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Centrale Mathématiques 1 MP 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Autour de la transformation de Radon

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
La transformation de Radon sur les fonctions définies sur R2
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Le problème étudie la transformation de Radon sur les fonctions définies sur R2 et sa formule d'inversion. La première partie étudie le groupe des isométries affines du plan et son action sur les droites, les parties II à IV mettent en place la transformation de Radon et sa formule d'inversion, et la dernière partie en propose une interprétation en vue d'une application à la radiographie.

  1. 1Partie I : groupe des isométries affines du planÉtude du groupe des isométries affines vu comme sous-groupe de GL3(R) et de son action sur les droites affines du plan.
  2. 2Partie II : fonctions radialesÉtude introductive de la classe des fonctions radiales et de calculs d'intégrales associés.
  3. 3Partie III : transformation de Radon et intégrales sur les cerclesLien entre la transformation de Radon, intégrale sur des droites, et des intégrales sur les cercles, via des théorèmes de continuité et dérivabilité des intégrales à paramètres.
  4. 4Partie IV : formule d'inversionMise en place de la formule d'inversion de la transformation de Radon à l'aide de théorèmes fins du chapitre d'intégration.
  5. 5Partie V : interprétation et application à la radiographieInterprétation de la transformation de Radon en vue de son application à la radiographie, à partir des propriétés démontrées précédemment.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet était assez facile dans les deux premières parties, permettant aux candidats d'aborder une partie significative du sujet, les parties III et IV étant plus techniques et donc plus discriminantes.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Condition suffisante confondue avec une nécessité · Linéarité invoquée hors sujet · Résultat d'intégrale calculatrice donné sans explication
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Le sujet, de grande progressivité, a permis à l'ensemble des candidats de s'exprimer de façon différenciée. Toutes les parties ont été abordées avec profit et une quarantaine de candidats s'est distinguée en traitant le sujet à peu près dans sa totalité, tandis que les parties III et IV, plus techniques, ont été plus discriminantes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Condition suffisante confondue avec une nécessitéI.A.3

    Beaucoup de candidats ont considéré en I.A.3 que l'inverse d'une matrice de G devait nécessairement se trouver dans G, alors qu'il ne s'agit que d'une condition suffisante.

  2. 2
    Linéarité invoquée hors sujetI.A.5

    Une forte minorité de candidats a voulu utiliser la linéarité de Phi en I.A.5, ce qui est hors sujet puisque l'ensemble de départ n'est pas un espace vectoriel.

  3. 3
    Résultat d'intégrale calculatrice donné sans explication

    Le fait de donner un résultat de calcul d'intégrale sans aucune explication, même avec la calculatrice autorisée, est perçu comme une tentative de bluff et sanctionné comme tel.

  4. 4
    Conservation erronée de l'intégrabilité par équivalenceII.B

    Une grosse majorité des candidats pense à tort que si h(x) est équivalente à x en plus l'infini et que phi est intégrable en plus l'infini, alors il en est de même de phi(h(x)).

  5. 5
    Nature des variables mal précisée

    La distinction entre variable d'intégration et paramètre n'était pas apparente dans la majorité des copies, ce qui a rendu les questions de la partie III extrêmement sélectives.

Ce qui a été bien réussi

  • La vérification des axiomes de sous-groupe en I.A est plutôt connue.
  • La sous-partie I.C a été globalement plus réussie que la I.B.
  • Si les candidats savent bien réaliser un changement de variable dans une intégrale, la difficulté porte surtout sur le cadre théorique de son utilisation.
  • La majorité des candidats s'est bien préoccupée de la convergence du crochet lors de l'intégration par parties en IV.C.2.

Conseils du jury

  • Expliquer et justifier les calculs d'intégrales réalisés à la calculatrice plutôt que de simplement donner le résultat.
  • Préciser systématiquement pour chaque fonction utilisée la nature des variables, en distinguant variable d'intégration et paramètre.
  • Vérifier la convergence de toutes les intégrales concernées lors d'une intégration par parties, pas seulement celle du crochet.
  • S'appuyer sur les outils du programme (produit scalaire, paramétrisation de courbe) plutôt que sur les seules notions de terminale pour traiter les questions sur les droites.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Autour de la transformation de Radon

L'objectif de ce problème est l'étude d'un certain opérateur intégral agissant sur les fonctions du plan, appelé transformation de Radon. On se propose d'établir une formule d'inversion et d'interpréter la transformation en termes de fonctions invariantes sur un groupe de matrices. Enfin on étudiera une application du procédé dans le domaine de l'imagerie médicale.

Notations

On note ℝ le corps des nombres réels et M_3(ℝ) l'algèbre des matrices carrées de taille 3 × 3 à coefficients dans ℝ. Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de M_3(ℝ) est noté GL_3(ℝ) et son élément neutre, I_3.
Les éléments du plan vectoriel ℝ^2 seront notés en colonne, pour tout réel θ on notera u⃗_θ = ((cosθ)/(sinθ)).
Le plan est muni de sa structure euclidienne canonique, donnée par le produit scalaire
⟨((x_1)/(y_1)), ((x_2)/(y_2))⟩ = x_1 x_2 + y_1 y_2
L'ensemble des matrices des rotations vectorielles planes est appelé groupe spécial orthogonal et noté SO(2), son élément neutre, I_2. On écrira R_θ = (cosθ, − sinθ; sinθ, cosθ).

I Préliminaires géométriques

Soit G le sous-ensemble de M_3(ℝ) des matrices de la forme M(A, b⃗) = (A, b_1; b_2; 0, 0) où A est un élément du groupe spécial orthogonal SO(2) et b⃗ = ((b_1)/(b_2)) est un vecteur quelconque du plan euclidien ℝ^2.
I.A - Isométries affines directes du plan euclidien
I.A.1) Déterminer un couple (A, b⃗) dans SO(2) × ℝ^2 tel que l'on ait M(A, b⃗) = I_3.
I.A.2) Soient (A, b⃗) et (A^′, b⃗^′) dans SO(2) × ℝ^2. Montrer que M(A, b⃗)M(A^′, b⃗^′) = M(AA^′, Ab⃗^′ + b⃗).
I.A.3) Montrer que les éléments de G sont inversibles et expliciter l'inverse de M(A, b⃗).
I.A.4) Démontrer que G est un sous-groupe de GL_3(ℝ).
I.A.5) L'application Φ : {G, →, ℝ^2; M(A, b⃗), ↦, b⃗ est-elle surjective ? Est-elle injective ?

I.B - Droites affines du plan

Pour q ∈ ℝ et u⃗ = ((u_1)/(u_2)) vecteur unitaire de ℝ^2, on note Δ(q, u⃗) la droite affine du plan passant par le point ( qu_1, qu_2 ) et orthogonale à u⃗.
I.B.1) Représenter graphiquement Δ(0, e⃗_1) et Δ(2, (e⃗_1 + e⃗_2)/(√2)).
I.B.2) Déterminer une équation cartésienne de Δ(q, u⃗_θ).
I.B.3) Montrer qu'une paramétrisation de Δ(q, u⃗_θ) est donnée par {x(t) = qcosθ − tsinθ; y(t) = qsinθ + tcosθ lorsque t parcourt ℝ.
I.B.4) À quelle condition les droites Δ(q, u⃗) et Δ(r, v⃗) sont-elles confondues ?

I. C − Action de G sur les droites

On note D l'ensemble des droites affines du plan et on considère l'application Ψ : {G, →, D; M(A, b⃗), ↦, Δ(⟨Ae⃗_1, b⃗⟩, Ae⃗_1).
I.C.1) Représenter Ψ(M(A, b⃗)) dans le cas A = R_(π/6) et b⃗ = (1/2).
I.C.2) Déterminer Ψ(M(I_2, 0→)).
I.C.3) Vérifier que Ψ(M(R_θ, qu⃗_θ)) = Δ(q, u⃗_θ); en déduire que Ψ est surjective.
I.C.4) Soit H l'ensemble des matrices M(A, b⃗) de G telles que Ψ(M(A, b⃗)) = Δ(0, e⃗_1).
a) Décrire les éléments de H.
b) Montrer que H est un sous-groupe de G.
c) Montrer que pour tout g de G, et tout h de H, on a Ψ(gh) = Ψ(g).
Pour tout entier n, on note B_n l'ensemble des fonctions f de classe C^1 sur ℝ^2 à valeurs dans ℝ telles que (x, y) ↦ (x^2 + y^2)^n f(x, y) est bornée sur ℝ^2.
Si f est une fonction continue sur ℝ^2 on appelle transformée de Radon de f la fonction f^ définie, là où c'est possible, par
f^(q, θ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(qcosθ − tsinθ, qsinθ + tcosθ)dt

II Fonctions radiales

II.A - Étude d'un exemple

On considère, dans cette sous-partie seulement, la fonction f définie par: ∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = 1/(1 + x^2 + y^2).
II.A.1) Établir que f est dans B_1.
II.A.2) Montrer que f^ est définie sur ℝ^2 avec f^(q, θ) = π/(√(1 + q^2)).
II.A.3) On pose R(q) = 1/(2π)∫_0^(2π)f^(q, θ)dθ. Démontrer que q ↦ (R^′(q))/q est intégrable sur ]0, + ∞[ et que
f(0, 0) = − 1/π∫_0^(+ ∞)(R^′(q))/q dq
On pourra, pour calculer cette dernière intégrale, procéder au changement de variable q = sh(u).
II.A.4) La fonction (∂f)/(∂x) est-elle dans B_2 ?

II.B - Fonctions radiales : cas général

On suppose dans le reste de cette partie qu'il existe une fonction φ de ℝ^+vers ℝ, continue et intégrable sur ℝ^+, telle que: ∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = φ(√(x^2 + y^2)).
II.B.1) Pour r ∈ ℝ^+, calculer f¯(r) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(rcost, rsint)dt.
II.B.2) Justifier la convergence, pour tout réel q ⩾ 0, de ∫_q^(+ ∞)(rφ(r))/(√(r^2 − q^2)) dr.
II.B.3) Démontrer que la transformée de Radon de f est définie sur ℝ^2 et que
∀q ∈ ℝ^+, ∀θ ∈ ℝ f^(q, θ) = 2∫_q^(+ ∞)(rφ(r))/(√(r^2 − q^2)) dr
II.B.4) En déduire que ∀q ∈ ℝ^+, 1/(2π)∫_0^(2π)f^(q, θ)dθ = 2∫_q^(+ ∞)(rf¯(r))/(√(r^2 − q^2)) dr.

III Transformée de Radon d'une fonction de B_1

On considère dans cette partie une fonction f appartenant à B_1 et on rappelle que
f^(q, θ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(qcosθ − tsinθ, qsinθ + tcosθ)dt
III. A - Vérifier que f^ est définie sur ℝ^2.
III. B - Justifier que pour tout q et tout θ on a f^(− q, θ + π) = f^(q, θ).
III. C - On pose encore f¯(r) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(rcost, rsint)dt.
III.C.1) Démontrer que f¯ est de classe C^1 sur ℝ.
III.C.2) Démontrer que la fonction r ↦ r^2 f¯(r) est bornée sur ℝ.
III.C.3) Montrer que si on suppose de plus que (∂f)/(∂x) et (∂f)/(∂y) sont dans B_2, alors r ↦ r^4 f¯^′(r) est bornée sur ℝ.
Sous ces hypothèses, on peut démontrer en manipulant des intégrales doubles que la formule du II.B. 4 reste vraie. Nous admettrons donc dans la suite que
∀q ∈ ℝ^+ 1/(2π)∫_0^(2π)f^(q, θ)dθ = 2∫_q^(+ ∞)(rf¯(r))/(√(r^2 − q^2)) dr

IV Formule d'inversion

On souhaite retrouver la fonction f à partir de sa transformée f^. À cet effet on pose pour (x, y) ∈ ℝ^2,
R_(x, y)(q) = 1/(2π)∫_0^(2π)f^(xcosθ + ysinθ + q, θ)dθ
L'objectif est de démontrer la formule d'inversion de Radon : ∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = (− 1)/π∫_0^(+ ∞)(R_(x, y)^′(q))/q dq.

IV.A - Résultats préliminaires

IV.A.1) Justifier l'existence de l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(dt)/(t√(t^2 − 1)) et montrer que sa valeur est π/2.
IV.A.2) Soient ε et r fixés tels que 0 < ε < r. Avec le changement de variables q = rcosθ, établir que
∫_ε^r(dq)/(q^2√(r^2 − q^2)) = (√(r^2 − ε^2))/(r^2 ε)

IV.B - Étude d'une fonction définie par une intégrale

Soit h une fonction de classe C^1 sur ℝ^+. On suppose que r ↦ r^2 h(r) est bornée et on pose H(q) = ∫_1^(+ ∞)(th(qt))/(√(t^2 − 1)) dt.
IV.B.1) Montrer que H est continue sur ]0, + ∞[.
IV.B.2) Montrer qu'au voisinage de + ∞ on a H(q) = O(1/(q^2)).
IV.B.3) Démontrer que si on suppose de plus que r ↦ r^4 h^′(r) est bornée, alors la fonction H est de classe C^1 sur ]0, + ∞[.

IV.C - Vers la formule d'inversion

On considère une fonction f de B_1 dont les dérivées partielles (∂f)/(∂x) et (∂f)/(∂y) sont dans B_2.
On pose, avec les notations de la partie III: ∀q ∈ ℝ^+, F(q) = 1/(2π)∫_0^(2π)f^(q, θ)dθ = 2∫_q^(+ ∞)(rf¯(r))/(√(r^2 − q^2)) dr.
IV.C.1) Justifier que F est de classe C^1 sur ]0, + ∞[ et qu'au voisinage de + ∞ on a F(q) = O(1/q).
IV.C.2) Démontrer : ∀ε > 0, ∫_ε^(+ ∞)(F^′(q))/q dq = − (F(ε))/ε + 2∫_ε^(+ ∞)1/(q^2)(∫_q^(+ ∞)(rf¯(r))/(√(r^2 − q^2)) dr)dq.
IV.C.3) On admet que l'on peut intervertir les deux intégrales ci dessus et donc que
∀ε > 0 ∫_ε^(+ ∞)(1/(q^2)∫_q^(+ ∞)(rf¯(r))/(√(r^2 − q^2)) dr)dq = ∫_ε^(+ ∞)(∫_ε^r(rf¯(r))/(q^2√(r^2 − q^2)) dq)dr
En déduire que ∀ε > 0, ∫_ε^(+ ∞)(F^′(q))/q dq = − 2ε∫_ε^(+ ∞)(f¯(r))/(r√(r^2 − ε^2)) dr.

IV.D - La formule d'inversion

On considère une fonction f dans B_1 telle que (∂f)/(∂x) et (∂f)/(∂y) sont dans B_2.
IV.D.1) Établir la formule d'inversion de Radon pour cette fonction f au point (x, y) = (0, 0).
IV.D.2) Les hypothèses faites sur f sont-elles nécessaires pour que la formule d'inversion de Radon soit vérifiée au point (x, y) = (0, 0) ?
IV.D.3) Proposer une démarche pour obtenir la formule d'inversion de Radon en tout couple ( x, y ) à partir de la formule en (0, 0).

V Interprétation et application à la radiographie

La transformation de Radon peut être introduite dans le cadre plus général de l'analyse sur les groupes. Le but de cette partie est d'interpréter l'opérateur étudié plus haut en termes de fonctions invariantes sur G.

V.A - Fonctions invariantes sur G

Si f est une fonction définie sur ℝ^2, on note f^∗ la fonction f ∘ Φ, définie sur G par f^∗(g) = f(Φ(g)) où Φ : G → ℝ^2 est la fonction introduite dans la question I.A.5.
V.A.1) Démontrer que pour tout g dans G et r tel que Φ(r) = 0→ on a f^∗(gr) = f^∗(g).
On dit alors que f^∗ est invariante par les rotations du plan, vues comme des éléments de G.
V.A.2) On suppose à présent que f vérifie les hypothèses permettant de définir sa transformée de Radon et on va démontrer que f^ peut également être vue comme une fonction sur G, sujette à un autre type d'invariance. Démontrer que si deux droites Δ(q_1, u⃗_(θ_1)) et Δ(q_2, u⃗_(θ_2)) coïncident, alors f^(q_1, θ_1) = f^(q_2, θ_2).
Ce résultat permet de faire l'abus de notation f^(Δ(q, u⃗_θ)) = f^(q, θ)) sans qu'il en résulte d'ambiguïté.
V.A.3) On définit à présent f^^⋆ sur G en composant f^ par Ψ : on pose, pour tout g ∈ G, f^^⋆(g) = f^(Ψ(g)). Démontrer que f^^⋆ est H-invariante, c'est-à-dire que pour tous g ∈ G et h ∈ H, f^^⋆(gh) = f^^⋆(g).

V. B - Reconstruction en radiographie

Une technique courante en imagerie médicale consiste à mesurer l'intensité d'un faisceau de rayons X avant et après la traversée d'une certaine zone, l'objectif étant de déterminer la densité des tissus dans la zone. L'objectif des dernières questions du problème est d'illustrer, dans un modèle de dimension deux, comment la formule d'inversion de Radon peut être utilisée dans ce cadre.
On modélise la densité des tissus, exprimée dans des unités convenables, par une fonction inconnue f nulle en dehors de la zone à étudier et dont on suppose qu'elle vérifie des hypothèses assurant l'existence de
Figure 1
f.
En supposant que chaque faisceau de rayons X incident est porté par une droite affine Δ, et en notant I son intensité mesurée de part et d'autre de la zone visée, un raisonnement heuristique donne
ln((I_e)/(I_s)) = ∫_Δ f
où le membre de droite désigne l'intégrale de f sur la droite Δ dans un sens à préciser.
V.B.1) Proposer une définition rigoureuse du membre de droite de (V.1) dans le cas où Δ = Δ(q, u⃗_θ).
V.B.2) Expliquer comment la formule d'inversion de Radon permet en principe de connaître la densité des tissus dans la zone radiographiée.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte centrale maths 1 MP 2015 ?
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Sur quels chapitres porte centrale maths 1 MP 2015 ?

Le sujet porte sur le groupe des isométries affines du plan, les intégrales à paramètre, la convergence d'intégrales et les théorèmes d'intégration, autour de l'étude de la transformation de Radon.

Ce sujet centrale maths 1 MP 2015 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme assez facile dans ses deux premières parties, mais les parties III et IV, plus techniques, ont été nettement plus discriminantes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur centrale maths 1 MP 2015 ?

Une confusion entre condition nécessaire et suffisante pour l'inverse d'une matrice, une conservation erronée de l'intégrabilité par équivalence, et un manque de précision sur la nature des variables dans les intégrales à paramètre.

Ce sujet centrale maths 1 MP 2015 était-il faisable en entier ?

Le rapport indique qu'une quarantaine de candidats s'est distinguée en traitant le sujet à peu près dans sa totalité, grâce à la grande progressivité du problème.

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