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Sujet Polytechnique Mathématiques 1 MP 2002

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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2002

Minimisation de l'écart quadratique et de l'écart en valeur absolue à une fonction : moyenne et médiane

Le problème étudie la minimisation, par rapport à x, de deux fonctionnelles associées à une fonction f : l'écart quadratique moyen (partie I), qui conduit à la moyenne de f, puis l'écart en valeur absolue moyen Δ(x) (parties II à IV), qui conduit à la médiane. La partie II établit continuité, convexité et existence d'un minimum V de Δ sur un intervalle M. La partie III, pour f monotone par morceaux, caractérise M via une mesure des préimages. La partie IV étudie l'unicité du minimiseur et sa stabilité par convergence en moyenne.

  1. 1Première partie : minimisation de l'écart quadratiqueÉtude de la fonction D_a(x), somme pondérée des carrés des écarts à x, et de son analogue intégral D_f(x), démonstration de l'existence et du calcul du minimum (moyenne pondérée ou intégrale).
  2. 2Deuxième partie : minimisation de l'écart en valeur absolueÉtude de la fonction Δ(x), continuité et convexité, comportement aux limites, existence d'un minimum V atteint sur un intervalle M, avec deux exemples explicites.
  3. 3Troisième partie : cas d'une fonction monotone par morceauxIntroduction de la mesure λ des préimages d'intervalles par f, calcul des dérivées à droite et à gauche de Δ en tout point, et caractérisation de l'ensemble M à l'aide de la fonction de répartition φ.
  4. 4Quatrième partie : unicité du minimiseur et stabilitéDémonstration que pour f monotone par morceaux, l'ensemble M est réduit à un point m_f (la médiane), comparaison de V_f et m_f à des intégrales de |f|, puis étude de la stabilité de m_f pour une suite de fonctions convergeant en moyenne.
Fonctions convexesContinuité et dérivabilité (dérivées à droite et à gauche)Intégration de fonctions continues par morceauxConvergence de suites de fonctions (convergence en moyenne)Théorie de la mesure élémentaire (mesure d'intervalles, fonction de répartition)
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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte la première composition de mathématiques X 2002 ?

Le sujet porte sur l'analyse réelle : fonctions convexes, intégration, dérivabilité et convergence de suites de fonctions, pour étudier la minimisation de l'écart quadratique (moyenne) et de l'écart absolu (médiane) à une fonction donnée.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que la première partie est indépendante des trois autres ; les parties II, III et IV s'enchaînent en revanche, chacune approfondissant l'étude de la fonction Δ et de son minimum introduits en partie II.

Quel est le lien entre ce problème et les notions de moyenne et de médiane ?

La première partie montre que minimiser l'écart quadratique à f conduit à sa moyenne, tandis que les parties suivantes montrent que minimiser l'écart en valeur absolue conduit à sa médiane, notée m_f lorsque f est monotone par morceaux.

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CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
La première partie est indépendante des trois autres.

Première partie

  1. On considère une suite (w_n)_(n ∈ N) de réels strictement positifs vérifiant ∑_(n = 0)^∞w_n = 1 et une suite (a_n)_(n ∈ N) de réels telle que ∑_(n = 0)^∞w_n a_n^2 < + ∞.
Vérifier que la fonction x ↦ D_a(x) = ∑_(n = 0)^∞w_n(a_n − x)^2 est bien définie sur R et atteint son minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint.
2. On considère une fonction continue réelle de carré intégrable f sur l'intervalle ]0, 1[. Vérifier que la fonction x ↦ D_f(x) = ∫_0^1(f(t) − x)^2 dt est bien définie sur R et atteint son minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint.

Deuxième partie

Dans cette partie, on se donne une fonction réelle f sur l'intervalle I = ]0, 1[, continue par morceaux et intégrable.
3. Vérifier que la fonction x ↦ Δ(x) = ∫_0^1|f(t) − x|dt est bien définie sur R.
4.a) Montrer que la fonction Δ est continue et convexe.
b) Déterminer les limites de Δ(x) lorsque x tend vers + ∞ ou − ∞.
5. Montrer que Δ admet un minimum, que l'on notera V, et que l'ensemble M des points où Δ atteint ce minimum est un intervalle.
6. Exemples. Déterminer Δ, V et M dans les deux cas suivants :
a) f(t) = {1 si t ⩽ 1/2; 0 si t > 1/2.
b) f(t) = t.

Troisième partie

On se donne à nouveau une fonction f ayant les propriétés indiquées dans la deuxième partie; on suppose en outre que f est monotone par morceaux, c'est-à-dire qu'il existe des nombres
t_0 = 0 < t_1 < … < t_n = 1
tels que f soit monotone sur chaque intervalle ]t_i, t_(i + 1)[. Pour tout intervalle J de R, éventuellement réduit à un point, on définit une fonction χ_J sur I par
χ_J(t) = {1 si f(t) ∈ J; 0 sinon
  1. Vérifier que la fonction χ_J est continue par morceaux et intégrable sur I. On note λ(J) son intégrale.
  2. Établir les propriétés suivantes de l'application λ :
    a) Étant donnés des intervalles J_1, …, J_n deux à deux disjoints dont la réunion est encore un intervalle, on a
λ(J_1 ∪ … ∪ J_n) = λ(J_1) + … + λ(J_n);
b) Étant donnée une suite croissante d'intervalles (J_n)_(n ∈ N), on a
λ(∪ _(n ∈ N)^∪J_n) = sup_(n ∈ N)λ(J_n).
c) Étant donnée une suite décroissante d'intervalles (J_n)_(n ∈ N), on a
λ(∩ _(n ∈ N)J_n) = inf_(n ∈ N)λ(J_n).
  1. Soit x un réel et ε un réel > 0; on pose
J_1 = ] − ∞, x], J_2 = ]x, x + ε[, J_3 = [x + ε, + ∞[
a) Démontrer l'égalité suivante :
1/ε(Δ(x + ε) − Δ(x)) − λ(J_1) + λ(J_3) = λ(J_2) + 2/ε∫_0^1 χ_(J_2)(t)(x − f(t))dt
où Δ est la fonction définie à la question 3.
b) Montrer que Δ admet en tout point x une dérivée à droite que l'on déterminera.
c) Même question pour la dérivée à gauche.
d) Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs de x elles sont égales.
10. On pose
φ(x) = λ(] − ∞, x]); φ(x + 0) = lim_(n → + ∞)φ(x + 1/n) φ(x − 0) = lim_(n → + ∞)φ(x − 1/n)
a) Exprimer φ(x + 0) et φ(x − 0) en fonction de φ(x) et de λ({x}).
b) Montrer que l'ensemble N des réels x vérifiant φ(x − 0) ⩽ 1/2 ⩽ φ(x), s'il n'est pas vide, est un intervalle fermé borné.
c) Comparer les ensembles M (défini à la question 5.) et N et préciser le comportement de φ sur l'intérieur de N lorsque N n'est pas réduit à un point.

Quatrième partie

  1. On se donne une fonction f sur I, réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on note M_f et V_f ce qui était noté M et V.
    a) Démontrer l'inclusion M_f ⊂ f(I).
    b) Montrer que M_f est réduit à un point, que l'on notera m_f.
    c) Comparer V_f et ∫_0^1|f(t)|dt, puis m_f et 2∫_0^1|f(t)|dt.
  2. On considère une suite (g_n) de fonctions sur I, réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux ; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonction g continue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On pose m_n = m_(g_n). Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite ( m_n ) est non vide et inclus dans l'ensemble M_g des points où la fonction x ↦ ∫_0^1|g(t) − x|dt atteint son minimum.

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