X ENS Physique SI MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR - (X)

Figure 1 - Un type de fusible auto-réarmable (Bel Fuse, Inc. - 120 V 1 A ) : 20, 1 × 11, 5 × 4, 1 mm^3 (épaisseur, hors du plan de la figure).

Première partie Étude d'un dispositif de protection contre les surintensités

1 Équations de fonctionnement.

1. Nous avons implicitement supposé que les grandeurs T et E décrivant l'état du dipôle sont invariantes selon les directions orthogonales à l'axe( Ox ). Préciser à quelles conditions on s'approche électriquement et thermiquement de cette situation.

Figure 2 - Système constitué du générateur G(U_G, R_G) et du dipôle ohmique soumis à la différence de potentiel U = V_A − V_B ≥ 0 et traversé par le courant I. Le milieu extérieur est maintenu à la température T_e.

2. Justifier que le courant I est indépendant de x. Nous noterons J = I/S le courant par unité de surface.
3. Préciser la symétrie spatiale que présentent la répartition de température T(x, t) et celle du champ électrique E⃗(x, t). On procédera avec rigueur en détaillant le raisonnement conduit.
4. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température en considérant sa dépendance temporelle. On fera apparaître le courant par unité de surface J.
5. Établir la loi d'Ohm pour le dipôle. En déduire l'expression de sa résistance R (sous forme d'une intégrale).
6. Écrire l'équation de fonctionnement du générateur reliant U à I.
7. Déduire des résultats précédents (questions (5) et (6)) l'expression du courant par unité de surface J en fonction de U_G, R_G, R et S.

2 Étude du régime stationnaire.

• Nous envisageons ici une situation telle qu'il devient légitime d'écrire la conductivité électrique sous la forme d'un développement limité au premier ordre relativement à l'écart de température :

9. Attribuer une signification physique au rapport K.
10. Établir que l'équation thermique et l'expression de R, avec ces nouvelles variables, au premier ordre relativement à εY, deviennent :

• Nous recherchons la solution de l'équation thermique sous la forme d'un développement limité au premier ordre par rapport au paramètre ε :

• L'intégration du système d'équations différentielles obtenu, respectant les conditions aux frontières adoptées, conduit à la fonction Y :

14. Exprimer Δ dans chacun des deux cas limites où le générateur G se comporte comme une source idéale de tension (cas G_U ) ou comme une source idéale de courant (cas G_I ). On notera Δ respectivement Δ_U et Δ_I.

• La résistance du dipôle, issue de cette modélisation, s'écrit :

15. Illustrer, dans le plan (x = I, y = U), la construction graphique du point de fonctionnement P adopté par le système générateur-résistance dans le milieu extérieur. Nous supposerons ε > 0.
16. Préciser la situation de la fonction Y (équation (5)) par rapport à la fonction Y_0, dans chacun des deux cas G_U et G_I. Justifier physiquement ces résultats. On pourra raisonner sur la détermination graphique du point de fonctionnement (question (15)) dans les situations G_U et G_I. Nous supposerons ε > 0.

3 Analyse de la stabilité du point de fonctionnement.

• La température du dipôle est uniforme, égale à sa température moyenne, notée maintenant simplement T;
• La résistance R du dipôle est une fonction de T;
• La dépendance R = R(T) est caractérisée par le coefficient α = α(T) défini par : α = 1/R(dR)/(dT);
• Le flux thermique par unité de surface traversant la frontière du dipôle, vers l'extérieur, s'écrit φ = h(T − T_e). Le coefficient h (supposé constant) rend compte synthétiquement du processus complexe d'échange thermique à l'interface solide-fluide.
  Nous notons Z^⋆ une grandeur Z relative à l'état présumé stationnaire. En particulier, nous posons T = T^⋆ + θ.

17. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température T. On posera C = 2caS.
18. Établir que cette équation différentielle, développée linéairement dans le voisinage de l'état présumé stationnaire, fait apparaître une équation algébrique (notée EQ^⋆ ) définissant l'équilibre (grandeurs étoilées), que l'on précisera, ainsi que l'équation différentielle associée :

19. Commenter l'influence, sur la stabilité de l'équilibre supposé, des termes intervenant dans l'expression du facteur k.
20. Compléter cette analyse en étudiant les cas limites où le générateur fixe la tension U (cas G_U ) et celui où il fixe le courant I ( cas G_I ).

• Nous nous proposons maintenant d'étudier le cas général pour lequel le générateur ne fixe ni la tension, ni le courant. Nous supposons α = Cste > 0. Nous notons R_e = R(T_e) et posons r = R/R_G en adoptant r_e = R_e/R_G < 1 (par exemple r_e = 1/4, pour fixer un ordre de grandeur).

21. En explicitant la constante A (en fonction de U_G, R_G, h et S ) et la fonction f, écrire l'équation différentielle obtenue en réponse à la question (17) sous la forme :

22. Justifier, au vu de la dépendance de la fonction f avec r, que la température est nécessairement bornée.
23. Justifier que la construction graphique relative à la question (15) corrobore ce résultat.

• Il s'agit maintenant d'étudier l'évolution de la température à partir de l'instant de "branchement" du générateur. Nous allons illustrer graphiquement cette évolution, depuis la situation initiale ( T(t = 0^+) = T_e, r(t = 0^+) = r_e ), immédiatement après branchement du générateur, vers la situation d'équilibre ( T^⋆, r^⋆ ), dans le repère à quatre cadrans représenté figure ( 3 ). Notons que l'axe vertical ascendant porte une double échelle : à droite elle se rapporte à Af(r) (fonction de r - cadrant (2)), à gauche à T − T_e (fonction de T - cadrant (3)). Le cadrant (1) représente la fonction r = r(T). Le cadrant (4) permet simplement le report de la température de l'axe vertical descendant sur l'axe horizontal gauche.

Figure 3 - Repère à quatre cadrans permettant d'illustrer l'évolution de la température T depuis la situation initiale ( T_e, r_e ) (immédiatement après branchement du générateur) à la situation d'équilibre ( T^⋆, r^⋆ ). L'évolution représentée dans le cadrant (2) est paramétrée par la constante A.

24. Exprimer la dépendance de r avec T. On fera apparaître T_e et r_e.
25. Reproduire le graphe à quatre cadrans de la figure (3). Pour les trois températures T_e < T_1 < T_2 qui y sont repérées, représenter les points correspondants dans les cadrans (1), (2) et (3) (légende : o pour T_e, ◻ pour T_1, ∙ pour T_2 ).
26. En déduire la situation d'équilibre dont on repérera par une étoile ( ⋆ ) les points correspondants dans chacun de ces trois cadrans. On précisera le raisonnement ayant conduit à sa détermination.
27. Déterminer à quelle condition r^⋆ > 1.
28. Ce couplage thermique-électrique (dans le cas α > 0 ) est mis à profit pour réaliser des fusibles auto-réarmables (voir le paragraphe introductif). Le dipôle résistif est alors placé en série avec la charge à protéger des surintensités. Nous supposons maintenant que la résistance R_G joue le rôle de cette charge (le générateur G devenant alors idéal). Justifier le choix r_e < 1 et, idéalement en pratique, r_e≪1.
29. Imaginons que la surintensité est due à une élévation accidentelle de U_G. En s'appuyant sur les réponses apportées aux questions (25) et (26), expliquer le principe de fonctionnement d'un tel fusible.

• À titre d'information, le matériau constituant un fusible auto-réarmable se présente comme une matrice polymérique chargée de particules de carbone. À basse température, cette matrice adopte une structure cristalline qui offre l'ordre et la proximité nécessaires à ces particules pour assurer efficacement la conduction électrique. À plus haute température, la structure transite vers une phase amorphe qui ne présente plus ces qualités. La figure (4) représente la dépendance expérimentale de la résistance d'un tel composant avec sa température. On remarquera que cette dépendance particulière de sa résistance avec la température lui permet de très bien assurer sa fonction (identifée en réponse à la question (29)).

Figure 4 - Variation de la résistance d'un fusible auto-réarmable avec sa température (sur un domaine restreint de variation de sa résistance).

Seconde partie Étude du flambement, sous chargement extérieur, d'une membrane fine gonflée

1 Modèle simplifié de flambement de coque.

Figure 1 - Exemple de couverture en membrane ETFE.

Figure 2 - Schéma d'un coussin ETFE : 1- membrane supérieure, 2- membrane inférieure, 3- cadre de fixation du coussin, 4- système d'injection d'air, 5- système de purge d'air en cas de surpression.

1.1 Première approche du flambement : déplacement du sommet de la coque mince modélisée par un système à 1 degré de liberté.

1. Nous considérons d'abord le cas F = 0. Établir l'équation d'équilibre du système à partir d'un raisonnement énergétique.
2. Discuter la situation des positions d'équilibre du système selon la valeur du rapport a/ℓ. On commentera brièvement ces résultats.
3. Étudier la stabilité des positions d'équilibre.

• Nous supposons dorénavant a/ℓ > 1 et que la force F⃗(|F⃗| ≠ 0) appliquée à la structure est indépendante de la position du point B.

4. Construire, à partir d'un bilan énergétique, la grandeur W(y) dont le minimum caractérise l'état d'équilibre du système.
5. Nous posons Y = y/ℓ, A = a/ℓ(A > 1), E^⋆ = 1/2kℓ^2, α = F/(kℓ) et Ψ(Y) = (W(y))/(E^⋆). Exprimer la grandeur Ψ à l'aide de Y, A et α.

Figure 3 - Modèle élastique pour l'étude du flambement de la membrane supérieure du coussin ETFE.

Figure 4 - Modèle élastique réduit à un seul ressort.

6. Donner l'allure de la représentation graphique de ψ pour deux valeurs (positives) du paramètre α illustrant les deux types de situation envisageables.
7. Écrire l'équation d'équilibre sous la forme Φ(Y) = α.
8. Préciser l'équivalent de Φ pour Y → ± ∞ et celui pour Y → 0. Exprimer les zéros de cette fonction.
9. En s'appuyant sur ces résultats, esquisser l'allure de la représentation graphique de Φ.
10. Indiquer comment résoudre graphiquement l'équation d'équilibre.
11. Commenter, à partir de cette analyse graphique, les différentes situations d'équilibre du système.
12. Notons α_1 une valeur de α telle qu'il n'existe qu'une seule position d'équilibre Y_(eq1), avec Y_(eq1) > 0. Donner l'aspect graphique de la dépendance de Y_(eq) (de l'équilibre stable) avec α lorsque ce paramètre évolue de α_1 à − α_1. Le phénomène de saut qui apparaît sur ce tracé est la manifestation d'une instabilité appelée flambement.

1.2 Détermination des paramètres du modèle élastique.

Figure 5 - Élément [z, z + dz] du tube modélisant la membrane soumise à la différence de pression.

Figure 6 - Géométrie du tronçon élémentaire. Les tensions linéiques T_0 et T_0^′ sont supposées indépendantes de z.

14. Nous identifions la longueur à vide a du ressort, introduite dans la partie précédente (figure (4)), à la distance entre le point de fixation M (ou N ), et le sommet J du dôme formé par la membrane gonflée (figure (6)). Exprimer a en fonction de ℓ et R.
15. Exprimer a/ℓ à l'ordre deux en ℓ/R.

• On propose maintenant de déterminer la raideur du coussin ETFE gonflé, sous chargement de type neige. Considérons alors que le coussin ETFE gonflé est soumis à une charge linéique uniforme − q dzu⃗_y[ N ⋅ m^(− 1)]. Cette charge produit une déflexion de la membrane, par rapport à sa configuration sans charge. En vue de déterminer cette déflexion, nous considérons un modèle simplifié où la géométrie sans charge serait plane. La différence de pression P et la courbure sont simplement traduites par leur conséquence, c'est-à-dire la présence de tensions T_0 dz et T_0^′ dz appliquées aux extrémités d'un tronçon [z, z + dz] de membrane. On supposera ainsi que la charge de neige est négligeable devant la pression de gonflement, c'est-à-dire q≪P, afin que les tensions T_0 dz et T_0^′ dz soient identiques à celles trouvées en question 13. Sa déflexion est notée f = f(x), comptée positivement suivant − u⃗_y. La figure (7) illustre le passage de la géométrie réelle courbe à la géométrie simplifiée plane de la membrane. La figure (8) détaille le système finalement étudié. La figure (9) isole un élément [ x, x + dx ] de ce système.

Figure 7 - Simplification géométrique adoptée de la configuration de membrane sous chargement.

Figure 8 - Déflexion f = f(x) du tronçon [z, z + dz] de membrane soumise à la charge linéique uniforme − q dzu⃗_y( avec ‖T⃗_0‖ = ‖T⃗_0^′‖).

Figure 9 - Élément [x, x + dx] du tronçon de membrane représenté figure (8).

16. Établir les relations d'équilibre de l'élément [x, x + dx] représenté figure (9).

• Dans toute la suite, nous supposons |α|≪1.

17. Démontrer que la tension linéique est uniforme. L'exprimer en fonction de P et R.
18. Exprimer la déflexion f = f(x) en fonction de x et des paramètres q, T_0 et ℓ.
19. Exprimer la déflexion maximale f_M en fonction de q, P, R et ℓ.
20. Nous identifions la déflexion maximale f_M de la membrane au déplacement du point B sous l'action de la force F⃗ = - qℓLu⃗_y (voir figures (3) et (4)). Déduire de cette analogie l'expression de la raideur k. On donnera cette expression en fonction de P, R, L, ℓ, h et D = R(1 − cosθ) (voir figure (6)). On supposera f_M≪D.

1.3 Analyse du système de contrôle-commande du gonflement du coussin ETFE.

1.3.1 Modèle sans groupe de pompage.

21. Établir l'équation, en grandeurs de LAPLACE, décrivant ce dispositif de régulation pour h_ℓ ≤ h(t) ≤ h_c.

Figure 10 - Schéma du système de régulation du réservoir sans groupe de pompage.

22. Représenter le schéma fonctionnel correspondant.
23. Le réservoir est initialement plein (h(0) = h_c). On étudie la réponse du système à un créneau de vidange défini par la séquence :

1.3.2 Modèle avec groupe de pompage.

Figure 11 - Schéma fonctionnel du groupe motopompe.

Figure 12 - Structure générale du dispositif de régulation du niveau h avec groupe de pompage.

27. Exprimer la fonction de transfert du système de régulation du réservoir définie par le rapport :

28. Représenter le schéma fonctionnel du système global de régulation du niveau du réservoir en notation de LAPLACE.
29. Déterminer la limite pour t → ∞ de la hauteur h en réponse à un échelon de débit de fuite tel que :

30. Commenter le résultat précédent. Proposer une modification simple du système de régulation afin que cette limite se fixe sur h_c.