers la région dopée P.

• Action sur les électrons : les électrons libres portent une charge négative q = -e < 0. Ils subissent donc une force électrostatique :

  \vec{F}_e = -e\,\vec{E} = -e\,E(x)\,\vec{u}_x

  orientée vers les x décroissants (vers la région N). Cette force s'oppose directement au mouvement spontané de diffusion des électrons de N vers P.

• Action sur les trous : de façon symétrique, les trous (porteurs de charge positive +e) subissent une force \vec{F}_h = +e\,\vec{E} orientée vers la région P, s'opposant à leur diffusion vers la région N.

Un état d'équilibre thermodynamique s'établit lorsque le courant de dérive (migration sous l'effet du champ électrique) compense exactement le courant de diffusion dû au gradient de concentration des porteurs : le transfert net de charges cesse.

En convention générateur, la puissance électrique \mathcal{P} délivrée par le panneau photovoltaïque s'écrit :

Une courbe iso-puissance correspond à l'ensemble des points de fonctionnement (U, I) pour lesquels la puissance fournie \mathcal{P} est constante. On obtient ainsi la relation mathématique :

Commentaire sur la forme :

• Dans le quadrant où U > 0 et I > 0, cette relation correspond à une branche d'hyperbole équilatère.
• La fonction U \mapsto \frac{\mathcal{P}}{U} est strictement décroissante et convexe.
• Elle admet l'axe des ordonnées (U = 0) pour asymptote verticale et l'axe des abscisses (I = 0) pour asymptote horizontale.
• Sur le graphique de la figure 3, plus la puissance \mathcal{P} est élevée (par exemple 25 W, 50 W, 75 W, 100 W), plus la branche d'hyperbole s'éloigne de l'origine des axes.

1. Justification qualitative de l'existence d'un maximum de puissance

Le point de fonctionnement (U, I) du circuit fermé sur la résistance R est l'intersection entre la caractéristique du panneau solaire I = f(U) en convention générateur et celle du conducteur ohmique U = R\,I (soit I = \frac{U}{R}) en convention récepteur. La puissance électrique reçue par le résistor est :

• Dans la limite d'un court-circuit (R \to 0), la tension s'annule (U \to 0) tandis que le courant atteint le courant de court-circuit I_{\mathrm{cc}} \approx 5{,}3\,\mathrm{A} ; la puissance fournie tend vers zéro :

  \lim_{R \to 0} \mathcal{P}(R) = 0

• Dans la limite d'un circuit ouvert (R \to +\infty), le courant s'annule (I \to 0) tandis que la tension atteint la tension à vide U_{\mathrm{co}} \approx 22\,\mathrm{V} ; la puissance fournie tend également vers zéro :

  \lim_{R \to +\infty} \mathcal{P}(R) = 0

La fonction \mathcal{P}(R) étant continue, strictement positive sur ]0, +\infty[ et nulle aux deux bornes, elle admet nécessairement au moins un maximum en une valeur particulière R^\star \in ]0, +\infty[.

2. Détermination graphique de \mathcal{P}_{\max} et de R^\star pour une irradiance de 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2}

Sur la figure 3, les courbes iso-puissance sont espacées de 5\,\mathrm{W}. La caractéristique pour 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2} est tangente à la deuxième courbe iso-puissance située au-dessus de la ligne repérée 75\,\mathrm{W}, soit la courbe :

La puissance maximale délivrée par le panneau vaut donc :

Au point de tangence (point de fonctionnement à puissance maximale), on lit les coordonnées :

On en déduit la résistance optimale correspondante :

Le rendement énergétique \eta du panneau photovoltaïque est défini comme le rapport entre la puissance électrique maximale \mathcal{P}_{\max} fournie par le panneau et la puissance radiative totale \mathcal{P}_{\text{inc}} du rayonnement solaire incident intercepté par la surface active du panneau :

La puissance solaire incidente s'exprime en fonction de l'irradiance (flux solaire surfacique) \Pi = 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2} = 1{,}0\cdot 10^3\,\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} et de la surface totale S_{\text{tot}} occupée par les N = 36 cellules carrées de côté c :

D'après la question Q18, pour \Pi = 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2}, la puissance maximale fournie vaut \mathcal{P}_{\max} \approx 85\,\mathrm{W}.

En utilisant l'approximation numérique suggérée par l'énoncé, c \approx \frac{1}{8}\,\mathrm{m} :

La puissance solaire incidente est donc :

Le rendement vaut ainsi :

Comparaison aux données de l'énoncé :
Le panneau étudié comporte des cellules en silicium polycristallin, dont la plage de rendement typique fournie dans le tableau de début de partie est [13\,\% - 18\,\%]. La valeur obtenue, voisine de 15\,\%, se situe précisément au cœur de cet intervalle, ce qui confirme la cohérence du résultat.

Chaque branche est constituée de y générateurs identiques associés en série (chacun de force électromotrice E et de résistance interne r). Le modèle de Thévenin d'une branche est donc :

Le circuit complet associe en parallèle x branches identiques. Par symétrie et lois d'association :

• la force électromotrice à vide de l'ensemble reste égale à celle d'une branche :

  E_{\text{Th}} = E_{\text{branche}} = y E

• la résistance interne équivalente est celle de x résistances r_{\text{branche}} en dérivation :

  r_{\text{Th}} = \frac{r_{\text{branche}}}{x} = \frac{y r}{x}

Le nombre total de cellules étant fixé à N = x y, on a y = \dfrac{N}{x}, d'où :

La résistance de charge R est connectée aux bornes de ce générateur de Thévenin équivalent (E_{\text{Th}}, r_{\text{Th}}). La formule du pont diviseur de tension donne directement :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par x^2 :

La puissance électrique reçue par la résistance R s'écrit :

En utilisant l'expression de U établie à la question Q20 :

on obtient :

Pour trouver la valeur de x > 0 maximisant \mathcal{P}_R(x), on dérive par rapport à x :

Comme x > 0, le dénominateur et le facteur 2 N^2 E^2 R x sont strictement positifs. La dérivée s'annule et change de signe de positif à négatif en :

Cette valeur correspond bien à un maximum global de la puissance. On en déduit l'expression de x :

Sachant que N = x \times y, on en déduit l'expression de y :

soit :

À la question Q21, le maximum de puissance correspond à l'adaptation de résistance r_{\text{Th}} = R, soit :

La f.é.m. de Thévenin équivalente du générateur vaut alors :

Le courant total débité dans la résistance de charge R s'écrit :

La puissance maximale \mathcal{P}_{\max} transmise au conducteur ohmique R est donc :

Par symétrie, les x branches en parallèle étant identiques, le courant circulant dans chaque branche vaut :

Chaque branche contient y résistances internes r en série. La puissance dissipée par effet Joule dans l'ensemble des N = x y résistances est donc :

Comme r_{\text{Th}} = R, on retrouve exactement :

Commentaire :

• Égalité des puissances et rendement électrique : À l'adaptation d'impédance, la puissance fournie à la charge est strictement égale à la puissance dissipée par effet Joule dans les générateurs (\mathcal{P}_{\mathrm{J}} = \mathcal{P}_{\max}). Le rendement électrique du générateur est donc de :

  \eta_{\text{elec}} = \frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\text{tot}}} = \frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\max} + \mathcal{P}_{\mathrm{J}}} = 50\,\%

  Le régime d'adaptation de puissance ne maximise pas le rendement énergétique, la moitié de l'énergie électrique produite étant perdue sous forme de chaleur dans les cellules.

• Caractère extensif : La puissance maximale extractible \mathcal{P}_{\max} est directement proportionnelle au nombre total de cellules N et ne dépend que des caractéristiques intrinsèques E et r d'une cellule individuelle (pourvu que l'agencement (x, y) soit adapté à la charge R).