X ENS Physique SI MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

VENDREDI 19 AVRIL 2019-14h00-18h00 FILIÈRE MP (Spécialité P&SI)
Épreuve n ^∘4

PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR (X)

Partie Physique Étude du phénomène de reptation thermique

• si |tanφ| < f, on n'observe pas de glissement entre les deux solides, au point de contact;
• si |tanφ| = f, il apparaît du glissement au point de contact. La vitesse de glissement v⃗ du solide (1) par rapport au solide (0) vérifie alors v⃗ ∧ T⃗ = 0→ et v⃗ ⋅ T⃗ < 0.
  La grandeur sans dimension positive f représente le coefficient d'adhérence entre les deux surfaces. Il est indépendant de l'aire apparente de la surface de contact. On entend par aire apparente l'aire définie par les dimensions de la surface.

Figure 1 - Décomposition de la force R⃗ qu'exerce le solide (0) sur le solide (1) au point de contact M. Le vecteur n⃗ est normal au plan tangent (P) aux surfaces de contact (locales), en M.

1 Conditions d'équilibre d'un solide sur un plan incliné.

1. Le solide (1) est supposé, a priori, à l'équilibre. Exprimer N_A, N_B et la somme T_A + T_B. On fera apparaître le rapport q. Notons que le nombre d'inconnues excède celui des équations.

FIGURE 2 - Solide parallélépipèdique reposant sur un plan incliné d'un angle θ(θ ∈ [0, + π/2[) par rapport au plan horizontal. Les grandeurs x_A et x_B représentent les abscisses des arêtes A et B du solide (1).

2. Établir les conditions que doit satisfaire tanθ pour que l'équilibre du solide soit effectif.

• Dans toute la suite, nous supposerons que f < 1/q.

• Nous notons Z_A = T_A/N_A et Z_B = T_B/N_B l'état d'adhérence de chacun des contacts A et B.

3. Établir que les variables Z_A et Z_B vérifient l'équation:

2 Reptation thermique.

• Nous ne tiendrons pas compte de l'effet (du second ordre) des variations de température sur le rapport q.

8. Toujours en complétant le tracé réalisé en réponse à la question (4), situer le point S_0 de D correspondant à la situation initiale.

Figure 3 - Cycles thermiques subis par le solide (1).

9. Indiquer, en précisant le raisonnement tenu, la conséquence du chauffage du solide (1) sur le déplacement du point S(Z_A, Z_B) depuis sa situation S_0.
10. Représenter qualitativement, en correspondance des cycles thermiques représentés figure (4), l'évolution temporelle de chacune des abscisses x_A et x_B des arêtes A et B du solide (1). Nous supposons que l'amplitude thermique ΔT est suffisante pour faire apparaître du glissement, tantôt au niveau du contact A , tantôt au niveau du contact B .

Figure 4 - Figure à reproduire pour illustrer l'évolution temporelle des abscisses x_A et x_B des arêtes A et B du solide (1) en réponse aux cycles thermiques T = T(t).

• En vue de déterminer la condition que doivent satisfaire conjointement l'amplitude ΔT et l'angle θ pour assurer l'apparition du phénomène de reptation thermique, nous modélisons le comportement des contacts A et B comme le représente la figure (5). Chacun des contacts A et B du solide (1) avec le plan (0) s'établit par l'intermédiaire d'un patin en liaison élastique linéaire avec le solide (1). Le contact des patins (notés (1A) et (1B) sur la figure (5)) et le plan (0) respecte les relations de Amontons-Coulomb avec le coefficient d'adhérence f précédemment introduit. La raideur de chacun des éléments élastiques intervenant dans les liaisons (1)-(1A) et (1)-(1B) est notée k. Les variables u_A et u_B situent, relativement à la configuration neutre, la position des patins par rapport au solide (1). Le triplet ( T, u_A, u_B ) définit l'état mécanique et thermique des contacts. Le triplet ( T^⋆, u_A^⋆, u_B^⋆ ) caractérise un état de référence.
  Nous adoptons, pour décrire la dépendance d'une dimension L d'un solide parallélépipèdique avec sa température T, la relation linéaire :

• Nous nous plaçons dans la situation telle qu'aucun des patins ne glisse lors du passage de l'état de référence ( T^⋆, u_A^⋆, u_B^⋆ ) à l'état ( T, u_A, u_B ), conséquence de l'évolution de la température de T^⋆ à T.

Figure 5 - Chacun des contacts A et B du solide (1) avec le plan (0) est modélisé par un patin, (1A) ou (1B), lié élastiquement au solide (1). Chaque patin est susceptible de glisser sur le plan (0) dans les conditions fixées par les relations de Amontons-Coulomb. On notera que le vecteur g⃗ est incliné dans le repère ( O, x, z ).

12. Relier la différence Z_A(T) − Z_B(T) aux écarts Z_A^⋆ − Z_B^⋆ et T − T^⋆.

• Le phénomène de reptation thermique peut être constaté (hors laboratoire) sur des toitures (peu pentues) recouvertes de tuiles plates ou d'ardoises simplement posées, soumises aux cycles d'ensoleillement.

3 Modèle microscopique du contact entre deux solides.

FIGURE 6 - Un modèle de contact, à l'échelle microscopique, entre deux surfaces.

FIGURE 7 - Diagramme (à reproduire et compléter) des forces agissant sur le solide (1). L'inclinaison de la denture est indiquée par la figure en trait pointillé.

19. Déduire de ce diagramme le coefficient d'adhérence f, apparaissant à l'échelle macroscopique, correspondant à ce modèle. On précisera le raisonnement tenu.
20. Imaginons que l'opérateur extérieur applique la force F⃗ = Fu⃗_x par l'intermédiaire d'une ficelle et fait croître très progressivement le module de cette force. Représenter graphiquement l'évolution de la composante F, en fonction de l'abscisse x du solide (1) par rapport au solide (0), lorsque l'opérateur fait progresser le solide (1) d'un pas à droite, et de telle manière que le travail W_(op) qu'il doit fournir soit minimal. On indiquera sur ce graphique les valeurs particulières qui apparaissent.
21. Exprimer le travail W_(op). Analyser ce résultat.
22. Nous considérons que le solide (1) se retrouve de nouveau au repos après le passage d'un motif de denture. Indiquer pourquoi cela revient à introduire, dans ce modèle, implicitement de la dissipation. Préciser comment cette dissipation se manifeste à l'échelle macroscopique.

• Justifions, dans un cadre que nous allons définir, que l'adhérence entre deux solides ne dépend pas de la surface apparente (ou macroscopique) de contact. Nous supposons que les solides sont en contact par un ensemble de micro-surfaces. Ces micro-surfaces résultent de l'écrasement de pics (irrégularités microscopiques de rugosité) sous l'action de l'effort N⃗, comme l'illustre la figure (8). La surface du solide (1) en regard avec le solide (0) est supposée plane, d'aire notée S. Il s'agit de la surface apparente de contact. Celle du solide (0) est constituée d'un réseau de pics émoussés sur lesquels repose le solide (1). Nous notons s l'aire moyenne d'un îlot de contact. Enfin, nous admettons que la pointe initiale d'un pic, sous l'action de l'effort qu'elle supporte, s'émousse jusqu'à offrir une surface telle que la force par unité de surface ^3 qu'elle subit atteigne, en décroissant, une valeur de seuil ^4 σ_s (propre au matériau).

23. Établir que la surface réelle de contact S^′ entre les deux solides est indépendante de la surface apparente S.
24. Nous partons du principe que l'adhérence entre deux solides est une conséquence de l'interaction à courte portée s'établissant entre les atomes des deux surfaces en contact. Argumenter ce point de vue au regard des relations phénoménologiques de Amontons-Coulomb.
25. Indiquer comment varie alors le coefficient d'adhérence f avec σ_s. Commenter brièvement ce résultat.

Figure 8 - Le contact entre les solides s'établit par l'intermédiaire de micro-surfaces (îlots de contact). Dans ce modèle, seule la surface du solide ( 0 ) présente un réseau de pics. Sous l'action de la force d'appui N⃗, la pointe de chacun des pics s'est émoussée pour former un îlot de contact d'aire s suffisante pour que cesse cet écrasement.

26. En conservant le principe général de dentures en prise l'une sur l'autre, proposer une évolution du modèle représenté figure (6) permettant de faire apparaître un comportement élastique (linéaire) du contact entre les solides. En introduisant les paramètres géométriques nécessaires, préciser alors l'expression de la raideur k (intervenant sur la figure (5)), puis celle du rapport β (défini à la question (12)), qui correspondraient à cette modélisation des contacts. Enfin, donner l'expression du coefficient d'adhérence f associé.

Partie Sciences de l'ingénieur Étude de l'interaction entre le pantographe d'un train et le système caténaire

Figure 1 - Structure générale du système caténaire.

Figure 2 - Structure détaillée du pantographe de Faiveley Transport (Type Cx).

1 Étude de la déformée statique du câble porteur.

Figure 3 - Photographie d'un fil de contact (à gauche). Sa section est modélisée par un disque de diamètre D (à droite).

1. Nous supposons que le seul chargement appliqué sur le câble porteur est le poids du fil de contact transmis par les suspentes. Déterminer l'effort moyen F auquel est soumis une suspente, en fonction de la distance d, du diamètre D du fil de contact, de l'accélération de la pesanteur g et la masse volumique ρ du cuivre. Calculer la valeur de cette force pour L = 50 m, N = 9, D = 3 cm, ρ = 9000 kg ⋅ m^(− 3) et g = 10 m ⋅ s^(− 2).

• Nous décomposons le câble porteur en N + 1 tronçons de longueur d. La figure (4) représente la déformation d'ensemble du câble ainsi que l'une de ses portions au niveau d'un point (nœud S_i ) supportant une suspente. Nous notons θ_i et θ_(i + 1), respectivement les angles formés entre l'horizontale et les tronçons du câble porteur, avant et après le nœud S_i. De même, nous notons − T⃗_i et T⃗_(i + 1) les forces de tension transmises par le câble et auxquelles les tronçons situés de part et d'autre du nœud S_i sont soumis. Dans ce modèle le câble porteur est supposé sans masse et sans raideur de flexion (c'est-à-dire qu'il est supposé infiniment souple).

Figure 4 - À gauche : Déformation du câble porteur sous l'action des N forces transmises par les suspentes (ici, N = 7 ). À droite : Équilibre du nœud S_i sous l'action des efforts de tension − T⃗_i et T⃗_(i + 1) transmis par le câble, et de la force F⃗ transmise par la suspente i.

2. Établir les deux équations algébriques traduisant l'équilibre du nœud S_i.
3. Nous nous plaçons désormais dans le cas tel que ∀i, |θ_i|≪1. Exprimer l'angle θ_i en fonction de θ_1, i, F(F ≥ 0) et du rapport f = F/T. La grandeur T(T > 0) désignant la tension à laquelle le câble est soumis.
4. Déterminer l'angle θ_1 puis exprimer θ_i en fonction du rapport f, du nombre N de suspentes et du paramètre de situation i.
5. Exprimer la déflexion maximale Δ(Δ ≥ 0) du câble porteur en fonction de d, f et N. On n'envisagera que le cas N impair.
6. Calculer la valeur de la déflexion maximale Δ pour T = 10^4 N.

2 Étude du comportement dynamique du pantographe.

Figure 5 - Modèle masse-ressort-amortisseur représentant le pantographe. Ce système mécanique est soumis à l'action du fil de contact agissant au point A (affectée de la masse mobile M ). Cette action est supposée agir selon une force verticale R⃗ = Re⃗_z(R ≥ 0). On notera que l'axe ( O, z ) est descendant.

7. Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable de position z du point A .

• Nous négligeons le terme d'amortissement du système ( c = 0 ).

8. Exprimer la composante R dans la situation où le point A suit la déformée u = u(x) du fil de contact.
9. Établir la condition que doit vérifier le rapport Q = Ω^2/ω^2 garantissant que le contact reste maintenu. On fera apparaître un rapport critique Q_c, fonction du rapport h/a. Analyser ce résultat.

• Par la suite, nous supposerons que l'on se situe dans le régime Q > 1.

10. Dans le cas où Q ne vérifie pas la condition de contact permanent, déterminer la phase Ωt_d correspondant à la rupture de contact du pantographe, ainsi que les position z_d et vitesse z˙_d associées.
    On posera α = (ω^2)/(Ω^2 − ω^2)h/a(α ≤ 1).
11. Nous posons τ = t − t_d. Préciser l'équation horaire z = z(τ) du mouvement du point A dans la phase qui suit le décollage et avant reprise du contact.
12. Nous supposons que Q≫1. Analyser le comportement du pantographe et sa conséquence sur les conditions de fonctionnement du train.

• Lorsque le coefficient d'amortissement c est pris en compte, la condition de non décollement prend la forme :

13. Proposer une interprétation du paramètre ε (ou de 1/√ε ).
14. À partir d'une interprétation graphique de cette condition indiquer si l'amortissement est un facteur favorisant le décollement ou au contraire le défavorisant.

3 Étude de la réponse dynamique verticale du pantographe.

Figure 6 - Modèle mécanique du pantographe et de l'ensemble caténaire (phase de mise en contact). Les positions des points A et B sont comptées depuis leur situation d'équilibre respective, sous la seule action de g⃗. Naturellement, avant l'entrée en contact de ces deux points, et en situation d'équilibre, z_2 = 0.

3.1 Étude de la phase de mise en contact du pantographe avec le fil de contact.

• Nous supposons que la force f(t) évolue selon un échelon tel que :

16. Exprimer la réponse z_1(t) dans le cas où l'on peut négliger tous les termes de la fonction de transfert faisant intervenir la masse M_1, devant ses autres termes (on remplacera simplement M_1 par 0 ). Nous poserons K = (k_0 k_1)/(k_0 + k_1), τ = (c_1)/(k_0 + k_1) et τ_1 = (c_1)/(k_1).
17. Préciser, qualitativement, comment serait modifiée cette réponse si la masse M_1 avait été prise en compte.
18. Nous posons β = Kb/f_0 et notons t_c le temps pour lequel le contact entre A et B s'établit (pour β < 1 ). Exprimer le rapport t_c/τ en fonction de β.
19. Le contact des points A et B étant établi, déterminer leur position d'équilibre commune z_(1eq)^′ que l'on exprimera en fonction de f_0, K, k_2 et b.

3.2 Étude de l'influence d'un défaut de positionnement vertical du fil de contact.

Figure 7 - Modèle mécanique de l'ensemble pantographe-fil de contact pendant la circulation du train. Le défaut d'altitude du fil de contact est représenté par la variable z~, relativement à la situation idéale (situation horizontale moyenne, sans défaut du point E ). La situation d'équilibre de référence reste celle se rapportant à la figure (6) et les paramètres qui interviennent sont définis dans le texte se rapportant à cette figure.

• Le tracé du rapport |G(iω)/G(0)| est représenté figure (8).

Figure 8 - Rapport |G/G(0)| en fonction de ω.

22. Analyser, à partir du tracé de la figure (8), le comportement mécanique de ce système. Indiquer ce que ce tracé permet d'inférer des différents temps caractéristiques intervenant dans l'équation (5).
23. Établir le lien entre la vitesse V du train et la longueur d'onde λ du défaut de hauteur qui permet d'identifier un risque potentiel de perte de contact.
    Pour un train roulant à V = 360 km ⋅ h^(− 1) préciser la valeur de la longueur d'onde susceptible de provoquer une perte de contact.