Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2024 (page 2/4 : Partie III)

L'onde réfléchie se propage dans le milieu 1 (z < 0, le vide) vers les z décroissants, avec un vecteur d'onde \vec{k}_r = -k\vec{e}_z, où k = \frac{\omega}{c} d'après la relation de dispersion établie à la question Q5.

Comme elle conserve la même polarisation rectiligne que l'onde incidente, son champ électrique s'écrit sous la forme générale :

où E_{0r} est une amplitude positive et \varphi_r une phase à l'origine.

À l'interface z = 0, la normale unitaire dirigée du milieu 1 vers le milieu 2 est \vec{n}_{12} = \vec{e}_z. La relation de passage pour le champ électrique s'écrit :

Le conducteur parfait impose l'annulation du champ électrique pour tout z > 0, soit \vec{E}_2(z=0^+, t) = \vec{0}. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique impose donc :

Le champ total dans le vide en z = 0^- est la superposition du champ incident et du champ réfléchi :

Cette condition devant être vérifiée à tout instant t :

En identifiant avec l'expression de \vec{E}_r prise en z = 0, on obtient directement pour tout point \mathrm{M}(x,y,z) du demi-espace z < 0 :

D'après la question Q21, le champ électrique réfléchi s'écrit sous forme complexe :

avec pour vecteur d'onde \vec{k}_r = -k\vec{e}_z.

L'onde réfléchie étant une OPPM se propageant dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday donne directement la relation de structure :

Comme \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y et d'après la relation de dispersion \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c} (question Q5), on obtient :

En prenant la partie réelle, on en déduit l'expression du champ magnétique réel réfléchi :

Dans le vide (z < 0), le champ magnétique total \vec{B}_1(\mathrm{M}, t) est la superposition du champ de l'onde incidente \vec{B}_i(\mathrm{M}, t) et du champ de l'onde réfléchie \vec{B}_r(\mathrm{M}, t) établis aux questions Q6 et Q22 :

Au voisinage immédiat de la surface en z = 0^-, ces deux composantes sont en phase :

Pour déterminer le vecteur densité surfacique de courant \vec{\jmath}_s(t), on applique la relation de passage magnétique fournie par l'énoncé entre le milieu 1 (vide, z < 0) et le milieu 2 (conducteur parfait, z > 0) :

où la normale dirigée de 1 vers 2 est \vec{n}_{12} = \vec{e}_z.

Le milieu 2 étant un conducteur parfait, le champ magnétique y est strictement nul : \vec{B}_2(z = 0^+, t) = \vec{0}. La relation devient :

soit :

Sachant que \vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on a -\vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_x. Par conséquent :

En utilisant la relation \frac{1}{\mu_0 c^2} = \varepsilon_0 \Longleftrightarrow \frac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c, ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme équivalente :

Le milieu 2 (z > 0) étant un conducteur parfait, les champs électromagnétiques y sont identiquement nuls, d'où en particulier :

D'après la relation fournie par l'énoncé et le résultat de la question Q23 pour \vec{B}(z = 0^-, t) :

D'après la question Q23, la densité surfacique de courant s'écrit :

La densité surfacique de la force de Laplace est alors donnée par :

Cette densité surfacique de force étant uniforme sur toute la surface plane d'aire S, la force de Laplace totale exercée sur cette surface s'obtient par intégration directe :

D'où l'expression finale de la force de Laplace :

(avec \vec{F}_L(t) = 2\varepsilon_0 S E_0^2 \cos^2(\omega t)\,\vec{e}_z si l'on choisit \varphi = 0).

D'après la question Q24, la force de Laplace instantanée subie par la surface du conducteur s'écrit :

La valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} est donnée par :

Comme la valeur moyenne de la fonction \cos^2 sur une période est :

on obtient directement :

Cette force moyenne est orthogonale à la surface du conducteur et dirigée selon \vec{e}_z (vers l'intérieur du conducteur), ce qui correspond à une force pressante s'exerçant uniformément sur la surface d'aire S.

On peut donc lui associer une pression scalaire p, appelée pression de radiation, définie par :

Il vient immédiatement :

D'après la question Q25, la pression de radiation exercée sur le miroir parfait s'écrit :

L'intensité I de l'onde incidente est donnée par le rappel de l'énoncé (question Q9) :

On en déduit l'expression de la pression de radiation en fonction de l'intensité :

1. Cas de la lumière venant du Soleil : Pour I_1 = 1\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} et c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Cas du laser de haute intensité : Pour I_2 = 1\text{ GW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0 \times 10^9\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

Considérons une section plane S orthogonale à la direction de propagation de l'onde (d'axe \vec{e}_z). Pendant une durée infinitésimale \mathrm{d}t, les photons se déplaçant à la célérité c qui traversent la surface S sont ceux initialement contenus dans un cylindre de base S et de hauteur c\,\mathrm{d}t, c'est-à-dire de volume :

Puisque la densité volumique n_\gamma^* est uniforme, le nombre de photons traversant la surface pendant \mathrm{d}t s'écrit :

Chaque photon transportant une énergie E_\gamma, l'énergie électromagnétique totale traversant la section S pendant \mathrm{d}t est :

Par définition, l'intensité I représente la puissance surfacique moyenne transportée par l'onde :

On en déduit l'expression de la densité volumique de photons :

Application numérique :
Pour le laser de haute intensité, on a I_2 = 1\text{ GW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0 \times 10^9\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}. D'après la question Q17, l'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda = 600\text{ nm} vaut E_\gamma \approx 3{,}32 \times 10^{-19}\text{ J}. Avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Un photon est une particule de masse nulle se propageant à la célérité c. La relation d'Einstein-de Broglie (ou la relation de dispersion relativiste E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 avec m = 0) relie son énergie E_\gamma à la norme p_\gamma de sa quantité de mouvement :

Puisque le faisceau incident se propage selon l'axe (\mathrm{O}z) dans le sens du vecteur unitaire \vec{e_z}, la quantité de mouvement vectorielle \vec{p_\gamma} d'un photon incident s'écrit :

Considérons un photon incident se propageant selon +\vec{e}_z. D'après la question Q28, sa quantité de mouvement initiale s'écrit :

L'onde arrivant en incidence normale sur le conducteur parfait situé en z = 0, et le choc étant élastique (sans perte d'énergie, donc sans variation de la pulsation de l'onde associée ni de son énergie photonique), l'énergie du photon après le rebond reste égale à E_\gamma.

Par symétrie et d'après les lois de Descartes pour la réflexion, le photon est réfléchi dans la direction normale à l'interface, c'est-à-dire en sens opposé, selon -\vec{e}_z. Sa quantité de mouvement finale est ainsi :

La variation de la quantité de mouvement du photon lors de ce rebond est donc :

soit finalement :

Pendant une durée infinitésimale \mathrm{d}t, les photons se déplaçant à la vitesse c le long de l'axe (Oz) parcourent la distance c\,\mathrm{d}t. Tous les photons situés dans le cylindre d'axe (Oz), de section droite S et de hauteur c\,\mathrm{d}t situé immédiatement devant l'interface (z < 0) viennent frapper la surface S.

Le volume de ce cylindre d'incidence s'écrit :

La densité volumique étant supposée uniforme, le nombre de photons heurtant la surface pendant \mathrm{d}t est :

D'après le résultat de la question Q27, la densité volumique s'exprime par n_\gamma^* = \frac{I}{c E_\gamma}. On en déduit :

Chacun de ces \mathrm{d}N photons subit lors de son rebond élastique la variation de quantité de mouvement \Delta\vec{p}_\gamma = -\frac{2E_\gamma}{c}\vec{e}_z établie à la question Q29.

La variation totale de quantité de mouvement de l'ensemble de ces photons pendant la durée \mathrm{d}t vaut donc :

D'où :

D'après le principe des actions réciproques (ou bilan de quantité de mouvement sur le système fermé {photons + paroi}), la quantité de mouvement \mathrm{d}\vec{p}_{\text{paroi}} transmise à la surface métallique d'aire S pendant la durée \mathrm{d}t est l'opposée de la variation de quantité de mouvement des photons :

En utilisant le résultat de la question Q30, \Delta\vec{p}_{\mathrm{d}t} = -\dfrac{2IS\,\mathrm{d}t}{c}\,\vec{e}_z, il vient :

La force moyenne exercée par les photons sur la surface s'écrit alors :

La pression de radiation p est la force par unité de surface normale à celle-ci :

En rappelant l'expression de l'intensité démontrée à la question Q9 :

on obtient :

On retrouve rigoureusement l'expression de la pression de radiation établie à la question Q25 par l'approche ondulatoire via la force de Laplace.