Pompe à chaleur : cycle thermodynamique sur diagramme de Mollier, cinématique du compresseur et asservissement en température
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Le sujet de physique et sciences de l'ingénieur de l'X MP 2012 étudie une pompe à chaleur en trois parties indépendantes. La première, plus physique, construit le cycle du fluide sur un diagramme de Mollier et analyse le compresseur ; les deux suivantes, orientées sciences de l'ingénieur, comparent deux technologies de compresseur puis modélisent la régulation de la température du local.
1Partie I : thermodynamique de la pompe à chaleurLecture du diagramme de Mollier, construction du cycle sur document réponse, efficacité comparée à celle de Carnot, débit massique et travail du compresseur (questions 1 à 19).
2Partie II : différentes technologies de compresseurCinématique d'un système bielle-manivelle et d'un piston oscillant, débit instantané et comparaison des deux dispositifs (questions 20 à 25).
3Partie III : contrôle en températureSchéma-bloc, erreur statique et correcteur, fonction de transfert en variable de Laplace et réglage du système en boucle fermée (questions 26 à 33).
Difficulté moyenne. Le jury observe des parties traitées de façon homogène, une moyenne de 8,96 et des dernières questions de chaque partie qui ont départagé les meilleurs candidats.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Exploitation numérique du cycle · Calcul du travail de compression inachevé · Géométrie élémentaire du compresseur
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Les trois parties ont été traitées de manière homogène et les fins de partie ont fait la différence, ce que le jury interprète comme une bonne adéquation entre le sujet et la formation. Des erreurs sur des applications numériques simples et des oublis d'unités ont coûté des points à beaucoup de candidats. La qualité de rédaction et le respect de l'ordre des questions ont été pris en compte.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Exploitation numérique du cyclePartie I.2, question 9
Le tableau du document réponse est souvent incomplet et les calculs sans calculatrice ont posé problème ; le jury retient surtout les ordres de grandeur et les unités.
2
Calcul du travail de compression inachevé18, 19
Les questions 18 et 19 ont souvent été mal terminées, certains ne finissant même pas la partie théorique.
3
Géométrie élémentaire du compresseur21, 22, 23
La partie bielle-manivelle, l'une des plus simples, a fait buter beaucoup de candidats, jusqu'à des erreurs sur l'aire d'un disque.
4
Courbes sans axesPartie II
Une esquisse de courbe doit indiquer ses axes ; de nombreux candidats ont été sanctionnés alors que l'allure était juste.
5
Questions d'asservissement bâclées26, 27
Les questions élémentaires 26 et 27 reçoivent des réponses incomplètes ou imprécises, faute d'avoir lu l'énoncé en entier.
6
Résultat numérique sans unité
Une valeur numérique sans unité est comptée fausse.
Ce qui a été bien réussi
La partie I.1 sur le diagramme de Mollier a été bien traitée par près de 80 % des candidats.
Les questions 16 et 17 sur le cycle du compresseur sont relativement bien traitées.
La question 20 est bien traitée sur un grand nombre de copies.
Les questions 28 à 31 ont été réussies par la moitié des candidats.
Conseils du jury
Toujours accompagner une valeur numérique de son unité.
Traiter les questions dans l'ordre proposé et garder les notations de l'énoncé.
Rédiger un raisonnement clair et concis plutôt que d'énoncer seulement le résultat.
Lire l'énoncé en entier avant de répondre pour organiser ses réponses.
Approfondir les connaissances en thermodynamique, jugées trop superficielles.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR - (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Pompe à chaleur
La pompe à chaleur est un dispositif qui, en mode "chauffage" puise l'énergie thermique dans l'air, dans le sol ou dans l'eau des nappes phréatiques, pour la transférer vers le local à réchauffer. Elle est constituée d'un circuit fermé dans lequel circule un fluide caloporteur à l'état liquide, gazeux ou biphasé selon les éléments qu'il traverse. La circulation se fait en régime permanent; on néglige les variations d'énergies cinétique et de pesanteur.
Les trois parties de l'épreuve sont indépendantes et traitent successivement de la thermodynamique de la pompe à chaleur, d'une étude mécanique du compresseur et de la régulation thermique de l'installation.
1 Thermodynamique de la pompe à chaleur
1.1 Diagramme de Mollier
Le diagramme de Mollier (figure 1) représente le logarithme de la pression p en fonction de l'enthalpie massique h du fluide caloporteur et permet ainsi de représenter l'évolution de l'état thermodynamique du fluide au cours du cycle de la pompe à chaleur.
Montrer qu'à pression constante, la température T est une fonction croissante de h. Est-elle strictement croissante?
Comment lit-on sur ce diagramme ce qui se nommait autrefois la chaleur latente massique de vaporisation à la pression p ?
Cette question concerne les courbes isothermes dans le diagramme de Mollier.
Fig. 1: Diagramme de Mollier simplifié.
a) Quelle est a priori leur allure pour la phase liquide, supposée incompressible et indilatable?
b) Quelle est a priori leur allure pour la phase gazeuse, modélisée comme un gaz parfait ?
c) Quelle est a priori leur allure dans la zone de changement d'état?
4. Rappeler l'expression de la différentielle de l'enthalpie massique h, considérée comme fonction de l'entropie massique s et de la pression p. On notera v le volume massique.
5. Montrer que, dans le diagramme de Mollier, la pente des courbes isentropiques est positive.
6. Montrer que, sur une courbe isenthalpique du diagramme de Mollier, l'entropie est une fonction décroissante de la pression.
7. On note h_A et h_B les enthalpies massiques du fluide aux points A et B du circuit. Le fluide reçoit d'une part le travail massique utile, fourni par le compresseur, w (et qui ne comprend donc pas le travail des forces de pression nécessaire pour faire entrer et sortir le fluide du volume de contrôle), d'autre part l'énergie thermique q. Montrer que h_B − h_A = w + q.
1.2 Cycle de la pompe à chaleur
Le cycle de la pompe à chaleur se compose de quatre étapes (figure 2), en dehors desquelles les échanges thermiques ou mécaniques sont supposés nuls :
Compression : le gaz subit une compression adiabiatique et réversible qui l'amène de l'état (1) (p_1, T_1) à l'état (2) ( p_2, T_2 ). On note w le travail massique reçu par le fluide.
Condensation : le gaz se liquéfie totalement à pression constante p_2 jusqu'à la température T_3. Il cède de l'énergie à la source chaude, et l'on note q_(23) < 0 l'énergie massique échangée.
Détente : le fluide traverse un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges thermiques. La pression du fluide redescend jusqu'à p_1 et sa température vaut alors T_4.
Fig. 2: Cycle frigorifique d'une pompe à chaleur; les flèches épaisses indiquent le sens des transferts énergétiques.
Évaporation : le liquide s'évapore totalement à pression constante p_1 jusqu'à la température T_1. Il reçoit l'énergie massique q_(41) > 0 de la source froide.
Montrer que la phase de détente est isenthalpique.
Représenter sur un diagramme de Mollier ( lnp, h ) les quatre étapes du cycle, ainsi que les quantités q_(23), q_(41) et w.
Quelle est relation liant les quantités q_(23), q_(41) et w ? Représenter ces quantités sur le schéma de la question 9.
Justifier la définition de l'efficacité de la pompe à chaleur η = − q_(23)/w et montrer que η > 1.
Le Document Réponse représente le diagramme de Mollier d'un fluide caloporteur courant. Dans la perspective de vos réponses à la question 3, la phase liquide y apparaît-elle incompressible et indilatable? La phase gazeuse y apparaît-elle comme un gaz parfait?
On donne p_1 = 0, 3MPa, p_2 = 1MPa, T_1 = 5^∘C et T_3 = 0^∘C. Représenter le cycle correspondant dans le Document Réponse, à rendre avec votre copie. Pour chacun des points (1) à (4) du cycle, indiquer dans un tableau les valeurs numériques respectives de l'enthalpie massique, la pression et la température. Indiquer aussi l'état du fluide en chacun de ces points.
À partir du diagramme de Mollier, estimer numériquement l'efficacité de la pompe à chaleur. Comparer la valeur trouvée à celle qui correspondrait à un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures.
Calculer le débit massique du fluide permettant d'assurer une puissance de chauffage de 4 kW .
1.3 Cycle du compresseur
Fig. 3: Schéma de principe d'un compresseur (ici, en phase d'aspiration). Les éléments constitutifs en sont le cylindre, le piston, le clapet d'aspiration (A), le clapet de refoulement (R), la bielle et le volant.
Le compresseur, supposé parfaitement calorifugé, assure la circulation du fluide caloporteur entre les circuits basse pression et haute pression (figure 3). Le cycle du compresseur, supposé réversible, s'effectue en trois temps :
Aspiration : Le clapet (A) est ouvert et le clapet (R) fermé. Le piston, de section S, descend, le fluide pénètre dans le cylindre.
Compression : Les deux clapets sont fermés. Le piston monte. La pression du fluide augmente.
Refoulement : Lorsque la pression dans le cylindre atteint la pression p_2, (R) s'ouvre et le fluide est évacué sous la pression p_2, jusqu'au moment ou le piston atteint la fin de sa course. On suppose alors qu'il n'y a plus de fluide dans le cylindre (le volume dit mort est nul).
Puis, le clapet de refoulement se ferme et un nouveau cycle commence.
On suppose que la fermeture de (R), l'ouverture de (A) et la chute de la pression de p_2 à p_1 sont instantanées et simultanées.
En notant v_1 et v_2 les volumes massiques au début et à la fin de la phase de compression, représenter dans un diagramme ( p, v ) les trois phases de fonctionnement du compresseur.
Comment détermine-t-on, sur ce diagramme, le travail massique fourni au cours d'un cycle?
La phase de compression est isentropique; le fluide est considéré comme un gaz parfait dont les capacités calorifiques massiques isobare c_p et isochore c_v sont constantes. Déterminer
le travail reçu par ce fluide pour un aller-retour du piston en fonction de p_1, v_1, p_2, v_2 et de γ = c_p/c_v 。
On donne p_1 = 0, 3MPa, p_2 = 1MPa, T_1 = 5^∘C et γ = c_p/c_v = 1, 12. Calculer T_2. Comparer avec la valeur déterminée graphiquement à la question 13.
2 Différentes technologies de compresseur
2.1 Dispositif bielle manivelle "classique"
La figure 4 présente certains éléments de la modélisation du système de compression : la rotation autour de O du volant manivelle (1) par rapport au bâti (0) est paramétrée par l'angle θ_1, celle autour de B de la bielle (2) est paramétrée par l'angle θ_2 que fait cette dernière avec l'axe x⃗_0. En B se trouve une articulation entre la bielle et le piston (3) dont la translation rectiligne est paramétrée par la distance OB , notée x_3. On pose OA = e, (c'est l'excentrique) et AB = ℓ.
On introduira au besoin les quantités sans dimension k = e/ℓ et X_3 = (x_3)/ℓ. Le diamètre du piston est noté D. L'origine des temps t est telle que θ_1(0) = 0.
Fig. 4: Schéma de compresseur classique.
Le volant (1) est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante Ω.
a) Établir la relation, dite loi entrée sortie, qui relie x_3 à θ_1.
b) Tracer l'allure de x_3(θ_1) sur un tour du volant pour k = 1/2.
c) Exprimer littéralement la cylindrée V de la pompe (volume balayé par le cylindre).
Exprimer la vitesse v_3 du piston par rapport au bâti en fonction de θ_1, de Ω et des grandeurs géométriques pertinentes. En déduire l'expression du débit instantané q du fluide refoulé par la pompe; tracer l'allure de q(θ_1) en précisant les phases de refoulement et d'aspiration.
Le volant est entraîné en rotation à une vitesse Ω = 1800tr.mn^(− 1), générant un déplacement alternatif du piston à une fréquence élevée, ce qui ne va pas sans difficulté même pour un piston de masse M = 640 g. La pression durant la phase de refoulement est p = 1MPa.
L'excentrique e vaut 20 mm et le diamètre D du piston est de 40 mm .
a) En précisant chaque fois les hypothèses que vous serez conduit à formuler, faire le bilan des actions mécaniques agissant sur le piston.
b) Évaluer numériquement les actions dues respectivement à la pression et à l'accélération. Conclure sur l'importance relative des forces de pression et des effets dynamiques.
c) Peut-on déterminer totalement l'action mécanique de la bielle sur le piston avec ce seul bilan? Proposer un isolement supplémentaire afin d'obtenir ce résultat.
23. Compte tenu de la valeur de rapport k, quelle est la valeur maximale de l'angle entre la bielle et le piston? Discuter les éventuels problèmes que l'action de contact "en biais" peut engendrer.
2.2 Dispositif à piston oscillant
Le système à piston oscillant représenté figure 5 permet de réduire le problème dû à l'angle résiduel entre la bielle et le piston (2). La rotation de l'ensemble oscillant {piston-cylindre} est paramétrée par l'angle θ_2 de la figure. L'articulation entre le cylindre (3) et le bâti (0) se fait au point B . La translation relative entre (2) et (3) est paramétrée par la distance AB notée x_(32). La longueur OA = e et la distance OB = h sont constantes. On pose q = e/h.
Fig. 5: Schéma de compresseur à piston oscillant.
Établir la relation reliant x_(32) à θ_1. Tracer l'allure de x_(32)(θ_1) pour q = 1/2 et 0 ≤ θ_1 ≤ 2π.
2.3 Comparaison des deux dispositifs
On note a_3 l'accélération du piston classique et a_(32) l'accélération relative du piston oscillant par rapport au cylindre; cette dernière grandeur se réfère donc à un repère non galiléen. La figure 6 représente a_3 et a_(32) en unité adimensionnée et pour un tour de volant ( 0 ≤ θ_1 ≤ 2π ).
25. Commenter la figure 6. Le dispositif à piston oscillant est-il avantageux du point de vue cinématique? Sans développer aucun calcul, proposer une manière de quantifier l'intérêt du
Fig. 6: Gauche : accélération du piston par rapport au bâti (en unité réduite) en fonction de θ_1. Droite : accélération relative du piston par rapport au cylindre (en unité réduite), en fonction de θ_1.
système {piston et cylindre} oscillants du point de vue des actions mécaniques exercées sur le cylindre.
3 Contrôle en température
Le local, de capacité calorifique constante C_T, est chauffé par une pompe à chaleur dont la puissance de chauffe est notée P_Q. La température extérieure est constante, on la note T_0.
L'utilisation de la pompe nécessite une boucle d'asservissement du régime de fonctionnement à la température du local. Il faut pour ce faire considérer le système de transfert thermique, le système électrique qui pilote P_Q et le couplage de ces deux systèmes.
Notations pour toute la suite. Les grandeurs temporelles et leurs transformées de Laplace seront désignées par le même symbole, ces dernières étant surmontées d'un tilde ( ∼ ) : la transformée de Laplace de Z(t) sera ainsi notée Z~(p). On supposera que les conditions initiales des grandeurs temporelles sont nulles (Z(0) = 0), ce qui, sans nuire à la généralité du problème, rend plus commode l'écriture des transformées de Laplace des diverses dérivées.
3.1 Première modélisation
La boucle d'asservissement est telle que la tension d'alimentation du moteur, V_c, est proportionnelle à ε, écart entre la température cible, T_c, et la température instantanée du local, T_L, supposée uniforme : V_c = K_(CR)(T_c − T_L); d'autre part, un modèle simplifié de moteur établit que la puissance fournie au local par le condenseur de la pompe à chaleur s'écrit P_Q = αV_c, de sorte que, en posant β = αK_(CR),
P_Q(t) = β(T_c − T_L(t)).
La puissance des fuites thermiques, Φ, est supposée être proportionnelle à l'écart entre T_L et T_0; notant H(H > 0) le coefficient de proportionnalité, on a donc Φ = H(T_L − T_0).
a) Établir l'équation différentielle relative à T_L(t) et représenter le schéma-bloc du
système faisant apparaître la contre-réaction. Préciser à quelle condition sur β le système est stable.
b) Exprimer l'erreur statique δ_S du dispositif (réponse à une consigne échelon). Comment la réduire? À quoi cela correspond-il physiquement?
27. Quel élément correcteur insérer dans le schéma-bloc de la question 26, et à quel endroit, pour ramener cette erreur statique à 0 ?
3.1.1 Deuxième modélisation
Convention. Dans tout ce qui suit, l'origine des températures sera T_0; en d'autres termes, ce que l'on nommera désormais température T_α sera en réalité la différence entre la température vraie T_α et T_0; on peut aussi bien dire que la température extérieure est fixée à 0^∘C. Avec cette convention, la puissance des fuites thermiques s'écrit Φ = HT_L.
Le moteur électrique alimentant le compresseur (figure 7) est caractérisé par quatre grandeurs : le couple moteur C_m(t) (valeur algébrique de la projection du moment des forces de Laplace sur l'axe de rotation), la vitesse angulaire Ω(t), la tension d'alimentation V_c(t) et le courant i(t). Ce moteur est le siège d'une tension induite E(t). On note R la résistance électrique du circuit (comprenant notamment celle de l'induit), J le moment d'inertie des parties mobiles ramené à l'axe de rotation et C_r(t) l'ensemble des couples exercés sur l'axe de rotation par les éléments autres que le moteur. Aucun autre moment utile résistant n'interviendra dans les équations écrites en variable de Laplace (en particulier, le moment utile C_u lié à l'action de la pression dans le compresseur est considéré comme constant en moyenne sur un tour ; il n'interviendra donc pas en variable de Laplace). On admet les relations constitutives suivantes, où les constantes K et f_r sont positives :
La puissance P_Q du moteur est proportionnelle à la vitesse de rotation Ω, ce que l'on note,
en introduisant la constante positive A,
P_Q(t) = AΩ(t)
Établir l'expression de la fonction de transfert tension-vitesse sous la forme
(Ω~(p))/(V~_c(p)) = (k_e)/(1 + τ_e p)
en exprimant k_e et τ_e en fonction des données. Que devient cette fonction de transfert dans la limite R → 0 ? Préciser alors la nature du modèle simplifié de la question 26 .
29. Un correcteur (C) (cf. question 27 ), de fonction de transfert C(p), établit le lien
V_c(t) = K_c ε(t) + 1/(T_i)∫^t ε(u)du
où K_c et T_i sont, à ce stade, des paramètres libres. Exprimer C(p).
30. Exprimer P~_Q(p) en fonction de T~_c(p) et de T~_L(p).
31. Exprimer le bilan thermique de la question 26 a en termes de variable de Laplace.
32. En régime harmonique, le carré du module de la fonction de transfert du système en boucle fermée est
|F(jω)|^2 = |(T~_L(jω))/(T~_c(jω))|^2
Calculer K_c et T_i de telle sorte que le dénominateur de cette grandeur soit (à une constante multiplicative près) D(ω) = 1 + (ω/(ω_0))^4.
33. Exprimer ω_0, préciser la réponse indicielle du système ainsi réglé et indiquer l'intérêt d'un tel dénominateur pour la stabilité du système.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique-SI de l'X MP 2012 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique-SI de l'X MP 2012 ?
+
Sur une pompe à chaleur : cycle du fluide sur diagramme de Mollier, cinématique de deux compresseurs puis asservissement de la température du local.
Quelle est la moyenne de l'épreuve physique et SI X MP 2012 ?
+
La moyenne est de 8,96 sur 20 avec un écart-type de 2,99, sur 829 copies.
Quelles erreurs le jury de physique-SI Polytechnique MP 2012 a-t-il relevées ?
+
Des applications numériques fausses ou sans unité, des calculs de compression inachevés, des erreurs de géométrie élémentaire sur la bielle-manivelle, des courbes sans axes et des réponses imprécises en asservissement.
Quelles questions ont départagé les candidats en physique-SI X MP 2012 ?
+
Selon le jury, les dernières questions de chaque partie, ainsi que les questions 28 à 31 d'asservissement, réussies par environ la moitié des candidats.
Pas de description pour le moment
Commentaires• X ENS Physique SI MP 2012
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