Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2022

Le point O est le barycentre des deux étoiles de même masse M, d'où \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \vec{0}. Comme l'orbite de chaque composante est un cercle de rayon r centré en O, on a dans la base (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) représentée sur la figure 1 :

La distance séparant les deux étoiles vaut donc :

D'après la loi de gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle attractive exercée par A sur B s'écrit :

Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par B sur A vérifie \vec{F}_A = -\vec{F}_B. On en déduit :

L'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle E_p du système constitué des deux étoiles dérive des forces intérieures :

Pour une variation purement radiale de l'écartement :

En intégrant et en choisissant l'état de référence usuel d'énergie potentielle nulle à distance infinie (E_p \to 0 lorsque r \to +\infty), il vient :

Dans le référentiel galiléen (Oxyz), l'étoile B est en mouvement circulaire uniforme de rayon r à la vitesse angulaire \omega = \frac{2\pi}{T_1}. Son accélération s'écrit en coordonnées polaires :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à B soumis à la force gravitationnelle \vec{F}_B (déterminée en Q1) s'écrit :

On en déduit :

La période orbitale T_1 = \frac{2\pi}{\omega} s'exprime donc par :

Application numérique : Les deux étoiles, de masse M = M_\odot, sont distantes de AB = 2r = d = 1\text{ UA}, soit r = d/2. L'expression de T_1 devient :

Or, pour la Terre (de masse négligeable devant M_\odot) en orbite quasi-circulaire de rayon d autour du Soleil, la troisième loi de Kepler s'écrit :

Il apparaît donc immédiatement le rapport simple :

À l'aide de la valeur fournie \frac{1}{\sqrt{2}} \simeq 0{,}71, on obtient :

Dans le référentiel galiléen (Oxyz), les deux étoiles de même masse M décrivent un mouvement circulaire uniforme de rayon r à la vitesse v. D'après la relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'étoile B (question Q2) :

L'énergie cinétique totale du système est la somme des énergies cinétiques de chaque étoile :

En utilisant l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle obtenue à la question Q1, E_p(r) = -\dfrac{\mathcal{G}M^2}{2r}, l'énergie mécanique totale s'écrit :

Commentaire sur le signe : Avec la convention adoptée où l'énergie potentielle s'annule à l'infini, l'énergie mécanique totale est strictement négative (E_m < 0). Ce signe négatif caractérise un système lié : les deux composantes sont mutuellement piégées par l'attraction gravitationnelle et ne peuvent pas s'éloigner indéfiniment l'une de l'autre sans un apport extérieur d'énergie d'au moins |E_m|.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, l'étoile A exerce sur l'étoile B une force attractive dirigée vers A, c'est-à-dire dans le sens opposé au vecteur position relative \vec{R} = \overrightarrow{AB} :

En vertu du principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force gravitationnelle exercée par l'étoile B sur l'étoile A s'écrit :

En mécanique classique (newtonienne), l'espace est absolu : le vecteur position relative \vec{R} = \vec{r}_B - \vec{r}_A reliant deux points matériels à un même instant est invariant par changement de référentiel. Par conséquent, les forces d'interaction gravitationnelle \vec{F}_A et \vec{F}_B ne dépendent pas du référentiel d'étude.

Considérons le système \{A, B\}, de masse totale m_A + m_B et de centre de masse G. D'après l'énoncé, les deux étoiles interagissent uniquement par leurs forces gravitationnelles mutuelles : le système est donc mécaniquement isolé de l'extérieur, soit :

Appliquons le théorème de la résultante cinétique (ou relation fondamentale de la dynamique pour le centre de masse) dans le référentiel galiléen d'étude \mathcal{R}_\Omega(\Omega xyz) :

L'accélération du barycentre G dans \mathcal{R}_\Omega est donc nulle :

Le barycentre G est donc animé d'un mouvement rectiligne et uniforme par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_\Omega.

Par définition, le référentiel \mathcal{R}_G(Gxyz) conserve des axes orientés parallèlement à ceux de \mathcal{R}_\Omega(\Omega xyz) : il est donc en translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen.

Par définition du barycentre G du système des deux étoiles affectées des masses m_A et m_B :

En introduisant le vecteur position relative \vec{R} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GA}, on a \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GB} - \vec{R}. En reportant dans la relation barycentrique :

D'où l'expression de \overrightarrow{GB} :

De même, en écrivant \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \vec{R} :

D'où l'expression de \overrightarrow{GA} :

Dans le référentiel galiléen (Gxyz), appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'étoile B :

En dérivant deux fois par rapport au temps la relation liant \overrightarrow{GB} à \vec{R} :

On obtient ainsi :

D'après l'expression de \vec{F}_B établie à la question Q4, \vec{F}_B = -\frac{\mathcal{G}m_A m_B}{R^3}\vec{R}. En simplifiant par le produit m_A m_B :

Soit finalement :

Par identification avec la relation \frac{\mathrm{d}^2\vec{R}}{\mathrm{d}t^2} = -K\frac{\vec{R}}{R^n}, on déduit :

D'après la question Q6, l'équation du mouvement relatif s'écrit :

Cette équation est rigoureusement identique à celle d'un point matériel soumis à une force centrale newtonienne attractive émanant d'un centre fixe, associée à la constante de gravitation effective K = \mathcal{G}(m_A + m_B).

Pour un tel champ de forces en 1/R^2, les trajectoires possibles sont des coniques. Un système lié correspond à une énergie mécanique négative (E_m < 0), ce qui implique que la trajectoire relative du vecteur \vec{R} = \overrightarrow{AB} est une ellipse (première loi de Kepler). L'ellipse étant une courbe fermée et bornée, le mouvement relatif est nécessairement périodique.

Puisque les positions des étoiles dans le référentiel barycentrique sont reliées à \vec{R} par une homothétie fixe (d'après la question Q6) :

les deux étoiles décrivent chacune une ellipse autour de G et le mouvement global du système est périodique de même période T_2.

D'après la troisième loi de Kepler appliquée au problème à un corps équivalent :

où a est le demi-grand axe de l'orbite relative décrite par \vec{R} (qui vérifie également a = a_A + a_B, somme des demi-grands axes des orbites elliptiques de A et B autour de G).

On en déduit l'expression de la période T_2 :

1. Pouvoir séparateur du télescope

D'après le préambule, le phénomène de diffraction par l'ouverture circulaire de diamètre d impose une échelle angulaire caractéristique. Deux sources ponctuelles sont résolues si leur écart angulaire est supérieur à l'angle de diffraction \theta_{\min} :

Application numérique :

2. Condition de non-séparation du système binaire

Deux étoiles séparées d'une distance D = 1\text{ UA} et situées à une distance L de l'observateur (avec L \gg D) sont vues sous un écart angulaire :

Les deux composantes ne peuvent plus être séparées si leur séparation angulaire est strictement inférieure au pouvoir séparateur du télescope :

avec :

3. Détermination de L_{\max} en années-lumière

En mètres, la distance maximale s'écrit :

En convertissant en années-lumière à l'aide de la donnée 1\text{ AL} = 9{,}46 \times 10^{15}\text{ m} :

1. Théorème de Malus

Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, les rayons lumineux issus d'une même source ponctuelle sont les trajectoires orthogonales aux surfaces d'onde. Après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, cette orthogonalité est conservée. En particulier, le chemin optique entre deux surfaces d'onde est indépendant du rayon lumineux suivi.

2. Expression de la différence de marche \delta_A

L'étoile A se situe à l'infini sur l'axe optique du télescope : l'onde incidente est donc une onde plane dont la surface d'onde est normale à l'axe (Oz).

• Par symétrie du dispositif par rapport à l'axe optique, les chemins optiques de l'étoile A jusqu'aux miroirs auxiliaires M'_1 et M'_2 sont strictement identiques :

  (A M_1 M'_1) = (A M_2 M'_2).
• Les miroirs M'_1 et M'_2, séparés de la distance a selon l'axe (Ox), se comportent comme deux sources secondaires cohérentes et en phase, situées respectivement en x_1 = -a/2 et x_2 = +a/2 dans le plan d'entrée de la lentille équivalente.
• Les rayons issus de ces deux miroirs qui convergent au point P(x) du plan focal image font un angle \alpha \simeq \frac{x}{f'} avec l'axe optique (dans les conditions de Gauss, \tan\alpha \simeq \alpha \ll 1).
• D'après le théorème de Malus, la lentille transforme une onde plane incidente inclinée de l'angle \alpha en une onde sphérique convergeant en P. Tous les rayons de cette onde plane ont le même chemin optique jusqu'en P à partir d'un plan d'onde orthogonal à la direction \alpha.

Le décalage de marche entre le rayon issu de M'_1 (x = -a/2) et celui issu de M'_2 (x = +a/2) correspond donc à la projection de leur écartement sur la direction de propagation :

3. Application numérique : calcul et commentaire de l'interfrange i

L'interfrange i est la distance séparant deux franges brillantes consécutives, correspondant à une variation de \delta_A égale à \lambda_0 :

Avec \lambda_0 = 550\text{ nm} = 5{,}50 \cdot 10^{-7}\text{ m}, f' = 33\text{ m} et a = 2{,}50\text{ m} :

Commentaire : Cette valeur est extrêmement faible, de l'ordre de grandeur de quelques micromètres seulement (comparable à la taille des pixels d'un capteur CCD actuel). Ces franges sont donc invisibles à l'œil nu et nécessitent un oculaire de fort grossissement (microscope d'observation) pour pouvoir être résolues et mesurées.

Les deux faisceaux issus de l'étoile A traversent respectivement les deux voies de l'interféromètre (miroirs \mathbf{M}_1 et \mathbf{M}_1' d'une part, \mathbf{M}_2 et \mathbf{M}_2' d'autre part). Issus d'une même source ponctuelle monochromatique à l'infini, ces deux faisceaux sont mutuellement cohérents et présentent au point P un déphasage :

En utilisant l'expression de la différence de marche établie à la question Q9, \delta_A = \frac{a x}{f'}, il vient :

En l'absence de pertes au sein de l'instrument, chacun des deux bras transporte une intensité I_{0A}. La formule de Fresnel pour l'interférence de deux ondes cohérentes de même intensité donne ainsi directement l'intensité (ou éclairement) totale au point P :

Soit, en remplaçant par l'expression du déphasage :

On peut également l'écrire sous forme factorisée :

Cohérence des sources A et B :

Les étoiles A et B sont deux sources lumineuses macroscopiques totalement distinctes et indépendantes. Les trains d'ondes émis par chacune d'elles sont issus de désexcitations atomiques thermiques aléatoires et n'ont aucune relation de phase entre eux. Les sources A et B sont donc mutuellement incohérentes.

Calcul de la différence de marche \delta_B :

L'étoile B étant située à l'infini, elle émet une onde plane parvenant sur le dispositif sous une incidence \theta.

Considérons une surface d'onde plane \Sigma_B associée à l'étoile B, orthogonale aux rayons incidents issus de B. Soient H_1 et H_2 les projetés orthogonaux respectifs des miroirs M_1 et M_2 sur cette surface d'onde. D'après le théorème de Malus :

Le chemin optique de l'étoile B jusqu'au point P en passant par le miroir M_i (i \in \{1, 2\}) s'écrit :

La différence de marche pour l'étoile B vaut ainsi :

En aval des miroirs M_1 et M_2, le trajet géométrique jusqu'au point P est identique à celui suivi par la lumière issue de l'étoile A, de sorte que :

D'après la figure 4, pour un angle \theta > 0, l'onde plane issue de B atteint le miroir supérieur M_2 avant le miroir inférieur M_1. Le retard géométrique du rayon atteignant M_1 est donné par l'interception de la droite (M_1 M_2) de longueur b avec l'angle \theta :

car l'angle \theta est extrêmement petit (\theta \ll 1\text{ rad}).

On en déduit l'expression de \delta_B :

(ou de façon rigoureuse \delta_B = \delta_A + b\sin\theta).

Les étoiles A et B étant deux sources mutuellement incohérentes (établi à la question précédente), les intensités s'ajoutent dans le plan focal :

D'après les questions Q10 et Q11, l'intensité produite par l'étoile B seule s'écrit de manière analogue à celle de A, avec la différence de marche \delta_B = \delta_A + b\theta :

L'intensité totale s'exprime ainsi :

en posant :

On applique la formule trigonométrique du formulaire avec a_1 = 2I_{0A} et a_2 = 2I_{0B} :

où :

L'amplitude a vaut donc :

Par ailleurs, la phase moyenne s'écrit :

avec x_0 = -\frac{\lambda_0 f'}{2\pi a}\left(\frac{\pi b\theta}{\lambda_0} + \varphi\right).

En factorisant l'intensité totale par K = 2(I_{0A} + I_{0B}), on obtient la forme requise :

Par identification immédiate, on trouve :

1. Signification physique de \Delta x et x_0

• \Delta x = \dfrac{\lambda_0 f'}{a} est l'interfrange de la figure d'interférence dans le plan focal image. Il représente la période spatiale d'oscillation de l'intensité lumineuse selon l'axe x. Il ne dépend que de l'écartement a des miroirs intérieurs M'_1 et M'_2, de la focale f' et de la longueur d'onde \lambda_0.
• x_0 est l'abscisse de la frange centrale (maximum d'ordre zéro) de la figure résultante. Elle caractérise le décalage spatial de la figure d'interférence globale, induit par l'inclinaison angulaire \theta de l'étoile B pondérée par les intensités respectives des deux sources.

2. Mesure de l'écartement angulaire \theta

Le facteur de visibilité (ou contraste) des franges s'écrit :

Dans le cas idéal de deux étoiles de même éclat (I_{0A} = I_{0B}), on a V(\theta) = \left|\cos\left(\dfrac{\pi b\theta}{\lambda_0}\right)\right|.

En augmentant progressivement la distance b entre les miroirs externes M_1 et M_2, le contraste diminue jusqu'à s'annuler (ou atteindre un minimum prononcé si I_{0A} \neq I_{0B}) pour :

La mesure de la distance critique b_0 d'extinction des franges donne ainsi directement accès à la séparation angulaire \theta avec une résolution bien supérieure à celle fixée par le seul diamètre de l'ouverture du télescope, car b peut être nettement plus grand que le diamètre d.

3. Distinction entre système binaire physique et alignement fortuit

• Dans un vrai système binaire (lié par la gravitation), les deux astres sont en révolution orbitale autour de leur barycentre commun (étudié en partie I.A). L'écart angulaire \theta(t) ainsi que l'angle de position dans le plan du ciel varient de façon périodique dans le temps, avec la période orbitale T.
• Pour un alignement fortuit (étoiles indépendantes situées à des distances de la Terre très différentes), le mouvement relatif apparent provient des vitesses propres respectives dans la Voie lactée : l'évolution de la séparation angulaire au cours des années est non périodique (déplacement relatif linéaire uniforme à l'échelle séculaire).

Chaque faisceau réfléchi par un miroir auxiliaire (\mathbf{M}'_1 ou \mathbf{M}'_2) est limité par la largeur \ell du miroir, qui agit comme une ouverture diffractante de dimension \ell.

D'après la théorie de la diffraction à l'infini (ou dans le plan focal d'une lentille de focale f'), la figure d'interférences à deux ondes est modulée par l'enveloppe de diffraction d'une ouverture de largeur \ell. La répartition d'intensité s'écrit classiquement sous la forme :

Le premier minimum de l'enveloppe de diffraction est obtenu pour une demi-largeur angulaire \theta_{\mathrm{diff}} = \frac{\lambda_0}{\ell}, ce qui correspond dans le plan focal image à une abscisse :

Par ailleurs, les franges brillantes d'interférence sont situées aux abscisses :

Pour observer au moins une dizaine de franges de part et d'autre de la frange centrale (p = 0), il faut que la dixième frange brillante (p = 10) soit située dans le lobe principal de diffraction, soit :

On en déduit la condition sur la largeur \ell :

Application numérique : Avec a = 2{,}50\text{ m} :

Il faut donc choisir des miroirs auxiliaires de largeur \ell \leqslant 25\text{ cm} (soit au maximum 25\text{ cm}).

On étudie l'électron de masse m_e et de charge -e, repéré par \vec{r} = \overrightarrow{OP}, dans le référentiel lié au proton fixe en O, supposé galiléen.

La seule force agissant sur l'électron est la force d'attraction coulombienne exercée par le proton de charge +e :

Cette force est centrale de centre O, dirigée selon la droite support (OP). Son moment en O est donc nul :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué à l'électron au point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen :

Le vecteur moment cinétique \vec{L}_O = \vec{r} \wedge (m_e \vec{v}) est donc un vecteur constant au cours du mouvement : \vec{L}_O = \vec{\mathrm{cte}}.

Deux situations se présentent :

• si \vec{L}_O = \vec{0}, la vitesse \vec{v} et la position \vec{r} sont colinéaires, le mouvement est rectiligne passant par O (cas dégénéré de mouvement plan) ;

• si \vec{L}_O \neq \vec{0}, à tout instant t :

  \vec{r}(t) \cdot \vec{L}_O = \vec{r}(t) \cdot \left(\vec{r}(t) \wedge m_e \vec{v}(t)\right) = 0

  Le vecteur position \vec{r}(t) est orthogonal au vecteur constant \vec{L}_O.

En repérant l'électron par ses coordonnées polaires (r, \theta) dans ce plan orienté selon le vecteur unitaire \vec{e}_z = \frac{\vec{L}_O}{\|\vec{L}_O\|}, le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta, d'où :

L'amplitude \sigma = \|\vec{L}_O\| du moment cinétique de l'électron, constante du mouvement, vaut :

Le mouvement de l'électron étant plan (d'après la question Q15), on utilise les coordonnées polaires (r,\theta) dans le plan de l'orbite. Le vecteur vitesse s'écrit :

L'énergie cinétique de l'électron vaut donc :

D'après la question Q15, la norme du moment cinétique orbital s'écrit \sigma = m_e r^2|\dot{\theta}|, ce qui donne :

La seule force agissant sur l'électron est la force d'attraction coulombienne :

Elle est conservative et dérive de l'énergie potentielle électrostatique E_p(r) telle que \vec{F} = -\vec{\nabla} E_p = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}r}\vec{e}_r. En fixant l'origine des potentiels à l'infini (E_p(\infty) = 0), on obtient :

Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p est une constante du mouvement :

En introduisant l'énergie potentielle effective U_{\mathrm{eff}}(r), cette équation se met sous la forme :

avec :

L'équation de conservation établie à la question Q16 s'interprète comme celle d'un mobile fictif à un degré de liberté de coordonnée r, de masse m_e, évoluant dans le potentiel effectif U_{\text{eff}}(r) :

Un extremum de U_{\text{eff}}(r) correspond à une position d'équilibre radial (\ddot{r} = 0), traduisant l'équilibre mécanique entre la force d'attraction électrostatique et la force d'inertie d'entraînement centrifuge. Un minimum de U_{\text{eff}}(r) correspond plus précisément à une position d'équilibre radial stable, c'est-à-dire à une trajectoire circulaire stable de rayon fixe r_0 (pour laquelle \dot{r} = 0).

Déterminons la position de ce minimum en annulant la dérivée première de U_{\text{eff}}(r) :

On en déduit immédiatement le rayon r de l'orbite circulaire :

La dérivée seconde s'écrit :

En injectant l'expression de r, on a \frac{\sigma^2}{m_e r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}, d'où :

Il s'agit donc bien d'un minimum local strict.

Pour une trajectoire circulaire, le terme cinétique radial est nul (\dot{r} = 0), si bien que l'énergie mécanique totale est donnée par la valeur minimale du potentiel effectif :

En utilisant la relation d'équilibre radial \frac{\sigma^2}{m_e r^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, on retrouve la relation du viriel E = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. En remplaçant r par son expression :

D'après la question Q17, l'énergie mécanique d'une orbite circulaire s'écrit :

Avec la quantification du moment cinétique \sigma = n\hbar = n \frac{h}{2\pi}, cette énergie devient :

L'écart d'énergie émis lors de la désexcitation du niveau n = 3 vers le niveau n = 2 est :

D'après la relation de Planck-Einstein, le photon émis emporte une énergie \Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda_0}, d'où :

L'énergie potentielle électrostatique d'interaction entre deux charges élémentaires à la distance r est de la forme E_p \sim \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, ce qui donne :

Par ailleurs, la relation de Planck-Einstein E = \hbar\omega = h\nu montre que la constante de Planck a la dimension d'une énergie par un temps ([\hbar] = [E]\cdot[T]). Avec la dimension de la célérité [c] = [L]\cdot[T]^{-1}, on obtient :

Le quotient \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} est donc le rapport de deux grandeurs de même dimension :

Calculons numériquement la valeur de \alpha à partir de l'expression \alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h c} :

Il vient :

L'ordre de grandeur de la constante de structure fine est donc :

L'énergie relativiste s'écrit sous la forme :

Au voisinage de u=0, le développement limité d'ordre 2 de (1-u)^{-1/2} est :

En posant u = \dfrac{v^2}{c^2}, on obtient à l'ordre 4 en v/c :

Par identification avec la forme E = E_0 + \kappa v^2 + \mu v^4 + o(v^4/c^4), on déduit :

Interprétation physique des deux premiers termes :

• Le terme constant E_0 = mc^2 représente l'énergie de masse au repos de la particule.
• Le terme \kappa v^2 = \dfrac{1}{2}mv^2 correspond à l'énergie cinétique classique (newtonienne) de la particule dans la limite des faibles vitesses (v \ll c).

Sur une orbite circulaire de rayon r, le moment cinétique scalaire de l'électron vaut \sigma = m_e v r. D'après le résultat de la question Q17, le rayon est donné par :

On en déduit la vitesse orbitale de l'électron :

Pour les premiers niveaux de l'atome d'hydrogène, le moment cinétique est de l'ordre de \hbar (\sigma = 2\hbar ou 3\hbar). On en déduit le rapport :

D'après le développement limité de l'énergie établi à la question Q20, la première correction relativiste à l'énergie cinétique vaut :

L'énergie de transition non relativiste \Delta E est du même ordre de grandeur que l'énergie des niveaux, elle-même égale en valeur absolue à l'énergie cinétique E_c (théorème du viriel : |E| = E_c). Par conséquent :

On identifie donc l'entier :

Numériquement, avec la valeur \alpha \simeq 7{,}3 \cdot 10^{-3} obtenue à la question Q19 :

La correction relativiste est très faible (de l'ordre de quelques 10^{-5} à 10^{-4}), ce qui justifie a posteriori la validité de l'approche classique non relativiste de Bohr en première approximation, tout en expliquant l'existence d'un dédoublement fin des raies accessible uniquement par des méthodes interférométriques de haute précision.

1. Rôle de la lame compensatrice (C)

La séparatrice (S) est une lame à faces parallèles d'épaisseur e et d'indice optique n(\lambda). En raison de la dispersion du verre (n dépend de la longueur d'onde \lambda), la traversée de la lame introduit une différence de marche qui varie avec \lambda. En lumière blanche ou polychromatique, une dissymétrie de verre traversé entraînerait une dispersion chromatique : la condition de différence de marche nulle ne pourrait être satisfaite simultanément pour toutes les longueurs d'onde, ce qui empêcherait l'observation de la frange centrale achromatique (teinte de passage).

La lame compensatrice (C), identique en épaisseur et en indice à (S) et orientée parallèlement à celle-ci, a pour rôle d'égaliser exactement l'épaisseur de verre traversée par les deux faisceaux interférents, rendant la différence de marche \delta purement géométrique et strictement indépendante de \lambda :

2. Détermination de la face semi-réfléchissante

Supposons que la face (1) (face supérieure, tournée vers la source et M_f) porte la couche semi-réfléchissante :

• Faisceau (2) (vers M_m) : il entre par la face (1), traverse S vers M_m (1^{\text{re}} traversée). Au retour de M_m, il pénètre par la face (2), traverse S jusqu'à la face (1) (2^{\text{e}} traversée), s'y réfléchit intérieurement, puis retraverse S pour en sortir par la face (2) vers la voie de sortie (3^{\text{e}} traversée). Il effectue ainsi 3 traversées de la lame (S).
• Faisceau (1) (vers M_f) : il se réfléchit directement sur la face semi-réfléchissante (1) sans pénétrer dans (S) (0 traversée à l'aller). Au retour de M_f, il traverse la lame (S) pour émerger par la face (2) vers la voie de sortie (1 seule traversée).

Sans compensatrice, le faisceau se propageant vers M_m traverserait la lame (S) deux fois de plus que celui se propageant vers M_f. Pour rétablir la symétrie, la lame compensatrice (C) doit donc être insérée sur le bras menant à M_f : le faisceau (1) la traverse alors à l'aller et au retour (2 traversées), portant son total à 1 + 2 = 3 traversées de verre.

Si la couche semi-réfléchissante était sur la face inférieure (2), le faisceau vers M_f effectuerait 3 traversées de S et celui vers M_m n'en ferait qu'une seule ; la compensatrice (C) devrait alors se trouver sur le bras horizontal menant à M_m.

Comme la lame (C) est placée sur le bras vertical menant au miroir M_f sur la figure 5 :

Les miroirs plans M_f et M_m sont orthogonaux aux axes (Oy) et (Ox), eux-mêmes perpendiculaires. Par réflexion sur la lame séparatrice S inclinée à 45^\circ, l'image M'_1 de l'un des miroirs est rigoureusement parallèle à l'autre miroir : l'interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air à faces parallèles.

Pour un point source de la source étendue émettant dans une direction inclinée d'un angle i par rapport à la normale aux miroirs, la différence de marche s'écrit :

où e est l'épaisseur de la lame d'air équivalente.

• Nature des franges : La différence de marche \delta ne dépend que de l'inclinaison i des rayons lumineux incidents et non de la position du point source émetteur. Les franges sont donc des franges d'égale inclinaison (ou anneaux de Haidinger), se présentant sous la forme d'anneaux circulaires concentriques.

• Lieu d'observation : Tous les rayons ayant la même inclinaison i émergent sous forme de faisceaux parallèles entre eux. Les franges sont par conséquent localisées à l'infini. On peut les observer :

  • sur un écran placé dans le plan focal image d'une lentille convergente disposée en sortie de l'interféromètre ;
  • directement avec l'œil accommodé à l'infini.

Le miroir mobile M_m se déplace le long de l'axe (Ox) à la vitesse constante \vec{v} = v\vec{e}_x. À l'instant t = 0, l'appareil est au contact optique (différence de marche nulle). À l'instant t, la position du miroir mobile par rapport à la position de contact optique est donc :

Sur l'axe (Oy), les rayons émergents correspondent à une incidence normale sur les miroirs (i = 0). Le trajet aller-retour dans l'air introduit ainsi une différence de marche :

Grâce à la présence de la lame compensatrice C, les deux faisceaux traversent le même nombre de fois la même épaisseur de verre, de sorte qu'il n'y a pas de différence de marche supplémentaire liée au verre.

Le déphasage entre les deux ondes interférant sur l'axe s'écrit alors :

Chaque bras pris isolément transmet une intensité I_0. Comme les deux ondes issues de la même source monochromatique sont parfaitement cohérentes entre elles, la formule de Fresnel donne l'intensité totale observée en sortie sur l'axe :

Les deux raies spectrales de longueurs d'onde \lambda_1 = \lambda_0 et \lambda_2 = \lambda_0 + \Delta\lambda correspondent à des fréquences différentes : elles sont mutuellement incohérentes. L'intensité totale en sortie sur l'axe s'obtient donc par addition des intensités :

D'après le résultat de la question Q24, chaque raie monochromatique d'intensité I_k donne :

En posant \theta_1 = \dfrac{4\pi vt}{\lambda_0} et \theta_2 = \dfrac{4\pi vt}{\lambda_0 + \Delta\lambda}, l'intensité résultante s'écrit :

On applique le formulaire trigonométrique fourni avec a_1 = I_1 et a_2 = I_2 :

où :

L'intensité totale prend alors la forme canonique :

où le contraste (ou visibilité) des franges s'identifie à :

Calculons l'argument de la fonction sinus :

À l'ordre le plus bas en |\Delta\lambda|/\lambda_0 \ll 1, le dénominateur s'approxime par \lambda_0(\lambda_0 + \Delta\lambda) \simeq \lambda_0^2. On obtient ainsi l'expression attendue :

La fonction \sin^2 prenant ses valeurs dans [0, 1], on déduit directement les valeurs extrêmes du contraste :

• Lorsque \sin^2\left(2\pi vt\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0^2}\right) = 0 :

  \boxed{C_{\max} = 1}

• Lorsque \sin^2\left(2\pi vt\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0^2}\right) = 1 :

  C_{\min} = \sqrt{1 - \frac{4I_1 I_2}{(I_1 + I_2)^2}} = \sqrt{\frac{(I_1 + I_2)^2 - 4I_1 I_2}{(I_1 + I_2)^2}} = \sqrt{\frac{(I_1 - I_2)^2}{(I_1 + I_2)^2}}

  Comme I_1 > I_2 > 0, il vient :

  \boxed{C_{\min} = \frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2}}

D'après la question Q25, le contraste minimal s'écrit :

En résolvant par rapport au rapport d'intensités :

Avec C_{\min} \simeq 0{,}15 :

Le déplacement du miroir mobile depuis le contact optique (t=0) est \Delta x = vt. À l'instant initial, le contraste est maximal (C(0) = 1). La première annulation progressive conduisant à un minimum de contraste est atteinte lorsque l'argument du terme en sinus vaut \pi/2 :

On en déduit :

Application numérique avec \lambda_0 = 656\text{ nm} = 6{,}56 \cdot 10^{-7}\text{ m} et \Delta x = 8{,}5\text{ mm} = 8{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

(soit un écart en longueur d'onde de l'ordre de \Delta\lambda \simeq 0{,}013\text{ nm} = 0{,}13\text{ \AA}).