CCINP Mathématiques 1 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Normes équivalentes, continuité de fonctions définies par intégrale, intégrale curviligne et comparaison des convergences de séries de fonctions

Le sujet de mathématiques 1 du CCINP filière MP, session 2012, propose trois exercices indépendants suivis d'un problème. Les exercices portent sur les normes équivalentes, la continuité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre et le calcul d'une intégrale curviligne. Le problème étudie et compare, à l'aide de démonstrations de cours, d'exemples et de contre-exemples, les différentes notions de convergence d'une série de fonctions.

1Exercice 1 : normes équivalentesDémonstration qu'une application définit une norme, puis étude de l'équivalence de deux normes sur un espace de fonctions de classe C1.
2Exercice 2 : continuité d'une fonction définie par intégraleRappel des hypothèses du théorème de continuité sous le signe intégrale, puis application à deux fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre.
3Exercice 3 : une intégrale curviligneCalcul d'une intégrale curviligne le long d'un cercle.
4Problème : comparaison de convergencesÉtude des liens entre convergence normale, uniforme, absolue et simple d'une série de fonctions, à travers des démonstrations de cours et des exemples construits par le candidat.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la grande majorité des candidats a traité le sujet en entier, avec une moyenne convenable de 12,22/20, mais souligne un manque de rigueur récurrent attendu à ce niveau.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 12,22 / 20 · écart-type 4,12 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 12,22/ 20
Écart-type: 4,12

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Théorèmes utilisés sans vérification des hypothèses · Intégrale curviligne peu abordée malgré sa simplicité · Majorations non uniformes du reste

Ce sujet diversifié de mathématiques 1, filière MP, a permis de bien classer les candidats, avec une moyenne convenable de 12,22/20 et des notes bien étalées. Le jury relève peu de questions techniques ou calculatoires mais un manque de rigueur récurrent, notamment l'utilisation de théorèmes sans vérification complète des hypothèses et des raisonnements où les implications manquent.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Théorèmes utilisés sans vérification des hypothèsesExercice 1, question 1
Le jury reproche l'utilisation de théorèmes sans vérifier toutes les hypothèses, ou sans préciser quel théorème est utilisé, notamment pour démontrer une norme à l'exercice 1.
« On utilise des théorèmes sans vérifier toutes les h ypothèses, ou sans préciser quel théorème est utilisé. »
2
Intégrale curviligne peu abordée malgré sa simplicitéExercice 3
L'exercice 3, pourtant facile, a été assez peu traité. Beaucoup de candidats utilisent la formule de Green-Riemann, inapplicable ici car les fonctions ne sont pas de classe C1 en (0,0).
« Cet exercice facile a été assez peu traité par les candidats. »
3
Majorations non uniformes du resteProblème, questions 2, 3 et 7
Dans le problème sur les séries de fonctions, l'erreur la plus fréquente consiste à majorer le reste par une quantité qui dépend encore de x, ce qui ne prouve pas la convergence uniforme.
« Trop de majorations non uniformes du reste. »
4
Confusion entre suite et série de fonctionsProblème, question 1
Dans les questions de cours du problème, certains candidats confondent les notions de suite de fonctions et de série de fonctions.
« Quelques candidats confondent suite et séries de fonctions. »
5
Contre-exemple mal choisi sur les séries entièresProblème, question 4
La question 4, peu réussie, demandait de choisir la série entière somme de x^n comme contre-exemple. Deux points de cours ne semblent pas acquis : la convergence absolue sur tout l'intervalle ouvert de convergence, et l'absence de convergence garantie sur cet intervalle.
6
Hypothèses de domination mal poséesExercice 2
Dans l'exercice 2, des candidats oublient la valeur absolue dans les hypothèses de domination, et le calcul de la deuxième fonction est souvent faux faute de traiter séparément le cas où le paramètre est nul.

Ce qui a été bien réussi

La grande majorité des candidats a réussi à traiter le sujet dans son intégralité.
La question 9 du problème, facile, a été très largement correctement traitée.
La question 5 du problème a été bien traitée.
Un effort a été fait cette année sur le soin apporté à la présentation des copies.

Conseils du jury

Apprendre précisément le cours, en particulier les démonstrations des points importants ainsi que les exercices et exemples de base.
Soigner la rigueur et la clarté de l'exposition, en vérifiant toutes les hypothèses des théorèmes utilisés et en précisant lequel est appliqué.
Savoir manipuler sa calculatrice.
Soigner la présentation de sa copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices et d'un problème, tous indépendants.

Exercice 1 : Normes équivalentes

On note

E

l'espace vectoriel des applications de classe

C^1

définies sur l'intervalle

[0; 1]

et à valeurs dans

ℝ

On pose pour $f \in E$ :

‖f‖ = |f(0)| + 2\int_0^1|f^'(t)|dt et ‖f‖^' = 2|f(0)| + \int_0^1|f^'(t)|dt

(a) Démontrer que

‖‖

définit une norme sur

E

De même,

‖‖^'

est une norme sur

E

, il est inutile de le démontrer.
(b) i. Donner la définition de deux normes équivalentes.
ii. Démontrer que les deux normes

‖‖

‖‖^'

sont équivalentes sur

E

.
2. Toutes les normes sur

E

sont-elles équivalentes à la norme

‖‖

Exercice 2 : Continuité d'une fonction définie par intégrale

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $ℝ$ et $g$ une application de $I \times J$ dans $ℝ$ telle que pour tout $x \in I$ , la fonction $t \mapsto g(x, t)$ soit intégrable sur $J$ .
On pose, pour tout $x \in I, f(x) = \int_J g(x, t)dt$ .
Donner toutes les hypothèses du théorème de continuité d'une fonction définie par intégrale dépendant d'un paramètre permettant de conclure que la fonction $f$ est continue sur $I$ .
On pose, pour tout $x \in ℝ, f_1(x) = \int_0^(+ \infty)(arctan(xt))/(1 + t^2) dt$ .

Démontrer que la fonction

f_1

est continue sur

ℝ

.
3. On pose, pour tout

x \in [0, + \infty[, f_2(x) = \int_0^(+ \infty)xe^(- xt) dt

Calculer

f_2(x)

pour tout

x \in [0, + \infty[

.
La fonction

f_2

est-elle continue sur

[0, + \infty[

?
Que peut-on en conclure concernant l'hypothèse de domination?

Exercice 3 : Une intégrale curviligne

Calculer l'intégrale curviligne

\int_γ(- y)/(x^2 + y^2) dx + x/(x^2 + y^2) dy

le long du cercle

γ

de centre 0 et de rayon 1 , orienté dans le sens direct.

Problème : Comparaison de convergences

Dans tout le problème,

\sumf_n

est une série de fonctions définies sur un intervalle

I

ℝ

et à valeurs réelles.

Partie I

Une série de fonctions

\sumf_n

converge absolument sur

I

lorsque, pour tout

x \in I

, la série

\sum|f_n(x)|

converge. Dans les deux premières questions on supposera, pour simplifier les démonstrations, que toutes les fonctions

f_n

sont bornées sur

I

(a) Rappeler la définition de la convergence normale de la série de fonctions $\sumf_n$ sur $I$ .
(b) On suppose que la série de fonctions $\sumf_n$ converge normalement sur $I$ , démontrer que $\sumf_n$ converge absolument sur $I$ .
On suppose que la série de fonctions $\sumf_n$ converge normalement sur $I$ , démontrer que $\sumf_n$ converge uniformément sur $I$ .
On pourra démontrer que la suite des restes converge uniformément sur $I$ vers la fonction nulle ou utiliser toute autre méthode.
On pose pour $x \in [0; 1], f_n(x) = (- 1)^n((x^2 + n)/(n^2))$ .

Démontrer que la série de fonctions

\sumf_n

converge simplement puis converge uniformément sur

[0; 1]

mais ne converge absolument en aucune valeur de

[0; 1]

.
4. Si la série de fonctions

\sumf_n

converge absolument sur

I

, a-t-on nécessairement

\sumf_n

qui converge uniformément sur

I

?
On attend une réponse détaillée et on pourra utiliser une série entière.

Partie II

Dans toute cette partie,

(α_n)_(n \geq 1)

est une suite décroissante de réels positifs,

I = [0; 1[

et pour tout

x \in I, f_n(x) = α_n x^n(1 - x)

.
5. Justifier que la suite

(α_n)_(n \geq 1)

est bornée et que la série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

converge simplement sur

I

.
6. (a) Calculer pour

n ⩾ 1, ‖f_n‖_\infty = sup_(x \in I)|f_n(x)|

.
(b) Démontrer que la série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

converge normalement sur

I

si et seulement si la série de réels positifs

\sum_(n \geq 1)(α_n)/n

converge.
7. (a) Calculer pour tout

x \in I, \sum_(k = n + 1)^\inftyx^k

.
(b) Si on suppose que la suite

(α_n)_(n \geq 1)

converge vers 0 , démontrer que la série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

converge uniformément sur

I

.
On pourra observer que pour

k \geq n + 1, α_k \leq α_(n + 1)

.
(c) Réciproquement, démontrer que si la série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

converge uniformément sur

I

, alors la suite

(α_n)_(n \geq 1)

converge vers 0 .
8. Dans chacun des cas suivants, donner, en détaillant, un exemple de suite décroissante de réels positifs

(α_n)_(n \geq 1)

telle que :
(a) La série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

converge normalement sur

I

.
(b) La série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

ne converge pas uniformément sur

I

.
(c) La série de fonctions

\sum_(n \geq 1)f_n

converge uniformément sur

I

mais ne converge pas normalement sur

I

.
9. Résumer à l'aide d'un schéma toutes les implications possibles, pour une série de fonctions quelconque, entre les convergences : normale, uniforme, absolue et simple sur

I

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2012 ?

Le sujet porte sur les normes équivalentes, la continuité de fonctions définies par une intégrale à paramètre, une intégrale curviligne, et sur la comparaison des convergences (simple, uniforme, normale, absolue) d'une série de fonctions.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2012 ?

La moyenne est de 12,22/20, avec un écart-type de 4,12, ce que le jury juge convenable et bien étalé.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2012 ?

Le jury relève surtout un manque de rigueur : théorèmes appliqués sans vérifier toutes les hypothèses, majorations non uniformes du reste dans les séries de fonctions, et confusions entre suite et série de fonctions.

Cette épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2012 est-elle difficile ?

Le sujet est de niveau moyen : la grande majorité des candidats a pu le traiter en entier, avec peu de questions calculatoires, mais la rigueur attendue a fait la différence entre les copies.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 MP 2012

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