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Centrale Mathématiques 1 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Produit de convolution, transformée de Fourier et codimension finie
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Le problème fait travailler les candidats sur le produit de convolution et la transformée de Fourier. La première partie définit le produit de convolution et l'utilise pour retrouver une démonstration d'un théorème de Weierstrass. La deuxième partie définit la transformation de Fourier et fait prouver la formule d'inversion. La troisième partie fait dialoguer convolution et codimension dans l'espace vectoriel des fonctions intégrables sur R.

  1. 1Partie I : produit de convolutionDéfinition du produit de convolution, étude de ses propriétés, puis démonstration d'un théorème de Weierstrass à l'aide d'unités approchées.
  2. 2Partie II : transformée de FourierDéfinition de la transformation de Fourier et démonstration de la formule d'inversion, avec un détour par le sinus cardinal et un contre-exemple.
  3. 3Partie III : convolution et codimension finieDialogue entre les notions de convolution et de codimension dans l'espace vectoriel des fonctions intégrables sur R.

Difficile. Le rapport qualifie l'épreuve de longue et difficile, note que la partie III a été peu abordée, et relève que certaines questions n'ont été traitées correctement que par une très faible proportion de candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème de convergence normale mal connu · Comportement de lambda_n mal maîtrisé · Théorème de Fubini invoqué sans justification
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Le rapport souligne la longueur du sujet et une approche de la démonstration de l'inversion de Fourier différente de celle rencontrée par les candidats quelques jours plus tôt dans un autre concours. Le jury signale quelques légères erreurs d'énoncé qui n'ont pas beaucoup gêné les candidats. En conclusion, cette épreuve, longue et difficile, a permis de départager les candidats sur des questions au cœur du programme d'analyse de la filière.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de convergence normale mal connuI.C.3.a

    À la question I.C.3.a, le théorème de convergence normale semble inconnu de plus de 80 candidats sur 100, qui le confondent avec le théorème de Dirichlet ou un autre résultat.

    « Le théorème de « convergence normale » semble inconnu de plus de 80 candidats sur 100. »
  2. 2
    Comportement de lambda_n mal maîtriséI.D.3

    À la question I.D.3, très bien traitée dans son intégralité par seulement 2 candidats sur 1000, la plupart des candidats n'ont pas réussi à prouver le point a), le comportement de la suite ayant arrêté beaucoup d'entre eux.

    « Très bien traitée dans son intégralité par 2 candidats sur 1000. »
  3. 3
    Théorème de Fubini invoqué sans justificationII.B.1

    En II.B.1, pour de très nombreux candidats, écrire « d'après Fubini » suffisait à justifier les calculs les plus hasardeux et les moins justifiés.

  4. 4
    Résultat incorrect en II.C.1II.C.1

    À la question II.C.1, très peu de candidats obtiennent un résultat correct, ce qui a mis fin à leurs ambitions pour la suite de la partie II.C.

    « À notre grand étonnement, très peu de candidats, ont un résultat correct à cette question. »
  5. 5
    Erreurs grossières en II.C.2II.C.2

    À la question II.C.2, question classique, les réponses contiennent d'énormes erreurs, par exemple sur l'intégrabilité en l'infini ou le prolongement de la fonction en 0.

    « Une question classique dont les réponses sont émaillées d’énormes bêtises »
  6. 6
    Partie III peu abordéeIII.A

    La partie III, jugée difficile par le jury, a été peu abordée ; la question III.A a souvent été mal traitée car les candidats n'ont pas pris en compte le fait que L1(R) est un C-espace vectoriel.

Ce qui a été bien réussi

  • Le théorème utilisé en I.C.1.a est connu de 999 candidats sur 1000.
  • Les candidats sérieux ont bien traité la question II.A, qui réutilisait un théorème déjà rencontré.
  • Les questions I.D.1 et I.D.2, qui demandaient une grande technicité, ont été appréciées chez les candidats bien préparés.
  • Un bonus a été donné aux candidats rigoureux qui ont su rétablir les hypothèses manquantes malgré les erreurs d'énoncé.

Conseils du jury

  • Connaître le cours, lire le rapport du concours et s'entraîner sur des problèmes des années antérieures.
  • S'entraîner à rédiger de façon claire et concise, en citant avec précision les théorèmes employés.
  • Faire la différence entre une condition nécessaire et une condition suffisante.
  • Rappeler l'énoncé exact d'un théorème avant de l'utiliser, plutôt que de se contenter de le citer par son nom.
  • Mener un raisonnement par récurrence lorsque le programme l'exige, comme en I.C.2.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Notations

On note :
C(ℝ) le ℂ-espace vectoriel des fonctions continues de ℝ dans ℂ.
C_b(ℝ) le sous-espace vectoriel de C(ℝ) constitué des fonctions bornées appartenant à C(ℝ).
L^1(ℝ) le sous-espace vectoriel de C(ℝ) constitué des fonctions intégrables sur ℝ et appartenant à C(ℝ).
L^2(ℝ) le sous-espace vectoriel de C(ℝ) constitué des fonctions de carré intégrable sur ℝ et appartenant à C(ℝ).
Pour toute fonction f de C_b(ℝ), on pose ‖f‖_∞ = sup_(t ∈ ℝ)|f(t)|.
Pour toute fonction f de L^1(ℝ), on pose ‖f‖_1 = ∫_ℝ|f(t)|dt.
Pour toute fonction f de L^2(ℝ), on pose ‖f‖_2 = √(∫_ℝ|f(t)|^2 dt).
On admet que ces expressions définissent des normes sur les espaces en question.
Soit f une fonction complexe d'une variable réelle. Par définition, le support de f est l'adhérence de l'ensemble A_f = {x ∈ ℝ|f(x) ≠ 0}. On dit que f est à support compact si son support est un compact de ℝ; en d'autres termes, f est à support compact si et seulement s'il existe un réel A ⩾ 0 tel que f soit nulle en dehors de [ − A, A].
Par définition, une approximation de l'unité est une suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ), continues par morceaux et intégrables sur ℝ, vérifiant les conditions suivantes :
{∀n ∈ ℕ, f_n est positive sur ℝ;; ∀n ∈ ℕ, ∫_ℝ f_n = 1;; ∀ε > 0, lim_(n → + ∞)∫_(− ∞)^(− ε)f_n = 0 et lim_(n → + ∞)∫_ε^(+ ∞)f_n = 0.

I Produit de convolution

Soit f, g ∈ C(ℝ). Lorsque la fonction t ↦ f(t)g(x − t) est intégrable sur ℝ, on pose
(f∗g)(x) = ∫_ℝ f(t)g(x − t)dt
La fonction f∗g est appelée produit de convolution de f par g.

I.A - Généralités

I.A.1) Dans chacun des deux cas suivants, montrer que f∗g est définie et bornée sur ℝ et donner une majoration de ‖f∗g‖_∞ pouvant faire intervenir ‖ ⋅ ‖_(1,)‖ ⋅ ‖_2 ou ‖ ⋅ ‖_∞.
a) f ∈ L^1(ℝ), g ∈ C_b(ℝ);
b) f, g ∈ L^2(ℝ).
I.A.2) Soient f, g ∈ C(ℝ) telles que f∗g(x) soit défini pour tout réel x. Montrer que f∗g = g∗f.
I.A.3) Montrer que si f et g sont à support compact, alors f∗g est à support compact.
I.B - Produit de convolution de deux éléments de L^2(ℝ)
Pour toute fonction h de C(ℝ) et tout réel α, on définit la fonction T_α(h) en posant T_α(h)(x) = h(x − α) pour tout x ∈ ℝ.
Dans cette sous-partie I.B, on suppose que f et g appartiennent à L^2(ℝ).
I.B.1) Montrer qu'une fonction h est uniformément continue sur ℝ si et seulement si lim_(α → 0)‖T_α(h) − h‖_∞ = 0.
I.B.2) Pour tout réel α, montrer que T_α(f∗g) = (T_α(f))∗g.
I.B.3) Pour tout réel α, montrer que ‖T_α(f∗g) − f∗g‖_∞ ⩽ ‖T_α(f) − f‖_2 × ‖g‖_2.
I.B.4) En déduire que f∗g est uniformément continue sur ℝ dans le cas où f est à support compact.
I.B.5) Montrer que f∗g est uniformément continue sur ℝ dans le cas général.
I.C - Continuité, dérivabilité, séries de Fourier
I.C.1) On suppose que f ∈ L^1(ℝ) et g ∈ C_b(ℝ).
a) Montrer que f∗g est continue.
b) Montrer que si g est uniformément continue sur ℝ, alors f∗g est uniformément continue sur ℝ.
I.C.2) Soit k un entier naturel non nul. On suppose que g est de classe C^k sur ℝ et que toutes ses fonctions dérivées, jusqu'à l'ordre k, sont bornées sur ℝ.
Montrer que f∗g est de classe C^k sur ℝ et préciser sa fonction dérivée d'ordre k.
I.C.3) Dans cette question I.C.3, on suppose que g est continue, 2π-périodique et de classe C^1 par morceaux.
a) Énoncer sans démonstration le théorème sur les séries de Fourier applicable aux fonctions continues, 2π périodiques et de classe C^1 par morceaux.
b) Montrer que f∗g est 2π-périodique et est somme de sa série de Fourier. Expliciter les coefficients de Fourier de f∗g à l'aide des coefficients de Fourier de g et d'intégrales faisant intervenir f.
I.D - Approximation de l'unité
Soit f ∈ C_b(ℝ) et soit ( δ_n ) une suite de fonctions approximation de l'unité.
I.D.1) Montrer que la suite (f∗δ_n)_(n ∈ ℕ) converge simplement vers f sur ℝ.
I.D.2) Montrer que si f est à support compact, alors la suite (f∗δ_n)_(n ∈ ℕ) converge uniformément vers f sur ℝ.
I.D.3) Pour tout entier naturel n, on note h_n la fonction définie sur [ − 1, 1] par
h_n(t) = ((1 − t^2)^n)/(λ_n)
et nulle en dehors de [ − 1, 1], le réel λ_n étant donné par la formule
λ_n = ∫_(− 1)^1(1 − t^2)^n dt.
a) Montrer que la suite de fonctions (h_n)_(n ∈ ℕ) est une approximation de l'unité.
b) Montrer que si f est une fonction continue à support inclus dans [ − 1/2, 1/2], alors f∗h_n est une fonction polynomiale sur [ − 1/2, 1/2] et nulle en dehors de l'intervalle [ − 3/2, 3/2].
c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction complexe continue sur un segment de ℝ est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynomiales.
I.D.4) Existe-t-il une fonction g ∈ C_b(ℝ) telle que pour toute fonction f de L^1(ℝ), on ait f∗g = f ?

II Transformée de Fourier

Pour toute fonction f ∈ L^1(ℝ), on appelle transformée de Fourier de f la fonction, notée f^, définie par
∀x ∈ ℝ f^(x) = ∫_ℝ f(t)e^(− ixt) dt
II.A - Pour toute fonction f ∈ L^1(ℝ), montrer que f^ appartient à C_b(ℝ).
II.B - Transformée de Fourier d'un produit de convolution
Soit f, g ∈ L^1(ℝ).
II.B.1) On suppose que g est bornée.
a) Montrer que f∗g est intégrable sur ℝ et déterminer ∫_ℝ f∗g en fonction de ∫_ℝ f et ∫_ℝ g.
b) Montrer que f∗gˆ = f^ × g^.

II.B.2) Un contre-exemple

Montrer qu'il existe deux fonctions f et g dans L^1(ℝ) telle que f∗g(0) ne soit pas défini.

II.C - Sinus cardinal

On définit, pour tout entier naturel non nul n, la fonction k_n par
{k_n(x) = 1 − (|x|)/n, si |x| ⩽ n;; k_n(x) = 0, sinon .
II.C.1) Exprimer la transformée de Fourier k^_n(x) à l'aide de la fonction définie par
φ(x) = {((sinx)/x)^2, si x ≠ 0; 1, si x = 0
II.C.2) Justifier que φ ∈ L^1(ℝ).
On admet que ∫_ℝ φ = π. On pose K_n = 1/(2π)k^_n.
II.C.3) Montrer que la suite de fonctions (K_n)_(n ⩾ 1) est une approximation de l'unité.

II.D - Inversion de Fourier

Soit f ∈ L^1(ℝ) telle que f^ ∈ L^1(ℝ). Pour tout réel t et tout entier naturel non nul n, on pose
I_n(t) = 1/(2π)∫_ℝ k_n(x)f^(− x)e^(− itx) dx
II.D.1) Pour tout réel t et tout entier naturel non nul n, montrer que I_n(t) = (f∗K_n)(t).
II.D.2) En déduire, pour tout réel t :
f(t) = 1/(2π)∫_ℝ f^(x)e^(itx) dx

III Convolution et codimension finie

Dans cette partie, on suppose que g ∈ C_b(ℝ). On s'intéresse à la codimension dans L^1(ℝ) du sous-espace vectoriel
N_g = {f ∈ L^1(ℝ)|f∗g = 0}
On note V_g l'espace vectoriel engendré par les fonctions T_α(g) :
V_g = Vect(T_α(g))_(α ∈ ℝ)
où, comme au I.B, on note T_α(g) la fonction x ↦ g(x − α).
III. A - À toute fonction g de C(ℝ), on associe la forme linéaire φ_g sur L^1(ℝ) définie par
φ_g(f) = ∫_ℝ f(t)g(− t)dt
Soit (g_1, …, g_p) une famille d'éléments de C_b(ℝ).
III.A.1) Montrer que la famille ( g_1, …, g_p ) est libre si et seulement si la famille ( φ_(g_1), …, φ_(g_p) ) est libre.
III.A.2) Soit E un espace vectoriel de dimension infinie et (f_n)_(n ∈ ℕ) une famille de formes linéaires sur E. On note
K = ⋂_(n ∈ ℕ)Ker(f_n)
Montrer que la codimension de K dans E est égale au rang de la famille (f_n)_(n ∈ ℕ) dans l'espace dual E^∗ (on commencera par le cas où ce rang est fini).
III.A.3) Montrer que la codimension de N_g dans L^1(ℝ) est égale à la dimension de V_g.
III.A.4)
a) Soit β ∈ ℝ et soit g la fonction définie par g(t) = e^(iβt) pour tout t ∈ ℝ. Déterminer la codimension de N_g dans L^1(ℝ).
b) Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe une fonction g de C_b(ℝ) telle que N_g soit de codimension n dans L^1(ℝ).

III.B - Hypothèse A

Soit g ∈ C_b(ℝ). On dit que g vérifie l'hypothèse A si g est une fonction de classe C^∞ sur ℝ, bornée et dont les fonctions dérivées à tout ordre sont bornées sur ℝ.
III.B.1) Montrer que, si N_g est de codimension finie dans L^1(ℝ) et si g vérifie l'hypothèse A, alors g est solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
III.B.2) En déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant l'hypothèse A et telles que N_g soit de codimension finie dans L^1(ℝ).

III.C - Cas général

Soit g ∈ C_b(ℝ). On suppose que N_g est de codimension finie n dans L^1(ℝ).
III.C.1) Montrer qu'il existe des réels α_1, α_2, …, α_n et des fonctions m_1, …, m_n d'une variable réelle telles que, pour tout réel α,
T_α(g) = ∑_(i = 1)^n m_i(α)T_(α_i)(g).
III.C.2) Soit F un sous-espace de dimension finie, notée p, de C(ℝ). Pour toute fonction f ∈ C(ℝ) et pour tout réel x, on note e_x(f) = f(x).
a) Montrer qu'il existe des réels a_1, …, a_p tels que ( e_(a_1), …, e_(a_p) ) soit une base de l'espace dual F^∗.
b) Si(f_1, …, f_p) est une famille d'éléments de F, montrer que Det(f_i(a_j))_(1 ⩽ i, j ⩽ p) est non nul si et seulement si (f_1, …, f_p) est une base de F.
III.C.3) En appliquant la question III.C.2) à V_g, montrer que si g est de classe C^k alors les fonctions m_1, …, m_n sont de classe C^k.
III.C.4) Montrer que, pour tout entier naturel r non nul, V_(h_r∗g) est de dimension finie (les fonctions h_r sont celles de la question I.D.3).
III.C.5) Montrer que pour r assez grand la dimension de V_(h_r∗g) est égale à celle de V_g.
III.C.6) En déduire que les fonctions m_1, …, m_n sont de classe C^∞.
III.C.7) Déterminer l'ensemble des fonctions g ∈ C_b(ℝ) telles que N_g soit de codimension finie dans L^1(ℝ).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP 2012 ?

Le problème porte sur le produit de convolution, la transformée de Fourier et sa formule d'inversion, puis sur la notion de codimension dans l'espace des fonctions intégrables sur R.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Le jury relève une méconnaissance du théorème de convergence normale chez plus de 80% des candidats, l'invocation du théorème de Fubini sans justification, et de nombreuses erreurs grossières sur l'intégrabilité en II.C.2.

Ce sujet de Centrale maths 1 MP 2012 est-il difficile ?

Oui, le rapport le qualifie de long et difficile, et précise que la troisième partie, sur la codimension, a été peu abordée par les candidats.

Quelle partie du sujet est la moins bien traitée ?

La partie III, sur la convolution et la codimension finie, a été peu abordée et jugée difficile par le jury.

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