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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2001Sujet et corrigé

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Mathématiques 1, X MP 2001 : équations différentielles hypergéométriques, demi-plan de Poincaré et opérateur différentiel invariant
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Le sujet part d'une équation différentielle résolue par une série entière à paramètre complexe, puis construit le demi-plan de Poincaré comme modèle de géométrie non euclidienne, avec un groupe de transformations qui joue le rôle des rotations. La troisième partie relie ces deux constructions par un opérateur différentiel invariant, analogue du laplacien, dont les fonctions propres s'expriment à l'aide des solutions de la première partie.

  1. 1Première partie : équation différentielle et série entière à paramètreOn étudie l'équation (E_s), la série entière solution f_s, son rayon de convergence et la continuité en (s, x), puis on ramène (E_s') à (E_s).
  2. 2Deuxième partie : demi-plan de Poincaré et action du groupe ROn étudie le demi-plan H, les transformations A_theta qui définissent une action de R sur H, leurs orbites circulaires et le jacobien de l'application U.
  3. 3Troisième partie : opérateur différentiel invariant et fonctions propresOn construit un isomorphisme V vers les fonctions périodiques, on étudie l'opérateur D invariant par les A_theta, puis la fonction phi_s solution de D(phi_s) = s(s-1) phi_s exprimée à l'aide des fonctions de la première partie.

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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Première partie

On désigne par S le plan complexe C privé du sous-ensemble − N − 1/2 = { − 1/2, − 3/2, …}. Pour tout s dans S on note ( E_s ) l'équation différentielle
2x(1 − x)f^(′′)(x) + (2s + 1 − (2s + 3)x)f^′(x) − sf(x) = 0
On cherche une solution de ( E_s ) sous la forme d'une série entière
f_s(x) = ∑_(n ⩾ 0)a_n(s)x^n avec a_0 = 1
  1. Écrire a_(n + 1)(s) en fonction de a_n(s).
  2. Déterminer la limite de (a_(n + 1)(s))/(a_n(s)) lorsque s n'est pas un entier négatif ou nul.
  3. Montrer que le rayon de convergence de la série est égal à 1 ou à + ∞ et que sa somme f_s(x) est effectivement une solution de (E_s).
  4. Montrer que la fonction (s, x) ↦ f_s(x) est continue sur S × ] − 1, 1[.
  5. On considère maintenant l'équation différentielle
(E_s^′) t^2(1 − t^2)F^(′′)(t) − 2t^3 F^′(t) + s(1 − s)(1 − t^2)F(t) = 0, t ∈ ]0, 1[
a) Ramener sa résolution à celle de ( E_s ) en cherchant F(t) sous la forme t^s f(t^2). [On rappelle que (dt^s)/(dt) = st^(s − 1).]
b) Montrer que, si s n'appartient pas à Z + 1/2, les fonctions Φ_s(t) = t^s f_s(t^2) et Φ_(1 − s)(t) = t^(1 − s)f_(1 − s)(t^2) forment une base de l'espace des solutions de (E_s^′).

Deuxième partie

On désigne par H l'ensemble des nombres complexes z = x + iy tels que y > 0; on pose Rez = x, Imz = y.
6. Démontrer les résultats suivants :
a) Pour tout z ∈ H et tout θ ∈ R, le nombre complexe (zcosθ − sinθ)/(zsinθ + cosθ) est bien défini et appartient à H (on précisera sa partie imaginaire).
b) Si l'on pose A_θ(z) = (zcosθ − sinθ)/(zsinθ + cosθ), on obtient une action du groupe additif R sur H.
c) La fonction réelle sur H : z ↦ c(z) = (|z|^2 + 1)/(2Imz) est invariante par les transformations A_θ, c'est-à-dire c(A_θ(z)) = c(z) ∀z ∈ H, ∀θ ∈ R.
d) Si z est différent de i, on a A_θ(z) = A_(θ^′)(z) si et seulement si θ − θ^′ ∈ πZ.
7. On fixe un point z_0 de H, distinct de i.
a) Vérifier que l'orbite de z_0 sous l'action du groupe R est incluse dans le cercle de centre ic(z_0) et de rayon (c(z_0)^2 − 1)^(1/2).
b) Montrer que l'orbite de z_0 est égale à ce cercle.
8. On définit une application indéfiniment différentiable U de ]0, 1[ × R dans H par U(t, θ) = A_θ(it).
a) Calculer le déterminant jacobien de U, qu'on notera J(t, θ).
[On utilisera la formule J(t, θ) = Im((∂U^–)/(∂t)(∂U)/(∂θ))].
b) Démontrer les assertions suivantes :
(1) U(]0, 1[ × R) est égal à l'ensemble H^′ = H privé du point i;
(2) on a U(t, θ) = U(t^′, θ^′) si et seulement si t = t^′ et θ − θ^′ ∈ πZ.

Troisième partie

On désigne par C^∞(H^′) l'espace des fonctions complexes de classe C^∞ sur H^′ et par C^∞(]0, 1[ × R)_(per) celui des fonctions de classe C^∞ sur ]0, 1[ × R qui sont périodiques de période π par rapport à θ.
9. Montrer qu'en associant à toute fonction φ de C^∞(H^′) la fonction ψ = φ ∘ U, on obtient un isomorphisme, qu'on notera V, de C^∞(H^′) sur C^∞(]0, 1[ × R)_(per).
On considère l'opérateur différentiel sur H^′ défini par
D = y^2((∂^2)/(∂x^2) + (∂^2)/(∂y^2))
on admettra que, pour toute φ ∈ C^∞(H^′) et tout θ ∈ R, on a D(φ ∘ A_θ) = D(φ) ∘ A_θ.
On désigne par D˜ l'endomorphisme de C^∞(]0, 1[ × R)_(per), défini par
D˜ = V ∘ D ∘ V^(− 1)
  1. Pour tout élément (t, θ^′) de ]0, 1[ × R et tout θ ∈ R, on pose :
τ_θ(t, θ^′) = (t, θ + θ^′)
Vérifier que l'on a:
a) V(φ) ∘ τ_θ = V(φ ∘ A_θ) pour φ ∈ C^∞(H^′), θ ∈ R.
b) D˜(ψ ∘ τ_θ) = D˜(ψ) ∘ τ_θ pour ψ ∈ C^∞(]0, 1[ × R)_(per), θ ∈ R.
On désigne par s un nombre complexe et par φ_s la fonction sur H définie par
φ_s(z) = ∫_0^π(ImA_θ(z))^s dθ
  1. Montrer que φ_s est de classe C^∞, est invariante par les A_θ, et est solution de l'équation D(φ_s) = s(s − 1)φ_s.
    [On pourra considérer la fonction ω(z) = (Imz)^s.]
  2. On définit une fonction F_s sur ]0, + ∞[parF_s(t) = φ_s(it).
Comparer F_s(t) et F_s(1/t).
13. Montrer que F_s = F_(1 − s).
[On pourra faire le changement de variable cotanθ = u dans l'intégrale définissant F_s(t) ].
On suppose maintenant que s n'appartient pas à Z + 1/2.
On pourra admettre que, si une fonction ψ est de la forme ψ(t, θ) = F(t), on a
D˜(ψ)(t, θ) = 1/(1 − t^2)[t^2(1 − t^2)F^(′′)(t) − 2t^3 F^′(t)]
  1. Démontrer l'existence d'une famille de nombres complexes λ_s tels que l'on ait
F_s = λ_s Φ_s + λ_(1 − s)Φ_(1 − s)
(les fonctions Φ_s et Φ_(1 − s) ont été définies à la question 5.b).
15. Supposant Re s < 1/2, exprimer λ_s sous la forme d'une intégrale sur l'intervalle ]0, π[.
Nota : L'ensemble H est appelé demi-plan de Poincaré et est le cadre d'une géométrie non euclidienne; les transformations z ↦ (az + b)/(cz + d)(a, b, c, d réels et ad − bc = 1) jouent un rôle analogue à celui des déplacements du plan euclidien, les transformations A_θ un rôle analogue à celui des rotations. Enfin l'opérateur différentiel D est l'analogue du laplacien.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 X MP 2001 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 X MP 2001 ?

Il porte sur les séries entières et les équations différentielles, puis sur les nombres complexes, les fonctions de plusieurs variables et les opérateurs différentiels, appliqués au demi-plan de Poincaré.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Non, la troisième partie combine les résultats de la première (la série entière f_s) et de la deuxième (le demi-plan H et les transformations A_theta).

Quelles connaissances de géométrie sont nécessaires ?

Le sujet utilise les nombres complexes pour décrire le demi-plan de Poincaré et des transformations homographiques réelles, présentées comme l'analogue non euclidien des rotations.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il mobilise des notions de deuxième année comme les séries entières à paramètre, les fonctions de plusieurs variables et les opérateurs différentiels.

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