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X ENS Physique MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Magnétostatique : théorèmes de Gauss et d'Ampère
  • Équations de Maxwell et potentiel vecteur
  • Gravitation et mouvement des satellites
  • Moment cinétique et précession d'un solide en rotation
  • Moment magnétique, produit vectoriel
  • Analyse dimensionnelle et ordres de grandeur
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Annales X-ENS MP PhysiqueX-ENS MP 2012MP PhysiquePhysique 2012

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Gravitomagnétisme : effet géodétique et effet Lense-Thirring sur un gyroscope en orbite
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Le sujet modélise deux effets prédits par la relativité générale sur un gyroscope en orbite, à l'aide d'une analogie entre gravitation et électromagnétisme. Il construit d'abord un gravitomagnétisme calqué sur les équations de Maxwell, puis calcule la précession due à la révolution du satellite et celle due à la rotation propre de la Terre. La dernière partie, largement indépendante, étudie le champ magnétique d'un supraconducteur en rotation utilisé pour mesurer le mouvement du gyroscope.

  1. 1Partie I : une théorie du gravitomagnétismeAnalogie entre gravitation et électromagnétisme, théorèmes de Gauss et d'Ampère transposés, moment cinétique et équation de précession.
  2. 2Partie II : effet gravitomagnétique sur un satellite dû à sa révolutionVitesse d'un satellite en orbite circulaire, établissement du mouvement de précession et application numérique.
  3. 3Partie III : effet gravitomagnétique de la rotation de la TerreMoment gravitomagnétique de la Terre, variation de l'orientation du gyroscope sur une période et comparaison des deux effets.
  4. 4Partie IV : mesure du mouvement du gyroscopeDensité de courant dans un supraconducteur en rotation, vérification des équations de Maxwell, champ magnétique créé et précision de la mesure.

Accessible. Le jury juge le sujet plutôt facile et relativement court, avec des notes en moyenne assez élevées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,95 / 20 · écart-type 3,95 · 1 575 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,95/ 20
Écart-type
3,95
Copies
1 575
moyenne 10,9505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Erreurs de signe · Précession mal écrite · Applications numériques très éloignées
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La partie I sur l'analogie entre gravitation et électromagnétisme a été traitée avec succès, et les parties II et IV ont été bien réussies. La partie III a été peu et mal traitée. Beaucoup de points ont été perdus par étourderie, notamment sur les signes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreurs de signeI.1, I.4, I.6, I.13

    Les étourderies sur les signes reviennent dans de nombreuses questions de la partie I, y compris les plus faciles.

  2. 2
    Précession mal écriteI.12, I.13, II.4

    Confusions entre produit scalaire et produit vectoriel, définition du moment cinétique erronée, équation de précession parfois inconnue. En II.4, le schéma demandé manque souvent.

  3. 3
    Applications numériques très éloignéesII.5, IV.7, IV.8

    Les résultats numériques s'écartent parfois de plusieurs ordres de grandeur de la valeur attendue, et le calcul de précision relative est souvent fantaisiste.

  4. 4
    Orientation des vecteurs dans la partie IIIIII.4 à III.8

    Il fallait assimiler la dérivée temporelle de σ à δσ/T et bien saisir l'orientation de σ et δσ. Moins de 10 % des élèves ont vu que les deux mouvements se font dans des plans perpendiculaires.

  5. 5
    Démonstration forcée et calculs inutilesIV.1

    Quand la réponse est donnée, certains candidats font des calculs complexes inutiles ou forcent le résultat.

    « Le résultat est parfois obtenu après des calculs complexes inutiles. »
  6. 6
    Charge de l'électron et équations de MaxwellIV.2, IV.5

    Le signe négatif de la charge de l'électron est souvent oublié. Trois équations de Maxwell étaient vérifiées, mais beaucoup n'en citent que deux.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I a été traitée avec succès dans l'ensemble ; I.9 et I.10 ont été démontrées par la plupart des candidats.
  • Les questions II.1 à II.3, jugées faciles, ont été très largement réussies.
  • La partie IV, largement indépendante, a permis à de nombreux candidats de gagner des points faciles.

Conseils du jury

  • Repérer les parties indépendantes, comme la partie IV, pour y chercher des points faciles.
  • Vérifier les signes et les ordres de grandeur des applications numériques.
  • Réaliser les schémas demandés même lorsque le calcul est juste.
  • En IV.7, exploiter l'unicité de la solution plutôt que les relations de passage.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2012
filière MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif.

Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement d'un gyroscope en orbite

La théorie de la relativité générale, publiée par A. Einstein en 1916, prédit l'existence de deux effets, dits effet géodétique et effet Lense-Thirring, sur le mouvement d'un gyroscope en orbite autour de la Terre. Ceux-ci ont été mesurés avec succès par le satellite Gravity Probe B en 2008. Dans ce problème, nous allons essayer de rendre compte de ces perturbations du mouvement classique en nous fondant sur une généralisation post-newtonienne du champ gravitationnel obtenue par analogie avec l'électromagnétisme. Cette analogie permet de comprendre l'origine des phénomènes et d'en calculer un ordre de grandeur, mais ne donne pas les mêmes résultats que la théorie de la relativité générale.

Données numériques

Vitesse de la lumière dans le vide c = 3, 0 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Rayon de la Terre R_⊕ = 6, 4 × 10^6 m
Accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g = 9, 8 m ⋅ s^(− 2)
Durée de l'année 1 an = 3, 2 × 10^7 s
Masse de l'électron : m_e = 9, 1 × 10^(− 31) kg
Charge élémentaire : e = 1, 6 × 10^(− 19)C

Formulaire

rot^(→−)(rot^(→−)A⃗) = grad^(→−)(divA⃗) − ΔA⃗

I. Une théorie du gravitomagnétisme

Dans cette partie, nous allons partir de l'analogie formelle entre le champ électrique et le champ gravitationnel. Ceci nous permettra de construire l'équivalent gravitationnel des équations de Maxwell et fera apparaître un champ « gravitomagnétique », analogue du champ magnétique.
I. 1 Quelle est l'expression du champ électrique E⃗ créé en M par une charge ponctuelle q placée en O ? Donner l'expression du champ gravitationnel g⃗ obtenu en M en remplaçant q par une masse ponctuelle m. On notera G la constante de gravitation universelle.
I. 2 On s'intéresse maintenant à une distribution continue de charge électrique ayant la densité ρ_e(r⃗) ou de matière ayant la masse volumique ρ(r⃗). En poursuivant l'analogie de la question précédente, justifier que la divergence du champ gravitationnel prend la forme divg⃗ = ρ/ε_g, où ε_g est une constante donc on précisera l'expression. Montrer que l'on peut alors retrouver le théorème de Gauss gravitationnel.
Dans le cas général, le champ électromagnétique vérifie les équations de Maxwell. En nous fondant sur l'analogie formelle entre le champ électrique d'une distribution de charge et le champ gravitationnel d'une distribution de masse, nous allons supposer l'existence d'un champ gravitomagnétique h⃗ couplé au champ gravitationnel g⃗ selon les équations
divg⃗ = ρ/(ε_g), divh⃗ = 0; rot^(→−)g⃗ = − (∂h⃗)/(∂t), rot^(→−)h⃗ = μ_g(j⃗ + ε_g(∂g⃗)/(∂t))
où j⃗ = ρv⃗ désigne le vecteur densité de courant, v⃗ étant la vitesse de la matière au point considéré.
I. 3 Quelle est la dimension de h⃗ ?
I. 4 À partir de ces équations, déduire la forme locale de l'équation de conservation de la masse.
I. 5 Montrer que le champ gravitationnel dans le vide, en l'absence de masse, est solution d'une équation d'onde. On suppose que la vitesse de propagation de ces ondes gravitationnelles est égale à c, vitesse de la lumière dans le vide. En déduire l'expression de μ_g en fonction de G et c.
I. 6 Rappeler l'expression de la force subie par une masse ponctuelle m plongée dans un champ gravitationnel g⃗. Par analogie avec l'électromagnétisme, donnez l'expression de la force de Lorentz due au champ gravitomagnétique h⃗.
Nous allons maintenant comparer l'action du champ gravitationnel et du champ gravitomagnétique en étudiant le système constitué de deux fils parallèles infinis.
I. 7 Déterminer le champ gravitationnel créé par un fil rectiligne infini, immobile, de masse linéique λ, en tout point extérieur à celui-ci. En particulier, on précisera les arguments de symétrie qui permettent de simplifier le calcul.
I. 8 Exprimer la force gravitationnelle par unité de longueur F_g^(→−) entre deux fils identiques et parallèles, séparés par une distance d.
I. 9 On considère à présent un fil rectiligne infini de masse linéique λ en mouvement uniforme à la vitesse v⃗ parallèle au fil. Déterminer le champ gravitomagnétique h⃗ qu'il crée en un point extérieur quelconque. Une fois encore, on précisera les arguments de symétrie qui permettent de simplifier le calcul.
I. 10 Donner l'expression de la force gravitomagnétique par unité de longueur F_h^(→−) entre deux fils rectilignes identiques et parallèles, en mouvement à la même vitesse v⃗ parallèle à leur direction et séparés par une distance d. Cette force est-elle attractive ou répulsive? Comment s'écrit le rapport ‖F_h^(→−)‖/‖F_g^(→−)‖ ? Quelle est l'importance relative des effets gravitomagnétiques pour des vitesses ordinaires? Que se passe-t-il si on inverse le sens de la vitesse de l'un des fils?
On s'intéresse maintenant à l'action d'un champ gravitomagnétique sur un gyroscope.
I. 11 Rappeler l'expression du moment magnétique M⃗ d'une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant I.
I. 12 On considère une spire circulaire de masse m et de rayon R en rotation uniforme à la vitesse angulaire ω⃗ autour de l'axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre. En poursuivant l'analogie, montrer que son moment gravitomagnétique M⃗_g est proportionnel à son moment cinétique σ⃗. Donner la valeur de la constante de proportionnalité. On supposera cette relation de proportionnalité générale.
I. 13 Rappeler le couple que subit un moment magnétique plongé dans un champ magnétique uniforme et constant. On considère un gyroscope de moment cinétique σ⃗ placé dans un champ gravitomagnétique h⃗ uniforme et constant. Déduire par analogie l'équation du mouvement de σ⃗ et décrire succinctement son évolution au cours du temps.

II. Effet gravitomagnétique sur un satellite dû à sa révolution

II.1 On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. Exprimer sa vitesse v en fonction de son altitude a, de la masse M_⊕ et rayon R_⊕ de la Terre et de la constante de gravitation universelle G. Comment s'écrit cette vitesse en fonction de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g, de a et de R_⊕ ?
Application numérique : Calculer v pour un satellite orbitant à basse altitude a≪R_⊕. En déduire la valeur de sa période de révolution.
Dans le référentiel barycentrique du satellite, la Terre tourne autour de lui, ce qui crée un champ gravitomagnétique dont nous allons étudier l'effet. Pour simplifier la modélisation, nous supposons, dans cette partie uniquement, que le référentiel barycentrique du satellite est galiléen.
II. 2 Rappeler l'expression du champ magnétique B⃗ au centre d'une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I.
II. 3 Par analogie, en déduire l'expression du champ gravitomagnétique h⃗ ressenti par le satellite, dans la limite où la Terre est ponctuelle. On l'exprimera en fonction de v, c et de sa période de révolution T.
II. 4 Un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite en s'arrangeant pour qu'il n'ait aucun contact avec celui-ci, de sorte à laisser libres tous ses degrés de libertés de rotation. On notera σ⃗ le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du satellite. La direction initiale de σ⃗ est choisie dans le plan orbital du satellite.
Montrer que σ⃗ précesse à une vitesse angulaire ω_1 dont on donnera l'expression en fonction de v, c et T (effet dit «géodétique»). On précisera sur un schéma la direction et le sens du mouvement de précession.
II. 5 Calculer numériquement l'angle dont tourne σ⃗ en un an pour un satellite orbitant à basse altitude. Comparer ce résultat théorique avec la valeur expérimentale 3, 2 × 10^(− 5) radian mesurée par le satellite Gravity Probe B.

III. Effet gravitomagnétique de la rotation de la Terre sur un satellite

Dans cette partie, il s'agit maintenant de calculer l'effet gravitomagnétique induit par la rotation propre de la Terre sur l'orientation d'un gyroscope en orbite. On désigne par Oxyz un référentiel géocentrique, supposé galiléen, où O est le centre de la Terre et Oz son axe de rotation. On note Ω_⊕^(→−) = Ω_⊕e⃗_z la vitesse angulaire de la Terre dans ce référentiel et J_⊕ son moment d'inertie par rapport à l'axe Oz.
III. 1 Donner l'expression du moment gravitomagnétique de la Terre, noté M⃗_g, dû à sa rotation propre.
III. 2 On rappelle que le champ magnétique B⃗ créé en un point P par un dipôle magnétique de moment M⃗ situé en O est donné par
B⃗ = (μ_0)/(4π)(3(M⃗ ⋅ n⃗)n⃗ − M⃗)/(r^3) avec r⃗ = OP^(→−) et n⃗ = (r⃗)/r
Donner l'expression du champ gravitomagnétique de la Terre, assimilée dans la suite du problème à un moment gravitomagnétique ponctuel. Tracer l'allure de ses lignes de champ dans un plan contenant l'axe de rotation terrestre.
On considère désormais un satellite de plan orbital Oyz (orbite polaire). La position du satellite sur son orbite est repérée par un angle θ de sorte que les coordonnées du satellite sont données par y = (R_⊕ + a)sinθ et z = (R_⊕ + a)cosθ.
III. 3 Donner l'expression des composantes h_y et h_z du champ gravitomagnétique terrestre ressenti par le satellite en fonction de θ.
Comme dans la partie II, un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite, sans contact avec celui-ci. On notera σ⃗ le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du satellite. Initialement, la direction de σ⃗ est parallèle à Oy.
III. 4 Exprimer la variation δσ⃗, supposée faible, de σ⃗ sur une période orbitale T.
III. 5 De quel angle ε tourne σ⃗ pendant la période T ? En déduire l'expression de la vitesse angulaire moyenne de précession de σ⃗, notée ω_2 (effet dit «Lense-Thirring»).
III. 6 On donne J_⊕ ≃ 1/3M_⊕R_⊕^2 et on se place dans la limite où a≪R_⊕. Exprimer ω_2 en fonction de Ω_⊕, c et v, la vitesse du satellite.
III. 7 Déterminer le rapport ω_2/ω_1, où ω_1 est la vitesse angulaire calculée dans la partie II.
Application numérique: le satellite Gravity Probe B a mesuré |ω_2| = 1, 9 × 10^(− 7) radian/an. L'ordre de grandeur de ce résultat est-il compatible avec la modélisation proposée plus haut?
III. 8 Le satellite Gravity Probe B a aussi mesuré la direction des deux mouvements de précession du gyroscope. Montrer que le choix d'une orbite polaire permet de séparer l'effet géodétique de l'effet Lense-Thirring.

IV. Mesure du mouvement du gyroscope

Le gyroscope est une boule de quartz isolant revêtue d'une fine pellicule de niobium supraconducteur. L'ensemble est mis en rotation. Un supraconducteur en rotation est le siège d'un champ magnétique aligné avec son axe de rotation. La précession du gyroscope est déterminée par des mesures de flux de ce champ magnétique à travers une boucle à induction. Le but de cette partie est d'établir l'expression du champ magnétique engendré par un supraconducteur en rotation, puis d'estimer la précision de la mesure.
IV. 1 On admet qu'il existe un choix du potentiel vecteur tel que la vitesse des électrons soit donnée en tout point du supraconducteur par
v⃗ = e/(m_e)A⃗
où e est la charge élémentaire, m_e est la masse de l'électron, et A⃗ est le potentiel vecteur au point où se trouve l'électron. Vérifier que cette équation est dimensionnellement correcte.
IV. 2 On note N la densité volumique d'électrons dans le supraconducteur. Exprimer la densité de courant j⃗ en supposant que les électrons sont les seuls porteurs de charge.
IV. 3 On admet qu'un supraconducteur est un conducteur ohmique de résistivité nulle. Écrire la forme locale de l'équation de conservation de la charge en un point à l'intérieur du supraconducteur. Quelle condition impose-t-elle sur le potentiel vecteur A⃗ ?
IV. 4 On suppose par ailleurs que le potentiel scalaire V est partout nul à l'intérieur du supraconducteur. Exprimer le champ électrique E⃗ et le champ magnétique B⃗ en fonction de j⃗.
IV. 5 Parmi les quatre équations de Maxwell, lesquelles sont automatiquement vérifiées par ces expressions de E⃗ et B⃗ ?
IV. 6 Le supraconducteur est en rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω⃗ = Ωe⃗_z autour de l'axe Oz. On suppose que les électrons sont au repos par rapport au supraconducteur. En déduire l'expression de v⃗ en un point r⃗, puis l'expression du champ B⃗ dans la pellicule supraconductrice.
IV. 7 En déduire l'expression du champ B⃗ à l'intérieur de la boule constituant le gyroscope.
Application numérique : La vitesse angulaire de rotation du gyroscope embarqué sur le satellite Gravity Probe B est Ω = 900rad ⋅ s^(− 1). Calculer B, module du champ magnétique à l'intérieur du gyroscope.
IV. 8 Un magnétomètre appelé SQUID permet, par une mesure de flux du champ magnétique, de détecter la variation d'une composante quelconque du champ magnétique avec une précision δB = 5 × 10^(− 17) T. En déduire la précision relative sur la mesure de l'effet Lense-Thirring pour une expérience durant un an.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2012 ?

Le sujet mobilise la magnétostatique (théorèmes de Gauss et d'Ampère), les équations de Maxwell, la gravitation et les satellites, ainsi que la précession d'un solide en rotation.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique X-ENS MP 2012 ?

Surtout des erreurs de signe, des confusions entre produit scalaire et vectoriel, des applications numériques fausses de plusieurs ordres de grandeur et l'oubli du signe de la charge de l'électron.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique X-ENS MP 2012 ?

La moyenne des candidats français est de 10,95 sur 1575 copies, avec un écart-type de 3,95.

Le sujet de physique X-ENS MP 2012 est-il difficile ?

Le jury l'a jugé plutôt facile et relativement court. La partie III a toutefois été peu et mal traitée.

Pas de description pour le moment