Sujet Polytechnique Mathématiques 1 MP 2002
Téléchargements
- Rapport du jury : non disponible
Présentation du sujet
Polytechnique Mathématiques 1 MP 2002
Minimisation de l'écart quadratique et de l'écart en valeur absolue à une fonction : moyenne et médiane
Le problème étudie la minimisation, par rapport à x, de deux fonctionnelles associées à une fonction f : l'écart quadratique moyen (partie I), qui conduit à la moyenne de f, puis l'écart en valeur absolue moyen Δ(x) (parties II à IV), qui conduit à la médiane. La partie II établit continuité, convexité et existence d'un minimum V de Δ sur un intervalle M. La partie III, pour f monotone par morceaux, caractérise M via une mesure des préimages. La partie IV étudie l'unicité du minimiseur et sa stabilité par convergence en moyenne.
- 1Première partie : minimisation de l'écart quadratiqueÉtude de la fonction D_a(x), somme pondérée des carrés des écarts à x, et de son analogue intégral D_f(x), démonstration de l'existence et du calcul du minimum (moyenne pondérée ou intégrale).
- 2Deuxième partie : minimisation de l'écart en valeur absolueÉtude de la fonction Δ(x), continuité et convexité, comportement aux limites, existence d'un minimum V atteint sur un intervalle M, avec deux exemples explicites.
- 3Troisième partie : cas d'une fonction monotone par morceauxIntroduction de la mesure λ des préimages d'intervalles par f, calcul des dérivées à droite et à gauche de Δ en tout point, et caractérisation de l'ensemble M à l'aide de la fonction de répartition φ.
- 4Quatrième partie : unicité du minimiseur et stabilitéDémonstration que pour f monotone par morceaux, l'ensemble M est réduit à un point m_f (la médiane), comparaison de V_f et m_f à des intégrales de |f|, puis étude de la stabilité de m_f pour une suite de fonctions convergeant en moyenne.
Autres épreuves de la session
Mêmes épreuves, autres années
Pour s'entraîner avec corrigé
Sujets proches (même matière, filière voisine) qui ont un corrigé.
Questions fréquentes
Sur quels chapitres porte la première composition de mathématiques X 2002 ?
Le sujet porte sur l'analyse réelle : fonctions convexes, intégration, dérivabilité et convergence de suites de fonctions, pour étudier la minimisation de l'écart quadratique (moyenne) et de l'écart absolu (médiane) à une fonction donnée.
Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?
L'énoncé précise que la première partie est indépendante des trois autres ; les parties II, III et IV s'enchaînent en revanche, chacune approfondissant l'étude de la fonction Δ et de son minimum introduits en partie II.
Quel est le lien entre ce problème et les notions de moyenne et de médiane ?
La première partie montre que minimiser l'écart quadratique à f conduit à sa moyenne, tandis que les parties suivantes montrent que minimiser l'écart en valeur absolue conduit à sa médiane, notée m_f lorsque f est monotone par morceaux.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules.
CONCOURS D'ADMISSION 2002
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Première partie
- On considère une suite
(w_n)_(n ∈ N) de réels strictement positifs vérifiant∑_(n = 0)^∞w_n = 1 et une suite(a_n)_(n ∈ N) de réels telle que∑_(n = 0)^∞w_n a_n^2 < + ∞ .
2. On considère une fonction continue réelle de carré intégrable
Deuxième partie
3. Vérifier que la fonction
4.a) Montrer que la fonction
b) Déterminer les limites de
5. Montrer que
6. Exemples. Déterminer
a)
b)
Troisième partie
- Vérifier que la fonction
χ_J est continue par morceaux et intégrable surI . On noteλ(J) son intégrale. - Établir les propriétés suivantes de l'application
λ :
a) Étant donnés des intervallesJ_1, …, J_n deux à deux disjoints dont la réunion est encore un intervalle, on a
- Soit
x un réel etε un réel> 0 ; on pose
b) Montrer que
c) Même question pour la dérivée à gauche.
d) Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs de
10. On pose
b) Montrer que l'ensemble
c) Comparer les ensembles
Quatrième partie
- On se donne une fonction
f surI , réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on noteM_f etV_f ce qui était notéM etV .
a) Démontrer l'inclusionM_f ⊂ f(I) .
b) Montrer queM_f est réduit à un point, que l'on noteram_f .
c) ComparerV_f et∫_0^1|f(t)|dt , puism_f et2∫_0^1|f(t)|dt . - On considère une suite
(g_n) de fonctions surI , réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux ; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonctiong continue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On posem_n = m_(g_n) . Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (m_n ) est non vide et inclus dans l'ensembleM_g des points où la fonctionx ↦ ∫_0^1|g(t) − x|dt atteint son minimum.
Pas de description pour le moment
