ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2001, épreuve PCSujet et corrigé

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SESSION 2001

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS: Ulm et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Préambule
On assimile les éléments de

ℝ^n

à des vecteurs colonnes

x = (x_1; ⋮; x_n)

La transposée d'une matrice

A

est notée

^t A

.
Pour

x, y \in ℝ^n

, on note

⟨x, y⟩

le produit scalaire euclidien entre

x

y

⟨x, y⟩ = \sum_(i = 1)^n x_i y_i = ^t xy

‖x‖

la norme euclidienne associée.
On note

S_n

l'ensemble des matrices symétriques réelles

n \times n

, muni de la norme

‖H‖ = max{‖H ⋅ x‖ : x ∈ ℝ^n et ‖x‖ = 1}

On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'une norme.

Une distance sur un ensemble

E

est une application

d : E \times E \to [0, + \infty[

telle que:

$\forallx, y \in E : d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
$\forallx, y \in E : d(x, y) = d(y, x)$
$\forallx, y, z \in E : d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$

F

est une fonction de classe

C^1

ℝ^n

dans

ℝ

, et

x \in ℝ^n

, on note

\nablaF(x)

le gradient de

F

, vecteur colonne dont la ième coordonnée est la dérivée partielle

(\partialF)/(\partialx_i)

évaluée en

x

On dit qu'un sous-ensemble

Ω \subset ℝ^n

est connexe par arcs si pour tous

a, b \in Ω

, il existe une fonction continue

f : [0, 1] \to ℝ^n

telle que

f(0) = a, f(1) = b

et pour tout

t \in [0, 1] : f(t) \in Ω

Les différentes parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres, en admettant au besoin les résultats de la partie II pour les parties III et IV.

Partie I

Dans cette partie,

I

est un intervalle ouvert de

ℝ

ρ

une fonction strictement positive, de classe

C^1

définie sur

I

. Pour tous points

a

b

dans

I

, on note

G_(a, b)

l'ensemble des fonctions

f

, de classe

C^1

définies sur

[0, 1]

, à valeurs dans

I

, telles que

f(0) = a

f(1) = b

Pour toute fonction

f

de classe

C^1

définie sur

[0, 1]

, à valeurs dans

I

, on note

E_1(f) = \int_0^1 f^'(t)^2 dt

E_ρ(f) = \int_0^1 f^'(t)^2 ρ(f(t))dt

Montrer que pour toute fonction $q$ continue de $[0, 1]$ dans $ℝ$ , on a

\int_0^1 q(t)^2 dt \geq (\int_0^1 q(t)dt)^2

et discuter des cas d'égalité.
2) En déduire l'existence et la valeur de

min{√(E_1(g)) : g ∈ G_(a, b)}

et montrer que la fonction

f

réalisant ce minimum est unique.
3) Montrer qu'il existe

ψ

de classe

C^2

, strictement croissante, définie sur

I

, à valeurs réelles, telle que, pour toute fonction

f \in G_(a, b)

E_ρ(f) = \int_0^1[(ψ \circ f)^'(t)]^2 dt

On suppose fixée une telle fonction $ψ$ . Montrer que, pour tous $a, b$ dans $I$ :

min{√(E_ρ(f)) : f ∈ G_(a, b)} = |ψ(a) − ψ(b)|

Montrer que ce minimum est atteint en une unique fonction

f_(a, b)

que l'on calculera.
5) Montrer que

f_(a, b)

est de classe

C^2

et solution sur

[0, 1]

de l'équation différentielle

2y^('')ρ(y) + (y^')^2 ρ^'(y) = 0

Partie II

On pose, pour tout

t \in ℝ

h(t) = {exp[ − (t^2)/(1 − t^2)], si t ∈ ] − 1, 1[; 0 sinon

On notera

C_h = \int_(- 1)^1 h(t)dt

Pour

t_0 \in ℝ

ε > 0

, on définit sur

ℝ

la fonction

h_(t_0, ε)

par

h_(t_(0, ε))(t) = 1/(C_h ε)h((t - t_0)/ε)

On admettra que

h

est une fonction de classe

C^\infty

sur

ℝ

Soit $n$ un entier strictement positif. Montrer que si $f$ est une fonction continue de $[0, 1]$ dans $ℝ^n$ , alors, pour $t_0 \in ]0, 1[$ , il existe $ε_0 > 0$ tel que, si $ε \in ]0, ε_0[$

\int_0^1 h_(t_0, ε)(t)f(t)dt = 1/(C_h)\int_(- 1)^1 h(t)f(εt + t_0)dt

et en déduire la limite, lorsque

ε

tend vers 0 , de

\int_0^1 h_(t_0, ε)(t)f(t)dt

Soit $T$ l'ensemble des applications $φ$ de classe $C^1$ sur $[0, 1]$ , à valeurs réelles, telles que $φ(0) = φ(1) = 0$ . Montrer que si $f$ est une fonction continue de $[0, 1]$ dans $ℝ^n$ telle que, pour toute fonction $φ \in T$

\int_0^1 φ(t)f(t)dt = 0

alors

f(t) = 0

pour tout

t \in [0, 1]

.
3) Si

t_0

t_1

sont deux éléments de

]0, 1[

, montrer que pour

ε > 0

assez petit, il existe une fonction

φ \in T

telle que

φ^'(t) = h_(t_1, ε)(t) - h_(t_0, ε)(t)

En déduile que si $f$ est une fonction continue sur $[0, 1]$ , à valeurs dans $ℝ^n$ , telle que, pour tout $φ \in T$ :

\int_0^1 φ^'(t)f(t)dt = 0

alors

f

est constante sur

[0, 1]

.
5) a) Mortrer que si

f

g

sont deux fonctions continues sur

[0, 1]

, à valeurs dans

ℝ^n

, , iles que, pour tout

φ \in T

\int_0^1 φ^'(t)f(t)dt + \int_0^1 φ(t)g(t)dt = 0

alors

f

at de classe

C^1

et, pour tout

t \in [0, 1]

f^'(t) = g(t)

b) Montrer que si

f

g

sont deux fonctions continues sur

[0, 1]

, à valeurs dans

𝕣 𝕀𝕣^n

telles que, pour toute fonction

ψ

, de classe

C^1

sur

[0, 1]

, à valeurs dans

ℝ^n

avec

ψ(0) = ψ(1) = 0

, on ait

\int_0^1⟨f(t), ψ^'(t)⟩dt + \int_0^1⟨g(t), ψ(t)⟩dt = 0

la mê⿴囗ue conclusion est vraie:

f

est de classe

C^1

et, pour tout

t \in [0, 1]

f^'(t) = g(t)

Soit $δ$ un réel strictement positif, et $f_*$ une fonction continue de $[ - δ, 1 + δ]$ dans $ℝ^n$ . On considère la fonction définie sur [ 0,1 ] par

g_ε(t_0) = \int_(- δ)^(1 + δ)h_(t_0, ε)(t)f_*(t)dt

a) Montrer que

g_ε

est de classe

C^1

sur

ℝ

.
b) Montrer que pour tout

α > 0

, on peut choisir

ε

tel que

max{‖g_ε(t) − f_∗(t)‖ : t ∈ [0, 1]} ≤ α

c) Montrer que pour toute fonction

f

continue sur

[0, 1]

et pour tout

α > 0

il xiste une fonction

g

de classe

C^1

sur

[0, 1]

telle que

max{‖g(t) - f(t)‖ : t \in [0, 1]} \leq α

d) Montrer que pour toute fonction

f

continue sur

[0, 1]

et pour tout

α > 0

il existe une fonction

g

de classe

C^1

sur

[0, 1]

telle que

g(0) = f(0), g(1) = f(1)

max{‖g(t) - f(t)‖ : t \in [0, 1]} \leq α

Partie III

Soit

n \geq 1, Ω

un ouvert connexe par arcs de

ℝ^n

ρ

une fonction réelle strictement positive, de classe

C^1

définie sur

Ω

. Pour tous points

a

b

dans

I

F_(a, b)

désigne l'ensemble des fonctions

f

, de classe

C^1

définies sur

[0, 1]

, à valeurs dans

Ω

, telles que

f(0) = a

f(1) = b

Pour toute fonction

f

de classe

C^1

définie sur

[0, 1]

, à valeurs dans

Ω

, on note

E_ρ(f) = \int_0^1‖f^'(t)‖^2 ρ(f(t))dt

a) Pour tout $x \in Ω$ , on pose

δ(x) = inf{‖x - y‖, y \notin Ω}

Montrer que

δ

est strictement positive et continue sur

Ω

.
b) Montrer que pour toute fonction

f

continue de

[0, 1]

dans

Ω

, il existe

α > 0

tel que, pour tout

t \in [0, 1]

, la boule fermée de centre

f(t)

et de rayon

α

est incluse dans

Ω

.
c) Montrer, en utilisant la question II-6, que

F_(a, b)

est non-vide, quels que soient

a

b

dans

Ω

.
d) Montrer que pour toute fonction

f \in F_(a, b)

et pour toute fonction

φ

de classe

C^1

[0, 1]

dans

ℝ^n

telle que

φ(0) = φ(1) = 0

, il existe

β_0 > 0

tel que, pour tout

β \in [ - β_0, β_0]

f + βφ \in F_(a, b)

$f, φ$ et $β_0$ étant comme en III-1-d), on définit, pour $β \in [ - β_0, β_0]$ :

Ψ(β) = E_ρ(f + βφ)

Montrer que

Ψ

est de classe

C^1

et calculer sa dérivée.
3) On suppose maintenant qu'il existe une fonction

f \in F_(a, b)

telle que

E_ρ(f) = min{E_ρ(g) : g ∈ F_(a, b)}

a) Montrer que, pour toute fonction

φ

de classe

C^1

[0, 1]

dans

ℝ^n

telle que

φ(0) = φ(1) = 0

, on a

2\int_0^1⟨f^'(t), φ^'(t)⟩ρ(f(t))dt + \int_0^1‖f^'(t)‖^2⟨φ(t), \nablaρ(f(t))⟩dt = 0

b) En déduire que

f

est de classe

C^2

sur

[0, 1]

, et solution de l'équation différentielle

- 2ρ(f)f^('') - 2⟨\nablaρ(f), f^'⟩f^' + ‖f^'‖^2\nablaρ(f) = 0

c) Montrer que la fonction

t \mapsto ‖f^'(t)‖^2 ρ(f(t))

est constante sur

[0, 1]

Partie IV

Dans toute cette partie, on fixe une distance

d

sur

ℝ^n

, et on suppose

n \geq 2

. Pour

x \in ℝ^n

, on note

F_x

la fonction, définie sur

ℝ^n

par

F_x(y) = d(x, y)^2

a) Montrer que pour tout $t \in ℝ$ : et pour tout $x, y, z \in ℝ^n$

|d(x, y + tz) - d(x, y)| \leq d(y, y + tz)

b) Montrer que

(x, y) \mapsto d(x, y)

ne peut pas être une fonction de classe

C^1

sur

ℝ^n \times ℝ^n

On supposera, dans toute la suite de cette partie que la fonction

(x, y) \mapsto d(x, y)^2

est de classe

C^2

sur

ℝ^n \times ℝ^n

.
2) Montrer que

(x, y) \mapsto d(x, y)

est de classe

C^2

sur

(ℝ^n \times ℝ^n)∖Δ

où

Δ = {(x, y) ∈ ℝ^n × ℝ^n : x = y}

a) Montrer qu'il existe une fonction continue

H : ℝ^n, \to S_n; y, \mapsto H(y) = (H_(ij)(y), 1 \leq i, j \leq n)

telle que

F_y(y + z) = ^t zH(y)z + ‖z‖^2 R(y, z)

avec pour tout

y \in ℝ^n, lim_(z \to 0)R(y, z) = 0

.
b) Montrer que pour tout

y, H(y)

est une matrice positive.
4) Soit

x \in ℝ^n

f

une fonction de classe

C^1

[0, 1]

dans

ℝ^n

.
a) Montrer que

lim_(δ \to 0)1/δd(f(t), f(t + δ)) = \sqrt(^t f^'(t)H(f(t))f^'(t))

b) Montrer que pour

t

tel que

f(t) \neq x

, on a

|d/(dt)d(x, f(t))| \leq \sqrt(tf^'(t)H(f(t))f^'(t))

c) Soit

y \neq x

. Montrer que si

f

est telle que

f(0) = x, f(1) = y

f(t) \neq x

pour tout

t > 0

, alors

d(x, y) \leq \int_0^1\sqrt(tf^'(t)H(f(t))f^'(t))dt

On suppose encore $y \neq x$ , et on prend $f$ de classe $C^1$ sur $[0, 1]$ telle que $f(0) = x, f(1) = y$ . Soit

t_0 = sup{t ≤ 1 : f(t) = x}

a) Montrer que

t_0 < 1

.
b) Soit

g : [0, 1] \to ℝ^n

définie par

g(t) = f(t_0 + t(1 - t_0))

. Montrer que

\int_0^1\sqrt(^t g^'(t)H(g(t))g^'(t))dt \leq \int_0^1\sqrt(^t f^'(t)H(f(t))f^'(t))dt

Déduire des résultats précédents que, pour tout $x$ et $y$ dans $ℝ^n$ :

d(x, y) ≤ inf{∫_0^1√(^t f^′(t)H(f(t))f^′(t))dt : f de classe C^1, f(0) = x, f(1) = y}

a) Montrer que pour tout $x \in ℝ^n$ , pour toute fonction $f$ de classe $C^1$ de $[0, 1]$ dans $ℝ^n$ , pour tout $t \in [0, 1]$

⟨\nablaF_x(f(t)), f^'(t)⟩^2 \leq 4d(x, f(t))^2 t^'(t)H(f(t))f^'(t)

b) Montrer que, pour tous

x, y \in ℝ^n

, la matrice

4d(x, y)^2 H(y) - \nablaF_x(y)^t\nablaF_x(y)

est positive.
8) Soit

x, y

dans

ℝ^n

, tels qu'il existe une fonction

f

de classe

C^1

telle que

f(0) = x, f(1) = y, f(t) \neq x

pour

t > 0

d(x, y) = \int_0^1\sqrt(tf^'(t)H(f(t))f^'(t))dt

a) Montrer que pour tout

t_0 \in ]0, 1]

d(x, f(t_0)) = \int_0^(t_0)\sqrt(tf^'(t)H(f(t))f^'(t))dt

b) Montrer que pour tout

t_0 \in ]0, 1]

⟨\nablaF_x(f(t_0)), f^'(t_0)⟩^2 = 4d(x, f(t_0))^2 t^'(t_0)H(f(t_0))f^'(t_0)

Soit $S$ une matrice $n \times n$ symétrique réelle définie positive, et $u \in ℝ^n$ .
a) Montrer que $S - u^t u$ est une matrice positive si et seulement si $^t uS^(- 1)u \leq 1$
b) Montrer l'équivalence des propriétés suivantes:
(A) Il existe $x \neq 0$ tel que $^t xSx = (^t xu)^2$
(B) $^t uS^(- 1)u \geq 1$
On suppose que $H(x)$ est inversible pour tout $x \in ℝ^n$ , et que pour tous $x, y$ distincts dans $ℝ^n$ , il existe une fonction $f$ de classe $C^1$ telle que $f(0) = x$ , $f(1) = y, f(t) \neq x$ pour $t > 0$ et

d(x, y) = \int_0^1\sqrt(^t f^'(t)H(f(t))f^'(t))dt

Montrer qu'alors, pour tout

x \in ℝ^n

et tout

y \in ℝ^n, y \neq x

^t\nablaF_x(y)H(y)^(- 1)\nablaF_x(y) = 4d(x, y)^2

On obtient ainsi une condition nécessaire pour que

d

corresponde aux longueurs minimales de trajectoires dans un milieu non-homogène.

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