Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2020 (page 2/2 : Partie IV (questions 21 à 24) et partie V)

Par définition, le vecteur polarisation \underline{\vec{P}}(\vec{r}, t) représente la densité volumique de moment dipolaire. Pour un milieu contenant N atomes identiques par unité de volume, dont le moment dipolaire induit individuel est \underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}}(t), on a :

D'après le résultat de la question Q20, le moment dipolaire atomique s'exprime selon :

Il en découle l'amplitude complexe du vecteur polarisation :

En identifiant cette expression avec la relation constitutive (19) fournie par l'énoncé, \underline{\vec{P}}(\vec{r}) = \varepsilon_0 (n^2 - 1) \underline{\vec{E}}(\vec{r}), on obtient :

D'où l'expression de n^2 :

D'après la question Q21, le carré de l'indice optique s'écrit :

D'après le résultat de la question Q15, la pulsation caractéristique vaut :

Dans le domaine des fréquences optiques considéré, \omega \in [2\cdot 10^{15}\,,\, 5\cdot 10^{15}]\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, le rapport maximal est :

ce qui implique que :

Par ailleurs, les pertes radiatives vérifient \Gamma \ll \omega_0, donc :

Le dénominateur peut ainsi être approché par \omega_0^2 :

Il s'ensuit que l'indice de réfraction est quasiment constant et réel dans tout le spectre visible :

La dépendance de n en fonction de \omega est donc très faible dans le domaine visible, les corrections relatives étant d'ordre (\omega/\omega_0)^2 \sim 1\,\%.

D'après la question Q20, un atome soumis à un champ électrique sinusoïdal d'amplitude \underline{\vec{E}} acquiert un moment dipolaire d'amplitude :

Or, d'après la relation (20) de l'énoncé, le champ électrique effectif ressenti par chaque atome à l'intérieur de la sphère est :

En injectant ce champ local, le moment dipolaire de chaque atome s'écrit :

En utilisant la relation établie à la question Q21, \varepsilon_0(n^2 - 1) = \dfrac{N e^2}{m_{\mathrm{e}}(\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\Gamma\omega)}, on peut également l'écrire sous la forme :

La polarisation volumique étant liée au dipôle atomique par \underline{\vec{P}} = N\underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}} (équation issue de Q21), on obtient :

En regroupant les termes en \underline{\vec{P}} :

On en déduit finalement l'expression de la polarisation volumique \underline{\vec{P}} :

Le vecteur polarisation \underline{\vec{P}} représente la densité volumique de moment dipolaire au sein de la sphère diélectrique. Le moment dipolaire total \underline{\vec{D}} de la sphère s'obtient donc par intégration sur le volume V = \frac{4}{3}\pi a^3 de la sphère :

Sous l'approximation dipolaire (a \ll \lambda), le champ incident \underline{\vec{E}}_0 et la polarisation résultante \underline{\vec{P}} sont uniformes dans toute la sphère. L'intégration se résume alors au produit du vecteur polarisation par le volume de la sphère :

En injectant l'expression de \underline{\vec{P}} établie à la question Q23, à savoir :

il vient immédiatement :

On en déduit l'expression du moment dipolaire de la sphère :

Par définition de la puissance moyenne \mathcal{P} rayonnée (ou diffusée) par le dipôle, l'énergie électromagnétique \mathrm{d}\mathcal{E} diffusée pendant une durée infinitésimale \mathrm{d}t s'écrit :

où \mathcal{P} = \dfrac{4\pi^3}{3} \dfrac{c n_{\mathrm{s}}}{\varepsilon_0 \lambda^4} D_{\mathrm{b},0}^2.

La diffusion par le dipôle induit oscillant à la pulsation \omega est un processus élastique (sans changement de pulsation). Chaque photon diffusé transporte donc l'énergie :

Le nombre infinitésimal de photons \mathrm{d}\mathcal{N} diffusés pendant la durée \mathrm{d}t est par conséquent :

En introduisant l'expression de \mathcal{P}, il vient :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la bille interagit avec l'onde incidente en diffusant \mathrm{d}\mathcal{N} photons.

Chaque photon incident transporte une quantité de mouvement :

où la propagation s'effectue selon +\vec{e}_z dans le solvant d'indice n_{\mathrm{s}}. L'impulsion totale apportée par ces photons incidents avant diffusion s'écrit :

D'après l'énoncé, la diffusion par le dipôle présente une symétrie centrale : pour chaque photon diffusé avec le vecteur d'onde \vec{k}', il en existe un diffusé avec le vecteur d'onde -\vec{k}'. L'impulsion globale emportée par le rayonnement diffusé est donc nulle :

Par conservation de l'impulsion totale du système {bille + rayonnement}, l'impulsion infinitésimale transmise à la bille est égale à la variation d'impulsion du champ électromagnétique :

D'après la question Q25, le nombre de photons diffusés s'exprime par \mathrm{d}\mathcal{N} = \frac{\mathcal{P}\,\mathrm{d}t}{\hbar\omega}. On obtient donc :

La force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}} exercée sur la bille s'en déduit par application du principe fondamental de la dynamique :

Action et sens de la force :

• La force \vec{F}_{\mathrm{d}} est orientée selon les z croissants, c'est-à-dire dans le sens de propagation du faisceau laser incident.
• Il s'agit d'une force de pression de radiation (force de diffusion ou de poussée photonique) qui tend à entraîner et repousser la bille vers l'aval du faisceau, dans le sens de la propagation lumineuse.

La force de Lorentz instantanée exercée par les champs électromagnétiques incidents sur la charge positive +q, située en \vec{r}_+ = \vec{r}_0 et supposée fixe (\vec{v}_+ = \dot{\vec{r}}_+ = \vec{0}), est :

La charge négative -q, située en \vec{r}_- = \vec{r}_0 - \vec{\delta}, possède la vitesse \vec{v}_- = \dot{\vec{r}}_- = -\dot{\vec{\delta}}. Elle subit la force de Lorentz :

En injectant le développement limité au premier ordre de \vec{E}(\vec{r}_-, t) donné par l'équation (23) :

et en effectuant le développement analogue pour le champ magnétique \vec{B}(\vec{r}_-, t) = \vec{B}(\vec{r}_0, t) + \mathcal{O}(\|\vec{\delta}\|), le terme magnétique s'écrit au premier ordre :

La force totale de Lorentz instantanée \vec{F}_{\mathrm{Lor}} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- exercée sur le dipôle vaut alors :

Comme \vec{D}_{\mathrm{b}} = q\vec{\delta} et \dfrac{\mathrm{d}\vec{D}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}t} = q\dot{\vec{\delta}}, en sous-entendant l'évaluation des champs au centre du dipôle \vec{r}_0, on obtient bien :

D'après l'expression (21), le moment dipolaire induit s'écrit \vec{D}_{\mathrm{b}} = A\vec{E}, où A est une constante réelle. La position du dipôle étant considérée fixe aux échelles de temps optiques, on a :

L'expression de la force de Lorentz issue de la question précédente (Q27) devient donc :

En utilisant l'identité vectorielle donnée dans l'énoncé :

on isole le premier terme :

L'équation de Maxwell-Faraday dans le solvant s'écrit \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, d'où :

Le premier terme de la force s'écrit ainsi :

En injectant cette relation dans l'expression de \vec{F}_{\mathrm{Lor}}, on obtient :

La force de Lorentz s'exprime donc sous la forme demandée :

Les coefficients de la combinaison linéaire valent respectivement \frac{A}{2} devant \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\vec{E}^2) et A devant \frac{\partial(\vec{E}\wedge\vec{B})}{\partial t}.

Par définition de la moyenne temporelle sur une période T = 2\pi/\omega :

En régime monochromatique de pulsation \omega, les champs \vec{E}(\vec{r}, t) et \vec{B}(\vec{r}, t) sont sinusoïdaux de période T. Le produit vectoriel \vec{E} \wedge \vec{B} est donc une fonction T-périodique (et même T/2-périodique). On en déduit :

d'où :

D'après le résultat de la question Q28, la force de Lorentz instantanée s'écrit :

En prenant la moyenne temporelle, et compte tenu de la linéarité de l'opérateur moyenne et de la possibilité de permuter dérivation spatiale et intégration temporelle :

La force de gradient \vec{F}_{\mathrm{g}} = \langle \vec{F}_{\mathrm{Lor}} \rangle_T s'exprime ainsi :

1. Expression de la force de gradient \vec{F}_{\mathrm{g}}

D'après le résultat de la question Q29, la force de gradient s'écrit :

La relation (26) définit l'intensité lumineuse au sein du solvant par :

En injectant cette relation ainsi que l'expression (25) du coefficient A = 4\pi\varepsilon_0 n_{\mathrm{s}}^2 a^3 \frac{m^2-1}{m^2+2}, il vient :

D'où l'expression de la force de gradient :

2. Expression de la force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}}

D'après la question Q26, les photons incidents se propageant selon l'axe (\mathrm{O}z) exercent sur la bille une force de diffusion :

où la puissance moyenne diffusée est donnée par l'équation (22) :

La relation (21) donne l'amplitude du dipôle induit : D_{\mathrm{b},0} = A E_0. Avec la relation fournie \langle \vec{E}^2 \rangle_T = E_0^2/2, on a :

En remplaçant A par son expression (25) :

On en déduit l'expression de la force radiative de diffusion :

La force totale subie par la bille s'écrit \vec{F} = \vec{F}_{\mathrm{g}} + \vec{F}_{\mathrm{d}}.

1. Condition sur l'indice relatif m = n/n_{\mathrm{s}} : Le profil d'intensité I(x,y,z) présente un maximum absolu en (0,0,0) : le gradient \overrightarrow{\operatorname{grad}} I est donc orienté vers l'origine lorsqu'on s'en écarte. D'après l'expression établie à la question 30 :

   \vec{F}_{\mathrm{g}} = \frac{2\pi n_{\mathrm{s}} a^3}{c}\left(\frac{m^2-1}{m^2+2}\right)\overrightarrow{\operatorname{grad}} I

   Pour que la force de gradient agisse comme une force de rappel attractive vers le maximum d'intensité lumineuse (le centre du faisceau), il est indispensable que le coefficient soit strictement positif, soit :

   \frac{m^2-1}{m^2+2} > 0 \iff m > 1 \iff n > n_{\mathrm{s}}

   L'indice optique de la bille diélectrique doit impérativement être supérieur à celui du fluide environnant.

2. Condition sur l'équilibre le long de l'axe de propagation (Oz) : La force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}} s'exerce continûment selon +\vec{e}_z (sens de propagation de l'onde) et tend à éjecter la bille vers l'aval du faisceau.

   Pour qu'un point d'équilibre stable existe le long de l'axe (Oz), la composante de rappel de la force de gradient selon z pour z > 0 (où \frac{\partial I}{\partial z} < 0, créant une force dirigée selon -\vec{e}_z) doit être capable de compenser et de surmonter la force de poussée radiative :

   \|\vec{F}_{\mathrm{g}, z}\| > \|\vec{F}_{\mathrm{d}}\|

   Le gradient longitudinal d'intensité au niveau du point focal doit donc être suffisamment intense devant l'intensité elle-même.

En résumé, les deux conditions nécessaires et suffisantes sont :

D'après les résultats de la question Q30, les deux forces optiques dépendent de la taille a de la bille selon :

Puisque la bille considérée est une nanoparticule de rayon très petit devant la longueur d'onde (a \ll \lambda), le rapport de la force de diffusion sur la force de gradient varie comme :

Pour une particule diélectrique plus réfringente que le solvant (m = n/n_{\mathrm{s}} > 1), la force de gradient est attractive vers les régions de plus forte intensité. La force perturbatrice de diffusion étant très fortement atténuée par la petite taille de la bille, le piégeage optique est a priori tout à fait réalisable.

Cependant, la stabilité du piège impose de compenser la force de diffusion selon l'axe longitudinal (\mathrm{O}z) :

• La force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}} est purement propulsive dans le sens de propagation du faisceau (+\vec{e}_z).
• Pour un faisceau collimaté ou peu focalisé (W_0 \gg \lambda), la distance de Rayleigh z_{\mathrm{R}} = \pi W_0^2/\lambda est grande, et le gradient axial de l'intensité est extrêmement faible par rapport aux gradients transverses (facteur d'atténuation d'ordre (\lambda/(\pi W_0))^2 d'après l'équation (30)). La force de rappel de gradient axiale F_{\mathrm{g},z} est alors insuffisante pour contrebalancer la force de diffusion, et la bille est éjectée vers l'aval.

Il est donc indispensable de focaliser très fortement le faisceau (jusqu'à atteindre un col W_0 \sim \lambda) afin :

1. de maximiser le gradient d'intensité longitudinal |\partial I / \partial z| au voisinage du foyer ;
2. de générer une force de gradient axiale vers l'amont (z > 0) supérieure à la force de diffusion, créant ainsi un puits de potentiel tridimensionnel stable au point focal.

D'après la définition introduite à l'équation (18) :

En prenant pour une focalisation très forte W_0 \approx \dfrac{\lambda}{\pi}, il vient :

On constate ainsi que :

D'après l'expression (27), l'intensité sur l'axe optique (x = 0, y = 0) s'écrit :

L'intensité chute de moitié pour |z| \approx \sqrt{\sqrt{2}-1}\,z_{\mathrm{R}} \approx 0{,}64\,z_{\mathrm{R}} et devient négligeable pour |z| \gg z_{\mathrm{R}}. L'échelle de longueur caractéristique sur laquelle l'intensité reste significative le long de l'axe de propagation (\mathrm{O}z) est donc :

D'après les équations (28), (29) et (30), les dérivées de l'intensité s'écrivent :

Avec W_0 \approx \dfrac{\lambda}{\pi}, le facteur correctif vaut :

de sorte que :

La force de gradient étant proportionnelle au gradient spatial de l'intensité (\vec{F}_{\mathrm{g}} \propto \overrightarrow{\operatorname{grad}} I), pour des écarts spatiaux du même ordre de grandeur (x \sim y \sim z), les trois composantes de la force de gradient sont du même ordre de grandeur :

1. Calcul de l'intensité I_0 au foyer

D'après l'expression (27), l'intensité lumineuse dans le plan focal image (z = 0) s'écrit en coordonnées cylindriques de plan transverse (r^2 = x^2 + y^2) :

La puissance totale \mathcal{P} transportée par le faisceau laser s'obtient par intégration du flux d'intensité sur une section droite :

On en déduit l'expression de l'intensité crête I_0 :

En utilisant la condition de forte focalisation issue de la question précédente, W_0 \approx \frac{\lambda}{\pi}, il vient :

Avec \mathcal{P} = 40\,\mathrm{mW} = 4{,}0\times 10^{-2}\,\mathrm{W} et \lambda = 600\,\mathrm{nm} = 6{,}0\times 10^{-7}\,\mathrm{m} :

Sachant que 1\,\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} = 10^{-4}\,\mathrm{W}\cdot\mathrm{cm}^{-2} :

Remarque : Une estimation globale à l'ordre de grandeur sans le facteur 2 donnerait I_0 \sim \frac{\mathcal{P}}{\pi W_0^2} \approx 4\times 10^7\,\mathrm{W}\cdot\mathrm{cm}^{-2}.

2. Possibilité de piégeage de la bille

La bille est soumise à deux actions mécaniques :

• La force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}}, dirigée selon +\vec{e}_z, pousse continûment la particule dans le sens de propagation du faisceau lumineux.
• La force de gradient \vec{F}_{\mathrm{g}}, dirigée vers la zone de plus forte intensité (le point focal x=y=z=0), tend à ramener la particule vers l'origine dans les trois directions de l'espace.

Pour un écart typique de 50\,\mathrm{nm}, la force de rappel de gradient \|\vec{F}_{\mathrm{g}}\| \approx 1\,\mathrm{pN} l'emporte nettement sur la force de diffusion F_{\mathrm{d}} \approx 0{,}2\,\mathrm{pN} :

Dans la direction longitudinale (\mathrm{O}z), il existe donc une position d'équilibre stable située légèrement en aval du foyer (z_{\mathrm{eq}} > 0) où la force de rappel de gradient compense exactement la poussée radiative : \vec{F}_{\mathrm{g}}(z_{\mathrm{eq}}) + \vec{F}_{\mathrm{d}} = \vec{0}. Transversalement, le rappel est direct et inconditionnel.

D'après la question Q30, la force de gradient s'écrit :

Pour une particule d'indice supérieur à celui du milieu (m = n/n_{\mathrm{s}} > 1), le préfacteur est strictement positif.

Au voisinage du centre du piège (|x|, |y| \ll W_0 et |z| \ll z_{\mathrm{R}}), les dérivées partielles de l'intensité données par les équations (28), (29) et (30) vérifient :

Dans les conditions de forte focalisation où W_0 \approx \lambda/\pi (établies à la question Q33), le facteur \frac{\lambda^2}{\pi^2 W_0^2} \approx 1. Les composantes du gradient sont donc toutes de la forme :

où \vec{r} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z. La force de gradient s'écrit alors :

où k_{\mathrm{opt}} est une constante positive. La force est donc une force centrale de rappel linéaire proportionnelle au déplacement par rapport à la position d'équilibre \vec{r} = \vec{0} : il s'agit précisément d'une force de type élastique isotrope tridimensionnelle.

D'après les données de la question 34, pour un écart au centre \Delta r \sim 50\text{ nm}, l'intensité de la force de gradient est F_{\mathrm{g}} \sim 1\text{ pN}. La raideur optique associée s'évalue directement par :

Application numérique avec un chiffre significatif :

D'après les expressions établies à la question Q30, à intensité et profil de faisceau fixés, les normes des forces de gradient et de diffusion dépendent du rayon a et du rapport d'indices m = n/n_{\mathrm{s}} via le facteur adimensionnel f(m) = \frac{m^2 - 1}{m^2 + 2} selon :

1. Bille de silice de rayon a = 200\text{ nm} : Le matériau et le solvant étant identiques à la situation de la question Q34, le facteur f(m) est inchangé et le rayon est doublé (a = 2a_1) :

2. Bille de polystyrène de rayon a = 100\text{ nm} (n = 1{,}63) : Le rayon étant identique (a = a_1 = 100\text{ nm}), seul le facteur f(m) varie. Avec f(m_{\mathrm{poly}}) \approx 0{,}14 et f(m_{\mathrm{silice}}) \approx 0{,}02, le rapport vaut :

On en déduit :

3. Choix de la longueur d'onde du laser : Pour piéger efficacement une particule, la force de rappel de gradient doit dominer la force de diffusion déstabilisante le long de l'axe de propagation (F_{\mathrm{g}} > F_{\mathrm{d}}).

D'après l'expression de la force de diffusion, la dépendance en longueur d'onde est en F_{\mathrm{d}} \propto \lambda^{-4} (diffusion Rayleigh). Ainsi, en augmentant la longueur d'onde \lambda du laser, on atténue considérablement la force de diffusion devant la force de gradient. Pour améliorer le piégeage, il convient donc de :

D'après la question Q35, la force de gradient selon l'axe (\mathrm{O}x) se comporte au voisinage du centre comme une force de rappel élastique de constante de raideur k_{\mathrm{opt}} \approx 2\times 10^{-5}\;\mathrm{N\cdot m^{-1}} :

L'énergie potentielle associée s'écrit :

À l'équilibre thermodynamique à la température T, le théorème de l'équipartition de l'énergie appliqué à ce terme quadratique de l'énergie donne :

soit :

Puisque la position moyenne est nulle (\langle x_{\mathrm{b}}\rangle = 0), l'écart-type des fluctuations de position sous l'effet de l'agitation thermique (mouvement brownien) s'exprime par :

Avec les données numériques du sujet :

• k_{\mathrm{B}} = 1,4\times 10^{-23}\;\mathrm{J\cdot K^{-1}},
• T = 300\;\mathrm{K},
• k_{\mathrm{opt}} \approx 2\times 10^{-5}\;\mathrm{N\cdot m^{-1}},

on obtient :

Avec un chiffre significatif :

Comparaison aux échelles spatiales du problème :

• Le rayon de la bille vaut a = 100\;\mathrm{nm}. On constate que \sigma_x \sim \frac{a}{10} \ll a : l'amplitude des fluctuations thermiques est nettement inférieure aux dimensions propres de la bille.
• La zone de confinement du faisceau possède une dimension transversale caractéristique W_0 \approx \frac{\lambda}{\pi} \approx \frac{600\times 10^{-9}}{3} \approx 200\;\mathrm{nm} (question Q33). On a donc \sigma_x \ll W_0.

L'énergie thermique k_{\mathrm{B}}T \approx 4\times 10^{-21}\;\mathrm{J} est bien inférieure à la profondeur du puits de potentiel optique (de l'ordre de \frac{1}{2} k_{\mathrm{opt}} W_0^2 \sim 4\times 10^{-19}\;\mathrm{J} \sim 100\,k_{\mathrm{B}}T). L'agitation thermique ne permet pas à la particule de s'échapper du piège : le piégeage est donc pleinement satisfaisant.