Centrale Mathématiques 2 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Pour tout réel x, on note ⌊x⌋ sa partie entière.
On note

Soit Z une variable aléatoire sur ( Ω, A, ℙ ), à valeurs complexes et telle que Z(Ω) soit fini. En notant ℜ(Z) et ℑ(Z) les parties réelle et imaginaire de Z, on définit l'espérance de Z par

Si Z_1, …, Z_n sont des variables aléatoires sur ( Ω, A, ℙ ), à valeurs complexes, mutuellement indépendantes, et telles que Z_j(Ω) soit fini pour tout j, on admet que

Soient (Ω, A, ℙ) un espace probabilisé et (ε_n)_(n ⩾ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans { − 1, 1} avec ℙ(ε_n = 1) = ℙ(ε_n = − 1) = 1/2 pour tout n ⩾ 1. On pose

Pour X variable aléatoire réelle avec X(Ω) fini, on note

On définit également

Soit n un entier naturel non nul et t un réel.
Q 1. Montrer

Q 2. En déduire

Q 3. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (Φ_(X_n))_(n ⩾ 1).
Q 4. Étudier la continuité de lim_(n → + ∞)Φ_(X_n).
Q 5. Montrer que X_n et − X_n ont même loi pour tout n ∈ ℕ^⋆.
Q 6. En déduire la limite simple de la suite de fonctions (φ_n)_(n ⩾ 1) définies par

Q 7. La suite de fonctions (φ_n)_(n ⩾ 1) converge-t-elle uniformément sur ℝ ?

Soit n un entier naturel non nul. On pose

Q 8. Montrer que Φ_n est bien définie en vérifiant ImΦ_n ⊂ [ [0, 2^n − 1] ].
Q 9. Préciser ImΦ_n en fonction de A_n.
Q 10. Montrer par récurrence

Q 11. En déduire que Φ_n est bijective.
Q 12. Établir la monotonie au sens de l'inclusion de la suite (D_n)_(n ⩾ 1) puis vérifier D ⊂ [0, 1[.
Q 13. Établir

Q 14. Justifier

Q 15. Établir

Q 16. Soit n ∈ ℕ^⋆. Justifier x ∈ D_n ⇔ 2^n x ∈ [ [0, 2^n − 1] ].
Q 17. Soit n ∈ ℕ^⋆. Montrer que l'application

est bijective.
Q 18. Soient n ∈ ℕ^⋆ et x = ∑_(j = 1)^n(x_j)/(2^j) avec (x_j)_(j ∈ [ [1, n] ]) ∈ {0, 1}^n. Montrer

Soit (Ω, A, ℙ) un espace probabilisé, (U_n)_(n ⩾ 1) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. On pose

Q 19. Justifier

Q 20. Montrer

Q 21. Montrer

Q 22. Établir, pour tout entier naturel non nul n, que Y_n suit une loi uniforme sur D_n.
Q 23. Réciproquement, soit n un entier naturel non nul et soit X_n une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur D_n. Montrer qu'il existe des variables aléatoires V_1, …, V_n mutuellement indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre 1/2, et telles que

On conserve les notations introduites dans la partie III.
Q 24. Soit x réel. Établir la monotonie des suites (F_n(x))_(n ⩾ 1) et (G_n(x))_(n ⩾ 1).
Q 25. En déduire la convergence simple des suites de fonctions (F_n)_(n ⩾ 1) et (G_n)_(n ⩾ 1).
Q 26. Montrer

Q 27. Généraliser les résultats obtenus à la question précédente pour tout x ∈ [0, 1].
Q 28. Montrer que pour tout intervalle non vide I ⊂ [0, 1], on a

Q 29. En déduire que, pour toute fonction f continue de [0, 1] dans ℝ, la suite (𝔼(f(Y_n)))_(n ⩾ 1) converge et préciser sa limite.

Q 30. À l'aide du résultat précédent, proposer une autre démonstration du résultat obtenu à la question 6 .
Q 31. Une application. Justifier l'existence de ∫_0^1(t − 1)/(lnt) dt puis déterminer sa valeur.
On pourra considérer ∫_0^1 𝔼(t^(Y_n))dt.

Q 32. L'ensemble D est-il dénombrable ?
Q 33. On suppose qu'il existe f : ℕ → P(ℕ) bijective. En considérant A = {x ∈ ℕ|x ∉ f(x)}, établir une contradiction.

Q 34. Montrer que l'application Φ : P(ℕ), → {0, 1}^ℕ; A, ↦ 𝟙_A est bijective.
Q 35. Montrer que l'application

est bien définie et surjective. Est-elle injective ?
On note D^⋆ = D∖{0}. On pose pour tout (x_n) ∈ {0, 1}^ℕ

Q 36. Montrer que Λ réalise une bijection de {0, 1}^ℕ sur [0, 1[.
Q 37. Conclure que [0, 1[ n'est pas dénombrable.