Sujet X ENS Mathématiques B Annulée MP 2018, épreuve BIS

CONCOURS D'ADMISSION 2018
FILIÊRE MP

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dans ce problème, N, M et P désignent des entiers naturels non nuls. Soit ℳ_(N, M)(ℝ) l'ensemble des matrices réelles à N lignes et M colonnes. Si A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ N, 1 ⩽ j ⩽ M) ∈ ℳ_(N, M)(ℝ), on note

Il s'agit d'une norme sur ℳ_(N, M)(ℝ). On note ℳ_N(ℝ) = ℳ_(N, N)(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille N et on identifie ℝ^N à l'espace vectoriel des matrices colonnes réelles ℳ_(N, 1)(ℝ). L'espace vectoriel ℝ^N est ainsi également normé : si X = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ N) ∈ ℝ^N, ‖X‖ = max_(1 ⩽ i ⩽ N)|x_i|.
Si n ∈ ℕ est un entier naturel et I un intervalle de ℝ, on note 𝒞^n(I) l'espace vectoriel des fonctions sur I, à valeurs réelles, de classe 𝒞^n, c'est à dire n fois dérivables sur I et dont la n-ième dérivée est continue sur I.
On munit 𝒞^0([0, 1]) de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par :

On note |S| le cardinal d'un ensemble fini S. Pour tout nombre réel a, on note ⌊a⌋ la partie entière de a, c'est-à-dire le plus grand entier n ∈ ℤ tel que n ⩽ a.

Dans cette partie, on considère p ∈ 𝒞^0(ℝ), et x ∈ 𝒞^2(ℝ) une solution non nulle de l'équation différentielle :

On note 𝒵 = {t ∈ [0, 1]|x(t) = 0} l'ensemble des zéros de x sur [0, 1].
1a. Soit s ∈ [0, 1] tel que x(s) = 0. Montrer que x^′(s) est non nul.

1b. Montrer que 𝒵 est fini.
2. On pose n = |𝒵|. On suppose dans cette question que n ⩾ 2. On note a_1, …, a_n les zéros de x, rangés en ordre croissant. Soit q ∈ 𝒞^0(ℝ) tel que

On considère une fonction y ∈ 𝒞^2(ℝ) telle que

On fixe j ∈ {1, …, n − 1}. Le but de cette question est de montrer que y s'annule sur ]a_j, a_(j + 1)[.

2a. On suppose d'abord que

et on note

Montrer que w(a_(j + 1)) > w(a_j). En déduire une contradiction.
2b. Montrer qu'il existe t ∈ ]a_j, a_(j + 1)[ tel que y(t) = 0.
On fixe dans toute la suite du sujet p ∈ 𝒞^0(ℝ). Pour tout réel λ, on note x_λ ∈ 𝒞^2(ℝ) l'unique solution de

3a. On considère une fonction f : [0, T] → ℝ continue telle que

Montrer que pour tout t ∈ [0, T], f(t) ⩽ ae^(bt).
On pourra étudier les variations de la fonction définie par t ↦ φ(t) = e^(− tb)(a + b∫_0^t f(s)ds).
3b. On considère une fonction X : [ − T, T] → ℳ_(N, M)(ℝ) de classe 𝒞^1 telle que

Montrer que pour tout t ∈ [ − T, T], ‖X(t)‖ ⩽ (‖X(0)‖ + aT)e^(b|t|).
4. Soit A ∈ ℳ_(N, M)(ℝ) et B ∈ ℳ_(M, P)(ℝ). Montrer que ‖AB‖ ⩽ ‖A‖‖B‖.

On note X_λ(t) = ((x_λ(t))/(x_λ^′(t))) et on définit l'application Φ : ℝ^2 → ℝ^2; (λ, t) ↦ X_λ(t).
5. Montrer que X_λ est de classe 𝒞^1 sur ℝ et que pour tout t ∈ ℝ, X_λ^′(t) = A_λ(t)X_λ(t) où A_λ(t) est une matrice de ℳ_2(ℝ) que l'on précisera.

Dans les question 6, 7 et 8, on se donne R > 0 et on note

7a. Soit (s, t, λ) ∈ [ − R, R]^3. Montrer que

7b. Soit (t, λ, μ) ∈ [ − R, R]^3. Montrer que

7c. Conclure que Φ est continue sur ℝ^2.
8a. Montrer qu'il existe une fonction ω : ℝ^+ → ℝ^+croissante, continue, et telle que ω(r) → 0 quand r → 0 et

8b. Montrer qu'il existe une fonction α : ℝ^+ → ℝ^+continue telle que α(r) = o(r) quand r → 0 et

8c. Pour tout μ ∈ ℝ, on définit la fonction Y_μ : ℝ → ℝ^2, solution de l'équation différentielle

Montrer que

8d. Montrer que Φ est différentiable sur ℝ^2 et préciser sa différentielle.
9. On note B_λ = (0, 1; − λ, 0). Montrer que pour tout t ∈ ℝ,

10a. Montrer que

10b. En déduire que

On note Z_p l'application qui à λ ∈ ℝ associe le nombre de zéros de x_λ sur ]0, 1], autrement dit

On remarquera que ce décompte ne tient pas compte de 0 , qui est toujours un zéro de x_λ.
11. Montrer que si pour tout t ∈ [0, 1], q(t) < p(t), alors Z_p(λ) ⩽ Z_q(λ). En déduire que Z_p est croissante sur ℝ.
Montrer que si λ < μ et x_μ(1) = 0, alors Z_p(μ) ⩾ Z_p(λ) + 1.
12. On suppose dans cette question uniquement que p est une fonction constante. Calculer x_λ, puis déterminer Z_p(λ) en distinguant selon les valeurs de λ et p.
13. Soit

13a. Justifier que p_+et p_−sont des réels bien définis.
Montrer que si λ < p_−, alors Z_p(λ) = 0, et que si λ ⩾ p_−, alors Z_p(λ) ⩽ ⌊(√(λ + 1 − p_−))/π⌋.
13b. Montrer que si λ ⩾ 1 + p_+, alors ⌊(√(λ − 1 − p_+))/π⌋ ⩽ Z_p(λ).
Montrer que si de plus x_λ(1) = 0, alors ⌊(√(λ − 1 − p_+))/π⌋ + 1 ⩽ Z_p(λ).
14. On fixe dans cette question μ ∈ ℝ. On note k = Z_p(μ), et (t_j)_(0 ⩽ j ⩽ k) les zéros de x_μ rangés en ordre croissant :

Pour ε > 0, on pose

et

14a. Montrer qu'il existe trois réels ε, θ, η > 0 tels que les conditions suivantes sont vérifiées
(1) pour tout j ∈ {0, …, k − 1}, on a t_(j + 1) − t_j ⩾ 2ε et si t_k < 1, alors t_k + ε ⩽ 1,
(2) si |λ − μ| < θ, alors |x_λ^′(t)| ⩾ η pour tout t ∈ A_ε et |x_λ(t)| ⩾ η pour tout t ∈ B_ε.

On pourra utiliser la continuité de la fonction Φ obtenue à la question 7c.
Jusqu'à la fin de la question 14, on fixe λ ∈ ℝ tel que |λ − μ| < θ.
14b. Montrer que pour tout j ∈ {0, …, k}, x_λ a au plus un zéro t tel que |t − t_j| < ε. Montrer que si de plus j ⩾ 1 et t_j < 1, x_λ a exactement un zéro t tel que |t − t_j| < ε.

14c. Montrer que si x_μ(1) ≠ 0, alors Z_p(λ) = Z_p(μ).
14d. Montrer que si x_μ(1) = 0, alors Z_p(λ) = Z_p(μ) − 1 pour λ < μ et Z_p(λ) = Z_p(μ) pour λ ⩾ μ.
15. Montrer que {Z_p(λ)|λ ∈ ℝ} = ℕ.

On pose, pour k ∈ ℕ^∗, λ_k:=sup{λ|Z_p(λ) = k − 1}.
16a. Justifier que la suite (λ_k)_(k ⩾ 1) est bien définie, croissante et tend vers + ∞.
16b. Montrer que x_(λ_k)(1) = 0 et que x_(λ_k) a exactement k zéros sur ]0, 1].
17. Soit k ∈ ℕ^∗ tel que λ_k ⩾ 1 + p_+.

17a. Donner une minoration et une majoration de k en fonction de λ_k − p_−et λ_k − p_+.
17b. En déduire que √(λ_k) = πk + O(1/k) quand k → + ∞.
17c. Donner un équivalent de N(λ):=|{k ∈ ℕ^∗|λ_k ⩽ λ}| quand λ → + ∞.

On suppose dans toute cette partie que p est une fonction de classe 𝒞^1.
Le but de cette partie est de préciser les estimations obtenues dans la partie précédente, dont on reprend les notations.
18. On suppose dans cette question que λ > 0. On définit la fonction S_λ : ℝ → ℝ, t ↦ sin(√λt), et si f ∈ 𝒞^0([0, 1]), on pose

18a. Montrer que cette formule définit une application linéaire continue I_λ de l'espace vectoriel normé 𝒞^0([0, 1]) dans lui même, et montrer qu'il existe un réel K > 0 tel que

18b. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗,

où r_(n, λ) ∈ 𝒞^0([0, 1]) et qu'il existe un réel C_n > 0 tel que

18c. Montrer que, quand k → + ∞,

18d. On note ε_k = √(λ_k) − πk. Montrer qu'il existe un réel α ∈ ℝ, que l'on précisera, tel que

18e. Montrer qu'il existe un réel β ∈ ℝ, dépendant seulement de p et que l'on précisera, tel que

18f. Montrer qu'il existe un réel γ, dépendant seulement de p et que l'on précisera, tel que :

où R_k ∈ 𝒞^0([0, 1]) vérifie