CCINP Physique 1 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Mécanique du point en référentiel non galiléen
Mécanique du solide
Roulement sans glissement
Cycles thermodynamiques
Thermodynamique des systèmes ouverts
Diffusion thermique

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BanqueCCINP Année2012 FilièreMP MatièrePhysique

Annales CCINP MP Physique CCINP MP 2012 MP Physique Physique 2012

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Centrifugeuse et disque roulant ; cycle de Brayton et transferts thermiques dans une centrale nucléaire à hélium

Le sujet comporte quatre parties indépendantes. Les deux premières relèvent de la mécanique : mouvement d'une particule dans le tube d'une centrifugeuse en référentiel tournant, puis disque roulant sur une surface cylindrique avec et sans glissement. Les deux dernières relèvent de la thermodynamique appliquée à un réacteur à haute température refroidi à l'hélium : cycle de Brayton avec régénérateur, puis conduction thermique dans les particules de combustible et dimensionnement de la centrale.

1Partie 1 : centrifugeuseMouvement rectiligne d'une particule en suspension dans un tube lié à un repère en rotation uniforme.
2Partie 2 : disque sur une surface cylindriqueMouvement plan d'un disque homogène, d'abord en roulement sans glissement puis avec glissement.
3Partie 3 : cycle de BraytonEfficacité du cycle moteur de Brayton puis amélioration par un régénérateur, avec ouverture vers le cycle d'Ericsson.
4Partie 4 : transferts thermiques dans le cœurConduction thermique dans les particules de combustible TRISO (4.1) puis dimensionnement de la centrale et débit d'hélium (4.2).

Difficulté moyenne. Le rapport juge la partie mécanique un peu longue et la moyenne faible, mais souligne que la deuxième partie est très proche du cours et que très peu de parties ont été délaissées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Calcul vectoriel et projections · Référentiel tournant mal assimilé · Énergie cinétique d'un solide

Le jury note une bonne compréhension du sujet, qui couvre une large part des programmes de mécanique et de thermodynamique, et une amélioration par rapport aux années précédentes, la moyenne restant faible. Le calcul vectoriel, les erreurs de signe et d'homogénéité et les applications numériques coûtent beaucoup de points. La longueur de la mécanique a empêché la plupart des candidats de finir la thermodynamique.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Calcul vectoriel et projections
Des égalités vectorielles incohérentes apparaissent, par exemple un vecteur unitaire égal à un autre multiplié par une constante différente de 1. Le jury en fait le point le plus important.
« l’outil calcul vectoriel n’est pas toujours maîtrisé correctement »
2
Référentiel tournant mal assimiléPartie 1
Les accélérations relative, d'entraînement et de Coriolis sont mal maîtrisées, et certains modifient les signes pour retrouver un oscillateur harmonique qui n'en est pas un.
« d’accélération relative, de Coriolis ou d’entraînement ne sont pas bien assimilées. »
3
Énergie cinétique d'un solidePartie 2
Certains réduisent l'énergie cinétique du disque à celle de son centre de masse. L'énergie potentielle de pesanteur et la condition de roulement sans glissement posent aussi problème.
« l’énergie cinétique d’un solide peut se réduire à la seule énergie cinétique du barycentre. »
4
Applications numériques négligées
Des formules justes sont suivies d'applications numériques fausses ou absentes, alors qu'elles étaient simples.
« ces applications étaient en réalité très simples. »
5
Bases de thermodynamique fragilesPartie 3
La loi de Laplace pour une transformation isentropique et la relation dH = CpdT pour un gaz parfait ne sont pas connues de tous. Les cycles doivent être orientés pour distinguer moteur et récepteur.
« Les transformations isentropiques avec la loi de Laplace ne sont pas connues de tous »
6
Manipulation du laplacienPartie 4
La quatrième partie révèle des difficultés mathématiques, notamment avec le laplacien, et la partie 4.2 n'a généralement pas été abordée.
« La manipulation d’un Laplacien, qui intervient dans bien d’autres domaines de la physique, devrait être acquise et ne l’est pas assez. »

Ce qui a été bien réussi

La compréhension du texte est généralement bonne et peu de candidats se sont limités à un seul aspect du sujet.
La définition de l'efficacité d'un moteur est assez bien traitée.
Le rôle du régénérateur dans le cycle de Brayton est bien compris.
Les remarques des candidats en thermodynamique sont souvent judicieuses.

Conseils du jury

Vérifier l'homogénéité des résultats dès les premières lignes de calcul.
Mener les applications numériques jusqu'au bout, avec les unités.
Connaître le nom et l'unité de chaque grandeur intervenant dans une définition.
Utiliser un résultat donné par l'énoncé pour vérifier son calcul, sans forcer l'expression à partir d'une définition fausse.
Écrire proprement pour éviter les erreurs de recopie d'une ligne à l'autre.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte quatre parties indépendantes.
Les parties 1 et 2 portent sur la mécanique (de la page 2 à la page 8 ).
Les parties 3 et 4 portent sur la thermodynamique (de la page 9 à la page 14).

MÉCANIQUE

La première partie peut être vue comme l'étude du mouvement unidirectionnel d'un point matériel relativement à un repère tournant. La seconde partie concerne le mouvement plan sur plan d'un solide simple, ce mouvement s'effectuant par roulement sans glissement dans une première phase puis avec glissement dans une seconde phase.

PARTIE 1

Une centrifugeuse est un appareil destiné à séparer la phase solide d'une suspension liquide-solide. Cette séparation a pour origine la différence des masses volumiques du liquide et des particules solides en suspension dans le fluide. La partie essentielle de cet appareil est constituée d'un rotor lequel est entraîné en rotation à vitesse élevée, autour de son axe de symétrie, supposé ici vertical. Ce rotor supporte une série de tubes à essais identiques dans lesquels se situe la suspension à traiter. Soit

ℜ

un repère lié au laboratoire et considéré comme galiléen.
Soit

ℜ

' un repère mobile (relativement à

ℜ

) d'axes

Ox, Oy, Oz

, les vecteurs unitaires associés s'écrivant

e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to

. Les axes verticaux des deux repères coïncident,

ℜ

' est animé, relativement à

ℜ

, d'un mouvement de rotation uniforme autour de la verticale. Le vecteur vitesse rotation de

ℜ

' relativement à

ℜ

est noté

Ω⃗ = Ωe_z\to

(voir schéma

n^\circ

1.a).
Soit

(A)

une droite, fixe relativement à

ℜ

', située dans le plan

yOz

. Cette droite est orientée par le vecteur unitaire

e_r\to

, l'angle situé entre les directions de

e_r\to

e_y\to

est noté

α

(voir schéma

n^\circ1.b

). On va considérer un point

P

se déplaçant sur la droite

(A)

, la position de

P

étant repérée par

r = r(t)

tel que

OP^(\to-) = r \cdot e_r\to

. On notera

g⃗ = - g \cdot e_z\to

le vecteur accélération due à la pesanteur.

Schéma

n^\circ

1.a

Schéma

n^\circ

1.b

Schémas $n^\circ1$

Questions préliminaires

1.1. Déterminer les composantes suivant

e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to

des vecteurs

a_r^(\to-), a_c^(\to-), a_e^(\to-)

qui sont respectivement les vecteurs accélération relative de

P

par rapport à

ℜ

', accélération de Coriolis de

P

relativement à

ℜ

et accélération d'entraînement de

P

relativement à

ℜ

.
1.2. Établir l'expression du produit scalaire

e_r\to \cdot a_p^(\to-)

où

a_p^(\to-)

désigne le vecteur accélération de

P

relativement à

ℜ

. Cette expression sera fournie en fonction de

r, (d^2 r)/(dt^2), Ω

α

Modélisation du mouvement d'une particule

On considère maintenant une particule solide de masse volumique

ρ_s

et de volume

V

, cette particule se situe au sein d'un fluide de masse volumique

ρ

différente de

ρ_s

. Le fluide est luimême contenu dans un tube cylindrique fixé sur le rotor de la centrifugeuse. Le repère

ℜ

' est supposé lié au rotor et le centre de masse de particule sera le point

P

, défini précédemment (voir schéma

n^\circ2

Schéma

n^\circ2

Étant donné les dimensions du tube, on va considérer dans la suite que le mouvement de

P

ne s'effectue que selon l'axe longitudinal du tube, axe coïncidant avec la droite (

A

) définie précédemment. La particule est soumise aux trois forces qui sont respectivement : son poids propre, la poussée d'Archimède

F^A^(\to-)

et une force

F^r^(\to-)

opposée au mouvement que l'on peut interpréter comme étant due à la viscosité du fluide. La poussée d'Archimède s'écrit :

F^A^(\to-) = - V \cdot grad^(\to-)(p)

où

p

désigne la pression en un point de coordonnées

x, y, z

du fluide. On a :

p = p(x, y, z) = 1/2 \cdot ρ \cdot Ω^2 \cdot (x^2 + y^2) - ρ \cdot g \cdot z + c^(ste).

Remarques : ce fluide est à l'équilibre relativement à

ℜ

', équilibre supposé non perturbé par le mouvement de la particule, l'expression de

p

fait intervenir une constante qui ne nécessite pas d'être précisée dans ce problème.
La force

F^r^(\to-)

est exprimée sous la forme

F^r^(\to-) = - k \cdot v_r\to

où

v_r\to

désigne la vitesse de P relativement à

ℜ

k

étant une constante physique supposée positive.

1.3 Donner les expressions des projections suivant $e_r\to$ des trois forces indiquées précédemment.

1.4 D'après les résultats obtenus aux questions 1.2 et

1.3

, établir l'équation différentielle générale du mouvement de la particule, équation faisant intervenir

ρ_s, ρ, Ω, α, g, k/V, r, (dr)/(dt)

(d^2 r)/(dt^2)

.
1.5 L'équation différentielle obtenue possède une solution notée

r_e

correspondant à une position d'équilibre de la particule. Établir l'expression de

r_e

en fonction de

g, α

Ω

.
1.6 Pour

α = 45^\circ, g = 10 m.s^(- 2)

Ω = 5000

tour.

min^(- 1)

, calculer la valeur de

r_e

.
1.7 Dans un premier temps, on cherche une solution simplifiée du mouvement et pour cela on va négliger l'influence de la force

F^r^(\to-)

. La masse volumique de la particule en suspension

ρ_s

étant supposée supérieure à la masse volumique du fluide, on pourra utilement poser

ω = \sqrt((1 - ρ/(ρ_s))).Ω \cdot cosα

. Donner la solution générale de l'équation différentielle du mouvement, en supposant qu'à l'instant

t = 0 s

, la particule se situe en

r = r_0

sans vitesse relative. Cette solution sera écrite en fonction de

r_0, r_e, ω

t

.
1.8 Le temps mis par la particule pour passer de la position

r = r_0

(haut du tube) sans vitesse relative initiale à la position

r_1

(fond du tube) étant noté

T

, exprimer

T

en fonction de

ω, r_0

r_1, r_e

Application numérique pour $r_0 = 10 cm$ et $r_1 = 20 cm$

Constater que

r_e

est négligeable devant

r_0

r_1

. Donner la valeur de

T

correspondant aux valeurs numériques de la question

1.6

et pour

ρ/(ρ_s) = 1/(1, 01)

.
1.9 Dans certaines situations, la force

F^r^(\to-)

peut jouer un rôle non négligeable ; on va rechercher maintenant une solution exacte de l'équation différentielle du mouvement. On pourra poser :

λ = k/(2ρ_s \cdot V) et ω^' = \sqrt(ω^2 + λ^2).

Rechercher les expressions des deux racines de l'équation caractéristique en fonction de

λ

ω

. Quels sont les signes de ces deux racines ?
1.10 Dans des conditions initiales identiques à celles de la question 1.7, déterminer l'expression de

r(t)

en fonction de

r_0, r_e, ω^', λ

t

.
1.11 Établir l'expression du rapport

(r_1 - r_e)/(r_0 - r_e)

en fonction de

λ, ω^'

T

, où

T

est le temps mis pour passer de

r_0

r_1

.
1.12 À partir du graphe

n^\circ1

représentant les variations du rapport

(r_1 - r_e)/(r_0 - r_e)

en fonction de

T

, donner la valeur de T (ce graphe est tracé pour

λ = 25 s^(- 1)

et les valeurs numériques précédemment données).

Graphe

n^\circ1

PARTIE 2

Soit

ℜ

un repère fixe lié au laboratoire d'axes

Ox, Oy, Oz

, les vecteurs unitaires associés étant notés

e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to

(

e_z\to

vertical ascendant). On notera

g⃗ = - g \cdot e_z\to

le vecteur accélération due à la pesanteur.
Un disque D homogène de masse

m

, de rayon

r

, de centre

G

, peut rouler dans le plan

yOz

, sur une surface cylindrique de rayon

R

, d'axe

(O, e_x^(\to-))

(voir schéma

n^\circ3

). Soient deux vecteurs unitaires tels que

e_r\to = (OG^(\to-))/((R + r)), e_θ\to

se déduisant de

e_r\to

par une rotation de

+ π/2

rad autour de l'axe

(O, e_x^(\to-))

. On appelle

θ

l'angle situé entre les vecteurs

e_z\to

e_r\to

; de même, on appelle

φ

l'angle situé entre

e_z\to

GA^(\to-), A

désignant un point du disque situé à la périphérie de celui-ci (dans ces conditions, le vecteur vitesse de rotation instantanée du disque dans

ℜ

s'écrit

(dφ)/(dt) \cdot e_x^(\to-)

). On rappelle que le moment d'inertie du disque relativement à un axe (

G, e_x^(\to-)

) s'écrit

J = 1/2mr^2

.
Les interactions du disque avec l'air ambiant seront toujours négligées. Pour les questions allant de 2.1 à 2.9, on supposera que le disque roule sans glisser sur la surface cylindrique.

Schéma

n^\circ3

2.1 Établir la relation liant

(dθ)/(dt)

(dφ)/(dt)

encore appelée relation de roulement sans glissement.
2.2 Exprimer l'énergie cinétique du disque dans

ℜ

, en fonction de

m, r, R

(dθ)/(dt)

.
2.3 Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du disque en fonction de

m, g, r

R

, et

θ

.
2.4 Donner l'expression de l'énergie totale (ou énergie mécanique) du disque. Après avoir justifié que cette quantité est constante au cours du mouvement, en déduire une relation donnant

((dθ)/(dt))^2

en fonction de

θ, θ_0, g, r, R

, sachant que les conditions initiales du mouvement sont les suivantes :

θ(0) = θ_0 > 0, (dθ)/(dt)(0) = 0

.
2.5 À partir des résultats qui précèdent, établir l'équation différentielle du mouvement liant

(d^2 θ)/(dt^2)

θ, g, r, R

.
2.6 Le disque est soumis à son poids

m.g⃗

ainsi qu'à la réaction de la surface cylindrique, réaction notée

ℜ⃗ = Ne_r\to + Te_θ\to

. D'après le théorème de la résultante dynamique, établir les expressions donnant

T

N

en fonction de

m, g, r, R, θ, (dθ)/(dt), (d^2 θ)/(dt^2)

.
2.7 D'après

2.4

2.5

, établir les expressions de

T

N

en fonction de

m, g, θ_0

θ

.
2.8 Le coefficient de frottement disque/surface cylindrique a pour valeur

μ = 0, 2

; pour quelle valeur de

θ

observe-t-on la fin du mouvement de roulement sans glissement? (le graphe

n^\circ2

représente les variations du rapport

|T/N|

tracé pour

θ_0 = 1^\circ

Graphe

n^\circ2

2.9 Vérifier que, pour cette valeur, le disque ne s'est pas encore séparé de la surface cylindrique.
2.10 On donne

r = 0, 1 m

R = 0, 9 m

. Afin de simplifier les calculs, on pourra prendre

g = 10 m.s^(- 2)

.
Déterminer les valeurs numériques de

θ˙, θ¨, φ˙

φ¨

à l'instant précédant immédiatement la fin du roulement sans glissement.
2.11 Suite à cette phase de roulement sans glissement, on suppose que le disque va rouler et glisser sur le cylindre. Au cours de cette seconde phase, on admettra que

T

est négatif. Donner l'expression de

T

en fonction de

μ

et de

N

(supposé positif).
2.12 En utilisant le théorème du moment appliqué en G , donner une équation liant

φ¨, μ, N, r

J

.
2.13 En utilisant le théorème de la résultante dynamique appliqué au disque, donner deux équations liant

θ¨, θ˙, μ, N, m, g, r, R

θ

.
Noter que l'une des équations obtenues est identique à celle établie à la question 2.6.
2.14 Par élimination entre ces deux dernières équations, établir l'équation différentielle pour la variable

θ

(cette équation va faire apparaître

θ, θ˙, θ¨, μ, g, r, R

).
2.15 En supposant, lors de la transition du roulement sans glissement au roulement avec glissement, qu'il y a continuité de

θ

θ˙

, calculer la valeur de

θ¨

à l'instant suivant immédiatement le début de la phase de roulement avec glissement.

THERMODYNAMIQUE

Les centrales nucléaires de la génération 6 prévues vers les années 2030 devront être sûres et présenter un rendement important. Une option étudiée parmi 6 grands choix est le réacteur à très haute température refroidi à l'hélium. Ce type de réacteur offrirait l'avantage d'améliorer l'efficacité de la conversion énergétique, compte tenu de la température élevée de la source chaude et de permettre en sus la production d'hydrogène. Dans ces installations de forte puissance, on utilise le cycle de Brayton (ou cycle de Joule) pour extraire le travail et, en fin de compte, produire de l'électricité.

Ce problème comporte deux parties indépendantes. La première partie concerne le cycle moteur de Brayton ainsi qu'une amélioration possible pour augmenter l'efficacité. La deuxième partie est relative aux transferts thermiques dans le coeur de la centrale.

Le gaz utilisé dans la centrale est l'hélium, dont les caractéristiques sont :

C_(Vm) = 3R/2, C_(pm) = 5R/2

avec

R = 8, 314 J.K^(- 1).mol^(- 1)

M_(He) = 4, 00 \times 10^(- 3) kg.mol^(- 1)

Dans l'ensemble du problème, le gaz est supposé parfait.

PARTIE 3.

3.1 Cycle de Brayton

Figure

n^\circ1

: Cycle de Brayton

Un gaz parfait circule dans une installation. Il échange du travail avec l'extérieur dans le compresseur et la turbine. Le travail fourni par le passage du gaz dans la turbine sert d'une part à faire fonctionner le compresseur (turbine et compresseur montés sur le même axe) et d'autre part à fabriquer de l'électricité. Les transferts thermiques ont lieu dans des échangeurs. Le fluide, ici un gaz d'hélium, décrit le cycle de Brayton. Ce cycle est constitué de deux isobares et de deux isentropiques :

compression adiabatique réversible du point 1 avec une température $T_1 = 300 K$ et une pression $p_1 = 20 \times 10^5 Pa$ vers le point 2 à la pression $p_2 = 80 \times 10^5 Pa$ ,
détente isobare du point 2 vers le point 3 à la température $T_3 = 1300 K$ ,
détente adiabatique réversible de 3 vers 4 (de $p_3 = p_2$ à $p_4 = p_1$ ),
compression isobare de 4 vers 1.
3.1.1 Pour une transformation isentropique, justifier que la relation entre $T$ et $p$ peut se mettre sous la forme : $T/(p^β) =$ Constante.
Exprimer $β$ en fonction de $γ($ avec $γ = (C_(pm))/(C_(Vm)))$ .
3.1.2 Déterminer les températures $T_2$ et $T_4$ . Effectuer l'application numérique.
3.1.3 Tracer le cycle de Brayton sur un diagramme $p = f(V_m)$ .
3.1.4 Calculer les travaux $W_(12)$ et $W_(34)$ échangés avec l'extérieur (travaux utiles reçus) lors des transformations isentropiques 12 et 34.
Rappel : pour les systèmes ouverts, on a : $dH_m = δW_(utile, m) + δQ_m$ avec $δW_(utile, m) = V_m dp$ .
Effectuer l'application numérique pour une mole d'hélium.
3.1.5 Exprimer les transferts thermiques reçus $Q_(23)$ et $Q_(41)$ . Effectuer l'application numérique pour une mole d'hélium.
3.1.6 Montrer que l'efficacité se met sous la forme :

e = 1 - 1/((r_p)^β) avec r_p = (p_2)/(p_1)

3.1.7 Calculer numériquement cette efficacité et comparer à l'efficacité de Carnot obtenue en utilisant les deux températures extrêmes du cycle.
3.1.8 Exprimer le travail reçu au cours d'un cycle à partir des températures extrêmes

T_3

T_1

, de

R

(ou

C_p

), de

β

et du rapport des pressions

r_p

.
3.1.9 Montrer que la valeur absolue du travail passe par une valeur maximale en fonction du rapport des pressions

r_(pm)

pour :

r_(pm) = ((T_3)/(T_1))^(1/(2β))

Calculer numériquement

r_(pm)

et l'efficacité dans ce cas.

3.2 Cycle de Brayton avec régénérateur

L'utilisation d'un régénérateur (ou récupérateur de chaleur) pendant les deux transformations isobares peut se révéler judicieux dans certaines conditions que nous allons déterminer. Si la température à la sortie de la turbine est plus élevée que la température du gaz comprimé à la sortie du compresseur, une partie de l'énergie du gaz sortant de la turbine peut être cédée (en recourant à un régénérateur) au gaz allant vers l'échangeur chaud et ainsi améliorer l'efficacité du cycle de Brayton. On suppose que les transferts thermiques associés au régénérateur sont internes.

Figure

n^\circ2

: Cycle de Brayton avec régénérateur

Dans le cycle, nous rajoutons deux lettres

x

y

afin d'isoler la partie échangée dans le régénérateur. Le cycle est donc composé comme indiqué sur la figure

n^\circ2

compression adiabatique réversible du point 1 vers le point 2,
détente isobare du point 2 vers le point x dans le régénérateur puis du point x au point 3 en contact avec le thermostat chaud,
détente adiabatique réversible du point 3 vers le point 4,
compression isobare du point 4 vers le point y dans le régénérateur puis du point y au point 1 en contact avec le thermostat froid.

En supposant un régénérateur parfait, on a :

T_x = T_4

T_y = T_2

.
3.2.1 Calculer algébriquement les transferts thermiques molaires

Q_(x3)

Q_(y1)

provenant des thermostats. L'application numérique n'est pas demandée.
3.2.2 En déduire l'efficacité et la mettre sous la forme :

e = 1 - ((T_1)/(T_3))(r_p)^β.

Effectuer l'application numérique avec

p_1 = 20 \times 10^5 Pa

p_2 = 80 \times 10^5 Pa

.
3.2.3 Pour quelle valeur de

r_(pe)

l'efficacité avec régénérateur est égale à l'efficacité sans régénérateur? Vérifier alors que

T_2 = T_4

, ce qui veut dire que le régénérateur ne joue plus aucun rôle.
3.2.4 Calculer numériquement

r_(pe)

dans ce cas et expliquer vers quelle valeur devrait tendre

r_p

pour atteindre l'efficacité de Carnot. Pour y parvenir, on utilise un étagement de la compression et de la détente conduisant au cycle d'Ericsson.

4.1 Les particules de combustible nucléaire

Le combustible est constitué de petites sphères multicouches appelées particules TRISO (voir figure

n^\circ3

). Le cœur de matériau fissile est entouré de plusieurs couches successives ayant pour rôles d'assurer la protection du noyau et le confinement des produits de fission. Nous prendrons comme matériau pour le cœur et la couche de céramique non pas un oxyde d'uranium

UO_2

et un carbure de silicium SiC comme déjà utilisé dans des centrales nucléaires mais un carbure d'uranium UC et un carbure de zirconium ZrC pour leurs propriétés physiques plus intéressantes.

Figure

n^\circ3

: Vue et coupe d'une particule TRISO

Dans cette partie, on considèrera que les propriétés physiques sont isotropes dans l'espace.

Couche

Position

Rayon extérieur

(m)

Conductivité thermique

λ

(W.m^(- 1).K^(- 1))

Carbure d'uranium (UC)

r < r_1

r_1 = 250 \times 10^(- 6)

Carbone poreux

r_1 < r < r_2

r_2 = 345 \times 10^(- 6)

0,5

Carbone pyrolytique (PyC) dense

r_2 < r < r_3

r_3 = 385 \times 10^(- 6)

Carbure de zirconium (ZrC)

r_3 < r < r_4

r_4 = 420 \times 10^(- 6)

Carbone pyrolytique (PyC) dense

r_4 < r < r_5

r_5 = 460 \times 10^(- 6)

Tableau

n^\circ1

: caractéristiques de couches composant la particule TRISO

La puissance par unité de volume produite sous forme d'énergie thermique dans le matériau fissile UC sera notée

σ_Q

. La conductivité thermique de la couche numérotée i sera notée

λ_i

.
4.1.1 Donner la loi de Fourier en indiquant les unités des différentes grandeurs.
4.1.2 L'équation de la chaleur pour le cœur en tenant compte du terme de production s'écrit

(du)/(dt) = - div(j_Q^(\to-)) + σ_Q.

Justifier cette équation.
4.1.3 En régime stationnaire, à quoi se réduit cette équation ?
4.1.4 Sachant que le laplacien en coordonnées sphériques d'un champ scalaire

ψ(r, θ, φ)

vaut :

\nabla^2 ψ = Δψ = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2\partial/(\partialr)ψ) + 1/(r^2 sin(θ))\partial/(\partialθ)(sin(θ)(\partialψ)/(\partialθ)) + 1/(r^2 sin^2(θ))(\partial^2 ψ)/(\partialφ^2).

Déterminer

T(r)

pour

r \leq r_1

. On notera

T_0

la température en

r = 0 m

.
4.1.5 Calculer numériquement la variation de température entre les abscisses

r = 0

r = r_1

. La puissance volumique

σ_Q

vaut

5, 0 \times 10^9 W.m^(- 3)

.
Afin de calculer la température dans les différentes couches de la particule TRISO, nous allons utiliser le concept de résistance thermique.
4.1.6 Donner la définition de la résistance thermique

R_(th)

d'un matériau soumis à un écart de température

T_1 - T_2(T_1 > T_2)

impliquant un flux thermique

Φ_(th)(Φ_(th) > 0

selon l'axe décroissant des températures).
4.1.7 Calculer le flux thermique en coordonnées sphériques et le mettre sous la forme :

Φ_(th) = B(dT)/(d(1/r))

où la constante

B

est à exprimer en fonction des données du problème. On rappelle que le gradient d'un champ scalaire

ψ(r, θ, φ)

s'écrit en coordonnées sphériques :

\nabla⃗ψ = e_r\to(\partialψ)/(\partialr) + e_θ\to1/r(\partialψ)/(\partialθ) + e_φ^(\to-)1/(rsin(θ))(\partialψ)/(\partialφ).

4.1.8 Calculer la résistance thermique

R_(th, 12)

d'une coque comprise entre un rayon

r_1

r_2(r_1 < r_2)

.
4.1.9 Calculer numériquement les résistances thermiques des 4 coques,

R_(th, 12), R_(th, 23), R_(th, 34)

R_(th, 45)

.
4.1.10 En déduire les températures aux interfaces

T_1, T_2, T_3

T_4

si la température extérieure

T_5

vaut 1300 K .

4.2 Dimensionnement de la centrale

La centrale nucléaire a une puissance thermique de

P_(th) = 600MW

et une puissance électrique de

P_e = 300MW

.
4.2.1 À partir de la puissance volumique

σ_Q = 5, 0 \times 10^9 W \cdot m^(- 3)

du combustible nucléaire, déterminer le nombre de particules TRISO nécessaires au fonctionnement du réacteur. Quel volume en

m^3

cela représente-t-il (voir caractéristiques du cœur et de la particule TRISO dans le tableau

n^\circ1

, page 12) ? On considèrera un empilement cubique simple des particules TRISO (particules aux sommets du cube).
4.2.2 Que vaut l'efficacité du cycle thermodynamique de la centrale en considérant l'absence de perte lors de la conversion du travail moteur en énergie électrique ?
Pour estimer le débit d'hélium

D

, nécessaire au fonctionnement de l'installation, on suppose une installation idéale fonctionnant sur le cycle d'Ericsson (fin question 3.2.4), avec des échanges externes uniquement sur les étagements correspondants à des pseudo-transformations isothermes.
4.2.3 Déterminer le transfert thermique

Q_C

nécessaire pour faire passer une mole d'hélium dans un système ouvert de la pression

p_2 = 80 \times 10^5 Pa

à la pression

p_1 = 20 \times 10^5 Pa

sachant que la température constante du gaz est imposée par le contact avec le thermostat

T_C = 1300 K

(voir fin de la question 3.1.4).
4.2.4 En déduire le débit d'hélium

D

, en

kg.s^(- 1)

, permettant le fonctionnement de l'installation.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 CCINP MP 2012 ?

La mécanique en référentiel tournant et la mécanique du solide (roulement avec et sans glissement), puis la thermodynamique : cycle de Brayton avec régénérateur et conduction thermique dans le combustible d'un réacteur nucléaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 1 CCINP MP 2012 ?

Un calcul vectoriel mal maîtrisé, de nombreuses erreurs de signe et d'homogénéité, des applications numériques fausses ou absentes, et des lacunes sur la loi de Laplace et le laplacien.

Le sujet de physique 1 CCINP MP 2012 est-il long ?

Oui selon le rapport : la partie mécanique étant un peu longue, presque aucun candidat n'a terminé la thermodynamique, et aucune copie n'a traité l'ensemble des problèmes.

Y a-t-il une erreur dans l'énoncé de physique 1 CCINP MP 2012 ?

Le rapport indique que, dans la partie thermodynamique, la génération de centrales notée 6 doit se lire 4.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Les calculatrices sont autorisées

MÉCANIQUE

PARTIE 1

Schémas n^∘1

Questions préliminaires

Modélisation du mouvement d'une particule

1.3 Donner les expressions des projections suivant e_r→ des trois forces indiquées précédemment.

Application numérique pour r_0 = 10 cm et r_1 = 20 cm

PARTIE 2

THERMODYNAMIQUE

PARTIE 3.

3.1 Cycle de Brayton

3.2 Cycle de Brayton avec régénérateur

4.1 Les particules de combustible nucléaire

4.2 Dimensionnement de la centrale

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 CCINP MP 2012 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 1 CCINP MP 2012 ?

Le sujet de physique 1 CCINP MP 2012 est-il long ?

Y a-t-il une erreur dans l'énoncé de physique 1 CCINP MP 2012 ?

Commentaires• CCINP Physique 1 MP 2012

Commentaires• CCINP Physique 1 MP 2012

Schémas $n^\circ1$

1.3 Donner les expressions des projections suivant $e_r\to$ des trois forces indiquées précédemment.

Application numérique pour $r_0 = 10 cm$ et $r_1 = 20 cm$