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Centrale Mathématiques 2 MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Fonctions harmoniques, problèmes de Dirichlet.

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions harmoniques, principe du maximum et problème de Dirichlet dans le disque
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Le sujet étudie les fonctions harmoniques, c'est-à-dire de laplacien nul, sans supposer de connaissance préalable du laplacien. Il cherche des fonctions harmoniques particulières en se ramenant à des équations différentielles, démontre le principe du maximum faible, relie les fonctions harmoniques du plan aux fonctions développables en série entière, puis résout le problème de Dirichlet dans le disque unité.

  1. 1Partie I : fonctions harmoniques, quelques propriétésdeuxième annéeStructure d'espace vectoriel, stabilité par dérivation et question de la stabilité par produit.
  2. 2Partie II : exemples de fonctions harmoniquespremière et deuxième annéeRecherche de fonctions harmoniques à variables séparées, radiales ou à variables polaires séparables, par passage en coordonnées polaires et résolution d'équations différentielles linéaires.
  3. 3Partie III : principe du maximum faibledeuxième annéeExistence d'un maximum sur un compact, étude du cas d'un laplacien strictement positif, puis perturbation par ε‖x‖² et unicité sous condition au bord.
  4. 4Partie IV : fonctions harmoniques et fonctions développables en série entièredeuxième annéeLes parties réelle et imaginaire d'une fonction développable en série entière sont harmoniques, formule de la moyenne, et preuve du théorème de d'Alembert-Gauss.
  5. 5Partie V : problème de Dirichlet dans le disque unitédeuxième annéeConstruction de la solution par le noyau de Poisson, étude de sa limite au bord avec le théorème de Heine, puis existence et unicité.

Difficile. Si les parties I et II contiennent beaucoup de questions abordables, le jury juge la partie IV d'un niveau bien plus élevé et la partie V très difficile, la dernière question n'ayant été traitée que dans une dizaine de copies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,46 / 20 · écart-type 3,6 · 4 451 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,46/ 20
Écart-type
3,6
Présents
4 451
Durée
4 h
1er quartile
5,8
Médiane
7,8
3e quartile
10,6
moyenne 8,4605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Dérivées partielles mal maîtrisées · Division par une fonction non identiquement nulle · Périodicité mal étudiée
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La partie I, pourtant très facile, n'a pas eu le succès attendu, ce qui montre selon le jury que le calcul différentiel est mal assimilé. La partie II a fourni l'essentiel des points de nombreux candidats et les questions calculatoires sont souvent bien traitées. Le jury regrette que beaucoup de bons candidats ne détaillent pas leurs arguments et que la course à la quantité produise des copies peu lisibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Dérivées partielles mal maîtriséesQ2, Q3

    Beaucoup de candidats oublient les dérivées partielles croisées. Beaucoup ne savent pas non plus déterminer les fonctions dont toutes les dérivées partielles d'ordre 1 sont nulles.

    « environ 70 % des candidats n’arrivent pas à déterminer les fonctions régulières dont toutes les dérivées partielles (d’ordre 1) sont nulles »
  2. 2
    Division par une fonction non identiquement nulleQ5, Q13, Q14

    Près de 70 % des candidats divisent par u(x)v(y) au motif que u et v ne sont pas identiquement nulles, alors qu'elles peuvent s'annuler. La même erreur se retrouve en Q13, où 33 % des copies donnent une réponse fausse.

    « il s’agit d’un sérieux problème de réflexe : on ne peut pas diviser par zéro ! »
  3. 3
    Périodicité mal étudiéeQ18

    La quasi-totalité des copies affirme que cos(√λ x) est 2π-périodique quel que soit λ > 0. En Q18, seules 142 copies trouvent la bonne condition sur √λ et seules 157 traitent correctement le cas λ < 0.

  4. 4
    Coordonnées polaires et retour aux variables x, yQ10, Q11

    Beaucoup de copies n'expliquent pas le passage des couples (r cos θ, r sin θ) aux points (x, y), alors que le changement de variables polaires n'est pas bijectif. En Q11, environ 66 % des copies ne reviennent pas aux variables x et y.

  5. 5
    Passage à la limite non justifié dans le principe du maximumQ24, Q25

    Le passage à la limite quand ε tend vers 0 demande d'utiliser la compacité de la frontière, ce que peu de candidats font. La question 25, pourtant assez facile, a été peu réussie.

    « Seuls 15 % des copies contiennent une réponse satisfaisante. »
  6. 6
    Théorèmes inventés ou cités vaguementQ26, Q32

    Des candidats inventent un théorème de différentiabilité pour les séries de fonctions de deux variables, alors que le sujet reste dans le programme. L'interversion série et intégrale de Q32 a souvent été mal rédigée.

    « Le jury déplore notamment l’horrible expression « par théorème » devenue courante dans les copies »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions calculatoires sont souvent bien traitées, dans les parties II et IV comme dans les questions 38 et 41 de la partie V.
  • La résolution d'une équation différentielle du type y'' + λy = 0 est en général bien faite.
  • La règle de la chaîne pour dériver en coordonnées polaires est généralement bien comprise (Q8, Q9).
  • La caractérisation des compacts de R^n semble assez bien comprise.
  • Le changement de fonction inconnue dans l'équation différentielle (Q19, Q20) a été bien mené dans beaucoup de copies.

Conseils du jury

  • Écrire sur la copie tous les arguments indispensables : à l'écrit, le correcteur ne peut pas demander de précision.
  • Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions : raisonner par équivalence ou vérifier les solutions obtenues.
  • Ne pas traiter les questions faciles à la légère ; « par les théorèmes généraux » ne suffit pas pour justifier une régularité.
  • Ne pas simuler une bonne réponse par des calculs hasardeux : tous les calculs sont lus.
  • Il n'est pas nécessaire d'aborder toutes les questions pour obtenir une très bonne note ; avancer de façon presque linéaire est apprécié.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet

Ce problème étudie quelques propriétés des fonctions harmoniques ainsi que quelques exemples de telles fonctions (parties I et II). Dans la partie III, largement indépendante du reste du problème, on montre le principe du maximum faible pour le laplacien. Dans la partie IV, on établit un lien entre les fonctions harmoniques de deux variables et les fonctions développables en série entière, et on propose la résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de ℝ^2 dans la partie V.

Notations

  • Dans ce préambule et dans les parties I et III, n désigne un entier strictement positif.
  • On munit ℝ^n de sa structure euclidienne canonique et ‖ ⋅ ‖ désigne la norme euclidienne.
  • Si U est une partie de ℝ^n, alors U¯ désigne son adhérence et ∂U sa frontière.
  • Pour a ∈ ℝ^n et R > 0, on désigne par D(a, R) la boule ouverte de centre a et de rayon R pour la distance euclidienne. Autrement dit
D(a, R) = {x ∈ ℝ^n; ‖x − a‖ < R}
La boule fermée de centre a et de rayon R est alors D(a, R)^–.
  • L'opérateur différentiel Δ (appelé laplacien) est défini pour toute fonction à valeurs réelles de classe C^2 sur un ouvert U ⊂ ℝ^n par
∀x = (x_1, …, x_n) ∈ U, Δf(x) = ∑_(i = 1)^n(∂^2 f)/(∂x_i^2)(x)
  • Une fonction f de classe C^2 à valeurs réelles sur un ouvert U de ℝ^n est dite harmonique sur U si
∀x ∈ U Δf(x) = 0
L'ensemble des fonctions harmoniques sur U est noté H(U).

I Fonctions harmoniques: quelques propriétés

Soit U un ouvert non vide de ℝ^n. On note C^2(U, ℝ) l'espace vectoriel des fonctions de classe C^2 de U dans ℝ.
Q 1. Montrer que H(U) est un sous-espace vectoriel de C^2(U, ℝ).
Q 2. Soit f ∈ H(U). Montrer que si f est C^∞ sur U, alors toute dérivée partielle à tout ordre de f appartient à H(U).
Q 3. On suppose dans cette question que U est connexe par arcs. Déterminer l'ensemble des fonctions f de H(U) telles que f^2 appartienne aussi à H(U).
Q 4. Donner une fonction non constante appartenant à H(U). Le produit de deux fonctions harmoniques est-il une fonction harmonique?

II Exemples de fonctions harmoniques

II.A - On cherche dans cette question à déterminer les fonctions harmoniques non nulles sur ℝ^2 à variables séparables, c'est-à-dire les fonctions f s'écrivant sous la forme f(x, y) = u(x)v(y).
On se donne donc deux fonctions u et v, de classe C^2 sur ℝ, non identiquement nulles, et on pose
∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = u(x)v(y)
On suppose que f est harmonique sur ℝ^2.
Q 5. Montrer qu'il existe une constante λ réelle telle que u et v soient solutions respectives des équations
z^(′′) + λz = 0 et z^(′′) − λz = 0
Q 6. Donner en fonction du signe de λ la forme des fonctions harmoniques à variables séparables.
II.B - Soit f une fonction réelle de classe C^2 sur ℝ^2∖{(0, 0)}. On pose, pour tout (r, θ) ∈ ℝ^(∗ +) × ℝ,
g(r, θ) = f(rcos(θ), rsin(θ))
Q 7. Justifier que g est de classe C^2 sur ℝ^(∗ +) × ℝ.
Q 8. Pour tout (r, θ) ∈ ℝ^(∗ +) × ℝ, exprimer (∂g)/(∂r)(r, θ) et (∂g)/(∂θ)(r, θ) en fonction de
(∂f)/(∂x)(rcos(θ), rsin(θ)) et (∂f)/(∂y)(rcos(θ), rsin(θ))
Q 9. Exprimer également (∂^2 g)/(∂r^2)(r, θ) et (∂^2 g)/(∂θ^2)(r, θ) en fonction des dérivées partielles premières et secondes de f en (rcos(θ), rsin(θ))
Q 10. Montrer que f appartient à H(ℝ^2∖{(0, 0)}) si et seulement si, pour tout (r, θ) ∈ ℝ^(∗ +) × ℝ,
r^2(∂^2 g)/(∂r^2)(r, θ) + (∂^2 g)/(∂θ^2)(r, θ) + r(∂g)/(∂r)(r, θ) = 0
Q 11. Déterminer les fonctions harmoniques radiales de ℝ^2∖{(0, 0)}, c'est-à-dire les fonctions f appartenant à H(ℝ^2∖{(0, 0)}) telles que (r, θ) ↦ f(rcos(θ), rsin(θ)) soit indépendante de θ.
Q 12. Soient a, b, r_1 et r_2 quatre réels tels que 0 < r_1 < r_2. Déterminer une fonction f de classe C^2 sur ℝ^2∖{(0, 0)} telle que
{Δf = 0; f(x, y) = a, si ‖(x, y)‖ = r_1; f(x, y) = b, si ‖(x, y)‖ = r_2
II.C - Dans cette sous-partie II.C, on considère deux fonctions de classe C^2, u : ℝ^(∗ +) → ℝ et v : ℝ → ℝ et on pose
∀(r, θ) ∈ ℝ^(∗ +) × ℝ f(rcos(θ), rsin(θ)) = u(r)v(θ)
La fonction f est alors une fonction de classe C^2 sur ℝ^2∖{(0, 0)}, dite à variables polaires séparables.
Q 13. Montrer que, si f n'est pas identiquement nulle, alors v est 2π-périodique.
Q 14. Montrer que, si f est harmonique et non identiquement nulle sur ℝ^2∖{(0, 0)}, alors il existe un réel λ tel que u soit solution de l'équation différentielle (II.1)
r^2 z^(′′)(r) + rz^′(r) − λz(r) = 0
et v soit solution de l'équation différentielle (II.2)
z^(′′)(θ) + λz(θ) = 0
II.C.1) On suppose ici que λ = 0.
Q 15. Quelles sont les solutions 2π-périodiques de (II.2) ?
Q 16. Résoudre (II.1) sur ℝ^(+ ∗).
Q 17. En déduire, dans le cas λ = 0, les fonctions harmoniques à variables polaires séparables.
II.C.2) On suppose désormais λ ≠ 0.
Q 18. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (II.2) admette des solutions 2π-périodiques non nulles. Donner ces solutions.
Q 19. Résoudre (II.1) sur ℝ^(+ ∗).
On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonction Z de classe C^2 sur ℝ telle que, pour tout r > 0, z(r) = Z(ln(r)).
Q 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en 0 ?

III Principe du maximum faible

Soit U un ouvert borné non vide de ℝ^n(n ⩾ 2) et f : U → ℝ de classe C^2.
Le but de cette partie est de montrer le théorème suivant, connu sous le nom de principe du maximum faible.
Si f est une fonction continue sur U¯, de classe C^2 et harmonique sur U, alors
∀x ∈ U f(x) ⩽ sup_(y ∈ ∂U)f(y)
où ∂U désigne la frontière de U.
III.A - Soit f une fonction continue sur U¯.
Q 21. Montrer que f admet un maximum en un point x_0 ∈ U¯.
On suppose de plus que f est de classe C^2 sur U et que, pour tout x ∈ U, Δf(x) > 0.
Q 22. Montrer que x_0 ∈ ∂U et en déduire que ∀x ∈ U, f(x) < sup_(y ∈ ∂U)f(y).
On pourra supposer par l'absurde que x_0 ∈ U, justifier qu'il existe i ∈ [ [1, n] ] tel que (∂^2 f)/(∂x_i^2)(x_0) > 0, et considérer la fonction φ définie, pour t réel, par φ(t) = f(x_0 + te_i), où e_i désigne le i-ème vecteur de la base canonique de ℝ^n.
III.B - Soit f une fonction continue sur U¯, de classe C^2 et harmonique sur U.
Pour tout ε > 0 on pose g_ε(x) = f(x) + ε‖x‖^2.
Q 23. Montrer que g_ε est une fonction continue sur U¯, de classe C^2 sur U, et telle que ∀x ∈ U, Δg_ε(x) > 0.
Q 24. En déduire que ∀x ∈ U, f(x) ⩽ sup_(y ∈ ∂U)f(y).
Q 25. Soit f_1 et f_2 deux fonctions continues sur U¯, de classe C^2 et harmoniques sur U. Montrer que si les fonctions f_1 et f_2 sont égales sur ∂U, alors f_1 et f_2 sont égales sur U.

IV Fonctions harmoniques et fonctions développables en série entière

On dit qu'une fonction f, définie sur D(0, R) ⊂ ℝ^2 et à valeurs complexes, se développe en série entière sur D(0, R) s'il existe une suite complexe ( a_n ) telle que
∀(x, y) ∈ D(0, R), f(x, y) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n(x + iy)^n
Dans toute cette partie, f désigne une fonction se développant en série entière sur D(0, R).
IV.A -
Q 26. Montrer que f est de classe C^1 sur D(0, R) et que ses dérivées partielles se développent en série entière sur D(0, R). Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
On note u et v les parties réelle et imaginaire de f, de sorte que, quel que soit (x, y) ∈ D(0, R),
u(x, y) ∈ ℝ, v(x, y) ∈ ℝ, f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y).
Q 27. Montrer que u et v sont des fonctions harmoniques sur D(0, R).
IV.B - On admet le résultat suivant : une fonction h de D(0, R) dans ℂ se développe en série entière sur D(0, R) si et seulement si h est de classe C^1 sur D(0, R) et pour tout (x, y) ∈ D(0, R), (∂h)/(∂y)(x, y) = i(∂h)/(∂x)(x, y).
Q 28. Montrer que si f ne s'annule pas sur D(0, R) alors 1/f se développe en série entière sur D(0, R).
Q 29. Montrer que la fonction uv est harmonique sur D(0, R).
IV.C - Soit g une fonction de D(0, R) ⊂ ℝ^2 dans ℝ. On suppose que g est harmonique.
Q 30. Montrer que la fonction h définie sur D(0, R) par
h : (x, y) ⟼ (∂g)/(∂x)(x, y) − i(∂g)/(∂y)(x, y)
se développe en série entière sur D(0, R).
Q 31. Montrer que si g appartient à H(D(0, R)) alors il existe une fonction H se développant en série entière sur D(0, R) telle que g est la partie réelle de H.
On pourra considérer une série entière primitive de la série entière associée à la fonction h de la question précédente.

IV.D -

Q 32. Montrer que pour tout r ∈ [0, R[, on a f(0) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(rcos(t), rsin(t))dt.
Q 33. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.
Q 34. Montrer que ∀r ∈ [0, R[, |f(0)| ⩽ sup_(t ∈ ℝ)|f(rcos(t), rsin(t))|.
Q 35. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.
Q 36. Montrer que si |f| admet un maximum en 0 , alors f est constante sur D(0, R).
Q 37. Montrer le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine.
On pourra procéder par l'absurde, supposer qu'il existe un polynôme ne s'annulant pas et considérer son inverse.

V Résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de ℝ^2

Soit h une fonction de ℝ dans ℝ, continue et 2π-périodique sur ℝ. On cherche à résoudre le problème de Dirichlet sur le disque unité ; autrement dit, il s'agit de déterminer, s'il y en a, la ou les fonctions f définies et continues sur D(0, 1)^– (disque fermé), de classe C^2 sur D(0, 1), et telles que
{Δf = 0 sur D(0, 1); ∀t ∈ ℝ, f(cos(t), sin(t)) = h(t)
Pour cela, on pose, pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1,
g(z) = 1/(2π)∫_0^(2π)h(t)P(t, z)dt où P(t, z) = Re((e^(it) + z)/(e^(it) − z)) (Re désigne la partie réelle)
Q 38. Montrer que la fonction z ↦ (e^(it) + z)/(e^(it) − z) est développable en série entière pour |z| < 1 et calculer son développement en série entière. En déduire que la fonction (x, y) ↦ g(x + iy) est une fonction harmonique sur D(0, 1).
Q 39. Montrer que, pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1, 1/(2π)∫_0^(2π)P(t, z)dt = 1.
Q 40. Soit φ ∈ ℝ. Montrer que, pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1, g(z) = 1/(2π)∫_φ^(φ + 2π)h(t)P(t, z)dt.
Q 41. Montrer que, pour tout r ∈ [0, 1[ et tous réels t et θ,
P(t, re^(iθ)) = (1 − r^2)/(1 − 2rcos(t − θ) + r^2)
Q 42. Montrer que, pour tout δ ∈ ]0, π[ et tout réel φ, ∫_(φ + δ)^(φ + 2π − δ)P(t, z)dt→−_(z → e^(iφ))^0.
Q 43. En utilisant le théorème de Heine, montrer que, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout nombre réel φ et tout nombre complexe z vérifiant |z| < 1,
|g(z) − h(φ)| ⩽ (sup_(t ∈ ℝ)|h(t)|)/π∫_(φ + δ)^(φ + 2π − δ)P(t, z)dt + ε
Q 44. Montrer l'existence et l'unicité de la solution au problème de Dirichlet étudié dans cette partie.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2018 ?

Il porte sur le calcul différentiel, les équations différentielles linéaires, la compacité, les séries entières et les intégrales. Le fil conducteur est l'étude des fonctions harmoniques jusqu'au problème de Dirichlet dans le disque.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 2 MP 2018 ?

La division par une fonction non identiquement nulle qui peut s'annuler, l'oubli des dérivées partielles croisées, des erreurs sur la périodicité de cos(√λ x) et des justifications réduites à « par théorème ».

Le sujet Centrale Maths 2 MP 2018 est-il difficile ?

Les parties I et II contiennent beaucoup de questions abordables, mais le jury juge la partie IV d'un niveau bien plus élevé et la partie V très difficile. La question 36 n'a été correctement argumentée que dans 10 copies.

Peut-on faire une bonne note en Centrale Maths 2 MP 2018 sans finir le sujet ?

Oui : le jury rappelle qu'il n'est pas nécessaire d'aborder toutes les questions pour avoir une très bonne note. Il valorise les copies qui avancent de façon presque linéaire et argumentent soigneusement.

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