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X ENS Mathématiques B MP MPI 2025Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Approximation : interpolation polynomiale, polynômes orthogonaux et fonctions de type positif
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Le sujet, jugé standard et classique par le jury, porte sur des problèmes classiques d'approximation en quatre parties largement indépendantes. La partie I étudie l'interpolation de fonctions par des polynômes avec multiplicités. La partie II construit une base orthogonale échelonnée en degré pour un produit scalaire à poids. La partie III utilise une fonction génératrice et son développement en série entière pour construire une autre base orthogonale. La partie IV étudie les fonctions de type positif à l'aide du théorème spectral et du produit de Hadamard.

  1. 1Partie I : interpolation de fonctions par des polynômesMP-MPSIGénéralisation de l'interpolation de Lagrange avec multiplicités, à l'aide du théorème de Rolle et de la formule de Taylor avec reste intégral.
  2. 2Partie II : base orthogonale échelonnée en degréConstruction inductive d'une base orthogonale pour un produit scalaire à poids, avec entrelacement des racines de polynômes orthogonaux.
  3. 3Partie III : fonction génératrice et développement en série entièreMP-MPSI (de façon tangente)Construction d'une base orthogonale à l'aide du DSE d'une fonction génératrice, avec manipulation de séries entières.
  4. 4Partie IV : fonctions de type positifUtilisation du théorème spectral et du produit de Hadamard pour construire des fonctions de type positif en dimension N.

Difficile. La moyenne toutes filières n'est que de 9,50/20 et de nombreuses questions, surtout en fin de partie, ont des taux de réussite très faibles (0 %, 1 %, 2 %, 3 %, 6 %, 7 %).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,5 / 20 · écart-type 3,82 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,5/ 20
Écart-type
3,82
moyenne 9,505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Application linéaire injective non exploitée · Synthèse de la partie II peu abordée · Réponse insuffisante sur la relation d'interpolation multiple
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Le jury juge ce sujet standard, de même niveau de difficulté que les années précédentes, et constate un maintien du niveau des résultats. Les taux de réussite chutent fortement au fil de chaque partie, avec des questions de synthèse en fin de partie très peu réussies. Le soin de l'écriture et de la présentation reste un point faible régulièrement signalé.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Application linéaire injective non exploitéeQ2b

    Le candidat devait avoir l'idée d'introduire l'application linéaire pertinente puis démontrer sa surjectivité via son injectivité et l'égalité des dimensions ; cette question n'a été réussie qu'à 16 %.

  2. 2
    Synthèse de la partie II peu abordéeQ13

    Cette question, qui fait la synthèse de tous les résultats de la partie II, n'a été tentée que par très peu de candidats et son taux de réussite est de 0 %.

    « fait la synthèse de la totalité des résultats obtenus en Partie II du sujet. »
  3. 3
    Réponse insuffisante sur la relation d'interpolation multipleQ4b

    Peu de candidats sont parvenus à donner une réponse satisfaisante sur cette question difficile qui requiert la bonne maîtrise des questions précédentes.

    « Peu de candidats ont réussi à donner une réponse satisfaisante à cette question. »
  4. 4
    Question de la partie III très peu réussieQ17e

    Une question techniquement plus difficile que les précédentes, dans le même esprit qu'une récurrence par intégration par parties, n'a été réussie par aucun candidat.

    « La question a été très peu abordée. »
  5. 5
    Dernières questions de la partie IV délaisséesQ19-Q21

    Peu de candidats ont abordé les dernières questions du sujet, portant sur les fonctions N-conductives et une récurrence descendante.

    « Très peu de candidats ont abordé les questions suivantes. »

Ce qui a été bien réussi

  • Un bon nombre de copies sont rédigées de manière convenable et montrent un savoir-faire et des connaissances solides.
  • Les premières questions de chaque partie, plus classiques, ont des taux de réussite élevés (88 % en Q2a, 82 % en Q1b, 77 % en Q7c).

Conseils du jury

  • S'attacher à traiter correctement plusieurs questions consécutives, y compris difficiles, plutôt que de survoler toutes les parties pour grappiller des points faciles.
  • Ne pas hésiter à sauter une question non résolue puis à utiliser son résultat ensuite, en vérifiant soigneusement les hypothèses requises.
  • Soigner l'écriture et la présentation de la copie : le soin apporté à l'écriture et la présentation est trop souvent insuffisant.
  • Doser concision et précision : éviter une rédaction trop lourde en début de copie et des arguments trop sommaires en fin de copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MARDI 15 AVRIL 2025
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve nº 3
MATHEMATIQUES B (X)
Si I est un intervalle de ℝ d'intérieur non vide et si f est une fonction n fois dérivable de I dans ℝ, on note f^((n)) sa dérivée n-ième, avec la convention f^((0)) = f. On dit qu'une fonction f de I dans ℝ est de classe 𝒞^∞ si elle est n fois dérivable pour tout entier n ⩾ 1.
On note ℝ[X] le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Si n ⩾ 0 est un entier, on note ℝ_n[X] le sous- ℝ-espace vectoriel de ℝ[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Par convention, on note ℝ_(− 1)[X] le sous-espace vectoriel de ℝ[X] réduit au polynôme nul. On dit qu'un polynôme P ∈ ℝ[X] est unitaire s'il est non nul et si son coefficient dominant est égal à 1 .
Si V est un ℝ-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire, pour tout sous- ℝ-espace vectoriel W de V on note W^⊥ l'orthogonal de W dans V.
Si m et n sont deux entiers naturels non nuls, on note ℳ_(m, n)(ℝ) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes et à coefficients réels. Si m = n, on note ℳ_n(ℝ) = ℳ_(m, n)(ℝ). Si M ∈ ℳ_(m, n)(ℝ), on note M^T ∈ ℳ_(n, m)(ℝ) la matrice transposée de M. Si (a_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ m) est 1 ⩽ j ⩽ n une famille de nombres réels indexée par les couples (i, j) d'entiers tels que 1 ⩽ i ⩽ m et 1 ⩽ j ⩽ n, on note (a_(i, j)) ∈ ℳ_(m, n)(ℝ) la matrice dont le coefficient à la ligne i et la colonne j est a_(i, j).
Le problème comporte quatre parties. Les trois premières parties sont indépendantes entre elles. On pourra utiliser des résultats des trois premières parties dans la quatrième et dernière partie.

Première partie

Soit a et b deux nombres réels tels que a < b. Soit h une fonction 𝒞^∞ de [a, b] dans ℝ. On fixe un entier N ⩾ 1. On dit que h s'annule à l'ordre N dans [a, b] s'il existe des nombres a ⩽ c_1 < c_2 < ⋯ < c_m ⩽ b et des entiers strictement positifs k_1, …, k_m tels que ∑_(i = 1)^m k_i = N et, pour tout entier 1 ⩽ i ⩽ m et tout entier 0 ⩽ k < k_i, on a h^((k))(c_i) = 0.
1a. Soit N ⩾ 1 un entier. Montrer que si h s'annule à l'ordre N + 1 dans [a, b], alors h^′ s'annule à l'ordre N dans [a, b].
1b. Pour tout entier N ⩾ 1, montrer que si h s'annule à l'ordre N + 1 dans [a, b], il existe c ∈ [a, b] tel que h^((N))(c) = 0.
On fixe, pour le reste de cette partie, f une fonction de classe 𝒞^∞ de [a, b] dans ℝ. Soit P ∈ ℝ[X] un polynôme non nul, scindé dans ℝ et dont toutes les racines sont dans ]a, b[. On note a < t_1 < ⋯ < t_m < b les racines de P et, pour tout entier 1 ⩽ i ⩽ m, on note k_i le plus petit entier tel que P^((k_i))(t_i) ≠ 0.
2a. Montrer que si Q ∈ ℝ[X] est un polynôme tel que deg(Q) < deg(P) et, pour tout entier 1 ⩽ i ⩽ m et tout entier 0 ⩽ k < k_i, Q^((k))(t_i) = 0, alors Q = 0.
2b. Montrer qu'il existe un unique polynôme H(f, P) ∈ ℝ[X] tel que deg(H(f, P)) < deg(P) et tel que, pour tout entier 1 ⩽ i ⩽ m et tout entier 0 ⩽ k < k_i,
H(f, P)^((k))(t_i) = f^((k))(t_i)
Pour t ∈ [a, b]∖{t_1, …, t_m}. On pose
Q(f, P)(t) = (f(t) − H(f, P)(t))/((t − t_1)^(k_1)⋯(t − t_m)^(k_m))
3a. On pose g = f − H(f, P). Montrer que, pour tout entier 1 ⩽ i ⩽ m et tout réel x ∈ [a, b], on a
f(x) − H(f, P)(x) = (x − t_i)^(k_i)∫_0^1(v^(k_i − 1))/((k_i − 1)!)g^((k_i))(t_i v + x(1 − v))dv
3b. Montrer que la fonction Q(f, P) se prolonge de façon unique en une fonction de classe 𝒞^∞ de [a, b] dans ℝ.
4a. Soit s_0 ∈ [a, b] et soit un entier n ⩾ 1. Montrer que
Q(f, (X − s_0)^n)(s_0) = (f^((n))(s_0))/(n!)
4b. Soient P_1, P_2 ∈ ℝ[X] deux polynômes unitaires et scindés dans ]a, b[. Montrer que
H(f, P_1 P_2) = H(f, P_1) + P_1 H(Q(f, P_1), P_2) et Q(f, P_1 P_2) = Q(Q(f, P_1), P_2).
On fixe t ∈ [a, b]∖{t_1, …, t_m}. Pour tout s ∈ [a, b], on pose
Q_t(s) = f(s) − H(f, P)(s) − Q(f, P)(t)∏_(i = 1)^m(s − t_i)^(k_i)
5a. Montrer que la fonction Q_t s'annule à l'ordre deg(P) + 1 dans l'intervalle [min(t, t_1), max(t, t_m)].
5b. En déduire que si P est unitaire, il existe ξ ∈ [min(t, t_1), max(t, t_m)] tel que
f(t) − H(f, P)(t) = (f^((deg(P)))(ξ))/(deg(P)!)P(t)
On dit qu'une fonction h de [a, b] dans ℝ est absolument monotone sur un intervalle [a, b] si elle est de classe 𝒞^∞ sur [a, b] et si, pour tout entier n ⩾ 0, la fonction h^((n)) est à valeurs positives sur [a, b]. En particulier h est à valeurs positives.
6. On suppose que f est absolument monotone sur [a, b]. Montrer que, pour tout polynôme P ∈ ℝ[X] scindé dans ]a, b[, la fonction Q(f, P) est absolument monotone sur [a, b].

Deuxième partie

Soit I = [ − 1, 1]. On fixe un entier n ⩾ 2 pour toute cette partie. Soit f : I → ]0, + ∞[ une fonction continue. On rappelle que l'on définit un produit scalaire sur ℝ_n[X] en posant, pour tous P, Q ∈ ℝ[X],
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(x)Q(x)f(x)dx
Soit D ∈ ℝ_n[X] un polynôme ayant n racines réelles distinctes r_1 > ⋯ > r_n dans I. On suppose de plus que D ∈ ℝ_(n − 1)[X]^⊥.
7a. Montrer qu'il existe des nombres réels λ_1, …, λ_n tels que, pour tout P ∈ ℝ_(n − 1)[X],
∫_(− 1)^1 P(x)f(x)dx = ∑_(i = 1)^n λ_i P(r_i)
7b. Montrer que si P ∈ ℝ_(2n − 1)[X], on a
∫_(− 1)^1 P(x)f(x)dx = ∑_(i = 1)^n λ_i P(r_i)
Indication : on pourra considérer la division euclidienne de P par D.
7c. En évaluant l'égalité 11 sur le polynôme ∏_(1 ⩽ j ⩽ n; j ≠ i)(X − r_j)^2, montrer que λ_i > 0 pour tout 1 ⩽ i ⩽ n.
Pour 1 ⩽ j ⩽ n − 1 et t ∈ ℝ, on pose f_j(t) = ∏_(i = 1)^j(r_i − t) ainsi que f_0(t) = 1. Si 0 ⩽ j ⩽ n − 1 et P, Q ∈ ℝ_n[X], on pose
⟨P, Q⟩_j = ⟨P, Qf_j⟩
7d. Montrer que, pour tout 0 ⩽ j ⩽ n − 1, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩_j définit un produit scalaire sur ℝ_(n − j − 1)[X].
Dans les questions 8. à 12. ci-dessous, on fixe un entier naturel 0 ⩽ j ⩽ n − 1.
8a. Montrer qu'il existe une unique famille q_0, …, q_(n − j − 1) de polynômes unitaires de ℝ[X] telle que deg(q_i) = i pour 0 ⩽ i ⩽ n − j − 1 et telle que pour tous 0 ⩽ i ≠ i^′ ⩽ n − j − 1,
⟨q_i, q_(i^′)⟩_j = 0
8b. On pose q_(n − j) = ∏_(i = j + 1)^n(X − r_i). Montrer que q_(n − j) est l'unique polynôme unitaire de degré n − j vérifiant, pour tout 0 ⩽ i ⩽ n − j − 1,
⟨q_i, q_(n − j)⟩_j = 0
9a. Soit 2 ⩽ i ⩽ n − j. Montrer qu'il existe des nombres réels a_i et b_i tels que
q_i − Xq_(i − 1) = a_i q_(i − 1) + b_i q_(i − 2)
9b. Montrer que
b_i⟨q_(i − 2), q_(i − 2)⟩_j = − ⟨Xq_(i − 1), q_(i − 2)⟩_j
9c. Montrer que b_i < 0.
10a. Pour i ∈ {0, 1}, montrer que le polynôme q_i a exactement i racines dans ℝ (noter que l'on ne demande pas que les racines appartiennent à l'intervalle I ).
10b. Montrer que, pour tout 1 ⩽ i ⩽ n − j, le polynôme q_i a exactement i racines réelles distinctes, que ces racines sont simples et que si x_1 < x_2 sont deux racines consécutives de q_i, il existe une unique racine de q_(i − 1) dans l'intervalle ]x_1, x_2[.
10c. En déduire que, pour tout 0 ⩽ i ⩽ n − j − 1, on a q_i(r_(j + 1)) > 0.
Pour 0 ⩽ i ⩽ n − j − 1, il existe donc un unique nombre réel α_i tel que
q_(i + 1)(r_(j + 1)) + α_i q_i(r_(j + 1)) = 0
On fixe 0 ⩽ i ⩽ n − j − 1 et on pose
p_i = (q_(i + 1) + α_i q_i)/(X − r_(j + 1))
On note c_0, …, c_i ∈ ℝ les coordonnées de p_i dans la base (q_0, …, q_i) de ℝ_i[X].
11a. Montrer que, pour 0 ⩽ ℓ ⩽ i,
⟨q_(i + 1) + α_i q_i, (q_ℓ − q_ℓ(r_(j + 1)))/(X − r_(j + 1))⟩_j = 0.
11b. Montrer que, pour tout entier 0 ⩽ ℓ ⩽ i, il existe un réel γ_ℓ > 0 tel que c_ℓ = γ_ℓ c_0 et en déduire que c_ℓ > 0.
12. Montrer que, si 0 ⩽ j ⩽ n − 2, pour tout 0 ⩽ i ⩽ n − j − 1, le polynôme p_i est orthogonal à ℝ_(i − 1)[X] pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩_(j + 1).
13. Soit ℬ = (a_0, …, a_n) l'unique base orthogonale de ( ℝ_n[X], ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ) telle que a_i est un polynôme unitaire de degré i pour tout 0 ⩽ i ⩽ n. Montrer que, pour tout 0 ⩽ j ⩽ n − 1, les coefficients du polynôme ∏_(ℓ = j + 1)^n(X − r_ℓ) dans la base ℬ sont des nombres réels strictement positifs.
Indication : on pourra noter (q_(j, 0), …, q_(j, n − j)) la base de (ℝ_(n − j)[X], ⟨ ⋅, ⋅ ⟩_j) obtenue dans les questions sa et sb et raisonner par récurrence descendante sur j.

Troisième partie

Soit λ un nombre réel strictement positif. Pour tous réels x et r tels que |x| < 1 et |r| < 1, on pose
F_λ(x, r) = (1 − 2rx + r^2)^(− λ)
  1. Montrer que la fonction F_λ est de classe 𝒞^∞ sur ] − 1, 1[^2.
  2. Montrer que pour x ∈ ] − 1, 1[, la fonction r ↦ F_λ(x, r) est développable en série entière au voisinage de 0 .
    Pour x ∈ ] − 1, 1[, on note a_n^((λ))(x) le n-ième coefficient du développement de la fonction r ↦ F_λ(x, r) de sorte que, pour r dans un voisinage de 0 ,
F_λ(x, r) = ∑_(n ⩾ 0)a_n^((λ))(x)r^n
16a. Pour x ∈ ] − 1, 1[, montrer que a_1^((λ))(x) = 2λxa_0^((λ))(x) et que, pour tout entier n ⩾ 1,
(n + 1)a_(n + 1)^((λ))(x) = 2(n + λ)xa_n^((λ))(x) − (n + 2λ − 1)a_(n − 1)^((λ))(x).
Indication : on pourra commencer par calculer (1 − 2xr + r^2)(∂F_λ)/(∂r)(x, r).
16b. En déduire que, pour tout n ⩾ 0, la fonction a_n^((λ)) est un polynôme de degré n dont on déterminera le coefficient dominant ainsi que la parité.
On suppose désormais que λ > 1/2. Pour P, Q ∈ ℝ[X], on pose
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(x)Q(x)(1 − x^2)^(λ − 1/2)dx
17a. Montrer que, pour tout entier n ⩾ 0 et tout x ∈ ] − 1, 1[,
a_n^((λ))(x) = 1/(n!)(∂^n F_λ)/(∂r^n)(x, 0)
17b. En déduire que, pour tout entier n ⩾ 1, on a (a_n^((λ)))^′ = 2λa_(n − 1)^((λ + 1)).
17c. Montrer que ∫_(− 1)^1(1 − t^2)^(λ + 1/2)dt = (2λ + 1)∫_(− 1)^1 t^2(1 − t^2)^(λ − 1/2)dt et en déduire que ⟨a_2^((λ)), 1⟩ = 0.
17d. Montrer par récurrence sur n ⩾ 1 que ⟨a_n^((λ)), 1⟩ = 0 pour tout entier n ⩾ 1 et ⟨Xa_n^((λ)), 1⟩ = 0 pour tout entier n ⩾ 2.
Indication : on pourra commencer par démontrer l'égalité
⟨Xa_n^((λ)), 1⟩ = (2λ)/(2λ + 1)∫_(− 1)^1 a_(n − 1)^((λ + 1))(t)(1 − t^2)^(λ + 1/2)dt
17e. En déduire que, pour tout n ⩾ 0, la famille (a_0^((λ)), …, a_n^((λ))) est une base orthogonale de ℝ_n[X] muni du produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩.

Quatrième partie

Pour tout entier n ⩾ 1, on note x ⋅ y ∈ ℝ le produit scalaire canonique de deux vecteurs x et y de ℝ^n. On note 𝕊^(n − 1) la sphère unité de ℝ^n, c'est-à-dire
𝕊^(n − 1) = {x ∈ ℝ^n|x ⋅ x = 1}
Pour un entier n ⩾ 1, on note S_n^+l'ensemble des matrices symétriques M ∈ ℳ_n(ℝ) telles que, pour tout X ∈ ℝ^n,
X^T MX ⩾ 0
Soit N ⩾ 2 un entier et soit f une fonction de ℝ dans ℝ. On dit que f est de type positif en dimension N si, pour tout entier k ⩾ 1 et tout k-uplet (x_1, …, x_k) ∈ (𝕊^(N − 1))^k, on a (f(x_i ⋅ x_j)) ∈ S_k^+.
Si A = (a_(i, j)) et B = (b_(i, j)) sont deux matrices de ℳ_n(ℝ), on note A⊙B la matrice ( a_(i, j)b_(i, j) ) de ℳ_n(ℝ).
18a. Montrer que si U ∈ ℝ^n, alors UU^T ∈ S_n^+.
18b. Montrer que si A, B, C ∈ ℳ_n(ℝ), on a A⊙(B + C) = (A⊙B) + (A⊙C).
18c. Montrer que si M ∈ S_n^+, il existe des nombres réels positifs d_i ⩾ 0 et des vecteurs U_i ∈ ℝ^n, 1 ⩽ i ⩽ n tels que
M = ∑_(i = 1)^n d_i U_i U_i^T
Indication : on pourra commencer par écrire M = P^T DP où P ∈ ℳ_n(ℝ) est une matrice inversible et D ∈ ℳ_n(ℝ) une matrice diagonale à coefficients positifs.
18d. En déduire que si A, B ∈ S_n^+, alors A⊙B ∈ S_n^+.
18e. Pour tout entier N ⩾ 2, montrer que le produit de deux fonctions de type positif en dimension N est de type positif en dimension N.
On rappelle que, pour tout entier n ⩾ 0, il existe un unique polynôme T_n de degré n tel que, pour tout θ ∈ ℝ, T_n(cosθ) = cos(nθ).
19. Montrer que les polynômes T_n sont des fonctions de type positif en dimension 2.
Indication : on pourra utiliser la forme exponentielle du cosinus.
On admettra, dans la suite du problème, que pour tout entier n ⩾ 0 et tout entier N ⩾ 4, le polynôme a_n^((N/2 − 1)) est de type positif en dimension N.
Pour un entier N ⩾ 2, on dit qu'un polynôme P ∈ ℝ[X] est N-conductif si, pour toute fonction absolument monotone f de [ − 1, 1] dans ℝ, le polynôme H(f, P) est une fonction de type positif en dimension N.
20. Soient P_1 et P_2 deux polynômes N-conductifs. Montrer que si P_1 est de type positif en dimension N, alors P_1 P_2 est N-conductif.
On fixe un entier N ⩾ 4 et un entier n ⩾ 2. On admet que le polynôme a_n^((N/2 − 1)) possède n racines réelles simples r_1 > r_2 > ⋯ > r_n dans ] − 1, 1[. Soit f : [ − 1, 1] → ℝ une fonction absolument monotone.
21. Montrer que le polynôme H(f, ∏_(i = 1)^n(X − r_i)) est une fonction de type positif en dimension N.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte Mathématiques B MP-MPI X-ENS 2025 ?
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Sur quels chapitres porte Mathématiques B MP-MPI X-ENS 2025 ?

Le sujet porte sur l'interpolation polynomiale, la construction de bases orthogonales pour un produit scalaire à poids, les séries entières via une fonction génératrice, et les fonctions de type positif à l'aide du théorème spectral.

Le sujet Mathématiques B MP-MPI X-ENS 2025 est-il difficile ?

Le jury le qualifie de standard et de même niveau que les années précédentes, mais la moyenne n'est que de 9,50/20 et plusieurs questions de fin de partie ont un taux de réussite proche de 0 %.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Un manque de rigueur sur les questions de synthèse en fin de partie, une rédaction trop lourde en début de copie suivie d'arguments trop sommaires en fin de copie, et un soin insuffisant de l'écriture.

Faut-il bien maîtriser les polynômes orthogonaux pour ce sujet ?

Oui, la partie II est entièrement consacrée à la construction d'une base orthogonale échelonnée en degré, notion que le rapport considère comme devant être familière aux candidats.

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