Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2024

Dans le vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les quatre équations de Maxwell s'écrivent :

• Équation de Maxwell-Gauss :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday :

  \boxed{\overrightarrow{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère :

  \boxed{\overrightarrow{\operatorname{rot}} \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

En appliquant l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday et en permutant les dérivées par rapport à l'espace et au temps (théorème de Schwarz), on a :

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide établie à la question Q1, il vient :

D'autre part, en exploitant l'identité vectorielle fournie par l'énoncé et l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (\operatorname{div}\vec{E} = 0) :

En égalant les deux expressions, on obtient l'équation de d'Alembert vérifiée par \vec{E} :

Par identification avec l'équation de propagation de d'Alembert à la célérité c, \vec{\Delta}\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}, on identifie \frac{1}{c^2} = \varepsilon_0 \mu_0, d'où :

L'onde étant une onde plane progressive monochromatique de pulsation \omega se propageant selon +\vec{e}_z, son vecteur d'onde est \vec{k} = k\vec{e}_z avec k > 0. Conformément à la convention adoptée dans l'énoncé avec le facteur temporel \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, les champs électrique et magnétique s'écrivent en notation complexe sous la forme :

où \underline{\vec{E}}_0 et \underline{\vec{B}}_0 sont des vecteurs complexes constants et \vec{r} = \overrightarrow{\mathrm{OM}} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z.

En notation complexe, l'opérateur spatial \vec{\nabla} agissant sur une telle onde équivaut à la multiplication scalaire ou vectorielle par -\mathrm{j}\vec{k}.

Transversalité du champ électrique : D'après l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (établie à la question Q1) :

Or, le calcul direct donne :

Comme k \neq 0, il vient :

Transversalité du champ magnétique : De même, d'après l'équation de Maxwell-Thomson (établie à la question Q1) :

D'où :

Les composantes longitudinale (selon l'axe de propagation \vec{e}_z) des champs électrique et magnétique sont nulles :

Les champs \vec{E} et \vec{B} sont donc perpendiculaires à la direction de propagation : l'onde est transverse.

L'onde est une onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant dans le vide dans la direction et le sens de l'axe (Oz), de pulsation \omega et de norme de vecteur d'onde k. La dépendance spatio-temporelle de la phase pour une telle onde progressive se propageant selon les z croissants est de la forme \omega t - kz.

Le champ électrique est polarisé rectilignement selon \vec{e}_x, d'amplitude E_0 et de phase à l'origine (z=0, t=0) notée \varphi. En tout point \mathrm{M}(x, y, z) et à chaque instant t, l'expression du champ électrique réel s'écrit donc :

D'après la question Q2, le champ électrique vérifie l'équation de d'Alembert dans le vide :

En notation complexe, le champ électrique s'écrit :

Les dérivées spatiales et temporelles s'expriment selon :

En reportant dans l'équation de d'Alembert :

Le champ \underline{\vec{E}} n'étant pas identiquement nul, et les grandeurs k et \omega étant par convention positives pour une onde se propageant dans le sens des z croissants, on en déduit la relation de dispersion :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday en régime harmonique pour une onde plane progressive monochromatique :

Le vecteur d'onde est \vec{k} = k \vec{e}_z et le champ électrique complexe s'écrit d'après la question Q4 :

On en déduit :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q5, \dfrac{k}{\omega} = \dfrac{1}{c}. Par conséquent :

En prenant la partie réelle de cette grandeur complexe, on obtient l'expression du champ magnétique réel :

Par définition, le vecteur de Poynting dans le vide s'écrit :

En utilisant les expressions des champs électrique (question Q4) et magnétique (question Q6) :

Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z, on obtient :

En utilisant la relation c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} établie à la question Q2, on a \frac{1}{\mu_0 c} = c\varepsilon_0, d'où :

La densité volumique d'énergie électromagnétique dans le vide est la somme des densités volumiques d'énergie électrique et magnétique :

D'après les résultats des questions Q4 et Q6, on a :

En utilisant la relation établie à la question Q2, c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}, soit \frac{1}{\mu_0 c^2} = \varepsilon_0, la contribution magnétique s'écrit :

On constate l'équipartition instantanée entre l'énergie électrique et l'énergie magnétique (w_e = w_m).

En sommant les deux contributions, on obtient :

D'après les résultats des questions Q7 et Q8, les grandeurs instantanées s'écrivent :

La moyenne temporelle d'une fonction f(t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} est définie par :

Pour la fonction cosinus au carré, en utilisant \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} et le fait que l'intégrale d'une fonction sinusoïdale sur un nombre entier de périodes est nulle :

On en déduit immédiatement la moyenne temporelle de la densité volumique d'énergie :

Puis, par linéarité de l'opération de moyenne temporelle :

Soit finalement :

On étudie l'électron (masse m_e, charge -e) dans le référentiel lié au proton immobile en \mathrm{O}, supposé galiléen.

Le poids de l'électron étant négligé, l'électron est uniquement soumis à la force électrostatique coulombienne exercée par le proton situé en \mathrm{O} :

où \vec{OM} = r\,\vec{e}_r. Il s'agit d'une force centrale de centre \mathrm{O}.

Le moment de cette force par rapport à l'origine \mathrm{O} est :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en \mathrm{O} (point fixe dans le référentiel galiléen) :

Le moment cinétique est donc constant au cours du temps :

Par définition, le moment cinétique s'écrit \vec{L_{\mathrm{O}}} = \vec{OM} \wedge m_e \vec{v}. Par conséquent :

Comme n \in \mathbb{N}^*, la norme de \vec{L_{\mathrm{O}}} n'est pas nulle :

Le vecteur position \vec{OM}(t) reste à chaque instant orthogonal au vecteur fixe non nul \vec{L_{\mathrm{O}}}.

Le mouvement étant plan et s'effectuant dans le plan z = 0, le vecteur position de l'électron de masse m_e s'écrit en coordonnées cylindriques :

Dans le référentiel lié au proton supposé galiléen, le vecteur vitesse s'obtient par dérivation par rapport au temps :

Par définition, le moment cinétique de l'électron par rapport à l'origine \mathrm{O} est :

Sachant que \vec{e}_r \wedge \vec{e}_r = \vec{0} et \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_z, on en déduit :

Puisque \vec{L_{\mathrm{O}}} = L_{\mathrm{O}} \, \vec{e}_z, on identifie directement :

D'après la question Q10, le moment cinétique \overrightarrow{L_{\mathrm{O}}} est constant au cours du mouvement, et d'après la question Q11, sa composante scalaire s'écrit :

Le mouvement de l'électron étant supposé circulaire de rayon R, la distance au proton est constante au cours du temps : r(t) = R = \text{cte}. Il en découle :

La vitesse de l'électron s'exprime dans la base cylindrique par \vec{v} = R\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{e_\theta}. Sa norme est donc :

On étudie l'électron de masse m_e et de charge q = -e dans le référentiel lié au proton à l'origine \mathrm{O}, supposé galiléen.

L'électron est uniquement soumis à la force électrostatique exercée par le proton de charge +e :

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R et de vitesse v, le vecteur accélération est purement centripète :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron :

En projetant selon \vec{e}_r, on obtient :

La vitesse v = \|\vec{v}\| étant positive, on en déduit :

D'après les questions précédentes, pour un mouvement circulaire de rayon R, la vitesse de l'électron vérifie :

Or, la condition de quantification du moment cinétique de Bohr impose :

On en déduit une première expression de la vitesse orbitale :

D'après la question Q13, l'application du principe fondamental de la dynamique fournit par ailleurs :

En égalant ces deux expressions de v, on obtient :

En simplifiant par R, il vient :

Le rayon de l'orbite s'écrit bien sous la forme R = n^2 a_0, avec :

Application numérique : Avec les valeurs fournies par l'énoncé :

Par définition, l'électronvolt (\mathrm{eV}) est l'énergie cinétique acquise par une particule de charge élémentaire e accélérée par une différence de potentiel électrostatique de 1\text{ V} :

La relation numérique liant l'électronvolt et le joule est donc :

ou, réciproquement :

L'énergie mécanique de l'électron en orbite circulaire de rayon R s'écrit comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle d'interaction électrostatique avec le proton :

D'après la question Q13, la vitesse orbitale de l'électron vérifie v = \dfrac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e R}}, d'où l'énergie cinétique :

La force électrostatique exercée par le proton sur l'électron est \vec{F} = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e}_r. En choisissant la référence de l'énergie potentielle nulle à l'infini (E_p(\infty) = 0), l'énergie potentielle s'écrit :

L'énergie mécanique vaut donc :

En utilisant le résultat de la question Q14, R = n^2 a_0 avec a_0 = \dfrac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}, il vient :

On retrouve bien l'expression proposée \mathscr{E}_m = -\dfrac{E_0}{n^2}, avec :

Application numérique :

En utilisant la relation établie à la question Q15 (1\text{ eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ J}) :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon E_\gamma associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu et de longueur d'onde dans le vide \lambda s'écrit :

Pour un photon de longueur d'onde \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}00 \times 10^{-7}\text{ m}, avec les valeurs numériques fournies :

• h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

L'énergie du photon en joule vaut :

Soit, avec trois chiffres significatifs :

En utilisant la conversion établie à la question Q15 (1\text{ eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ J}) :

Soit :

Lors de l'absorption d'un photon d'énergie E_\gamma par l'atome d'hydrogène, l'atome effectue une transition d'un niveau d'énergie \mathscr{E}_{m}(n) vers un niveau plus excité \mathscr{E}_{m}(p), avec p > n.

La conservation de l'énergie s'écrit :

D'après la question Q16, \mathscr{E}_m(n) = -\dfrac{E_0}{n^2}, d'où :

D'après la relation de Planck-Einstein rappelée à la question Q17, E_\gamma = \dfrac{hc}{\lambda_{n,p}}, ce qui conduit à :

On en déduit l'expression de la longueur d'onde absorbée \lambda_{n,p} (avec p > n) :

D'après la formule établie à la question Q18, pour n = 2 et un niveau d'arrivée p > 2 :

Avec les constantes du sujet (h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et la valeur de E_0 \approx 2{,}17 \times 10^{-18}\text{ J} calculée en Q16, le facteur d'échelle vaut :

Calculons les longueurs d'onde pour les premières valeurs de p :

• Pour p = 3 :

  \lambda_{2,3} = 366{,}6 \times \frac{3^2}{3^2 - 4} = 366{,}6 \times \frac{9}{5} \approx 660\text{ nm}

• Pour p = 4 :

  \lambda_{2,4} = 366{,}6 \times \frac{4^2}{4^2 - 4} = 366{,}6 \times \frac{16}{12} \approx 489\text{ nm}

• Pour p = 5 :

  \lambda_{2,5} = 366{,}6 \times \frac{5^2}{5^2 - 4} = 366{,}6 \times \frac{25}{21} \approx 437\text{ nm}

• Pour p = 6 :

  \lambda_{2,6} = 366{,}6 \times \frac{6^2}{6^2 - 4} = 366{,}6 \times \frac{36}{32} \approx 413\text{ nm}

• Pour p = 7 :

  \lambda_{2,7} = 366{,}6 \times \frac{7^2}{7^2 - 4} = 366{,}6 \times \frac{49}{45} \approx 400\text{ nm}

Le spectre visible s'étendant conventionnellement de 400\text{ nm} (limite violette) à 750\text{ nm} (limite rouge) :

Si la limite du visible est étendue à 380\text{ nm}, on inclut également p = 7 avec \lambda_{2,7} \approx 400\text{ nm}.

L'énergie d'ionisation E_{\mathrm{ion}} correspond à l'énergie minimale à fournir à l'atome d'hydrogène initialement dans son état fondamental (n = 1) pour amener l'électron à l'infini avec une vitesse nulle (état libre caractérisé par n \to \infty et \mathscr{E}_{m,\infty} = 0).

D'après l'expression de l'énergie mécanique obtenue à la question Q16, on a :

L'énergie d'ionisation s'écrit donc :

En utilisant la valeur calculée à la question Q16 :

L'onde réfléchie se propage dans le milieu 1 (z < 0, le vide) vers les z décroissants, avec un vecteur d'onde \vec{k}_r = -k\vec{e}_z, où k = \frac{\omega}{c} d'après la relation de dispersion établie à la question Q5.

Comme elle conserve la même polarisation rectiligne que l'onde incidente, son champ électrique s'écrit sous la forme générale :

où E_{0r} est une amplitude positive et \varphi_r une phase à l'origine.

À l'interface z = 0, la normale unitaire dirigée du milieu 1 vers le milieu 2 est \vec{n}_{12} = \vec{e}_z. La relation de passage pour le champ électrique s'écrit :

Le conducteur parfait impose l'annulation du champ électrique pour tout z > 0, soit \vec{E}_2(z=0^+, t) = \vec{0}. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique impose donc :

Le champ total dans le vide en z = 0^- est la superposition du champ incident et du champ réfléchi :

Cette condition devant être vérifiée à tout instant t :

En identifiant avec l'expression de \vec{E}_r prise en z = 0, on obtient directement pour tout point \mathrm{M}(x,y,z) du demi-espace z < 0 :

D'après la question Q21, le champ électrique réfléchi s'écrit sous forme complexe :

avec pour vecteur d'onde \vec{k}_r = -k\vec{e}_z.

L'onde réfléchie étant une OPPM se propageant dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday donne directement la relation de structure :

Comme \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y et d'après la relation de dispersion \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c} (question Q5), on obtient :

En prenant la partie réelle, on en déduit l'expression du champ magnétique réel réfléchi :

Dans le vide (z < 0), le champ magnétique total \vec{B}_1(\mathrm{M}, t) est la superposition du champ de l'onde incidente \vec{B}_i(\mathrm{M}, t) et du champ de l'onde réfléchie \vec{B}_r(\mathrm{M}, t) établis aux questions Q6 et Q22 :

Au voisinage immédiat de la surface en z = 0^-, ces deux composantes sont en phase :

Pour déterminer le vecteur densité surfacique de courant \vec{\jmath}_s(t), on applique la relation de passage magnétique fournie par l'énoncé entre le milieu 1 (vide, z < 0) et le milieu 2 (conducteur parfait, z > 0) :

où la normale dirigée de 1 vers 2 est \vec{n}_{12} = \vec{e}_z.

Le milieu 2 étant un conducteur parfait, le champ magnétique y est strictement nul : \vec{B}_2(z = 0^+, t) = \vec{0}. La relation devient :

soit :

Sachant que \vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on a -\vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_x. Par conséquent :

En utilisant la relation \frac{1}{\mu_0 c^2} = \varepsilon_0 \Longleftrightarrow \frac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c, ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme équivalente :

Le milieu 2 (z > 0) étant un conducteur parfait, les champs électromagnétiques y sont identiquement nuls, d'où en particulier :

D'après la relation fournie par l'énoncé et le résultat de la question Q23 pour \vec{B}(z = 0^-, t) :

D'après la question Q23, la densité surfacique de courant s'écrit :

La densité surfacique de la force de Laplace est alors donnée par :

Cette densité surfacique de force étant uniforme sur toute la surface plane d'aire S, la force de Laplace totale exercée sur cette surface s'obtient par intégration directe :

D'où l'expression finale de la force de Laplace :

(avec \vec{F}_L(t) = 2\varepsilon_0 S E_0^2 \cos^2(\omega t)\,\vec{e}_z si l'on choisit \varphi = 0).

D'après la question Q24, la force de Laplace instantanée subie par la surface du conducteur s'écrit :

La valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} est donnée par :

Comme la valeur moyenne de la fonction \cos^2 sur une période est :

on obtient directement :

Cette force moyenne est orthogonale à la surface du conducteur et dirigée selon \vec{e}_z (vers l'intérieur du conducteur), ce qui correspond à une force pressante s'exerçant uniformément sur la surface d'aire S.

On peut donc lui associer une pression scalaire p, appelée pression de radiation, définie par :

Il vient immédiatement :

D'après la question Q25, la pression de radiation exercée sur le miroir parfait s'écrit :

L'intensité I de l'onde incidente est donnée par le rappel de l'énoncé (question Q9) :

On en déduit l'expression de la pression de radiation en fonction de l'intensité :

1. Cas de la lumière venant du Soleil : Pour I_1 = 1\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} et c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Cas du laser de haute intensité : Pour I_2 = 1\text{ GW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0 \times 10^9\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

Considérons une section plane S orthogonale à la direction de propagation de l'onde (d'axe \vec{e}_z). Pendant une durée infinitésimale \mathrm{d}t, les photons se déplaçant à la célérité c qui traversent la surface S sont ceux initialement contenus dans un cylindre de base S et de hauteur c\,\mathrm{d}t, c'est-à-dire de volume :

Puisque la densité volumique n_\gamma^* est uniforme, le nombre de photons traversant la surface pendant \mathrm{d}t s'écrit :

Chaque photon transportant une énergie E_\gamma, l'énergie électromagnétique totale traversant la section S pendant \mathrm{d}t est :

Par définition, l'intensité I représente la puissance surfacique moyenne transportée par l'onde :

On en déduit l'expression de la densité volumique de photons :

Application numérique :
Pour le laser de haute intensité, on a I_2 = 1\text{ GW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0 \times 10^9\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}. D'après la question Q17, l'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda = 600\text{ nm} vaut E_\gamma \approx 3{,}32 \times 10^{-19}\text{ J}. Avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Un photon est une particule de masse nulle se propageant à la célérité c. La relation d'Einstein-de Broglie (ou la relation de dispersion relativiste E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 avec m = 0) relie son énergie E_\gamma à la norme p_\gamma de sa quantité de mouvement :

Puisque le faisceau incident se propage selon l'axe (\mathrm{O}z) dans le sens du vecteur unitaire \vec{e_z}, la quantité de mouvement vectorielle \vec{p_\gamma} d'un photon incident s'écrit :

Considérons un photon incident se propageant selon +\vec{e}_z. D'après la question Q28, sa quantité de mouvement initiale s'écrit :

L'onde arrivant en incidence normale sur le conducteur parfait situé en z = 0, et le choc étant élastique (sans perte d'énergie, donc sans variation de la pulsation de l'onde associée ni de son énergie photonique), l'énergie du photon après le rebond reste égale à E_\gamma.

Par symétrie et d'après les lois de Descartes pour la réflexion, le photon est réfléchi dans la direction normale à l'interface, c'est-à-dire en sens opposé, selon -\vec{e}_z. Sa quantité de mouvement finale est ainsi :

La variation de la quantité de mouvement du photon lors de ce rebond est donc :

soit finalement :

Pendant une durée infinitésimale \mathrm{d}t, les photons se déplaçant à la vitesse c le long de l'axe (Oz) parcourent la distance c\,\mathrm{d}t. Tous les photons situés dans le cylindre d'axe (Oz), de section droite S et de hauteur c\,\mathrm{d}t situé immédiatement devant l'interface (z < 0) viennent frapper la surface S.

Le volume de ce cylindre d'incidence s'écrit :

La densité volumique étant supposée uniforme, le nombre de photons heurtant la surface pendant \mathrm{d}t est :

D'après le résultat de la question Q27, la densité volumique s'exprime par n_\gamma^* = \frac{I}{c E_\gamma}. On en déduit :

Chacun de ces \mathrm{d}N photons subit lors de son rebond élastique la variation de quantité de mouvement \Delta\vec{p}_\gamma = -\frac{2E_\gamma}{c}\vec{e}_z établie à la question Q29.

La variation totale de quantité de mouvement de l'ensemble de ces photons pendant la durée \mathrm{d}t vaut donc :

D'où :

D'après le principe des actions réciproques (ou bilan de quantité de mouvement sur le système fermé {photons + paroi}), la quantité de mouvement \mathrm{d}\vec{p}_{\text{paroi}} transmise à la surface métallique d'aire S pendant la durée \mathrm{d}t est l'opposée de la variation de quantité de mouvement des photons :

En utilisant le résultat de la question Q30, \Delta\vec{p}_{\mathrm{d}t} = -\dfrac{2IS\,\mathrm{d}t}{c}\,\vec{e}_z, il vient :

La force moyenne exercée par les photons sur la surface s'écrit alors :

La pression de radiation p est la force par unité de surface normale à celle-ci :

En rappelant l'expression de l'intensité démontrée à la question Q9 :

on obtient :

On retrouve rigoureusement l'expression de la pression de radiation établie à la question Q25 par l'approche ondulatoire via la force de Laplace.

L'électron, de masse m_e et de charge q = -e, est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m_e \vec{g}, de norme P = m_e g ;
• la composante électrique de la force de Lorentz : \vec{F}_e = -e \vec{E}(x,t), dont l'amplitude maximale vaut F_{e,\max} = e E_0.

Le poids est négligeable devant la force électrique si :

La valeur numérique limite du champ électrique est donc :

Application numérique : avec g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg} et e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}, on obtient :

Le poids de l'électron est donc tout à fait négligeable dès que :

La force électrique de Lorentz exercée sur l'électron de charge q = -e par le champ électrique uniforme \vec{E}(t) = E_0 \cos(\omega t) \vec{e}_x s'écrit :

La valeur moyenne de cette force sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} est donnée par :

Or, l'intégrale d'une fonction sinusoïdale sur un nombre entier de périodes est strictement nulle :

On en déduit bien :

On étudie l'électron (masse m_e, charge q = -e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En négligeant le poids, l'électron n'est soumis qu'à la force électrique :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Ox) s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé établi, on associe à la vitesse v(t) = V_m \cos(\omega t + \varphi_v) l'amplitude complexe \underline{V} = V_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_v}, avec V_m > 0. L'opérateur de dérivation temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{j}\omega :

On en déduit l'expression de l'amplitude complexe :

Par identification du module et de l'argument, sachant que e, E_0, m_e, \omega > 0 :

La vitesse de l'électron est ainsi en quadrature avance par rapport au champ électrique excitateur.

Le vecteur position de l'électron selon l'axe (Ox) est noté :

Par dérivation temporelle, la vitesse de l'électron s'écrit :

D'après le résultat de la question précédente (Q34), la vitesse de l'électron en régime sinusoïdal forcé établi est :

Par identification des amplitudes et des phases (en choisissant X_m > 0) :

On peut également retrouver directement ce résultat à partir du principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Ox) :

En notation complexe, en posant \underline{x}(t) = \underline{X} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} avec \underline{X} = X_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_x} :

Le nombre complexe \underline{X} étant réel strictement positif, son module donne X_m et son argument donne \varphi_x :

1. Unité de \alpha : L'amplitude E_m(x) = E_0 + \alpha x est homogène à un champ électrique, dont l'unité dans le Système international est le volt par mètre (\mathrm{V\cdot m^{-1}}). La coordonnée x étant une distance exprimée en mètres (\mathrm{m}), l'unité de \alpha est :

   \boxed{\mathrm{V\cdot m^{-2}} \quad (\text{ou } \mathrm{N\cdot C^{-1}\cdot m^{-1}})}

2. Orientation de \overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(E_m^2\right) : La fonction E_m(x) ne dépend que de la seule variable spatiale x, de sorte que le gradient s'écrit en coordonnées cartésiennes :

   \overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(E_m^2\right) = \frac{\mathrm{d}\left(E_m^2\right)}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x = 2 E_m(x)\frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x = 2\alpha(E_0 + \alpha x)\,\vec{e}_x

   Les constantes E_0 et \alpha étant strictement positives, et sous l'hypothèse |\alpha x| \ll E_0, la quantité E_0 + \alpha x est strictement positive. Par conséquent, la composante selon \vec{e}_x est positive :

   \boxed{\overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(E_m^2\right) \text{ est orienté dans le sens des } x \text{ croissants, soit selon } +\vec{e}_x.}

3. Expression approchée au premier ordre : En développant le carré sous l'hypothèse |\alpha x| \ll E_0 :

   E_m^2(x) = (E_0 + \alpha x)^2 = E_0^2 + 2\alpha E_0 x + \alpha^2 x^2 \approx E_0^2 + 2\alpha E_0 x

   On en déduit l'expression du gradient au premier ordre en \alpha x / E_0 :

   \boxed{\overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(E_m^2\right) = 2\alpha E_0\,\vec{e}_x}

D'après la question Q35, la position et le champ électrique sont en phase (\varphi_x = 0) :

• Pour x = X_m, on a \cos(\omega t) = 1 :

  \begin{aligned} \vec{E}(X_m) &= (E_0 + \alpha X_m)\,\vec{e}_x \\ \vec{F}(X_m) &= -e\vec{E}(X_m) = -e(E_0 + \alpha X_m)\,\vec{e}_x \end{aligned}

  Le champ \vec{E}(X_m) est dirigé selon +\vec{e}_x, et la force subie par l'électron \vec{F}(X_m) est dirigée selon -\vec{e}_x.

• Pour x = -X_m, on a \cos(\omega t) = -1 :

  \begin{aligned} \vec{E}(-X_m) &= (E_0 - \alpha X_m)(-1)\,\vec{e}_x = -(E_0 - \alpha X_m)\,\vec{e}_x \\ \vec{F}(-X_m) &= -e\vec{E}(-X_m) = +e(E_0 - \alpha X_m)\,\vec{e}_x \end{aligned}

  Le champ \vec{E}(-X_m) est dirigé selon -\vec{e}_x, et la force subie par l'électron \vec{F}(-X_m) est dirigée selon +\vec{e}_x.

La résultante de ces deux forces extrêmes vaut :

Puisque e > 0, \alpha > 0 et X_m > 0, cette résultante est dirigée selon -\vec{e}_x.

On en déduit que la force pondéromotrice \vec{f}_p, qui est la force moyenne sur une période, est elle aussi :

D'après l'énoncé, à l'échelle d'une période d'oscillation, le mouvement de l'électron autour de x = 0 est bien décrit par l'expression établie à la question Q35 :

La force de Lorentz électrique instantanée subie par l'électron de charge q = -e s'écrit :

En utilisant le profil affine E_m(x) = E_0 + \alpha x, il vient :

La force pondéromotrice \vec{f}_p est la moyenne temporelle de \vec{F}(t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} :

Sachant que \langle \cos(\omega t) \rangle_T = 0 et \langle \cos^2(\omega t) \rangle_T = \frac{1}{2}, on obtient :

En remplaçant X_m par son expression :

L'expression générale admise pour la force pondéromotrice exercée sur une particule de masse m_e et de charge q est :

Pour un électron, la charge électrique vaut q = -e, ce qui donne :

D'après le résultat de la question Q36, au premier ordre en \alpha x / E_0 (soit pour |\alpha x| \ll E_0 au voisinage de l'origine), le gradient du carré de l'amplitude s'écrit :

En injectant ces deux relations dans l'expression générale de \vec{f}_p, on obtient :

On retrouve bien l'expression obtenue par calcul direct de la moyenne temporelle à la question Q38.

On applique le théorème de l'énergie cinétique à l'électron entre son état initial (au repos, \mathscr{E}_{c,i} = 0) et son état final après avoir parcouru la distance d = 2\text{ cm} sous l'effet d'une force pondéromotrice constante et colinéaire au déplacement :

L'énergie cinétique acquise par l'électron est \mathscr{E}_{c,f} = 2\text{ GeV}. En utilisant la relation de conversion entre le joule et l'électronvolt (rappelée en question Q15) :

La norme de la force pondéromotrice s'exprime alors par :

Avec d = 2\text{ cm} = 2{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}, l'application numérique donne :

1. Estimation du champ moyen E_0 :

La puissance P du laser est supposée uniformément répartie sur la section circulaire d'un faisceau de diamètre D = 0{,}1\text{ mm}, soit une aire :

L'intensité moyenne du faisceau s'écrit alors :

D'après la relation rappelée par l'énoncé et démontrée à la question Q9, l'intensité est liée à l'amplitude du champ électrique E_0 par :

On en déduit l'expression du champ moyen E_0 :

Application numérique :

• P = 1{,}0 \times 10^{15}\text{ W},
• D = 0{,}1\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m},
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}.

2. Déduction de la valeur de \alpha :

D'après le résultat des questions Q38 et Q39, la norme de la force pondéromotrice subie par un électron est :

où la pulsation temporelle de l'onde s'exprime en fonction de sa longueur d'onde \lambda = 632\text{ nm} par :

On en déduit l'expression de \alpha requise pour produire la force F_p = 1{,}6 \times 10^{-8}\text{ N} évaluée à la question Q40 :

Application numérique :

La réaction dans le sens direct est d'ordre un par rapport au réactif \mathrm{I}_a de constante de vitesse k_1, si bien que la vitesse volumique s'écrit :

D'après la stœchiométrie de la réaction d'isomérisation \mathrm{I}_{a\text{ (aq)}} \longrightarrow \mathrm{I}_{b\text{ (aq)}}, la conservation de la matière à volume constant impose, pour tout instant t :

Sachant que x(t) = [\mathrm{I}_b](t), il vient :

On en déduit l'expression de la vitesse volumique de la réaction dans le sens direct :

La réaction dans le sens indirect correspond au processus :

L'énoncé précise que cette réaction est d'ordre un par rapport au réactif I_{b(\mathrm{aq})}, de constante de vitesse k_2. Par définition de la loi de vitesse, la vitesse volumique v_2 s'écrit :

Comme la concentration de l'espèce I_b à l'instant t est notée x(t) = x, on en déduit directement :