Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2025

On étudie le système constitué du solide \mathbf{1} (avant-bras et main) dans le référentiel \mathcal{R}_0 supposé galiléen. Le solide \mathbf{1} est en liaison pivot parfaite (hors frottement visqueux modélisé à part) d'axe (O, \vec{x}) avec le bâti \mathbf{0}.

Son vecteur rotation par rapport à \mathcal{R}_0 s'écrit :

Le moment dynamique de \mathbf{1} par rapport à l'axe fixe (O, \vec{x}) s'exprime directement à l'aide de son moment d'inertie J_1 :

Faisons le bilan des moments des actions mécaniques extérieures appliquées à \mathbf{1} par rapport à l'axe (O, \vec{x}) :

• Le couple moteur exercé par les muscles de l'humain :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\text{humain} \to 1) \cdot \vec{x} = C_1

• Le couple résistant de frottement visqueux dans l'articulation :

  \vec{C}_{v1} \cdot \vec{x} = -\nu_1 \, \dot{\theta}_1

• La pesanteur \vec{P} = -m_1 g \, \vec{z}_0 appliquée en G_1, avec \overrightarrow{OG_1} = l_1 \vec{y}_1 = l_1(\cos\theta_1 \vec{y}_0 + \sin\theta_1 \vec{z}_0) :

  \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\text{pesanteur}) &= \overrightarrow{OG_1} \wedge \vec{P} \\ &= \left(l_1 \cos\theta_1 \vec{y}_0 + l_1 \sin\theta_1 \vec{z}_0\right) \wedge \left(-m_1 g \, \vec{z}_0\right) \\ &= -m_1 g l_1 \cos\theta_1 \, (\vec{y}_0 \wedge \vec{z}_0) \\ &= -m_1 g l_1 \cos\theta_1 \, \vec{x} \end{aligned}

  d'où une projection axiale égale à -m_1 g l_1 \cos\theta_1.

• L'action de contact dans la liaison pivot en O, dont le moment en O a une composante axiale nulle (liaison d'axe (O, \vec{x}) sans frottement sec).

L'origine de l'équation de mouvement est le théorème du moment dynamique appliqué au solide \mathbf{1} en projection sur l'axe fixe (O, \vec{x}) :

soit finalement :

Considérons le nouveau système constitué de l'avant-bras \mathbf{1} et de la masse ponctuelle m située au point B, repéré d'après la figure 3 par \overrightarrow{OB} = L\,\vec{y}_1.

L'adjonction de la masse m modifie deux termes dans le théorème du moment cinétique appliqué en O projeté sur \vec{x} :

• Le moment d'inertie total par rapport à l'axe (O,\vec{x}) : la masse étant ponctuelle et située à une distance L de l'axe, le théorème de Huygens (ou la définition directe du moment d'inertie) donne :

  J_{\text{tot}} = J_1 + m L^2

• Le moment du poids en O : le poids de la masse additionnelle s'écrit \vec{P}_m = -m g\,\vec{z}_0. Son moment par rapport à l'axe (O,\vec{x}) vaut :

  \begin{aligned} \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}_m) &= \left( \overrightarrow{OB} \wedge (-m g\,\vec{z}_0) \right) \cdot \vec{x} \\ &= -m g L \left( \vec{y}_1 \wedge \vec{z}_0 \right) \cdot \vec{x} \\ &= -m g L \cos\theta_1 \end{aligned}

  puisque \vec{y}_1 = \cos\theta_1\,\vec{y}_0 + \sin\theta_1\,\vec{z}_0 et \vec{y}_0 \wedge \vec{z}_0 = \vec{x}.

Les couples d'action motrice C_1\,\vec{x} et de frottement visqueux -\nu_1 \dot{\theta}_1\,\vec{x}, localisés au niveau de l'articulation en O, demeurent inchangés.

L'équation différentielle du mouvement devient ainsi :

1. Schéma et paramétrage de l'essai

On modélise l'ensemble du patient par :

• un ensemble fixe \{0\} (corps, tête, bras et jambes) de masse m_0, de centre de masse G_0 repéré par \overrightarrow{SG_0} = y_{G_0}\vec{y}_0 + z_{G_0}\vec{z}_0 ;
• l'avant-bras et la main \{1\} de masse m_1, articulé en O avec \overrightarrow{SO} = H\vec{z}_0, et de centre de masse G_1 repéré par \overrightarrow{OG_1} = l_1 \vec{y}_1 = l_1\cos\theta_1\vec{y}_0 + l_1\sin\theta_1\vec{z}_0.

2. Équilibre quasi-statique

Le mouvement étant réalisé lentement, les termes d'accélération sont négligeables (hypothèse quasi-statique). Le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées au système global \{\text{patient}\} = \{0\} \cup \{1\} s'écrit :

• Action de la plateforme au point S : résultante \vec{R}_{\text{sol}} = R_y \vec{y}_0 + F(t)\vec{z}_0 et moment \vec{\mathcal{M}}_S(\text{sol}) = M(t)\vec{x} ;
• Poids du corps \{0\} : -m_0 g \vec{z}_0 appliqué en G_0 ;
• Poids de l'avant-bras \{1\} : -m_1 g \vec{z}_0 appliqué en G_1, où \overrightarrow{SG_1} = (l_1\cos\theta_1)\vec{y}_0 + (H + l_1\sin\theta_1)\vec{z}_0.

Le théorème du moment statique en S projeté sur l'axe (S, \vec{x}) s'écrit :

Calculons les différents moments en S :

On obtient ainsi :

3. Détermination de m_1 l_1

Le terme m_0 g\, y_{G_0} étant indépendant de l'angle \theta_1, on élimine cette constante inconnue en mesurant la variation du moment entre deux positions angulaires \theta_{1,a} et \theta_{1,b} :

ou, plus généralement, par régression linéaire de M(t) en fonction de \cos\theta_1(t). La pente p de cette droite vaut p = m_1 g l_1.

On en déduit le produit recherché :

L'avant-bras passe de la position angulaire initiale \theta_1(0) = -\theta_0 à la position finale \theta_1(T) = \theta_0 au cours de l'intervalle de temps [0, T]. La variation totale d'angle vaut donc :

Par définition de la vitesse angulaire \dot{\theta}_1 = \frac{\mathrm{d}\theta_1}{\mathrm{d}t}, cette variation s'obtient également par intégration temporelle :

D'après la figure 6, le profil de vitesse \dot{\theta}_1(t) est triangulaire, de base T et de hauteur \omega_{\max}. L'intégrale correspond directement à l'aire de ce triangle :

On en déduit l'égalité :

soit la relation :

Application numérique : Avec \theta_0 = 30^{\circ} et T = 0{,}5\text{ s} :

Considérons la chaîne fermée reliant les points O, O' et A :

D'après les données de l'énoncé :

• \overrightarrow{O'O} = -\overrightarrow{OO'} = d(\cos\alpha\,\vec{y}_0 + \sin\alpha\,\vec{z}_0) ;
• \overrightarrow{OA} = L_1 \vec{y}_1 ;
• \overrightarrow{O'A} = \lambda \vec{y}_2.

La fermeture géométrique s'écrit donc :

Pour éliminer le paramètre variable \lambda, effectuons le produit scalaire de cette équation avec le vecteur unitaire \vec{z}_2, orthogonal à \vec{y}_2 (\vec{y}_2 \cdot \vec{z}_2 = 0) :

Les bases R_1 = (O, \vec{x}, \vec{y}_1, \vec{z}_1) et R_2 = (O', \vec{x}, \vec{y}_2, \vec{z}_2) se déduisent de la base R_0 = (O, \vec{x}, \vec{y}_0, \vec{z}_0) par rotation d'axe \vec{x} d'angles respectifs \theta_1 et \theta_2 :

On en déduit les produits scalaires suivants :

Le terme pondéré par d vaut ainsi :

En reportant dans l'équation de projection, il vient :

ce qui peut également s'écrire :

D'après la relation établie à la question précédente :

La fonction sinus étant bornée par 1 en valeur absolue, on a :

Puisque d \ll L_1, le second membre est un infiniment petit d'ordre 1. Les angles \theta_1 et \theta_2 appartenant à l'intervalle ]-90^\circ, 90^\circ[, leur différence vérifie \theta_2 - \theta_1 \in ]-\pi, \pi[. La continuité du mouvement depuis la configuration initiale impose que \theta_2 - \theta_1 reste au voisinage de 0.

On en déduit, à l'ordre 1 en d/L_1 :

Au premier ordre d'approximation en d/L_1, on a donc bien :

On étudie l'ensemble en mouvement constitué des solides 1, 2 et 3 :

dans le référentiel R_0 lié au bras 0, supposé galiléen. Sous l'hypothèse d \ll L_1, les angles de rotation sont confondus : \theta_1 = \theta_2 = \theta, et les vecteurs taux de rotation s'écrivent :

1. Puissance des efforts intérieurs \mathcal{P}_{\text{int}} Les actions intérieures au système S correspondent aux actions mutuelles au niveau :

• de la liaison pivot d'axe (A, \vec{x}) entre l'avant-bras 1 et le solide 3 ;
• de la liaison glissière de direction \vec{y}_2 entre le solide 2 et le solide 3.

L'énoncé précisant que ces liaisons sont énergétiquement parfaites, la puissance dissipée ou transmise par ces liaisons internes est identiquement nulle :

2. Puissance des efforts extérieurs \mathcal{P}_{\text{ext}} Les actions extérieures appliquées à S sont :

• La pesanteur sur les solides 1 et 2 (la masse du solide 3 étant négligée) :

  \begin{aligned} \vec{P}_1 &= -m_1 g\,\vec{z}_0 \quad \text{au centre de masse } G_1 \text{ tel que } \vec{v}(G_1 \in 1/R_0) = l_1 \dot{\theta}\,\vec{z}_1 \\ \vec{P}_2 &= -m_2 g\,\vec{z}_0 \quad \text{au centre de masse } G_2 \text{ tel que } \vec{v}(G_2 \in 2/R_0) = l_2 \dot{\theta}\,\vec{z}_2 \end{aligned}

  Sachant que \vec{z}_0 \cdot \vec{z}_1 = \vec{z}_0 \cdot \vec{z}_2 = \cos\theta, la puissance des forces de pesanteur vaut :

  \mathcal{P}_{\text{pes}} = \vec{P}_1 \cdot \vec{v}(G_1 \in 1/R_0) + \vec{P}_2 \cdot \vec{v}(G_2 \in 2/R_0) = -(m_1 l_1 + m_2 l_2)\,g\cos\theta\,\dot{\theta}

• L'action du bâti 0 sur le solide 1 au niveau de la liaison pivot en O : Le torseur d'action mécanique comprend la réaction de liaison parfaite (de puissance nulle en O fixe), le couple exercé par l'humain C_1 \vec{x} et le couple de frottement visqueux -\nu_1 \dot{\theta}\,\vec{x} :

  \mathcal{P}(0 \to 1) = (C_1 - \nu_1 \dot{\theta})\,\dot{\theta}

• L'action du bâti 0 sur le solide 2 au niveau de la liaison pivot en O' : Le torseur d'action mécanique comprend la réaction de liaison parfaite (en O' fixe), le couple moteur C_2 \vec{x}, le couple de frottement visqueux -\nu_2 \dot{\theta}\,\vec{x} et le couple de frottement sec -C_s \vec{x} :

  \mathcal{P}(0 \to 2) = (C_2 - \nu_2 \dot{\theta} - C_s)\,\dot{\theta}

En sommant ces différentes contributions, on obtient la puissance totale des efforts extérieurs :

L'ensemble en mouvement par rapport au repère fixe R_0 est le système constitué des solides \Sigma = \{1, 2, 3\}. Par additivité de l'énergie cinétique :

Détaillons la contribution de chaque solide :

• Le solide \mathbf{1} (avant-bras) est en rotation pure autour de l'axe fixe (O, \vec{x}) de R_0, à la vitesse angulaire \dot{\theta}. Son moment d'inertie par rapport à cet axe étant noté J_1, son énergie cinétique s'écrit :

  E_c(1 / R_0) = \frac{1}{2} J_1 \dot{\theta}^2

• Le solide \mathbf{2} est en rotation pure autour de l'axe fixe (O', \vec{x}) de R_0, à la vitesse angulaire \dot{\theta} (dans le cadre de l'approximation \theta_2 \approx \theta_1 = \theta). Son moment d'inertie par rapport à cet axe étant J_2, son énergie cinétique s'écrit :

  E_c(2 / R_0) = \frac{1}{2} J_2 \dot{\theta}^2

• Le solide \mathbf{3} a une masse et une inertie négligeables selon l'énoncé, d'où :

  E_c(3 / R_0) \approx 0

En sommant ces contributions, on obtient l'énergie cinétique totale de l'ensemble :

On applique le théorème de la puissance cinétique à l'ensemble en mouvement \Sigma = \{1, 2, 3\} dans le référentiel d'étude \mathcal{R}_0 lié au bras 0, supposé galiléen :

D'après le résultat de la question Q8, l'énergie cinétique de \Sigma s'écrit :

Sa dérivée temporelle vaut donc :

D'après la question Q7, les puissances extérieure et intérieure valent respectivement :

Le bilan de puissance s'écrit ainsi :

Cette égalité étant vraie pour tout mouvement (en simplifiant par \dot{\theta} \neq 0, puis par continuité temporelle), on obtient :

Cette équation est bien de la forme :

avec :

D'après l'équation (3) issue de la question Q9, et en tenant compte de C_1 = 0 et de la décomposition C_2 = C_0 + \Delta C, l'équation du mouvement s'écrit :

où f(\theta) = (m_1 l_1 + m_2 l_2)g\cos\theta.

1. Expression du couple d'équilibre C_0 :

À l'équilibre dans la position horizontale de référence \theta_{\text{eq}} = 0, la vitesse et l'accélération sont nulles (\dot{\theta} = 0, \ddot{\theta} = 0), et la commande d'écart est nulle (\Delta C = 0). L'équation du mouvement se réduit alors à :

Sachant que \cos(0) = 1, il vient immédiatement :

2. Linéarisation autour de \theta = 0 :

Pour de petites variations d'angle autour de 0, effectuons un développement de Taylor au premier ordre de la fonction f en \theta = 0 :

Or, f'(\theta) = -(m_1 l_1 + m_2 l_2)g\sin\theta, d'où f'(0) = 0. Il en résulte qu'au premier ordre en \theta :

En réinjectant cette approximation dans l'équation du mouvement :

Les termes constants s'annulent grâce à la définition de C_0 (C_0 - C_s - f(0) = 0), ce qui conduit à la relation linéaire temporelle :

Dans le domaine de Laplace, sous conditions initiales nulles, cette relation s'écrit sous la forme de la fonction de transfert :

D'après la question Q10, l'équation différentielle linéarisée régissant le mouvement en petits déplacements autour de \theta = 0 s'écrit :

En introduisant la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta}, cette équation devient :

Par transformée de Laplace avec conditions initiales nulles :

La structure de commande en boucle fermée de position avec boucle interne de vitesse s'organise ainsi :

• Boucle externe de position : un comparateur calcule l'écart de position \varepsilon_\theta(p) = \Theta_c(p) - \Theta(p) (mesure unitaire). Le correcteur proportionnel de gain K fournit la consigne de vitesse angulaire :

  \Omega_c(p) = K \, \varepsilon_\theta(p)

• Boucle interne de vitesse : un comparateur calcule l'écart de vitesse \varepsilon_\omega(p) = \Omega_c(p) - \Omega(p) (mesure unitaire déduite du codeur). Le correcteur proportionnel-intégral H_c(p) génère directement le couple de commande :

  \Delta C(p) = H_c(p)\,\varepsilon_\omega(p) = \frac{K_p(1+\tau_i p)}{\tau_i p}\,\varepsilon_\omega(p)
• Actionneur et mécanique : le couple \Delta C(p) actionne le système pour produire la vitesse \Omega(p), dont l'intégration fournit la position \Theta(p).

On en déduit le schéma-bloc suivant :

1. Information brute délivrée par un codeur incrémental : Un codeur incrémental rotatif optique comporte un disque gradué comportant une alternance de fentes opaques et transparentes. Il génère en sortie des signaux électriques sous forme de trains d'impulsions (deux voies A et B en quadrature de phase, déphasées de \pm 90^\circ, et parfois une voie top tour Z).

   L'information brute est donc un nombre d'impulsions (ou fronts d'ondes logiques). Le déphasage entre les voies A et B permet de déterminer le sens de rotation, et le comptage algébrique des impulsions fournit l'incrément de position angulaire \Delta \theta :

   \Delta \theta = \frac{2\pi}{N_{\text{pts}}} \Delta N

   où N_{\text{pts}} est le nombre de points (ou impulsions) par tour du codeur et \Delta N le nombre d'impulsions comptées.

2. Détermination de la vitesse angulaire : La vitesse angulaire \omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} peut être estimée numériquement selon deux approches complémentaires :

   • Méthode fréquencemétrique (ou dérivation numérique à période fixe) : à chaque période d'échantillonnage T_e, on relève le nombre d'impulsions \Delta N reçues pendant l'intervalle T_e. La vitesse angulaire s'en déduit par un taux d'accroissement :

     \boxed{\omega[k] \approx \frac{\theta[k] - \theta[k-1]}{T_e} = \frac{2\pi}{N_{\text{pts}} T_e} \Delta N[k]}

     Cette méthode est très bien adaptée aux vitesses moyennes et élevées.

   • Méthode chronométrique (ou périodemétrique) : on mesure la durée \Delta t écoulée entre deux impulsions successives à l'aide d'une horloge interne à haute fréquence. La vitesse s'obtient par :

     \omega \approx \frac{2\pi}{N_{\text{pts}} \Delta t}

     Cette méthode permet d'obtenir une excellente précision aux faibles vitesses, où très peu d'impulsions sont émises par période T_e.

D'après l'équation différentielle linéarisée obtenue à la question Q10, le mouvement autour de la position d'équilibre s'écrit :

En appliquant la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles, la fonction de transfert entre le couple moteur \Delta C(p) et la vitesse angulaire \Omega(p) est :

Le capteur de vitesse étant de gain unitaire, la fonction de transfert en boucle ouverte de la boucle interne de vitesse s'exprime par :

Compensation de pôle :
La méthode par compensation de pôle consiste à éliminer le pôle dominant du procédé (lié à la constante de temps mécanique J/\nu) par le zéro du régulateur PI. On choisit donc :

Fonction de transfert en boucle fermée :
En introduisant cette valeur de \tau_i, les termes (1 + \tau_i p) et (1 + \frac{J}{\nu}p) se simplifient dans la boucle ouverte :

La boucle de vitesse étant à retour unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :

BF_\omega(p) est donc bien un système du premier ordre de gain statique unitaire :

Détermination de K_p :
On souhaite une constante de temps \tau = 0{,}05\text{ s}. Il vient :

Application numérique avec J = 0{,}15\text{ kg}\cdot\text{m}^2 et \tau = 0{,}05\text{ s} :

Le système étant asservi en boucle fermée à retour unitaire, l'écart de position s'écrit dans le domaine de Laplace :

1. Entrée en échelon unitaire : \Theta_c(p) = \dfrac{1}{p}

D'après le théorème de la valeur finale :

La boucle ouverte possède une intégration pure (classe \alpha = 1). L'erreur statique de position est donc nulle :

La réponse est ainsi parfaitement précise vis-à-vis d'une consigne en échelon, en accord avec le cahier des charges.

2. Entrée en rampe unitaire : \theta_c(t) = t \cdot u(t) \implies \Theta_c(p) = \dfrac{1}{p^2}

L'erreur de traînage (ou erreur en vitesse) en régime permanent vaut :

Cette erreur est finie et non nulle. Pour respecter le critère du cahier des charges (\varepsilon_v \le 0{,}9\text{ rad/s}), il suffira de régler le gain K de manière à ce que :

3. Entrée en parabole unitaire : \theta_c(t) = \dfrac{1}{2}t^2 \cdot u(t) \implies \Theta_c(p) = \dfrac{1}{p^3}

L'erreur en accélération en régime permanent vaut :

4. Conclusion vis-à-vis du cahier des charges :

• Les critères sur l'erreur en position (nulle) et l'erreur en vitesse (finie, ajustable par le choix de K) peuvent être validés.
• En revanche, le critère d'une erreur en accélération finie ne peut pas être satisfait : le système étant de classe 1, l'erreur en accélération diverge obligatoirement. Pour annuler ou rendre finie cette erreur, il serait nécessaire d'avoir une boucle ouverte de classe supérieure ou égale à 2 (ajout d'une action intégrale dans le correcteur de position).

La fonction de transfert en boucle ouverte s'écrit en régime harmonique (p = j\omega) :

L'argument de la boucle ouverte est donné par :

Par définition, la marge de phase s'exprime à la pulsation de coupure \omega_{\text{co}} définie par |BO_\theta(j\omega_{\text{co}})| = 1 :

Le cahier des charges impose une marge de phase M_\varphi = 45^\circ, ce qui conduit à :

Le module de la fonction de transfert en boucle ouverte vaut :

En évaluant ce module en \omega = \omega_{\text{co}} = \frac{1}{\tau}, la condition |BO_\theta(j\omega_{\text{co}})| = 1 devient :

On en déduit l'expression littérale du gain K :

Application numérique : avec \tau = 0{,}05\text{ s} et \sqrt{2} \approx 1{,}414 :

La fonction de transfert en boucle fermée associée à la boucle de position avec retour unitaire s'écrit :

On l'identifie à la forme canonique d'un système du second ordre :

On en déduit par identification des coefficients :

Le cahier des charges recherche une « rapidité optimale » avec la possibilité d'un dépassement. Pour un système canonique du second ordre, le temps de réponse à 5\,\% (t_{5\,\%}) est minimal pour un facteur d'amortissement optimal :

ce qui correspond à un premier dépassement d'environ 4{,}3\,\% (ou 5\,\% pour \xi \approx 0{,}69) et à \omega_0\,t_{5\,\%} \approx 3.

En fixant \xi = \frac{1}{\sqrt{2}}, on obtient :

soit :

Avec \tau = 0{,}05\text{ s}, on trouve :

1. Qualité de l'asservissement sans masse additionnelle :

• Précision : L'erreur statique en régime permanent est nulle : l'angle réel rejoint rigoureusement la valeur de consigne finale (60^\circ) après la fin du mouvement. En régime dynamique (pendant la rampe de montée), on observe un léger retard temporel (erreur de traînage), inhérent à un système de classe 1.
• Rapidité : Le système réagit rapidement ; la consigne s'achève à T = 0{,}5\text{ s} et l'angle atteint sa valeur finale dès t \approx 0{,}6\text{ s}, ce qui correspond à un temps de réponse à 5 % très court (t_{5\%} \approx 0{,}1\text{ s} \le 0{,}2\text{ s}), parfaitement conforme au cahier des charges.
• Amortissement : La réponse est très bien amortie : il n'y a pratiquement aucun dépassement de la consigne (comportement proche du régime critique ou très amorti).

2. Critères dégradés par la levée de la masse (m = 2\text{ kg}) :

• L'amortissement est fortement dégradé : on observe un dépassement net de la consigne finale d'environ 5^\circ (soit un dépassement relatif de l'ordre de 8\,\%), suivi d'une oscillation avant stabilisation.
• La rapidité est dégradée : le temps d'établissement à 5 % est accru, la position ne se stabilisant qu'autour de t \approx 0{,}8\text{ s} à 0{,}9\text{ s} (contre 0{,}6\text{ s} sans masse).
• La précision statique reste intacte (l'angle converge toujours vers 60^\circ grâce à l'intégrateur de la boucle de vitesse qui compense également le couple gravitaire additionnel), mais l'erreur dynamique transitoire est nettement plus importante.

3. Justification physique :

• D'après la question 2, l'ajout de la masse m en bout de bras augmente considérablement l'inertie du système en rotation :

  J_{\text{tot}} = J + m L^2
• Le régulateur PI de la boucle interne de vitesse avait été réglé pour compenser le pôle sans masse (\tau_i = J/\nu). Avec J_{\text{tot}} \gg J, la compensation de pôle n'est plus réalisée et la constante de temps équivalente de la boucle de vitesse devient \tau' = J_{\text{tot}}/K_p > \tau.
• Dans la boucle fermée de position d'ordre 2, le facteur d'amortissement s'écrit \xi = \frac{1}{2\sqrt{K\tau'}} : l'augmentation de la constante de temps \tau' entraîne une diminution directe de \xi, ce qui engendre l'apparition du dépassement et la perte de stabilité relative (amortissement).

Dans la configuration de compression (situation (b)), la plaque supérieure conserve une orientation parallèle à la plaque inférieure et subit une translation pure de vecteur :

Chacun des quatre ressorts identiques subit donc la même variation de longueur algébrique :

L'état de référence sans déformation (\Delta = 0) étant choisi comme origine des énergies, l'énergie potentielle élastique emmagasinée par un ressort de raideur K comprimé de \Delta s'écrit :

L'énergie potentielle élastique totale emmagasinée par la structure, constituée des quatre ressorts indépendants, est la somme de leurs énergies :

Dans la configuration de flexion (c), l'opérateur impose un guidage en translation strictement vertical du point B'', de sorte que les points A et B'' se trouvent tous deux sur l'axe (Ox), séparés par la distance :

L'arc central (AB'') est un arc de cercle de centre Q, d'angle d'ouverture \theta et de rayon \mathcal{R} = \|\overrightarrow{QA}\| = \|\overrightarrow{QB''}\|. Sa longueur étant conservée et égale à L_0, on a :

Le point P'' étant le milieu de la corde [AB''], le triangle QP''A est rectangle en P'' avec un angle au sommet en Q égal à \theta/2. On en déduit :

La longueur de la corde s'écrit donc :

Soit, en divisant par L_0 :

L'hypothèse L_0 \ll R implique que l'angle d'ouverture \theta \approx L_0/R est petit devant 1. On peut donc effectuer un développement limité de \sin(\theta/2) à l'ordre 3 :

Il vient ainsi :

Comme \theta \ge 0, on obtient :

Pour le rapport R/L_0, on a :

À l'ordre le plus bas en \theta, \cos(\theta/2) \approx 1, ce qui conduit à :

Les deux hypothèses imposées s'écrivent :

• Première hypothèse (\Delta \ll L_0) :

  \frac{\Delta}{L_0} \ll 1 \iff \varepsilon \ll 1

• Seconde hypothèse (L_0 \ll R) : D'après le résultat établi à la question précédente :

  \frac{R}{L_0} = \frac{1}{\sqrt{24\,\varepsilon}}

  La condition L_0 \ll R équivaut à :

  \frac{R}{L_0} \gg 1 \iff \sqrt{24\,\varepsilon} \ll 1 \iff \varepsilon \ll \frac{1}{24}

Puisque \frac{1}{24} \approx 0{,}042 \ll 1, la condition \varepsilon \ll \frac{1}{24} est plus restrictive que \varepsilon \ll 1. La condition nécessaire et suffisante assurant que les deux hypothèses sont simultanément vérifiées est donc :

Les plaques inférieure et supérieure étant indéformables de côté 2a, les ressorts sont situés aux quatre sommets :

• les ressorts (1) et (4) sont à la distance y = +a de la fibre neutre (AB'') ;
• les ressorts (2) et (3) sont à la distance y = -a de la fibre neutre (AB'').

Les plaques d'extrémités restent normales à la fibre neutre, de sorte que tous les arcs de cercle sous-tendent le même angle d'ouverture \theta. La fibre neutre (AB'') conserve sa longueur initiale L_0 = R\,\theta (au premier ordre en \Delta/L_0).

Le rayon de courbure des arcs formés par les ressorts (1) et (4), situés vers l'intérieur de la courbure, vaut R_1 = R - a. Leur longueur déformée est donc :

Leur raccourcissement vaut \Delta L_1 = L_1 - L_0 = -a\theta.

De même, les ressorts (2) et (3), situés vers l'extérieur de la courbure, ont pour rayon de courbure R_2 = R + a. Leur longueur déformée est :

Leur allongement vaut \Delta L_2 = L_2 - L_0 = +a\theta.

L'énergie potentielle élastique totale emmagasinée par les quatre ressorts s'écrit :

D'après le résultat de la question 2, \theta^2 = 24\,\varepsilon = 24\,\frac{\Delta}{L_0}. En injectant cette relation :

D'après les questions Q1 et Q4, en introduisant le raccourcissement relatif \varepsilon = \Delta/L_0, les énergies potentielles élastiques associées respectivement aux modes de compression pure et de flexion s'écrivent :

E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) présente une dépendance quadratique en \varepsilon (parabole de tangente horizontale en \varepsilon = 0), tandis que E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) dépend linéairement de \varepsilon (droite de pente 48 K a^2 > 0 issue de l'origine).

Les deux courbes se coupent à l'origine \varepsilon = 0, ainsi qu'en un point d'abscisse seuil non nulle \varepsilon_{\mathrm{s}} défini par E_{\mathrm{C}}(\varepsilon_{\mathrm{s}}) = E_{\mathrm{F}}(\varepsilon_{\mathrm{s}}) :

Commentaire :

• Pour 0 < \varepsilon < \varepsilon_{\mathrm{s}}, on a E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) < E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) : l'état de compression pure correspond à l'énergie potentielle minimale, la structure reste donc droite et se comprime simplement.
• Pour \varepsilon > \varepsilon_{\mathrm{s}}, on a E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) < E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) : l'état fléchi devient énergétiquement plus favorable que l'état comprimé droit. La structure subit une bifurcation vers la configuration fléchie (phénomène d'instabilité par flambement).

L'opérateur impose un déplacement au centre de la plaque supérieure en exerçant une force orientée selon la direction de compression :

Lors d'un déplacement élémentaire quasi-statique \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OB}} = -\mathrm{d}\Delta\,\vec{e}_x (avec \mathrm{d}\Delta > 0), le travail élémentaire reçu par la structure s'écrit :

Les ressorts étant conservatifs, ce travail est intégralement converti en énergie potentielle élastique (\delta W_{\mathrm{op}} = \mathrm{d}E_\mathrm{p}), d'où :

D'après l'étude énergétique de la question précédente, pour \Delta \le \Delta_\mathrm{s}, la structure adopte la configuration de compression pure car E_\mathrm{C} < E_\mathrm{F}. L'énergie s'écrit alors :

Le module de la force nécessaire pour comprimer la structure s'en déduit :

L'instabilité de flexion (flambement) apparaît au point d'intersection des courbes E_\mathrm{C} et E_\mathrm{F}, soit pour le déplacement seuil \Delta_\mathrm{s} identifié en Q5 :

La force-seuil N_\mathrm{s} au-delà de laquelle la structure fléchit est la valeur atteinte par la force en régime de compression au point de transition :

Dans une évolution quasi-statique réversible sans frottement, le travail fourni par l'opérateur extérieur pour un déplacement élémentaire \mathrm{d}\Delta compense exactement la variation d'énergie potentielle élastique :

1. Régime avant flambement (\varepsilon \le \varepsilon_\mathrm{s}) :

Le système minimise son énergie en restant dans la configuration de compression pure (situation (b)), pour laquelle E_\mathrm{p} = E_\mathrm{C} = 2K\Delta^2 = 2KL_0^2\varepsilon^2 :

La force croît linéairement de 0 jusqu'à la force-seuil N_\mathrm{s} = 96 K \dfrac{a^2}{L_0} atteinte en \varepsilon = \varepsilon_\mathrm{s}.

2. Régime après flambement (\varepsilon > \varepsilon_\mathrm{s}) :

Pour \varepsilon > \varepsilon_\mathrm{s}, la configuration fléchie devient énergétiquement favorable (E_\mathrm{F} < E_\mathrm{C}). Avec E_\mathrm{p} = E_\mathrm{F} = 48 K \dfrac{a^2}{L_0}\Delta (question 4) :

La valeur prise par N pour \varepsilon > \varepsilon_\mathrm{s} est donc constante :

3. Allure graphique de N(\varepsilon) :

4. Commentaires :

• Palier post-flambement : pour \varepsilon > \varepsilon_\mathrm{s}, l'effort nécessaire n'augmente plus avec le raccourcissement imposé (N = \text{cte}). La structure fléchie perd toute raideur axiale incrémentale (\mathrm{d}N/\mathrm{d}\Delta = 0).
• Discontinuité au seuil : la chute brutale de N_\mathrm{s} à N_\mathrm{s}/2 en \varepsilon = \varepsilon_\mathrm{s} est un artefact du modèle simplifié, qui suppose une séparation stricte entre compression pure et flexion pure (longueur de la fibre moyenne rigoureusement fixée à L_0 en flexion). Un modèle complet prenant en compte le couplage compression-flexion prédirait une bifurcation continue (bifurcation fourche).

D'après la question 3, les deux hypothèses \Delta \ll L_0 \ll R sont simultanément vérifiées dès lors que l'ouverture angulaire \theta reste petite devant 1 radian, ce qui impose :

Pour que la transition vers l'état fléchi se produise dans le domaine de validité de ces hypothèses, cette condition doit être satisfaite dès le seuil d'instabilité \varepsilon = \varepsilon_{\mathrm{s}}. D'après les résultats des questions 5 et 6, le raccourcissement relatif seuil s'écrit :

En injectant cette expression dans la condition de validité, il vient :

soit numériquement :

Commentaire :

• Le paramètre 2a caractérise la largeur transverse de la structure et L_0 sa hauteur longitudinale. La condition \frac{a}{L_0} \ll 1 caractérise une structure élancée (telle que définie en note de bas de page de l'énoncé), dont la longueur est très grande devant les dimensions transverses.
• Si cette condition d'élancement n'était pas vérifiée (a \sim L_0), le seuil théorique d'instabilité \varepsilon_{\mathrm{s}} dépasserait 1 : la structure subirait alors un écrasement plastique ou une compression massive bien avant de pouvoir fléchir. Seules les structures très élancées présentent une instabilité de flambement élastique pour de très faibles déformations (\varepsilon \ll 1).

Pour modéliser la barre homogène continue de section carrée 2b \times 2b et de longueur L_0 par la structure à quatre ressorts, on réalise les choix d'adaptation suivants :

• Équivalence en traction/compression axiale : on découpe la barre en 4 prismes longitudinaux identiques de section carrée S = b \times b = b^2 et de longueur L_0. D'après la relation fournie, la raideur axiale de chaque quart de barre vaut :

  K = \frac{Y S}{L_0} = \frac{Y b^2}{L_0}

  (la raideur totale de la barre en compression pure 4K = \frac{4Yb^2}{L_0} = \frac{Y S_{\mathrm{tot}}}{L_0} est ainsi rigoureusement conservée).

• Positionnement transverse des ressorts (paramètre a) : l'axe de chaque ressort est avantageusement placé au centre de gravité de la sous-section associée. Dans le repère centré sur la section droite, le barycentre du quart supérieur droit [0, b] \times [0, b] se situe en (y, z) = (b/2, b/2), ce qui conduit au choix :

  a = \frac{b}{2}

  (Remarque : si l'on choisissait de placer les ressorts aux quatre arêtes extérieures de la barre, on aurait a = b).

En injectant K = \frac{Y b^2}{L_0} et a = \frac{b}{2} dans l'expression de la force-seuil N_{\mathrm{s}} = 96 K \frac{a^2}{L_0} (question Q6) :

Application numérique :

• Y = 200\text{ GPa} = 2{,}0 \cdot 10^{11}\text{ Pa}
• L_0 = 1\text{ m}
• 2b = 1\text{ cm} \implies b = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}

On a :

D'où :

(Avec le choix alternatif a = b, on obtiendrait N_{\mathrm{s}} = 96 \frac{Y b^4}{L_0^2} = 12\text{ kN}).

Lors d'une flexion se produisant dans le plan (\mathrm{O}, x, u), avec \vec{e}_u = \cos\phi\,\vec{e}_y + \sin\phi\,\vec{e}_z, l'allongement ou le raccourcissement du ressort i situé initialement en (y_i, z_i) est proportionnel à sa distance algébrique à la surface neutre :

L'énergie élastique de flexion s'écrit alors, par analogie avec le calcul de la question 4 :

Pour \phi = \pi/4, \vec{e}_u = \frac{\sqrt{2}}{2}(\vec{e}_y + \vec{e}_z). Les quatre ressorts étant situés aux sommets (\pm a, \pm a) :

• pour les deux ressorts situés sur la diagonale y = z (en (a, a) et (-a, -a)) :

  u = \pm a\sqrt{2}

• pour les deux ressorts situés sur la diagonale y = -z (en (a, -a) et (-a, a)), ils se trouvent sur l'axe neutre :

  u = 0

La somme des carrés des distances vaut donc :

Cette valeur est rigoureusement identique à celle obtenue pour \phi = 0 (\sum y_i^2 = 4a^2). L'énergie de flexion E_{\mathrm{F}} est donc inchangée, ce qui conduit à la même force-seuil :

Prévision du plan de flexion :

La force-seuil N_{\mathrm{s}} étant strictement identique pour \phi = 0 et \phi = \pi/4, on ne peut pas prévoir dans lequel de ces deux plans la flexion se produira sur la base de ce modèle théorique idéal. Dans une situation réelle, le choix du plan sera déterminé par les imperfections géométriques initiales ou les dissymétries de chargement (phénomène de brisure spontanée de symétrie).

Pour qu'un milieu discret constitué de couches d'épaisseur a_0 puisse être modélisé comme un milieu continu vis-à-vis du champ de déplacement \vec{u}(y,z) = u(y,z)\vec{e}_z (hypothèse \mathcal{H}_u), les longueurs caractéristiques de variation spatiale de u, notées L_y et L_z, doivent être très grandes devant l'échelle microscopique a_0 :

Ces longueurs caractéristiques s'expriment à partir des gradients du champ de déplacement selon les axes (Oy) et (Oz) :

L'hypothèse d'un milieu continu se traduit donc par le fait que la variation de déplacement d'une couche à la suivante est négligeable devant le déplacement lui-même :

De façon analogue, pour que les déformations locales (données par les dérivées premières) soient elles-mêmes continues à cette échelle, les dérivées d'ordre supérieur doivent également varier très lentement sur une distance a_0 :

Sur le plan spectral, si le champ de déformation comporte des composantes ondulatoires de nombres d'onde q selon y et k selon z, ces conditions imposent que les longueurs d'onde associées \lambda_y = 2\pi/q et \lambda_z = 2\pi/k soient très grandes devant a_0, soit :

Considérons le domaine cubique élémentaire \mathcal{D}, de côté a_0 et de volume initial V_0 = a_0^3, dont les arêtes sont constituées de ressorts de raideur K et de longueur au repos a_0.

Dans un état d'extension pure selon (Oz), le champ de déplacement s'écrit \vec{u}(M) = u(z)\vec{e}_z.

Examinons la déformation des 12 arêtes du cube :

• Arêtes horizontales (8 arêtes) : les 4 arêtes parallèles à (Ox) et les 4 arêtes parallèles à (Oy) relient des points situés à la même cote (z ou z + a_0). Leurs extrémités subissent donc une même translation selon \vec{e}_z : elles ne subissent aucune déformation longitudinale (\Delta \ell = 0), et leur énergie élastique est nulle.

• Arêtes verticales (4 arêtes) : parallèles à (Oz), elles relient un sommet inférieur de cote z à un sommet supérieur de cote z + a_0. Leurs extrémités se déplacent respectivement de u(z)\vec{e}_z et u(z+a_0)\vec{e}_z. L'allongement de chacune des 4 arêtes verticales s'écrit donc :

  \Delta \ell = u(z + a_0) - u(z)

  D'après l'hypothèse de milieu continu \mathcal{H}_u, cet allongement s'exprime au premier ordre par un développement de Taylor :

  \Delta \ell \approx a_0 \frac{\partial u}{\partial z}

L'énergie potentielle élastique totale emmagasinée par le cube \mathcal{D} provient donc uniquement de ces 4 arêtes verticales :

La densité volumique d'énergie élastique s'obtient en divisant cette énergie par le volume élémentaire V_0 = a_0^3 :

En identifiant avec l'expression imposée par l'énoncé e_\mathrm{E} = \frac{1}{2} B \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2, on obtient :

On peut justifier l'indépendance de B selon deux approches complémentaires :

1. Approche macroscopique (extensivité de l'énergie) Pour un état de déformation homogène caractérisé par le gradient \frac{\partial u}{\partial z}, l'énergie élastique totale emmagasinée par un échantillon est une grandeur extensive : elle est proportionnelle au volume V de l'échantillon.

Par conséquent, la densité volumique d'énergie :

est une grandeur intensive, locale et caractéristique intrinsèque du cristal liquide. La constante B (module de compression des couches smectiques, homogène à une pression, en \mathrm{J\cdot m^{-3}} ou \mathrm{N\cdot m^{-2}}) est donc une propriété matérielle indépendante de la taille du volume mésoscopique considéré.

2. Approche microscopique (association de ressorts et lois d'échelle) Considérons un domaine cubique de côté L = N a_0 (N \in \mathbb{N}^*), constitué de N^3 cubes élémentaires \mathcal{D} de côté a_0.

• Le long de l'axe (\mathrm{O}z), une file est constituée de N ressorts de raideur K en série ; la raideur équivalente d'une file est donc :

  K_{\text{file}} = \frac{K}{N}

• Dans le plan de section (x\mathrm{O}y), le cube comprend N \times N = N^2 files en parallèle. La raideur globale du cube selon l'axe (\mathrm{O}z) vaut donc :

  K_{\mathrm{eq}} = N^2 \cdot K_{\text{file}} = N^2 \cdot \frac{K}{N} = N K = \frac{L}{a_0} K

Pour un gradient donné \frac{\partial u}{\partial z}, l'allongement total du bloc de longueur L s'écrit \Delta L = L \frac{\partial u}{\partial z}. L'énergie élastique totale du bloc s'exprime alors par :

Le volume du cube étant V = L^3, la densité volumique d'énergie s'obtient par :

Le facteur multiplicatif reliant e_{\mathrm{E}} à \left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2 fait intervenir le rapport \frac{K_{\mathrm{eq}}}{L} = \frac{K}{a_0}, qui est strictement invariant par changement d'échelle.

Considérons le domaine élémentaire \mathcal{D} cubique de volume initial V = a_0^3, fléchi dans le plan (y,z) comme représenté sur la figure (6).

• La ligne médiane (g'f') conserve sa longueur initiale a_0, ce qui donne pour son rayon de courbure R :

  a_0 = R\,\delta\theta \implies \delta\theta = \frac{a_0}{R}
• Les arêtes selon la direction orthogonale (Ox) ainsi que les quatre arêtes orientées selon les bâtonnets (selon l'arc normal, de longueur a_0) ne subissent aucune déformation.

• Les deux arêtes supérieures ont pour rayon de courbure R - \frac{a_0}{2} et les deux arêtes inférieures pour rayon R + \frac{a_0}{2}. Leurs longueurs respectives sont :

  \begin{aligned} L_{\text{haut}} &= \left(R - \frac{a_0}{2}\right)\delta\theta = a_0 - \frac{a_0}{2}\,\delta\theta \\ L_{\text{bas}} &= \left(R + \frac{a_0}{2}\right)\delta\theta = a_0 + \frac{a_0}{2}\,\delta\theta \end{aligned}

Les variations de longueur des quatre ressorts de raideur K situés selon y sont donc \Delta L = \pm \frac{a_0}{2}\,\delta\theta. L'énergie élastique totale emmagasinée par le domaine \mathcal{D} s'écrit :

Dans l'approximation linéaire (|\partial u/\partial y| \ll 1), la normale locale \vec{n} fait avec l'axe (Oz) un angle \theta \approx -\frac{\partial u}{\partial y}. La courbure de la couche s'identifie donc à :

En reportant dans l'expression de l'énergie élastique :

La densité volumique d'énergie élastique e_{\mathrm{F},y} = \frac{E_{\text{él}}}{a_0^3} s'écrit alors :

Par identification avec la relation (4), on obtient :

D'après le résultat de la question 12, B = \frac{4K}{a_0}. Avec la définition F = \lambda^2 B, il vient :

On en déduit :

Dans le cadre de l'approximation linéaire (|\partial u/\partial y| \ll 1), un vecteur tangent à la couche déformée dans le plan (y, z) s'écrit :

Le vecteur unitaire normal \vec{n} vérifie \vec{n}\cdot\vec{t} = 0 et n_z \approx 1, ce qui donne directement :

Par conséquent, la quantité apparaissant dans l'énergie e_{\mathrm{F},z} s'identifie à :

Description physique du type de déformation :

• Alors que le terme e_{\mathrm{F},y} \propto \left(\frac{\partial n_y}{\partial y}\right)^2 correspond à la courbure intrinsèque d'une même couche le long de l'axe (Oy), le terme e_{\mathrm{F},z} \propto \left(\frac{\partial n_y}{\partial z}\right)^2 traduit une variation spatiale de l'orientation du vecteur directeur \vec{n} selon la normale d'empilement (Oz).
• À une abscisse y fixée, l'angle d'inclinaison des couches varie lorsqu'on passe d'une couche à la suivante le long de z. Les couches adjacentes ne sont plus rigoureusement parallèles et forment localement un « dièdre » ou une structure en coin (ouverture en éventail).
• Du point de vue de l'arrangement moléculaire, les lignes de champ du directeur \vec{n} présentent une courbure le long de l'axe d'empilement (mode de flexion des directeurs).

Dans l'état de référence, deux points M(y, z) et N(y, z+a_0) appartiennent à deux couches planes adjacentes distantes de \vec{MN} = a_0 \vec{e}_z.

Après déformation, leurs positions respectives deviennent :

Le vecteur reliant ces deux points s'écrit alors :

La distance apparente selon la verticale est donc :

L'épaisseur réelle a de la couche correspond à la distance entre les couches mesurée orthogonalement à celles-ci, c'est-à-dire le long du vecteur normal unitaire \vec{n}. Comme le montre la figure 7-(b), l'angle entre la normale \vec{n} et la verticale \vec{e}_z est l'angle d'inclinaison locale \theta. Dans le triangle rectangle formé, l'épaisseur réelle est donnée par la projection :

La tangente à la couche déformée dans le plan (y, z) a pour vecteur directeur \vec{\tau} = \vec{e}_y + \frac{\partial u}{\partial y} \vec{e}_z. L'angle d'inclinaison \theta vérifie donc :

Dans le cadre de l'approximation linéaire des gradients \left(\left|\frac{\partial u}{\partial y}\right| \ll 1\right), on a \theta \ll 1, d'où au second ordre :

En combinant ces résultats, l'épaisseur réelle devient, à l'ordre correctif le plus bas :

où le terme croisé d'ordre supérieur \frac{\partial u}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 est négligé.

L'élongation relative réelle subie par la couche est donc :

L'énergie élastique volumique de compression/extension e_\mathrm{E} s'exprimant comme \frac{1}{2} B \left(\frac{a - a_0}{a_0}\right)^2, le terme (1) de l'équation (7), \left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2, est bien remplacé par le terme correctif :

Les conditions aux limites sur le champ de déplacement s'écrivent :

• En z = 0, la plaque inférieure est fixe et le film reste en contact avec elle, d'où pour tout y :

  u(y, 0) = 0

• En z = d_0, la plaque supérieure subit une translation verticale d'amplitude \delta = \alpha d_0, d'où pour tout y :

  u(y, d_0) = \delta = \alpha d_0

En injectant la forme proposée u(y, z) = \alpha z + A_n \sin(k_n z + \phi_n) \cos(q y) dans la condition en z = 0 :

Comme A_n \neq 0, cela impose \sin(\phi_n) = 0. En choisissant l'origine de phase usuelle (avec A_n > 0 et k_n > 0), on retient :

En appliquant ensuite la condition en z = d_0 :

ce qui conduit à :

Puisque k_n \in \mathbb{R}_+^*, les nombres d'onde k_n sont quantifiés selon :

soit :

Pour le mode fondamental n = 1, le nombre d'onde vertical s'écrit k = \pi / d_0. La coordonnée verticale d'une couche initialement située à la cote z \in [0, d_0] devient :

L'amplitude de l'ondulation varie en \sin(\pi z / d_0) : elle s'annule sur les plaques rigides en z = 0 et z = d, et atteint sa valeur maximale au milieu de l'échantillon pour z \approx d_0 / 2.

D'après l'énoncé, l'énergie élastique moyenne par unité de volume s'écrit :

avec B > 0 et W(q) = \left(\frac{3}{8}\right)^2 q^4 > 0.

Pour A = 0, l'énergie volumique correspond à l'état de simple extension homogène :

Dérivons \langle e \rangle par rapport à A :

L'amplitude A étant positive ou nulle (A \in \mathbb{R}_+), deux cas se présentent :

• Cas S > 0 : Pour tout A > 0, S + 2 W A^2 > 0, donc :

  \frac{\mathrm{d}\langle e \rangle}{\mathrm{d}A} > 0 \quad (\forall A > 0)

  La fonction \langle e \rangle(A) est strictement croissante sur \mathbb{R}_+. Elle admet un minimum unique en A = 0 avec une tangente horizontale (\mathrm{d}\langle e \rangle / \mathrm{d}A = 0).

• Cas S < 0 : L'équation S + 2 W A^2 = 0 admet une solution réelle positive unique :

  A_{\mathrm{min}} = \sqrt{-\frac{S}{2W}} > 0

  La dérivée est négative sur ]0, A_{\mathrm{min}}[, nulle en A_{\mathrm{min}}, et positive sur ]A_{\mathrm{min}}, +\infty[. L'énergie \langle e \rangle présente donc :

  • un maximum local en A = 0, avec \langle e \rangle(0) = \frac{1}{2} B \alpha^2 ;

  • un minimum absolu en A_{\mathrm{min}}, d'énergie inférieure à l'état non déformé :

    \langle e \rangle(A_{\mathrm{min}}) = \frac{1}{2} B \alpha^2 - \frac{B \, S^2}{32 \, W} < \frac{1}{2} B \alpha^2

D'après l'étude menée à la question 18, l'état homogène sans ondulation (A = 0) est un minimum d'énergie tant que S(\alpha, k, q) > 0 pour tout q. En revanche, dès que S(\alpha, k, q) < 0 pour certaines valeurs de q, l'énergie est minimisée pour une amplitude non nulle A_{\min} > 0 : le film devient instable vis-à-vis d'une ondulation transverse.

Le critère d'existence d'une ondulation des couches est donc :

Le seuil d'instabilité \alpha_\mathrm{s} correspond à la valeur d'extension relative pour laquelle le minimum de S par rapport à q s'annule :

Posons X = q^2 > 0. La fonction S s'écrit sous la forme d'un trinôme en X :

Le coefficient du terme d'ordre 2 étant strictement positif (\lambda^2 > 0), la fonction S atteint son minimum en :

La valeur minimale atteinte est :

Le seuil \alpha_\mathrm{s} est obtenu pour S_{\min} = 0, avec la condition X_0 > 0 (soit \alpha_\mathrm{s} > \lambda^2 k^2) :

Compte tenu de la petitesse de la longueur caractéristique devant la taille macroscopique du système (\lambda k \ll 1), le terme en \lambda^2 k^2 est tout à fait négligeable devant 2\lambda k :

Lorsque \alpha \to \alpha_\mathrm{s}^+, le nombre d'onde q_\mathrm{s} sélectionné correspond à l'abscisse du minimum X_0 au seuil :

D'où l'expression du nombre d'onde transverse au seuil :

D'après la question 17, les modes verticaux autorisés sont quantifiés sous la forme k_n = \frac{n\pi}{d_0} (n \in \mathbb{N}^*). Le seuil d'instabilité \alpha_\mathrm{s} étant une fonction strictement croissante de k, le premier mode à devenir instable lors de l'étirement (seuil le plus bas) correspond au mode fondamental n = 1, soit k = \frac{\pi}{d_0}. On en déduit :