X ENS Physique SI MP 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2025

Présentation.

Partie Sciences de l'ingénieur

Exosquelette actif

Figure 1 - Utilisation de deux robots ABLE-7D dans le cadre du projet européen.

Figure 2 - Description de l'exosquelette ABLE 1D.

\section*{1 Modélisation du coude humain.}
1 Modélisation du coude humain.

Figure 3 - Paramétrage du coude.

1. Sur la base du paramétrage qui a été fixé, établir une équation différentielle décrivant le mouvement de l'avant-bras. Préciser l'origine de cette équation.
2. Comment cette équation est-elle modifiée si une masse ponctuelle m est placée en bout de l'avant-bras (au point B ) et déplacée par l'utilisateur?

• Afin d'être en mesure d'asservir correctement le mouvement de l'avant-bras, il est nécessaire de déterminer préalablement la valeur des paramètres intervenant dans cette équation.

• On peut déterminer le terme J_1 avec la même expérience en demandant au patient de réaliser un mouvement particulier et en mesurant l'accélération angulaire du coude. L'expérience classique consiste à lui faire exécuter une flexion du coude à une vitesse naturelle, d'une position initiale vers une position finale pour laquelle l'index du patient se trouve au niveau d'une cible (se reporter à la figure (4)).

Figure 4 - Situation expérimentale.

Figure 5 - Dépendance de la vitesse angulaire θ˙_1 vis-à-vis du temps, pour une expérience type.

Figure 6 - Profil de vitesse angulaire adopté.

4. Déterminer une relation entre θ_0, ω_(max) et T. En déduire la valeur de la vitesse angulaire maximale ω_(max) en ^∘/s, pour θ_0 = 30^∘ et T = 0, 5 s.

2 Modélisation de l'interaction robot-humain.

Figure 7 - Implantation de l'exosquelette (représenté ici dans une position où les angles θ_1 et θ_2 sont négatifs).

• Le moteur de l'exosquelette doit permettre de mettre en mouvement l'avant-bras et d'assurer toute la chaîne cinématique. C'est pourquoi il est nécessaire de modifier l'équation de mouvement établie initialement pour tenir compte de l'exosquelette.

• Le moteur à courant continu de l'articulation du coude est piloté en courant de telle sorte que c'est directement le couple C_2 qui est contrôlé. Pour établir un modèle de commande de l'exosquelette, il est nécessaire de disposer d'une relation linéaire. Pour cela, on s'intéresse aux variations d'angle autour de la position 0^∘ (des variations de ± 30^∘ restent acceptables). On note C_2 = C_0 + ΔC le couple appliqué par le moteur où C_0 est le couple d'équilibre et ΔC son écart à la valeur d'équilibre. On suppose ici que C_1 = 0.

10. Déterminer la relation linéaire reliant θ et ΔC. Préciser l'expression de C_0.

3 Pilotage en boucle fermée de position.

11. Mettre en place un schéma-bloc qui traduit l'équation linéarisée et le principe de la boucle de vitesse interne à la boucle de position pour représenter ce modèle de commande en boucle fermée de position.
12. Rappeler quelle information brute donne un codeur incrémental et comment il est possible d'en déduire la vitesse angulaire.

• On règle, dans un premier temps, la boucle de vitesse de manière à ce que la fonction de transfert en boucle fermée BF_ω(p), de cette boucle interne, corresponde à une fonction de transfert du premier ordre de constante de temps égale à τ = 0, 05 s et de gain unitaire.

13. En utilisant la méthode de réglage du correcteur proportionnel-intégral par compensation de pôle, indiquer quelle expression prendre pour τ_i en fonction de J et ν. En déduire alors que BF_ω(p) est bien une fonction du premier ordre. Déterminer la valeur de K_p pour obtenir la constante de temps souhaitée.

14. Justifier que la réponse est précise pour une entrée en échelon. Donner l'erreur pour une entrée en rampe unitaire puis pour une entrée en parabole. Que peut-on conclure vis-à-vis du cahier des charges?
15. Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir la marge de phase indiquée dans le cahier des charges. Faire l'application numérique.
16. Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir une réponse en boucle fermée la plus rapide possible (il peut y avoir un dépassement).

• On retient la valeur de K la plus grande permettant de respecter la marge de phase. On réalise alors une simulation où une consigne angulaire, correspondant au profil de vitesse angulaire représenté sur la figure (6), est imposée et on relève l'évolution de l'angle de l'avant-bras et la vitesse angulaire au cours du temps. On réalise une autre simulation pour laquelle une masse m = 2 kg est portée en bout de bras. On obtient les réponses représentées sur la figure (8).

Figure 8 - Courbes de position et de vitesse angulaire simulées, avec et sans masse portée en bout de bras.

17. Commenter la qualité de l'asservissement réalisé en analysant la précision, la rapidité et l'amortissement sur la courbe de position. Indiquer quel(s) critère(s) est/sont dégradé(s) par la levée de la masse et expliquer succinctement pourquoi.

Instabilité d'ondulation d'une couche de cristal liquide

1 Étude du comportement mécanique d'une structure élancée soumise à une compression.

• Nous considérons une structure mécanique modèle formée de quatre ressorts identiques (1), (2), (3) et (4), d'axes parallèles, chacun de raideur K et de longueur sans charge L_0. Leurs extrémités inférieures sont fixées aux angles d'une plaque carrée de coté 2a, supposée indéformable. Leurs extrémités supérieures sont fixées, de la même manière, à une autre plaque, identique à la première. Cette structure, dans sa situation non déformée, que nous adoptons comme référence et qui définit l'origine des énergies, est représentée sur la figure (1).

Figure 1 - Structure mécanique modèle (dans sa situation non déformée de référence) formée de quatre ressorts identiques (1), (2), (3) et (4) de raideur K, de longueur sans charge L_0 et d'axe ( Ox ). Leurs extrémités sont fixées aux angles de deux plaques rigides carrées de côté 2a.

• Un opérateur extérieur impose un déplacement strictement vertical du centre B de la plaque supérieure par rapport à celui de la plaque inférieure (que nous supposons fixe). Ce déplacement amène le point B au point B^′ tel que BB^′^(→−) = − Δe⃗_x où Δ ≥ 0.

Figure 2 - Déformation de la structure, en compression (situation (b)) ou en flexion (situation (c)), en réponse à un déplacement imposé BB^′^(→−) = − Δe_x^(→−)(Δ ≥ 0) du centre B de la plaque supérieure (celui de la plaque inférieure (A) est supposé rester fixe). Bien qu'étant représentée en projection dans le plan ( O, x, y ), on gardera à l'esprit que la structure étudiée est tridimensionnelle.

• Nous nous proposons de déterminer la configuration adoptée par la structure en réponse à un déplacement Δ imposé. L'action de la pesanteur n'est pas prise en compte dans cette étude.

1. Exprimer, en fonction de K et Δ, l'énergie potentielle élastique E_C emmagasinée par la structure dans la situation de compression (b).

• Dans la situation (c), nous considérons, d'une part que les arcs (A_1^(′′)B_1^(′′)), (AB^(′′)) et (A_2^(′′)B_2^(′′)) sont des arcs de cercle, d'autre part que l'arc ( AB^(′′) ) conserve sa longueur initiale L_0. Nous notons R = ‖QP^(′′)^(→−)‖ et θ(θ ≥ 0) l'ouverture angulaire ( QB^(′′)^(→−), QA^(→−) ). Tous les résultats seront établis sous les deux hypothèses Δ≪L_0≪R.

2. Exprimer θ et le rapport R/L_0 en fonction du rapport ε = Δ/L_0.
3. Déduire de ces résultats la condition, portant sur ε, assurant que les deux hypothèses Δ≪L_0≪R se trouvent simultanément vérifiées.
4. Exprimer, en fonction de K, L_0, a et Δ, l'énergie potentielle élastique E_F emmagasinée par la structure dans la situation de flexion (c).
5. Représenter, dans un système d'axes commun, l'allure graphique de la dépendance de chacune des énergies E_C et E_F vis-à-vis de ε. Commenter brièvement ces tracés.
6. Nous notons N le module de la force que l'opérateur extérieur doit fournir pour imposer le déplacement Δ souhaité. Sur la base des tracés effectués en réponse à la question (5), établir l'expression, en fonction de K, L_0 et a, du module de la force-seuil N_s au-delà duquel la structure fléchit.

2 Étude du comportement mécanique d'un cristal liquide en phase smectique A.

• Les molécules formant le cristal liquide auquel nous nous intéressons se présentent comme des bâtonnets caractérisés par leur diamètre D(D ∼ 0, 5 nm), leur longueur a_0(a_0 ∼ 5 nm) et la direction n⃗ de leur axe. En phase ^2 smectique A, ce cristal liquide s'organise selon une stratification en couches. Une couche est formée de bâtonnets parallèles entre eux ^3 et dont la direction n⃗ est normale au plan de la couche considérée (localement). Son épaisseur est égale à la longueur a_0 des bâtonnets. La figure (3)-(a) représente cette structure stratifiée dans son état de référence pour lequel les couches ne sont pas déformées. On associe à cet état l'origine des énergies.

Figure 3 - (a) Organisation en couches d'un cristal liquide en phase smectique A et disposition des molécules bâtonnets dans une couche (représentation dans l'état de référence pour lequel les couches ne sont pas déformées). (b) Caractérisation de la déformation locale d'une couche par le vecteur déplacement u⃗ et le vecteur n⃗ indiquant l'orientation (locale) des bâtonnets.

• Nous choisissons un repère cartésien R(O, x, y, z) tel que le plan ( O, x, y ) est parallèle au plan des couches dans l'état de référence (état sans déformation). Nous envisageons des situations telles que le déplacement des molécules s'effectue essentiellement selon l'axe ( Oz ). Nous décrivons alors l'état de déformation du cristal liquide par le champ de déplacement de ses couches (que nous appellerons indifféremment champ de déformation). En supposant que ce dernier ne dépend pas de la coordonnée x, et en adoptant une description continue du milieu (hypothèse notée H_u ), il prend la forme suivante :

• Nous adoptons, comme élément de volume du cristal liquide, un domaine cubique D de côté a_0 (dans l'état de référence). Nous le modélisons, vis-à-vis de son comportement élastique, comme un cube dont les arêtes sont des ressorts de raideur K et de longueur sans charge a_0. L'élasticité d'un tel domaine est ainsi supposée localisée au niveau de ses arêtes. Ce modèle est représenté sur la figure (4).

Figure 4 - Domaine élémentaire cubique D(a_0, a_0, a_0) de cristal liquide, dans une couche, modélisé par un cube de côté a_0 dont les arêtes sont des ressorts de raideur K et de longueur sans charge a_0.

Figure 5 - Structure élastique cubique représentant le domaine élémentaire de cristal liquide choisi (dans son état de référence, c'est-à-dire sans déformation).

2.1 Densité volumique d'énergie élastique.

• Tous les résultats seront établis dans le cadre de l'hypothèse H_u.
  ◻ Par ailleurs, dans toute la sous-section (2.1), nous nous placerons dans l'approximation linéaire. En particulier, nous supposerons que |∂u/∂y|≪1 et |∂u/∂z|≪1.

12. Nous nous plaçons dans une situation telle que la fonction u = u(y, z) ne dépend pas de y (état de simple extension - ou compression). Établir que l'énergie e_E alors emmagasinée, par unité de volume du cristal liquide, prend la forme suivante :

• Nous considérons maintenant une situation telle que les couches sont seulement fléchies, comme la figure (6) le représente. Nous supposons que l'arc ( g^′ f^′ ), et les côtés ( A^′ B^′ ) et ( D^′ C^′ ), conversent leur longueur initiale a_0. Les arcs ( D^′ A^′ ) et ( C^′ B^′ ) sont assimilés à des arcs de cercle. Le point Q est le centre de courbure de ces arcs et de l'arc ( g^′ f^′ ). L'angle δθ est l'ouverture angulaire entre les vecteurs C^′ D^′^(→−) et B^′ A^′^(→−). Le vecteur unitaire n⃗(f^′) indique l'orientation locale des bâtonnets situés dans le voisinage du point f^′.

Figure 6 - Déformation du domaine élémentaire D dans le cas d'une couche seulement fléchie.

14. Établir que l'énergie e_(F, y) emmagasinée par unité de volume du cristal liquide, dans cette situation de flexion, prend la forme suivante :

• Pour ce calcul, nous supposerons que la fonction ∂u/∂y vérifie l'hypothèse H_u. Par ailleurs, nous rappelons que |∂u/∂y|≪1 (question (11)).

• En conclusion, dans le cadre des hypothèses adoptées jusqu'ici, l'énergie élastique totale e emmagasinée, par unité de volume du cristal liquide soumis au champ de déplacement u, prend la forme suivante :

2.2 Ondulation des couches induite par une extension de l'épaisseur d'un film.

• Un film de cristal liquide en phase smectique A est déposé entre deux surfaces rigides, planes et parallèles. Ce film est constitué d'un grand nombre de couches (se reporter au texte introductif de la section (2)). Dans la situation de référence, les couches ne sont pas déformées et sont parallèles aux surfaces. Depuis cette situation, on augmente légèrement (mais brutalement) la distance séparant les surfaces et l'on observe l'état de déformation des couches immédiatement après cette opération ^5.
• Nous notons d_0(d_0 ∼ 0, 1 mm≫a_0)^6 la distance séparant les surfaces dans la situation de référence, et d = d_0 + δ(0 ≤ δ≪d_0) celle correspondant à un déplacement δ de la surface supérieure (la surface inférieure est supposée fixe). Nous considérons que le film reste toujours en contact avec les surfaces et, par ailleurs, que le nombre de couches le formant demeure constant. Comparativement à d_0, le film apparaît comme étant infini selon les directions ( Ox ) et ( Oy ). Cette situation est illustrée sur la figure ( 7 )-(a).
• La figure (7)-(b) fait apparaître l'épaisseur apparente M^′ N^′ d'une couche et son épaisseur réelle a, correspondant à la déformation locale, depuis l'état de référence, ( M, N ) → (M^′, N^′).

16. Nous souhaitons prendre en compte, dans l'expression de e_E, l'effet d'une éventuelle inclinaison (locale) des couches. Dans cette situation, l'épaisseur réelle a d'une couche n'est plus assimilable à son épaisseur apparente M^′ N^′. Établir que le terme (1) de l'équation (7) doit alors être remplacé par le terme (1') suivant, à l'ordre correctif le plus bas :

• Pour l'étude qui va suivre, nous admettons que c'est la seule correction déterminante à prendre en compte. En conséquence, le terme (2) de l'équation (7) n'est pas modifié. Par ailleurs, l'énergie volumique e désignera maintenant celle corrigée de l'effet d'inclinaison des couches.

Figure 7 - (a) Film de cristal liquide en phase smectique A placé entre deux surfaces planes et parallèles, situées à la distance d(d≫a_0) l'une de l'autre. (b) Épaisseur apparente M^′ N^′ d'une couche et épaisseur réelle a, correspondant à la déformation locale, depuis l'état de référence, ( M, N ) → (M^′, N^′).

• Nous cherchons à approcher la forme du champ de déformation u = u(y, z) en superposant, au champ linéaire u_0(z) = αz où α = δ/d_0 (extension relative), un développement perturbatif que nous limitons à un unique terme. Nous écrivons alors le champ u sous la forme suivante :

• Dès à présent, nous choisissons le nombre d'onde ayant la plus petite valeur. Nous notons k (sans indice) ce nombre d'onde et A (sans indice) l'amplitude qui lui est associée.

• Pour le champ de déformation u adopté, l'énergie volumique moyenne (spatialement) ⟨e⟩ d'un domaine de film parallélépipédique de longueurs L_x (arbitraire), L_y = 2π/q et L_z = d_0, prend la forme suivante :