Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2024

Dans le vide (ou un milieu de perméabilité magnétique \mu_0), le vecteur de Poynting s'exprime sous la forme :

Ce vecteur représente le vecteur densité de courant d'énergie électromagnétique, c'est-à-dire une puissance rayonnée par unité de surface transverse. Sa dimension est donc celle d'une puissance divisée par une surface :

Son unité courante dans le Système international est :

D'après l'énoncé, la densité volumique de quantité de mouvement du champ électromagnétique est :

Or, d'après la question 1, le vecteur de Poynting s'écrit \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}, de sorte que \vec{E} \wedge \vec{B} = \mu_0 \vec{\Pi}. La relation liant la permittivité diélectrique \varepsilon_0 et la perméabilité magnétique \mu_0 du vide à la célérité de la lumière dans le vide c est \varepsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}. On en déduit :

Déterminons à présent les dimensions des grandeurs demandées :

• Pour la densité volumique de quantité de mouvement \vec{g}_{\mathrm{em}} :

  [\vec{g}_{\mathrm{em}}] = \frac{[\vec{\Pi}]}{[c]^2} = \frac{\mathrm{M}\cdot \mathrm{T}^{-3}}{\mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-2}} = \mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^{-2}\cdot \mathrm{T}^{-1}

• Pour la densité volumique de moment cinétique \vec{\ell}_{\mathrm{em}} = \overrightarrow{OM} \wedge \vec{g}_{\mathrm{em}} :

  [\vec{\ell}_{\mathrm{em}}] = [\overrightarrow{OM}] \cdot [\vec{g}_{\mathrm{em}}] = \mathrm{L} \cdot (\mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^{-2}\cdot \mathrm{T}^{-1}) = \mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^{-1}\cdot \mathrm{T}^{-1}

Vérifions l'homogénéité des intégrales sur tout l'espace :

• Pour \vec{G}_{\mathrm{em}}(t) = \iiint_{\mathcal{E}} \vec{g}_{\mathrm{em}}\,\mathrm{d}V :

  [\vec{G}_{\mathrm{em}}] = [\vec{g}_{\mathrm{em}}] \cdot [\mathrm{d}V] = (\mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^{-2}\cdot \mathrm{T}^{-1}) \cdot \mathrm{L}^3 = \mathrm{M}\cdot \mathrm{L}\cdot \mathrm{T}^{-1}

  qui est bien la dimension d'une quantité de mouvement ([p] = [m v] = \mathrm{M}\cdot \mathrm{L}\cdot \mathrm{T}^{-1}).

• Pour \vec{L}_{\mathrm{em}}(t) = \iiint_{\mathcal{E}} \vec{\ell}_{\mathrm{em}}\,\mathrm{d}V :

  [\vec{L}_{\mathrm{em}}] = [\vec{\ell}_{\mathrm{em}}] \cdot [\mathrm{d}V] = (\mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^{-1}\cdot \mathrm{T}^{-1}) \cdot \mathrm{L}^3 = \mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^2\cdot \mathrm{T}^{-1}

  qui est bien la dimension d'un moment cinétique ([L] = [r \cdot p] = \mathrm{L} \cdot (\mathrm{M}\cdot \mathrm{L}\cdot \mathrm{T}^{-1}) = \mathrm{M}\cdot \mathrm{L}^2\cdot \mathrm{T}^{-1}).

1. Approximations utilisées :

• Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) : l'énoncé précise que l'ARQS est applicable. Le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) à l'instant t est donc identique au champ magnétostatique créé par un courant continu de valeur instantanée i(t).
• Modèle du solénoïde infini : la longueur L étant suffisamment grande devant le rayon b (L \gg b), on néglige les effets de bord aux extrémités et on assimile le solénoïde à un solénoïde infiniment long le long de l'axe (Oz), comportant une densité linéique d'enroulement n = N/L.

2. Symétries et invariances :

• Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan d'anti-symétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique en tout point d'un tel plan lui est perpendiculaire, ce qui implique que le champ magnétique est purement axial :

  \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, \theta, z, t)\,\vec{e}_z

• Pour un solénoïde infini, la distribution de courant est invariante par translation selon z et par rotation autour de (Oz) (invariance selon \theta). Ainsi, B_z ne dépend spatialement que de la distance radiale r :

  \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, t)\,\vec{e}_z

3. Détermination du champ magnétique par le théorème d'Ampère : On applique le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire fermé de côtés parallèles à \vec{e}_z (de longueur h) et orienté selon la règle du tire-bouchon :

• Pour un contour entièrement à l'extérieur (r > b) : le courant enlacé est nul, donc B_z(r_1, t) - B_z(r_2, t) = 0. Le champ est uniforme à l'extérieur. Les sources de courant étant localisées à distance finie, le champ doit s'annuler à l'infini (r \to +\infty), d'où :

  \vec{B}_{\mathrm{sol, ext}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour } r > b

• Pour un contour traversant la nappe de courant (un côté à l'intérieur r < b, un côté à l'extérieur r > b) :

  \oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r, t)\,h - B_{z,\mathrm{ext}}\,h = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 \left(\frac{N}{L} h\right) i(t)

  Puisque B_{z,\mathrm{ext}} = 0, on obtient :

  \vec{B}_{\mathrm{sol, int}}(M, t) = \mu_0 \frac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z \quad \text{pour } r < b

4. Expressions selon les phases temporelles :

• Phase 1 : t < 0 (i(t) = i_0) :

  \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i_0\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

• Phase 2 : t \in [0, \tau[ (i(t) décroît de i_0 à 0) :

  \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

• Phase 3 : t \geq \tau (i(t) = 0) :

  \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{dans tout l'espace}

Ces résultats se résument par :

5. Homogénéité :

• À l'intérieur (r < b), le champ ne dépend pas des coordonnées d'espace (r, \theta, z) : le champ est donc homogène (uniforme) à l'intérieur du solénoïde à chaque instant.
• À l'extérieur (r > b), le champ est identiquement nul partout : il est donc également homogène (uniforme) à l'extérieur.

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), le solénoïde est modélisé comme infini le long de l'axe (Oz). Le fil est supposé non chargé, de sorte qu'il n'y a pas de terme de charge statique et le champ électrique est purement induit.

Symétries et invariances : La distribution de courant présente une invariance par translation selon z et par rotation autour de (Oz). Les composantes du champ ne dépendent donc que de la coordonnée radiale r. De plus, le champ magnétique est dirigé selon \vec{e}_z. D'après l'équation de Maxwell-Faraday sous forme locale \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\mathrm{sol}} = -\frac{\partial \vec{B}_{\mathrm{sol}}}{\partial t}, le champ électrique présente une composante orthoradiale :

Théorème de Faraday : Soit un cercle orienté \mathcal{C} de rayon r, d'axe (Oz), contenu dans un plan orthogonal à (Oz) et orienté par sa normale \vec{e}_z. La circulation du champ électrique le long de ce contour vaut :

D'après la loi de Faraday, cette circulation est reliée au flux du champ magnétique \Phi(t) = \iint_{\mathcal{S}} \vec{B}_{\mathrm{sol}}\cdot\mathrm{d}\vec{S} à travers le disque \mathcal{S} délimité par \mathcal{C} :

D'après la question Q3, \vec{B}_{\mathrm{sol}} = \mu_0 \frac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z pour r < b et \vec{B}_{\mathrm{sol}} = \vec{0} pour r > b.

• À l'intérieur du solénoïde (r < b) :

  \begin{aligned} \Phi(t) &= \pi r^2 B_{\mathrm{sol}}(t) = \mu_0 \frac{N}{L} \pi r^2 i(t) \\ E_\theta(r, t) \times 2\pi r &= -\mu_0 \frac{N}{L} \pi r^2 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies \vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = -\frac{\mu_0 N}{2L} r \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

• À l'extérieur du solénoïde (r > b) : Le flux magnétique est confiné dans le rayon b :

  \begin{aligned} \Phi(t) &= \pi b^2 B_{\mathrm{sol}}(t) = \mu_0 \frac{N}{L} \pi b^2 i(t) \\ E_\theta(r, t) \times 2\pi r &= -\mu_0 \frac{N}{L} \pi b^2 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies \vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = -\frac{\mu_0 N b^2}{2L r} \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

Étude selon les différentes phases temporelles :

• Pour t < 0 : i(t) = i_0 = \text{cte}, donc \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0 :

  \boxed{\vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour tout } r}

• Pour t \in [0, \tau[ : le courant i(t) varie dans le temps, ainsi :

  \boxed{\vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \begin{cases} \displaystyle -\frac{\mu_0 N}{2L} r \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta & \text{pour } r < b \\[1em] \displaystyle -\frac{\mu_0 N b^2}{2L r} \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta & \text{pour } r > b \end{cases}}

• Pour t \geq \tau : i(t) = 0 = \text{cte}, donc \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0 :

  \boxed{\vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour tout } r}

Homogénéité : Pour t \in [0, \tau[, \vec{E}_{\mathrm{sol}} dépend explicitement de la position radiale r (linéaire en r à l'intérieur, en 1/r à l'extérieur) et sa direction dépend de \theta via \vec{e}_\theta. Le champ électrique n'est donc homogène ni à l'intérieur ni à l'extérieur du solénoïde (il est en revanche uniformément nul pour les phases t < 0 et t \geq \tau).

On étudie la particule ponctuelle de masse m et de charge q dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. Le poids étant négligé, la particule est uniquement soumise à la force de Lorentz :

D'après la question Q3, pour tout t et pour r = a > b, le champ magnétique extérieur est nul : \vec{B}_{\mathrm{sol}}(P, t) = \vec{0}. La force magnétique est donc nulle, et seule la composante électrique induite intervient :

Le point P est repéré par ses coordonnées cylindriques (r = a, \theta = 0, z = 0), de sorte que \vec{e}_r = \vec{e}_x et \vec{e}_\theta = \vec{e}_y. D'après le résultat de la question Q4, pour r = a > b et t \in [0, \tau[ :

Pendant la durée \tau, le déplacement de la particule est négligé, elle reste donc en P. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors :

En intégrant entre t = 0 (où la particule est immobile, \vec{v}(0) = \vec{0}, et i(0) = i_0) et t = \tau (où i(\tau) = 0) :

Pour t \geq \tau, le courant est nul, donc \vec{E}_{\mathrm{sol}} = \vec{0} : aucune force ne s'exerce sur la particule. Le mouvement est alors rectiligne et uniforme, et la vitesse \vec{v}_P reste constante :

D'après la loi de Coulomb, le champ électrostatique créé en un point M par une charge ponctuelle q située en P s'écrit :

Le champ électromagnétique total en un point M s'écrit par superposition :

1. Phase t < 0 :

• La charge q est immobile en P : elle ne crée aucun champ magnétique (\vec{B}_q = \vec{0}), et son champ électrostatique s'écrit (question Q6) :

  \vec{E}_q(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\overrightarrow{PM}}{\|\overrightarrow{PM}\|^3}.

• Le courant est constant (i(t) = i_0) : d'après les questions Q3 et Q4, \vec{E}_{\mathrm{sol}} = \vec{0}, et le champ magnétique vaut :

  \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M) = \begin{cases} \mu_0 \dfrac{N}{L} i_0\,\vec{e}_z & \text{pour } M \in \mathcal{V}_{\mathrm{sol}} \text{ (intérieur),} \\ \vec{0} & \text{pour } M \notin \mathcal{V}_{\mathrm{sol}} \text{ (extérieur).} \end{cases}

La densité volumique de quantité de mouvement du champ électromagnétique est \vec{g}_{\mathrm{em}} = \varepsilon_0 \vec{E}_q \wedge \vec{B}_{\mathrm{sol}}. Elle est donc nulle à l'extérieur du solénoïde. À l'intérieur (M \in \mathcal{V}_{\mathrm{sol}}), elle vaut :

Par intégration sur tout l'espace \mathcal{E} (qui se réduit au volume \mathcal{V}_{\mathrm{sol}}) :

En utilisant l'intégrale donnée par l'énoncé :

et sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_z = -\vec{e}_y, on obtient :

Soit finalement :

2. Phase t \ge \tau :

Pour t \ge \tau, le courant dans le solénoïde est nul (i = 0), donc \vec{B}_{\mathrm{sol}} = \vec{0} et \vec{E}_{\mathrm{sol}} = \vec{0}. Dans le cadre du problème (vitesses non relativistes, où l'on néglige le terme d'auto-interaction de la particule), le champ magnétique macroscopique est éteint et :

D'après les questions précédentes, on dispose des quantités de mouvement avant et après la coupure du courant dans le solénoïde :

• Pour la particule ponctuelle :

  • pour t < 0, la charge est immobile, d'où :

    \vec{p}_{\mathrm{part}}(t < 0) = \vec{0}

  • pour t \ge \tau, la vitesse de la charge vaut \vec{v}_P = \dfrac{q \mu_0 N b^2 i_0}{2 m L a}\,\vec{e}_y (question Q5), d'où :

    \vec{p}_{\mathrm{part}}(t \ge \tau) = m \vec{v}_P = \frac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y \neq \vec{0}

  La quantité de mouvement de la particule n'est donc pas conservée au cours du temps : elle a varié de \Delta \vec{p}_{\mathrm{part}} = \dfrac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y.

• Pour le champ électromagnétique (résultat de la question Q7) :

  • pour t < 0 :

    \vec{G}_{\mathrm{em}}(t < 0) = \frac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y

  • pour t \ge \tau :

    \vec{G}_{\mathrm{em}}(t \ge \tau) = \vec{0}

  La quantité de mouvement du champ électromagnétique n'est pas non plus conservée au cours du temps : elle a varié de \Delta \vec{G}_{\mathrm{em}} = -\dfrac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y.

• Pour l'ensemble {charge + champ électromagnétique} : La quantité de mouvement totale du système s'écrit \vec{P}_{\mathrm{tot}}(t) = \vec{p}_{\mathrm{part}}(t) + \vec{G}_{\mathrm{em}}(t). On a ainsi :

  \begin{aligned} \vec{P}_{\mathrm{tot}}(t < 0) &= \vec{0} + \frac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y = \frac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y \\ \vec{P}_{\mathrm{tot}}(t \ge \tau) &= \frac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y + \vec{0} = \frac{\mu_0 q N b^2 i_0}{2 L a}\,\vec{e}_y \end{aligned}

  On constate que \vec{P}_{\mathrm{tot}}(t < 0) = \vec{P}_{\mathrm{tot}}(t \ge \tau), soit \Delta \vec{P}_{\mathrm{tot}} = \vec{0} :

  \boxed{\text{La quantité de mouvement de l'ensemble \{charge + champ\} est conservée.}}

Mécanisme de mise en mouvement :
Pendant le régime transitoire (t \in [0, \tau]), la variation temporelle du courant entraîne une décroissance du champ magnétique dans le solénoïde, ce qui induit un champ électrique orthoradial \vec{E}_{\mathrm{sol}}(P, t) en vertu de l'équation de Maxwell-Faraday. Ce champ induit exerce une force de Lorentz \vec{F} = q\vec{E}_{\mathrm{sol}} sur la charge, qui la met en mouvement.

Du point de vue du bilan global, la mise en mouvement de la particule s'interprète comme un transfert direct et intégral de la quantité de mouvement initialement stockée dans le champ électromagnétique statique croisé (\vec{E}_q, \vec{B}_{\mathrm{sol}}) vers la particule matérielle.

L'espace situé entre les parois est le vide, dépourvu de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}). Les équations de Maxwell s'écrivent :

avec c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}. En prenant le rotationnel de la loi de Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E}, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert :

Le champ électrique s'écrit sous forme harmonique monochromatique :

Calculons les opérateurs intervenant dans l'équation de propagation :

En injectant ces expressions dans l'équation de d'Alembert et en simplifiant par le terme temporel non nul \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_y, il vient :

En introduisant k = \frac{\omega}{c}, on obtient l'équation différentielle vérifiée par E_0(x) :

Les parois situées en x = 0 et x = L sont constituées d'un métal parfait (\gamma \to +\infty), au sein duquel le champ électrique est rigoureusement nul : \vec{E}_{\text{métal}} = \vec{0}.

D'après la relation de passage fournie :

Le vecteur normal aux parois est orienté selon \vec{e}_x, ce qui implique que la composante tangentielle du champ électrique est continue à travers chaque interface :

Le champ électrique étant purement polarisé selon \vec{e}_y, direction parallèle aux parois, il est entièrement tangentiel. Par conséquent, les conditions aux limites sur E_0(x) s'écrivent :

D'après la question 9, l'amplitude spatiale E_0(x) vérifie :

La solution générale est de la forme :

L'application de la première condition aux limites donne :

La seconde condition aux limites impose alors :

Pour obtenir une solution non triviale (B \neq 0), l'argument du sinus doit être un multiple entier de \pi :

Par convention, la pulsation \omega et la norme du vecteur d'onde k = \omega/c sont strictement positives, ce qui restreint les valeurs permises à n \in \mathbb{N}^*. Le vecteur d'onde est donc quantifié :

La pulsation est ainsi quantifiée selon :

L'amplitude spatiale associée au mode n s'écrit alors, à une constante multiplicative près notée E_{0n} :

Considérons le champ électrique polarisé rectilignement selon \vec{e}_z :

L'espace entre les parois étant vide de charges et de courants, le champ vérifie l'équation de d'Alembert :

avec k = \frac{\omega}{c}. L'amplitude E_0(x) obéit donc exactement à la même équation différentielle qu'à la question Q9 :

Les parois en x = 0 et x = L sont des conducteurs parfaits où le champ électrique est nul. Le vecteur unitaire normal aux parois est orienté selon \vec{e}_x. Le vecteur \vec{e}_z est orthogonal à \vec{e}_x ; il s'agit donc d'une direction tangentielle aux deux interfaces. D'après la relation de passage (2) rappelée dans l'énoncé :

la composante tangentielle du champ électrique est continue à travers chaque paroi. Comme le champ est identiquement nul dans le métal parfait, la composante tangentielle selon \vec{e}_z doit s'annuler en x = 0 et x = L :

Ces conditions aux limites étant strictement identiques à celles de la question Q10, la résolution conduit à la même forme d'amplitude spatiale non triviale et à la même condition de quantification de la pulsation :

Par conséquent, à chaque pulsation quantifiée \omega_n, l'espace des solutions admet deux modes indépendants :

• un mode polarisé selon \vec{e}_y : \vec{E}_y(M,t) = E_{0y}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n t}\vec{e}_y,
• un mode polarisé selon \vec{e}_z : \vec{E}_z(M,t) = E_{0z}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n t}\vec{e}_z.

Ces deux ondes sont polarisées rectilignement selon des directions orthogonales entre elles (\vec{e}_y \cdot \vec{e}_z = 0). Toute polarisation transverse peut alors s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux états fondamentaux.

D'après l'énoncé, la pulsation propre associée au triplet (n_x, n_y, n_z) \in (\mathbb{N}^*)^3 s'écrit :

La condition \omega_{n_x, n_y, n_z} \le \omega équivaut à :

Dans l'espace des vecteurs d'onde (k_x, k_y, k_z), les états correspondent aux nœuds d'un réseau cubique de pas \pi/L. Le volume élémentaire associé à chaque nœud est :

Comme les entiers n_x, n_y et n_z sont strictement positifs, les vecteurs d'onde admissibles se situent exclusivement dans le premier octant (k_x > 0, k_y > 0, k_z > 0). Dans la limite des hautes fréquences (où le nombre d'états est grand), le nombre de nœuds correspond au rapport entre le volume du premier octant de la sphère de rayon k et le volume élémentaire \delta V_k :

où V = L^3 est le volume de la cavité cubique.

Chaque nœud représentant deux modes de polarisations rectilignes indépendantes, le nombre total de modes \mathcal{N}(\omega) dont la pulsation est inférieure à \omega s'obtient en multipliant par 2 :

Le nombre total de modes de pulsation inférieure à \omega a été établi à la question précédente (Q12) :

Par définition, la densité d'états (ou nombre de modes par unité de pulsation) \mathcal{D}(\omega) s'obtient en dérivant \mathcal{N}(\omega) par rapport à \omega :

d'où :

Pour exprimer le nombre de modes par unité de fréquence \mathcal{D}(\nu), on exprime la conservation du nombre de modes compris entre la fréquence \nu et \nu + \mathrm{d}\nu (soit entre \omega et \omega + \mathrm{d}\omega) :

La relation reliant pulsation et fréquence étant \omega = 2\pi\nu, on a \mathrm{d}\omega = 2\pi\,\mathrm{d}\nu. Il vient ainsi :

On retrouve bien l'expression attendue :

Comme précisé dans le préambule de la partie II.B, chaque mode propre du champ électromagnétique (défini par son triplet (n_x, n_y, n_z) et son état de polarisation) est analogue à un oscillateur harmonique unidimensionnel.

L'énergie d'un tel mode s'écrit comme la somme de deux termes quadratiques indépendants, correspondant respectivement à l'énergie électrique et à l'énergie magnétique :

D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie de la physique statistique classique, à l'équilibre thermodynamique avec un thermostat à la température T, chaque terme quadratique indépendant dans le hamiltonien apporte une contribution moyenne égale à \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T. L'énergie moyenne d'un mode quelconque, quelle que soit sa fréquence \nu, vaut donc :

L'énergie électromagnétique moyenne totale comprise dans l'intervalle spectral [\nu, \nu + \mathrm{d}\nu] s'écrit alors :

En utilisant l'expression de la densité de modes \mathcal{D}(\nu) établie à la question Q13, il vient :

Par identification avec la relation demandée \overline{\mathcal{U}}(\nu) = A \nu^2 k_{\mathrm{B}} T, on obtient le préfacteur :

et la densité spectrale d'énergie moyenne de Rayleigh-Jeans :

1. Comparaison avec les données expérimentales (figure 3) :

D'après le modèle de Rayleigh-Jeans (question 14), la densité spectrale est proportionnelle au carré de la fréquence : \overline{\mathcal{U}}(\nu) \propto \nu^2. En coordonnées logarithmiques, cela se traduit par une droite de pente +2 :

• À basse fréquence (\nu \lesssim 100\text{ GHz}) : les points expérimentaux s'alignent parfaitement sur une droite croissante de pente +2 ; le modèle de Rayleigh-Jeans est donc en excellent accord avec les observations.
• À haute fréquence (\nu \gtrsim 150\text{ GHz}) : le spectre réel atteint un maximum vers 160\text{ GHz} puis chute exponentiellement vers zéro, alors que le modèle de Rayleigh-Jeans prévoit une croissance monotone en \nu^2 tendant vers l'infini.

2. La « catastrophe ultraviolette » :

L'énergie électromagnétique totale contenue dans la cavité s'obtient en intégrant la densité spectrale sur toutes les fréquences :

Cette intégrale diverge à la borne supérieure (hautes fréquences, domaine ultraviolet et au-delà). Un corps noir à l'équilibre thermique avec un thermostat rayonnerait ainsi une énergie infinie, ce qui est physiquement absurde. C'est cette divergence aux hautes fréquences que Paul Ehrenfest a qualifiée de catastrophe ultraviolette.

3. Hypothèse erronée :

L'hypothèse erronée réside dans l'application sans restriction du théorème d'équipartition de l'énergie de la physique statistique classique, qui suppose implicitement que :

• l'énergie échangée entre le champ électromagnétique et la matière est une grandeur continue ;
• chaque mode peut être excité thermiquement avec une énergie moyenne égale à k_{\mathrm{B}}T, indépendamment de sa fréquence \nu, ce qui devient faux dès lors que le quantum d'énergie h\nu dépasse l'énergie thermique k_{\mathrm{B}}T.

D'après l'énoncé, un mode électromagnétique de fréquence \nu contenant n photons possède une énergie quantifiée :

Le système {cavité + champ} étant en équilibre thermique à la température T avec un thermostat, la probabilité d'occupation de l'état d'énergie \mathcal{E}_n(\nu) est régie par la statistique canonique de Maxwell-Boltzmann. Elle est proportionnelle au facteur de Boltzmann :

où \beta = \dfrac{1}{k_{\mathrm{B}} T}.

En introduisant le facteur de normalisation \mathcal{Z}(\beta, \nu), appelé fonction de partition du mode, tel que la somme des probabilités sur tous les micro-états possibles (n \in \mathbb{N}) vaille 1 :

la probabilité \mathcal{P}_n(\nu) s'exprime sous la forme :

D'après la question Q16, la probabilité d'occupation de l'état à n photons s'écrit :

La condition de normalisation impose :

Comme la température thermodynamique T est strictement positive et \nu > 0, la raison vérifie 0 < \mathrm{e}^{-\beta h\nu} < 1. Il s'agit de la somme d'une série géométrique convergente de premier terme 1 :

En injectant cette fonction de partition dans l'expression de la probabilité \mathcal{P}_n(\nu), on obtient :

Par définition de l'espérance pour la variable aléatoire discrète n représentant le nombre de photons dans le mode :

D'après la question 17, \mathcal{P}_n(\nu) = (1 - \mathrm{e}^{-\beta h\nu})\,\mathrm{e}^{-\beta n h\nu}. En posant x = \mathrm{e}^{-\beta h\nu}, avec x \in ]0, 1[ car \beta h\nu > 0, l'expression devient :

Pour tout x \in ]-1, 1[, la somme de la série géométrique converge et vérifie :

Par dérivation terme à terme par rapport à x sur l'intervalle ouvert ]-1, 1[ :

On en déduit la somme de la série :

En reportant dans l'expression de \bar{n}(\nu) :

En réinjectant x = \mathrm{e}^{-\beta h\nu}, on obtient :

En divisant le numérateur et le dénominateur par \mathrm{e}^{-\beta h\nu} :

D'après la question 18, le nombre moyen de photons dans le mode de fréquence \nu s'écrit :

On en déduit l'expression de \mathrm{e}^{\beta h\nu} :

Le facteur x = \mathrm{e}^{-\beta h\nu} vaut donc :

Il vient alors immédiatement :

D'après le résultat de la question 17, la probabilité d'avoir n photons dans le mode est :

On obtient bien la forme annoncée :

L'énergie d'un mode de fréquence \nu contenant n photons s'écrit \mathcal{E}_n(\nu) = n h \nu. Par linéarité de l'espérance mathématique, l'énergie moyenne de ce mode est donnée par :

En utilisant l'expression du nombre moyen de photons \bar{n}(\nu) établie à la question 18 :

on obtient directement l'énergie moyenne d'un mode :

La densité spectrale d'énergie moyenne contenue dans la cavité, \overline{\mathcal{U}}(\nu), correspond à l'énergie moyenne par unité de fréquence. Elle est le produit du nombre de modes par unité de fréquence \mathcal{D}(\nu) par l'énergie moyenne \overline{\mathcal{E}}(\nu) d'un mode :

D'après le résultat de la question 13, la densité d'états fréquentielle s'écrit :

En combinant ces deux relations, on retrouve la loi spectrale de Planck pour l'énergie contenue dans la cavité :

D'après la question Q20, la densité spectrale d'énergie moyenne s'écrit :

Les deux énergies caractéristiques intervenant dans le système sont :

• l'énergie quantique associée à un mode de fréquence \nu : \mathcal{E}_{\mathrm{q}} = h\nu ;
• l'énergie d'agitation thermique caractéristique : \mathcal{E}_{\mathrm{th}} = k_{\mathrm{B}}T.

1. Régime des basses fréquences (h\nu \ll k_{\mathrm{B}}T) :

Lorsque \beta h\nu \ll 1, le quantum d'énergie est très petit devant l'énergie thermique. On effectue un développement limité au premier ordre :

Il vient ainsi pour l'énergie moyenne d'un mode :

ce qui redonne exactement le résultat issu du théorème d'équipartition de l'énergie. La densité spectrale d'énergie devient :

On retrouve asymptotiquement la formule classique de Rayleigh-Jeans.

2. Régime des hautes fréquences (h\nu \gg k_{\mathrm{B}}T) :

Lorsque \beta h\nu \gg 1, on a \mathrm{e}^{\beta h\nu} \gg 1, d'où :

La densité spectrale d'énergie s'écrit alors :

Il s'agit de la loi empirique proposée par Wien (1896), caractérisée par une coupure exponentielle aux hautes fréquences.

3. Tracé comparatif :

4. Résolution de la catastrophe ultraviolette :

Dans le modèle classique de Rayleigh-Jeans, chaque mode possède l'énergie moyenne k_{\mathrm{B}}T, indépendamment de sa fréquence. Comme le nombre de modes croît en \nu^2, la densité spectrale diverge quadratiquement vers l'infini lorsque \nu \to +\infty. L'énergie totale intégrée sur toutes les fréquences divergeait ainsi vers l'infini : c'était la « catastrophe ultraviolette ».

Dans l'approche de Planck, l'hypothèse de quantification impose que pour exciter un mode de fréquence élevée, une énergie minimale h\nu doit être fournie. Pour des fréquences telles que h\nu \gg k_{\mathrm{B}}T, l'énergie thermique disponible est insuffisante pour peupler ces modes, ce qui entraîne une coupure exponentielle en \mathrm{e}^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T}. L'énergie moyenne d'un mode tend vers 0 lorsque \nu \to +\infty, et l'énergie totale intégrée dans la cavité devient finie, en parfait accord avec l'expérience et la loi de Stefan-Boltzmann.

Selon l'hypothèse corpusculaire proposée par Einstein (1905), la lumière de longueur d'onde \lambda dans le vide est constituée de photons d'énergie élémentaire :

L'effet photoélectrique résulte d'un processus élémentaire à un photon : un électron du métal absorbe un photon et un seul. Pour être extrait du matériau, cet électron doit recevoir une énergie supérieure ou égale au travail d'extraction W_0, ce qui impose la condition de seuil :

Calculons l'énergie d'un photon incident pour la raie \lambda = 546\text{ nm} = 0{,}546\ \mu\mathrm{m} :

On constate ainsi que :

L'énergie transportée par un photon individuel de longueur d'onde \lambda = 546\text{ nm} est insuffisante pour vaincre la barrière d'extraction des électrons du lithium. Aucun photo-électron ne peut donc être arraché, ce qui explique l'absence totale de photo-courant (i = 0), quelle que soit la puissance lumineuse incidente P.

1. Observation d'un photo-courant pour u = 0 :

En l'absence de tension appliquée (u = V_A - V_C = 0), le champ électrique entre la cathode et l'anode est nul. Toutefois, d'après l'hypothèse de l'énoncé, les photo-électrons arrachés au lithium possèdent une vitesse d'éjection \vec{v} non nulle (associée à l'énergie excédentaire E_c = h\nu - W_0 > 0). Les directions d'éjection étant aléatoires, une fraction de ces électrons possède une vitesse dirigée vers l'anode et l'atteint par simple vol balistique. Ce flux d'électrons atteignant l'anode referme le circuit électrique et engendre un courant non nul :

2. Évolution pour une tension u < 0 :

Lorsque l'on applique une tension négative (u = V_A - V_C < 0), le potentiel de l'anode est inférieur à celui de la cathode (V_A < V_C).

• Le champ électrique créé est dirigé de la cathode vers l'anode (\vec{E} = -\vec{\nabla}V).
• La force électrostatique subie par un électron, \vec{F} = -e\vec{E}, est donc dirigée vers la cathode : elle s'oppose au mouvement des électrons vers l'anode. Il s'agit d'un champ électrique décélérateur (ou freineur).

• Le théorème de l'énergie cinétique entre la cathode et l'anode donne pour un électron de vitesse initiale \vec{v} :

  \Delta E_c = E_c(A) - E_c(C) = W(\vec{F}) = -e(V_A - V_C) = -e u < 0 \quad (\text{avec } u < 0).

L'électron doit donc franchir une barrière d'énergie potentielle \Delta E_p = e|u| = -eu > 0. Au fur et à mesure que u devient plus négatif (c'est-à-dire que |u| augmente), seuls les électrons possédant une composante cinétique selon l'axe cathode-anode suffisante pour franchir cette barrière parviennent à l'anode : le photocourant i diminue continûment.

3. Justification de l'appellation « potentiel d'arrêt » :

Lorsque la tension atteint la valeur négative seuil u = -U_0 (avec U_0 > 0), la barrière de potentiel e U_0 devient supérieure à l'énergie cinétique maximale que peut posséder un électron à l'éjection :

Même les électrons les plus énergétiques émis orthogonalement à la cathode sont freinés et rebroussent chemin avant ou pile au contact de l'anode. Plus aucun électron n'atteint l'anode, ce qui conduit à l'annulation stricte du photocourant :

La tension U_0 correspond à la différence de potentiel minimale nécessaire pour arrêter l'ensemble des photo-électrons et annuler le courant, d'où le terme de « potentiel d'arrêt ».

Lors de l'absorption d'un photon incident d'énergie h\nu par un électron libre de la cathode, l'énergie est intégralement transférée à l'électron. Une part W_0 de cette énergie est consommée pour extraire l'électron du métal, le reliquat étant communiqué sous forme d'énergie cinétique. L'énergie cinétique maximale d'un photo-électron à la sortie immédiate de la cathode s'écrit selon la relation d'Einstein :

Lorsque la tension appliquée est u = -U_0 < 0, le champ électrique s'oppose au mouvement des électrons de la cathode vers l'anode. La variation d'énergie cinétique entre la cathode (potentiel nul) et l'anode (potentiel u = -U_0) pour un photo-électron de charge q = -e s'écrit, en appliquant le théorème de l'énergie cinétique :

Le photocourant i s'annule précisément lorsque les photo-électrons les plus véloces ne parviennent plus à atteindre l'anode, ce qui correspond à une énergie cinétique nulle à l'arrivée sur l'anode :

En identifiant les deux expressions de E_{c,\max}, on obtient :

D'où l'expression du potentiel d'arrêt :

Justification de l'observation ii) : Pour un matériau de cathode donné (fixant le travail d'extraction W_0), les grandeurs h, e et W_0 sont des constantes physiques. Le potentiel d'arrêt U_0 est donc une fonction affine de la seule fréquence \nu du rayonnement incident. En particulier, il ne dépend pas de la puissance lumineuse incidente P, ce qui confirme pleinement l'observation expérimentale ii).

D'après la question Q24, le potentiel d'arrêt U_0 varie linéairement avec la fréquence \nu selon :

La courbe représentative U_0 = f(\nu) est donc une droite de pente :

Pour déterminer la pente p, choisissons deux points bien identifiés sur la droite tracée :

• Le point d'intersection avec l'axe des abscisses (U_{0,1} = 0\text{ V}), pour lequel l'énoncé indique directement dans la légende :

  \nu_1 = \nu_0 = 57,0 \times 10^{13}\text{ Hz}

• Un point de mesure situé à haute fréquence afin de maximiser le bras de levier, par exemple la raie à \lambda = 313\text{ nm} correspondant à :

  \nu_2 \simeq 96,0 \times 10^{13}\text{ Hz} \quad \text{pour lequel on lit} \quad U_{0,2} \simeq 1,60\text{ V}

La pente expérimentale vaut ainsi :

On en déduit la valeur de la constante de Planck :

Estimons l'incertitude liée à la lecture graphique :

• L'axe vertical étant gradué tous les 0,2\text{ V}, l'incertitude de lecture sur une tension est typiquement de l'ordre d'un quart de graduation : \delta U_0 \simeq 0,05\text{ V}.
• Sur l'axe des fréquences, l'incertitude de repérage est de l'ordre de \delta \nu \simeq 0,5 \times 10^{13}\text{ Hz}.

L'écart relatif sur la pente vérifie :

Ce qui conduit à une incertitude absolue :

Lorsque la tension appliquée est positive (u > 0), le potentiel de l'anode est supérieur à celui de la cathode (V_A > V_C). Le champ électrique régnant dans l'espace inter-électrodes est dirigé de l'anode vers la cathode, exerçant sur les électrons (de charge négative -e) une force électrostatique accélératrice attractive vers l'anode :

1. Augmentation progressive du courant : Les photo-électrons sont éjectés de la cathode avec des directions de vitesse aléatoires. À tension u nulle ou modérée, seuls les électrons émis dans le cône d'angle solide faisant face à l'anode sont captés ; les autres finissent leur course sur les parois du tube en verre.

À mesure que la tension accélératrice u augmente, les trajectoires initialement divergentes sont de plus en plus courbées et focalisées vers l'anode. La fraction des électrons émis qui parviennent à atteindre l'anode croît donc avec u, ce qui se traduit par une augmentation progressive du photo-courant i.

2. Saturation du courant à la valeur I_{\mathrm{sat}} : Lorsque la tension u devient suffisamment grande, le champ électrique est assez intense pour focaliser et collecter l'intégralité des photo-électrons émis par la cathode par unité de temps.

Le courant ne peut alors plus croître avec u : il est limité par le nombre total de photo-électrons éjectés par seconde à la surface du lithium, c'est-à-dire par le flux de photons incidents. Le courant atteint alors un palier de saturation :

Considérons un faisceau lumineux monochromatique de fréquence \nu et de puissance P éclairant la photocathode. L'énergie apportée par photon étant h\nu, le nombre moyen de photons incidents par unité de temps s'écrit :

Par définition du rendement quantique \eta \in [0, 1], le nombre moyen de photo-électrons émis par unité de temps vaut :

Au régime de saturation, la totalité des électrons émis par la cathode est collectée à l'anode. Le courant de saturation correspond donc à la charge totale arrivant à l'anode par unité de temps :

D'où l'expression du courant de saturation :

Cette expression montre que, pour une fréquence \nu fixée, le courant de saturation est strictement proportionnel à la puissance lumineuse incidente P :

ce qui justifie l'observation expérimentale iii) : « le courant de saturation I_{\text{sat}} augmente avec la puissance lumineuse P ».

Lorsque la puissance P varie à fréquence \nu fixée :

• le potentiel d'arrêt U_0 = \frac{h\nu - W_0}{e} ne dépend pas de P (question Q24) ; toutes les courbes coupent donc l'axe des abscisses au même point d'annulation u = -U_0 ;
• le palier de saturation I_{\text{sat}} augmente proportionnellement à P.

Méthode de détermination de \eta :

1. On fixe la fréquence du faisceau lumineux incident \nu > \frac{W_0}{h} (par exemple une raie du mercure telle que \lambda = 405\text{ nm}).
2. Pour différentes valeurs de la puissance lumineuse incidente P mesurée au niveau de la cathode à l'aide d'un radiomètre ou wattmètre optique, on applique une tension u positive suffisante pour atteindre le régime de saturation, et on mesure le courant I_{\text{sat}}.

3. On trace la droite d'étalonnage I_{\text{sat}} = f(P). Sa pente expérimentale vaut :

   s = \frac{\Delta I_{\text{sat}}}{\Delta P} = \frac{\eta e}{h\nu}

4. Connaissant la charge élémentaire e, la constante de Planck h et la fréquence de l'onde \nu = \frac{c}{\lambda}, on en déduit directement le rendement quantique :

   \boxed{\eta = \frac{h\nu}{e} \, \frac{\mathrm{d}I_{\text{sat}}}{\mathrm{d}P}}

La probabilité qu'une source thermique émette n photons pendant la durée \tau est donnée par la loi de Bose-Einstein (équation (9)) :

Posons pour simplifier l'écriture :

Ainsi, \mathcal{P}_n = (1 - a) a^n, ce qui correspond à une loi géométrique sur \mathbb{N}.

Calculons la moyenne \overline{n(n-1)} :

Or, pour tout |a| < 1, en dérivant deux fois la série géométrique \sum_{n=0}^{+\infty} a^n = \frac{1}{1-a}, on obtient :

Il vient alors :

car \frac{a}{1-a} = \bar{n}.

On en déduit l'espérance du carré :

La variance du nombre de photons s'écrit donc :

L'écart-type \Delta n = \sqrt{V(n)} vaut par conséquent :

D'après l'expression établie à la question précédente :

La distribution est une loi géométrique sur \mathbb{N} :

• elle est strictement décroissante avec n ;
• la valeur la plus probable est n = 0, avec \mathcal{P}_0 = \frac{1}{\bar{n} + 1} ;
• l'écart-type \Delta n = \sqrt{\bar{n}(\bar{n}+1)} est supérieur à la moyenne \bar{n} (\Delta n \simeq \bar{n} dès que \bar{n} \gg 1).

Pendant une durée \tau, l'énergie lumineuse totale émise par le faisceau laser de puissance constante P vaut :

D'un point de vue corpusculaire, cette énergie correspond à l'émission en moyenne de \bar{n} photons, chacun transportant une énergie \mathcal{E}_{\mathrm{ph}} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, soit :

En identifiant ces deux expressions de l'énergie, on obtient :

D'après la définition du flux de photons donnée par l'équation (10), \Phi = \frac{\bar{n}}{\tau}, il vient :

Application numérique : L'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda = 400\text{ nm} = 0{,}40\text{ }\mu\text{m} vaut, à l'aide de la donnée hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} :

Pour P = 1\text{ mW} = 1{,}0\times 10^{-3}\text{ W} :

Avec deux chiffres significatifs :

Le nombre moyen de photons émis par unité de temps étant \Phi, la durée moyenne \delta t séparant l'émission de deux photons consécutifs est donnée par :

Numériquement :

Avec deux chiffres significatifs :

Considérons la subdivision de l'intervalle de temps [0, \tau] en N sous-intervalles disjoints de même durée \delta\tau = \tau/N.

• Comme les émissions multiples sont négligées dans chaque tranche \delta\tau, chaque sous-intervalle ne peut donner lieu qu'à deux issues exclusives : soit l'émission d'un photon unique (considérée comme un « succès »), soit aucune émission (un « échec »). Chaque tranche de temps correspond donc à une épreuve de Bernoulli.
• Les émissions étant supposées indépendantes les unes des autres et le régime de fonctionnement de la source étant stationnaire, les épreuves de Bernoulli associées à chacun des N intervalles sont mutuellement indépendantes et possèdent la même probabilité de succès p.

Le nombre total n de photons émis pendant la durée \tau est la somme de ces N variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p. La variable aléatoire n suit par conséquent une loi binomiale \mathcal{B}(N, p) :

Signification physique de p :
La grandeur p représente la probabilité d'émission d'un photon au cours d'un intervalle de temps élémentaire \delta\tau = \tau/N.

Expression de p :
D'après le formulaire fourni, l'espérance d'une loi binomiale de paramètres N et p s'écrit :

Le nombre moyen de photons émis pendant la durée \tau étant noté \bar{n} = \mathbb{E}(n), on en déduit directement :

Dans le modèle proposé, l'intervalle de mesure \tau est découpé en N sous-intervalles élémentaires de durée \delta\tau = \tau/N. Chaque sous-intervalle constitue une épreuve de Bernoulli au cours de laquelle au plus un photon peut être émis.

Physiquement, le paramètre p représente la probabilité qu'un photon soit émis par la source laser pendant la durée élémentaire \delta\tau.

D'après le formulaire, l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres N et p est donnée par :

Cette espérance correspond au nombre moyen \bar{n} de photons émis sur la durée totale \tau. On en déduit :

En utilisant la relation \bar{n} = \Phi\tau reliant le compte moyen au flux de photons \Phi, et sachant que \delta\tau = \tau/N, cette probabilité s'exprime également selon :

D'après le formulaire, la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres N et p est donnée par :

Or, d'après le résultat de la question 31, le produit N p est fixé à la valeur moyenne \bar{n}, de sorte que p = \frac{\bar{n}}{N}. L'expression de la variance devient donc :

Dans la limite N \gg \bar{n}, le rapport \frac{\bar{n}}{N} \ll 1 est négligeable devant 1, ce qui conduit à :

L'écart-type \Delta n = \sqrt{V(n)} du nombre de photons émis par la source laser s'écrit donc :

Comparaison avec la source de rayonnement thermique :

D'après la question 28, pour un mode thermique (statistique de Bose-Einstein), l'écart-type vaut :

Pour toute valeur \bar{n} > 0, on constate que :

Pour des valeurs macroscopiques ou modérées du nombre moyen de photons (\bar{n} \gg 1), la différence devient particulièrement spectaculaire :

• Pour la source laser : \Delta n \simeq \sqrt{\bar{n}}, soit une fluctuation relative \frac{\Delta n}{\bar{n}} \simeq \frac{1}{\sqrt{\bar{n}}}, qui tend vers 0 lorsque \bar{n} croît ;
• Pour la source thermique : \Delta n_{\text{th}} \simeq \bar{n}, soit une fluctuation relative de l'ordre de 100\,\% (\frac{\Delta n_{\text{th}}}{\bar{n}} \simeq 1), quelle que soit l'intensité moyenne.

Interprétation en termes de stabilité de la source :

La source laser présente des fluctuations nettement plus faibles que la source thermique : le rayonnement laser est donc intrinsèquement beaucoup plus stable et cohérent en intensité que le rayonnement thermique. Les photons émis par un laser sont décorrélés (statistique poissonnienne), tandis que les photons thermiques présentent un phénomène de groupement (photon bunching) responsable d'un bruit d'intensité considérable.

D'après la question Q31, la loi de probabilité binomiale s'écrit, pour tout entier n \in \{0, \dots, N\} et avec p = \frac{\bar{n}}{N} :

On réorganise les facteurs sous la forme :

D'après l'équation (12) fournie par l'énoncé, pour n fixé :

Étudions le comportement asymptotique du dernier facteur. Puisque p = \frac{\bar{n}}{N} \to 0 lorsque N \to +\infty, on peut écrire :

Pour n et \bar{n} fixés, le terme \frac{n\bar{n}}{N} tend vers 0 lorsque N \to +\infty. Par continuité de la fonction exponentielle :

En combinant ces résultats, on obtient bien la loi de Poisson :

Pour une valeur moyenne \bar{n} = 10 :

1. Mode thermique (loi de Bose-Einstein) D'après l'équation (7) établie à la question 19, la loi de probabilité s'écrit :

Il s'agit d'une distribution géométrique :

• La probabilité est strictement décroissante avec n.
• Le maximum correspond à l'état sans photon : \mathcal{P}_0^{\text{th}} = \frac{1}{11} \simeq 0{,}091.

• Les fluctuations sont très importantes, de l'ordre de la valeur moyenne :

  \Delta n_{\text{th}} = \sqrt{\bar{n}(\bar{n}+1)} = \sqrt{110} \simeq 10{,}5

2. Source laser (loi de Poisson) D'après les questions 33 et 34, pour \bar{n} = 10, la loi de Poisson peut être modélisée par une enveloppe gaussienne :

• La courbe est en cloche, symétrique et centrée sur la moyenne \bar{n} = 10.

• Le pic a pour valeur maximale :

  \mathcal{P}_{10}^{\text{laser}} = \frac{10^{10}}{10!}\,\mathrm{e}^{-10} \simeq \frac{1}{\sqrt{20\pi}} \simeq 0{,}126

• L'écart-type est nettement plus resserré :

  \Delta n_{\text{laser}} = \sqrt{\bar{n}} = \sqrt{10} \simeq 3{,}16

  La distribution est essentiellement confinée dans l'intervalle [\bar{n} - 3\Delta n\,;\, \bar{n} + 3\Delta n] \approx [0\,;\,20].

3. Représentation graphique

Lorsqu'un photon est détecté, un photo-électron primaire est éjecté de la cathode et accéléré vers la première dynode. À chaque dynode, l'impact d'un électron provoque l'éjection de 2 électrons secondaires.

Après passage à travers les k = 20 dynodes successives, le nombre d'électrons collectés à l'anode vaut :

La charge électrique totale collectée à l'anode lors de cette impulsion est :

Cette charge s'écoule à travers la résistance de charge R_c = 1\text{ k}\Omega sous forme d'un courant anodique I(t) = \frac{u(t)}{R_c} pendant la durée caractéristique du pic \Delta t \simeq 20\text{ ns}. La conservation de la charge donne :

En première approximation, en modélisant le pic par un créneau rectangulaire de durée \Delta t et de hauteur u_{\max} :

Avec l'application numérique :

Si l'on affine en modélisant le pic par un triangle symétrique de base \Delta t (comme schématisé sur la figure 5), l'aire sous la courbe vaut \frac{1}{2} u_{\max}\Delta t, ce qui conduit à :

Dans les deux cas, on obtient un pic d'une dizaine de millivolts :