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Loi normale, théorème central limite et inégalités de concentration
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Ce sujet de mathématiques C, filière MP (ULCR), étudie en quatre parties la fonction gaussienne G et une équation différentielle associée pour obtenir des majorations uniformes de ses solutions. Ces outils servent ensuite à démontrer la convergence en loi d'une somme normalisée de variables aléatoires indépendantes bornées vers la loi normale, avec une vitesse de convergence explicite, puis à établir des inégalités de concentration comparées à ce résultat.

  1. 1Partie IDémontre que l'intégrale de Gauss vaut 1, résout l'équation différentielle φ'(x) - xφ(x) = g(x) et établit des majorations uniformes de la solution φ et de ses dérivées successives.
  2. 2Partie IIÉtablit, par intégration par parties, une identité vérifiée par toute fonction test φ associée à la loi gaussienne, puis l'utilise pour caractériser la convergence d'une suite de densités vers la loi normale.
  3. 3Partie IIIApplique les résultats précédents à une somme normalisée Z_n de variables aléatoires indépendantes, centrées, réduites et bornées, pour démontrer sa convergence en loi vers la loi normale avec une vitesse de convergence explicite.
  4. 4Partie IVÉtablit des inégalités de concentration pour la moyenne empirique de variables aléatoires bornées et les compare à l'estimation de vitesse de convergence obtenue dans la partie III.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)L'utilisation des calculatrices électroniques est interdite.

On définit, pour tout le problème, la fonction Gaussienne G : ℝ → ℝ donnée par G(x) = 1/(√(2π))e^(− x^2/2).

I

a. Pour t > 0 on pose
A(t) = (∫_0^t e^(− x^2)dx)^2 B(t) = − ∫_0^1(e^(− t^2(1 + x^2)))/(1 + x^2)dx
A l'aide du changement de variables x = ty, montrer que les fonctions A et B ont la même dérivée.
b. En déduire que
∫_(− ∞)^(+ ∞)G(x)dx = 1
  1. Etant donnée une fonction g bornée continue sur ℝ, résoudre l'équation différentielle ordinaire
φ^′(x) − xφ(x) = g(x)
  1. Etant donnée une fonction f bornée continue sur ℝ, et posant ⟨f⟩ = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)G(x)dx, montrer que la fonction donnée par
φ(x) = e^(x^2/2)∫_(− ∞)^x e^(− y^2/2)(f(y) − ⟨f⟩)dy
est de classe C^1 sur ℝ et est solution de l'équation différentielle
φ^′(x) − xφ(x) = f(x) − ⟨f⟩.
Montrer aussi que
φ(x) = − e^(x^2/2)∫_x^(+ ∞)e^(− y^2/2)(f(y) − ⟨f⟩)dy
  1. Montrer que pour tous nombres réels x, y, on a
e^(− y^2/2) ⩽ e^(− x^2/2)e^(− x(y − x))
Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a
|φ(x)| ⩽ (C_0‖f‖_∞)/(1 + |x|),
avec C_0 ⩽ max(4, 2√(2πe)). Pour ce faire, on distinguera les cas x ⩾ 1, x ⩽ − 1, − 1 ⩽ x ⩽ 1. En déduire que φ^′ est bornée sur ℝ.
5) On suppose dans tout le reste de cette partie en outre que f est de classe C^1 avec f^′ bornée sur ℝ. Montrer que
φ(x) = − ∫_0^(+ ∞)e^(− s^2/2)e^(− sx)(f(x + s) − ⟨f⟩)ds
En déduire que pour tout x ∈ ℝ, on a
(1 + |x|)|φ^′(x)| ⩽ C(‖f‖_∞ + ‖f^′‖_∞)
où C est une constante indépendante de f. En définissant C_1 comme la meilleure constante possible dans cette inégalité, en proposer une majoration explicite.
6) Justifier que φ est de classe C^2 sur ℝ et que pour tout x ∈ ℝ on a
|φ^(′′)(x)| ⩽ C(‖f‖_∞ + ‖f^′‖_∞),
où C est une constante indépendante de f. En définissant C_2 comme la meilleure constante possible dans cette inégalité, en proposer une majoration explicite.

II

Soit (g_n)_(n ∈ ℕ) une suite de fonctions réelles positives continues par morceaux.
  1. En utilisant une intégration par parties que l'on justifiera, montrer que pour toute fonction φ de classe C^1 sur ℝ telle que φ et φ^′ soient bornées sur ℝ, on a
∫_(− ∞)^(+ ∞)G(x)(φ^′(x) − xφ(x))dx = 0
  1. On suppose pour cette question que la suite (g_n) est telle que ∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)dx = 1 et que pour toute fonction h de classe C^1 sur ℝ telle que h et h^′ soient bornées, on a
lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)(h^′(x) − xh(x))dx = 0
Montrer, en utilisant les résultats de la partie I, que pour toute fonction f continue bornée, on a
lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)f(x)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)G(x)f(x)dx
  1. On suppose pour cette question que la suite (g_n) est telle que ∫_(− ∞)^(+ ∞)x^2 g_n(x)dx est bornée indépendamment de n et que pour toute fonction f bornée de classe C^∞ sur ℝ on a
lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)f(x)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)G(x)f(x)dx
a. Justifier que si h est de classe C^∞ sur ℝ et à support compact, on a
lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)(h^′(x) − xh(x))dx = 0
b. On considère une famille (χ_R)_(R ∈ ℝ_+^∗) de fonctions bornées indépendamment de R, de classe C^∞ sur ℝ, telles que χ_R vaut 1 sur [ − R, R] et 0 en dehors de [ − R − 1, R + 1]. Montrer que si h est de classe C^1 sur ℝ et telle que h et h^′ soient bornées sur ℝ, étant donné ε > 0 et n ∈ ℕ, il existe R tel que
|∫_(− ∞)^(+ ∞)(1 − χ_R(x))g_n(x)(h^′(x) − xh(x))dx| ⩽ ε.
c. Montrer que si h est de classe C^∞ sur ℝ, bornée et de dérivée bornée sur ℝ, étant donné ε > 0, il existe R tel que
|lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)χ_R(x)(h^′(x) − xh(x))dx| ⩽ ε
d. Montrer que le même résultat est vrai si h est seulement de classe C^1 sur ℝ, avec toujours h bornée et de dérivée bornée.
e. Déduire des questions précédentes que si h est de classe C^1 sur ℝ et telle que h et h^′ soient bornées sur ℝ, on a
lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)g_n(x)(h^′(x) − xh(x))dx = 0

III

Dans toute cette partie et la suivante, on suppose que (X_i)_(i ∈ ℕ) est une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs réelles, sur un espace de probabilité. On suppose que les X_i sont indépendantes, d'espérance nulle, de variance 1, et uniformément bornées en valeur absolue par une constante M.
On pose, pour tout n, Z_n = 1/(√n)(X_1 + ⋯ + X_n). On notera P la probabilité et E l'espérance.
Soit f une fonction de classe C^1 sur ℝ telle que f et f^′ sont bornées sur ℝ, et ⟨f⟩ = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)G(x)dx. Soit φ définie à partir de f comme à la question I. 3).
  1. Vérifier que
E(φ^′(Z_n) − Z_n φ(Z_n)) = E(f(Z_n) − ⟨f⟩).
  1. Pour i entier dans [1, n], on définit Z_(n, i) = 1/(√n)(X_1 + ⋯ + X_(i − 1) + X_(i + 1) + ⋯ + X_n) = Z_n − 1/(√n)X_i. En utilisant les résultats de la partie I, montrer que
|X_i φ(Z_n) − X_i φ(Z_(n, i)) − (X_i^2)/(√n)φ^′(Z_(n, i))| ⩽ (C_2)/2(|X_i|^3)/n(‖f‖_∞ + ‖f^′‖_∞)
  1. En déduire que
|E(Z_n φ(Z_n)) − 1/n∑_(i = 1)^n E(φ^′(Z_(n, i)))| ⩽ (C_2 M)/(2√n)(‖f‖_∞ + ‖f^′‖_∞).
  1. En utilisant le même type d'arguments, montrer que
|E(φ^′(Z_n)) − 1/n∑_(i = 1)^n E(φ^′(Z_(n, i)))| ⩽ (C_2)/(√n)(‖f‖_∞ + ‖f^′‖_∞)
  1. Déduire de toutes les questions précédentes que
|E(f(Z_n)) − ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)G(x)dx| ⩽ (C_2(1 + 1/2M))/(√n)(‖f‖_∞ + ‖f^′‖_∞)
  1. Montrer que pour tout nombre réel a, on a
lim_(n → ∞)P(Z_n < a) = ∫_(− ∞)^a G(x)dx
et montrer que la vitesse de convergence peut se majorer par un O(n^(− 1/4)). On pourra par exemple encadrer la fonction indicatrice de l'intervalle ] - ∞, a ] par des fonctions bien choisies.

IV

On garde les mêmes hypothèses qu'à la partie précédente, à savoir que ( X_i ) forme une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs réelles, indépendantes, d'espérance nulle, de variance 1, et uniformément bornées en valeur absolue par une constante M.
1)
a. En utilisant une propriété de convexité, montrer que pour tout t ≥ 0 et tout i, on a
E(e^(tX_i)) ⩽ 1/2(e^(tM) + e^(− tM)).
b. Montrer que pour t ⩾ 0 et M ≥ 0, on a
1/2(e^(tM) + e^(− tM)) ⩽ e^(1/2t^2 M^2).
  1. En déduire que pour tout δ > 0,
P(1/n∑_(i = 1)^n X_i ⩾ δ) ⩽ e^(− (nδ^2)/(2M^2)).
  1. Comparer ce résultat à celui de la question III. 6) : quelle est la meilleure estimation quand n tend vers l'infini (discuter selon les cas)?
a. On définit sur ℝ la fonction
f(x) = (e^x − 1 − x)/(x^2).
Montrer que si |X| ≤ M on a f(X) ⩽ f(M).
b. En utilisant les hypothèses sur X_i et l'inégalité 1 + x ⩽ e^x, en déduire que pour tout t ⩾ 0 et tout i, on a
E(e^(tX_i)) ⩽ exp(1/(M^2)(e^(tM) − 1 − tM)).
En déduire l'amélioration suivante du résultat précédent:
P(1/n∑_(i = 1)^n X_i ⩾ δ) ⩽ e^(− n/(M^2)Φ(Mδ)),
où Φ(x) = (1 + x)log(1 + x) − x.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques C, filière MP, ULCR 2015 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques C, filière MP, ULCR 2015 ?

Il porte sur l'analyse (intégrales à paramètre, équations différentielles) puis sur les probabilités : convergence en loi vers la loi normale et inégalités de concentration.

Ce sujet demande-t-il des connaissances de probabilités ?

Oui, les parties III et IV portent sur des sommes de variables aléatoires indépendantes bornées et leur convergence en loi.

Quel résultat classique de probabilités est démontré dans ce sujet ?

Une version quantitative du théorème central limite, avec une vitesse de convergence explicite, complétée par des inégalités de concentration de type Hoeffding.

Faut-il maîtriser les équations différentielles linéaires pour ce sujet ?

Oui, la partie I résout une équation différentielle linéaire du premier ordre dont la solution sert d'outil pour toute la suite du sujet.

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