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Centrale Mathématiques 1 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Séries entières de matrices et équations fonctionnelles matricielles
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Le problème étudie deux types d'interaction entre fonctions réelles et matrices, à travers deux sous-problèmes indépendants. Les parties I à III définissent la notion de série entière de matrices, avec une norme euclidienne sous-multiplicative, pour en tirer une extension de l'exponentielle de matrices et une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton. Les parties IV et V étudient l'action d'une fonction sur une matrice coefficient par coefficient, via une équation fonctionnelle.

  1. 1Partie I : une norme utile sur M_d(R)Introduction d'une norme euclidienne canonique sous-multiplicative sur les matrices carrées.
  2. 2Partie II : séries entières de matricesÉtude de séries à valeurs matricielles pour montrer qu'une série entière en une matrice A s'écrit comme un polynôme en A.
  3. 3Partie III : deux applicationsExtension de l'exponentielle de matrices à la trigonométrie matricielle, puis démonstration du théorème de Cayley-Hamilton par série géométrique matricielle.
  4. 4Partie IV : étude d'une équation fonctionnelleÉtude d'une équation fonctionnelle générale, préalable à son application aux matrices dans la partie suivante.
  5. 5Partie V : étude d'une autre fonction matricielleDétermination des fonctions continues agissant coefficient par coefficient sur une matrice tout en préservant son caractère inversible.

Difficile. Le jury qualifie le sujet d'assez difficile à deux reprises, tout en notant que la variété des compétences attendues a permis à chaque candidat de s'exprimer.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Mauvaise identification du chapitre concerné · Confusion entre convergence absolue et convergence normale · Erreur de logique sur les quantificateurs
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Le sujet est jugé assez difficile mais suffisamment varié pour que chaque candidat puisse s'exprimer, et toutes les parties ont été abordées avec succès par un grand nombre de candidats. Le jury regrette un relâchement de l'exigence de rédaction (abréviations, phrases sans verbe, ratures) qui complique l'interprétation des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Mauvaise identification du chapitre concernéI.A, II.A

    Les candidats peinent à situer certaines questions dans le bon chapitre : la question I.A relève des fonctions de plusieurs variables et non de l'algèbre linéaire, la question II.A des suites et séries de fonctions et non des séries entières.

  2. 2
    Confusion entre convergence absolue et convergence normaleII.A

    À la question II.A, le jury observe très souvent une confusion de vocabulaire entre la convergence absolue de la série des normes et la convergence normale d'une suite de fonctions.

    « on retrouve très souvent une confusion de vocabulaire entre la convergence absolue »
  3. 3
    Erreur de logique sur les quantificateursII.C

    La quasi-totalité des candidats commettent une erreur de logique liée aux quantificateurs utilisés dans cette question.

    « La quasi-totalité des candidats commettent une erreur de logique dans la question II.C »
  4. 4
    Confusion entre dérivée et taux d'accroissementIV.A

    Une partie notable des candidats confondent la dérivée d'une fonction et ses taux d'accroissement.

    « Une partie notable des candidats confondent dans la question IV.A la dérivée d'une fonction et »
  5. 5
    Propriété utilisée avant d'être démontréeV

    En partie V, une bonne partie des candidats utilisent une propriété dès la deuxième question alors qu'elle n'est démontrée que trois questions plus tard.

Ce qui a été bien réussi

  • Toutes les parties ont été abordées, avec succès, par un grand nombre de candidats.
  • La grande majorité des candidats connaissent la formule de trace utilisée en I.B et I.C et ont pu traiter ces questions avec succès.
  • Certains candidats remarquables ont réussi à impressionner le jury en traitant la quasi-totalité des questions.

Conseils du jury

  • Prendre le temps de comprendre l'architecture du problème et le lien entre les questions avant de répondre.
  • Lire entièrement la partie en cours avant de commencer à répondre aux questions, même si lire tout le problème au premier abord est difficile.
  • Soigner la rédaction : éviter les abréviations, les phrases sans verbe et les ratures, et encadrer les résultats pour faciliter la lecture du correcteur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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L'objet de ce problème est l'étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices.
Dans tout le problème, on fixe un entier d ∈ ℕ^∗ et on note M_d(ℝ) (respectivement M_d(ℂ) ) l'espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille d × d. Si i et j sont deux entiers entre 1 et d, on note A_(i, j) le coefficient placé ligne i et colonne j dans la matrice A. On rappelle que A^0 = I_d. On note Tr(A) la trace de la matrice A.
Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V.

I Une norme utile sur M_d(ℝ)

I.A - Montrer que, pour tout polynôme P ∈ ℂ[X], l'application f_P : A ↦ P(A) est une fonction continue de M_d(ℝ) dans M_d(ℂ).
I.B - Montrer que l'application (A, B) ↦ Tr(^t A × B) est un produit scalaire sur l'espace M_d(ℝ).
Dans toute la suite du problème, on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire.
I.C - Pour tous entiers i, j entre 1 et d et toute matrice A ∈ M_d(ℝ), comparer |A_(i, j)| et ‖A‖.
I.D - Montrer que: ∀(A, B) ∈ M_d(ℝ)^2, ‖A × B‖ ⩽ ‖A‖ ⋅ ‖B‖.
I.E − Pour n ∈ ℕ^∗ et A ∈ M_d(ℝ), comparer ‖A^n‖ et ‖A‖^n.

II Séries entières de matrices

Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes ∑_(n ⩾ 0)a_n z^n de rayon de convergence R strictement positif, éventuellement égal à + ∞.
II.A - Soit B = {A ∈ M_d(ℝ), ‖A‖ < R}. Montrer que l'application φ : A ↦ φ(A) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n A^n est définie et continue sur B.
II.B - Soit A ∈ M_d(ℝ) une matrice non nulle telle que ‖A‖ < R.
II.B.1) Établir l'existence d'un entier r ∈ ℕ^∗ tel que la famille (A^k)_(0 ⩽ k ⩽ r − 1) soit libre et la famille (A^k)_(0 ⩽ k ⩽ r) soit liée.
II.B.2) Pour n ∈ ℕ, montrer l'existence et l'unicité d'un r-uplet ( λ_(0, n), …, λ_(r − 1, n) ) dans ℝ^r tel que
A^n = ∑_(k = 0)^(r − 1)λ_(k, n)A^k
II.B.3) Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que:
∀n ∈ ℕ, ∑_(k = 0)^(r − 1)|λ_(k, n)| ⩽ C‖A^n‖
II.B.4) En déduire que, pour tout entier k entre 0 et (r − 1), la série ∑_(n ⩾ 0)a_n λ_(k, n) est absolument convergente dans ℂ.
II.B.5) Conclure qu'il existe un unique polynôme P ∈ ℝ[X] tel que φ(A) = P(A) et degP < r.
II.B.6) Déterminer ce polynôme P lorsque A = (0, − 1, − 1; − 1, 0, − 1; 1, 1, 2) et a_n = 1/(n!) pour tout n ∈ ℕ.
II. C - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n z^n pour qu'il existe P ∈ ℝ[X] tel que
∀A ∈ M_d(ℝ), φ(A) = P(A)

III Deux applications

III.A - Première application : une formule de trigonométrie matricielle
III.A.1) Rappeler l'énoncé du théorème permettant de faire le produit de deux séries de nombres complexes.
On admet dans la suite de la partie III que le résultat valable pour les séries de nombres complexes est encore valable pour des séries de matrices dans M_d(ℂ).
III.A.2) Pour (A, B) ∈ M_d(ℝ)^2 tel que A et B commutent, montrer que exp(iA)exp(iB) = exp(i(A + B)).
III.A.3) Pour tout A ∈ M_d(ℝ), on pose
cos(A) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(A^(2n))/((2n)!) et sin(A) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(A^(2n + 1))/((2n + 1)!)
Montrer
∀A ∈ M_d(ℝ), cos(A)^2 + sin(A)^2 = I_d

III.B - Seconde application : le théorème de Cayley-Hamilton

On fixe une matrice A ∈ M_d(ℝ).
III.B.1) Pour R assez grand, montrer que, pour tout θ ∈ ℝ, la matrice (Re^(iθ)I_d − A) est inversible dans M_d(ℂ), et que son inverse est la matrice
(Re^(iθ))^(− 1)∑_(n = 0)^(+ ∞)(Re^(iθ))^(− n)A^n
III.B.2) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout R assez grand, la matrice
1/(2π)∫_0^(2π)(Re^(iθ))^n(Re^(iθ)I_d − A)^(− 1) dθ
vaut A^(n − 1).
III.B.3) On considère le polynôme caractéristique
χ_A(X) = det(A − X ⋅ I_d) = ∑_(k = 0)^d a_k X^k
Montrer que pour R assez grand :
χ_A(A) = 1/(2π)∫_0^(2π)(Re^(iθ))χ_A(Re^(iθ))(Re^(iθ)I_d − A)^(− 1) dθ
III.B.4) En déduire que χ_A(A) est la matrice nulle.
On pourra faire intervenir des comatrices.

IV Étude d'une équation fonctionnelle

Soit M ∈ ℝ_+^∗ ∪ { + ∞} et f : ] − ∞, M[ → ℝ une fonction continue telle que
∀(x, y) ∈ ] − ∞, M/2[^2, 2f(x + y) = f(2x) + f(2y)
IV. A - Soit α un nombre strictement inférieur à M/2 et F la primitive de f s'annulant en α. Montrer que pour tous x et y dans ] − ∞, M/2[, avec y ≠ α, on a :
f(2x) = 2(F(x + y) − F(x + α) − 1/4F(2y) + 1/4F(2α))/(y − α)
IV.B - En déduire que la fonction f est de classe C^∞ sur ] − ∞, M[.
IV. C - Montrer que f^(′′) = 0, puis que l'ensemble des solutions continues de l'équation (IV.1) forme un ℝ-espace vectoriel, dont on déterminera une base.

V Étude d'une autre fonction matricielle

Dans cette partie, on se donne une fonction ξ : ℝ → ℝ et on définit une fonction f_ξ : M_d(ℝ) → M_d(ℝ) telle que
∀A ∈ M_d(ℝ), f_ξ(A) = (ξ(A_(i, j)))_(1 ⩽ i, j ⩽ d)
On se propose de déterminer les fonctions continues ξ : ℝ → ℝ telles que
∀A ∈ M_d(ℝ), A inversible ⇒ f_ξ(A) inversible
V.A - Déterminer les fonctions continues ξ vérifiant la condition (V.1) lorsque d = 1.
On se place dorénavant dans le cas d ⩾ 2.
On se donne une fonction continue ξ de ℝ dans ℝ vérifiant (V.1).
V.B - Montrer
∀(a, b, c, d) ∈ ℝ^4, ad ≠ bc ⇒ ξ(a)ξ(d) ≠ ξ(b)ξ(c)
On pourra considérer la matrice (a, b, 0, ⋯, 0; c, d, 0, ⋯, 0; c, d; ⋮, ⋮, I_(d − 2); c, d).
V.C - En déduire que la fonction ξ est injective, puis qu'elle est strictement monotone sur ℝ.
V.D - Montrer que la fonction ξ ne s'annule pas sur ℝ^∗.
V. E - Le but de cette question est de montrer ξ(0) = 0.
V.E.1) Montrer que si ξ(0) ≠ 0, alors il existe α > 0 tel que ξ(0)ξ(2) = ξ(1)ξ(α).
V.E.2) Conclure.
V.F - Soit η = ξ^(− 1) : I → ℝ la fonction réciproque de la bijection ξ : ℝ → I. Montrer que là où cela est défini
(η(xy))^2 = η(x^2)η(y^2)
V.G − On suppose dans cette question que la fonction η prend des valeurs strictement positives sur I ∩ ]0, + ∞[.
V.G.1) Montrer que la fonction f = ln ∘ η ∘ exp vérifie l'équation (IV.1) sur un intervalle ] − ∞, M[, avec M (éventuellement infini) à préciser en fonction de l'intervalle I.
V.G.2) En déduire que sur l'intervalle I ∩ ]0, + ∞[ la fonction η est de la forme
η : x ↦ K_1 x^(α_1)
avec deux constantes K_1 > 0 et α_1 > 0.
V.G.3) Montrer que sur l'intervalle I ∩ ] − ∞, 0 [ la fonction η est de la forme
η : x ↦ K_2(− x)^(α_2)
avec deux constantes K_2 < 0 et α_2 > 0.
V.G.4) Montrer que I = ℝ puis que la fonction η est une fonction impaire.
V.H - En déduire dans le cas général que, si ξ : ℝ → ℝ est une fonction continue vérifiant la condition (V.1), alors elle est impaire et sa restriction à ℝ_+^∗ est de la forme x ↦ Cx^β, avec C ≠ 0 et β > 0.
V.I - Pour λ ∈ ℝ, calculer le déterminant de la matrice A_λ ∈ M_d(ℝ) ne comportant que des 1 hors de la diagonale et que des λ sur la diagonale.
V.J − En déduire toutes les fonctions continues ξ : ℝ → ℝ vérifiant (V.1).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP 2014 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP 2014 ?

Le sujet porte sur les séries entières de matrices, avec une application au théorème de Cayley-Hamilton, puis sur l'étude d'une équation fonctionnelle appliquée à des fonctions matricielles coefficient par coefficient.

Ce sujet de maths 1 Centrale MP 2014 est-il difficile ?

Le jury le qualifie d'assez difficile, mais souligne que la variété des compétences attendues permet à chaque candidat de s'exprimer, et que toutes les parties ont été abordées avec succès par un grand nombre de candidats.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet Centrale MP 2014 ?

Le jury relève une confusion entre convergence absolue et convergence normale, une erreur de logique sur les quantificateurs, une confusion entre dérivée et taux d'accroissement, et un relâchement dans la qualité de la rédaction.

Quels chapitres réviser pour ce sujet Centrale maths 1 MP 2014 ?

Il faut maîtriser les séries entières, la réduction des endomorphismes et le théorème de Cayley-Hamilton, les suites et séries de fonctions, ainsi que les fonctions de plusieurs variables.

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