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Théorème de Fejér, équirépartition modulo 1 et théorème de Weyl
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Le sujet construit d'abord le théorème de Fejér sur l'approximation uniforme d'une fonction continue périodique par des polynômes trigonométriques, via les noyaux de Fejér. Il s'en sert ensuite pour caractériser l'équirépartition modulo 1 des suites réelles, démontrer le théorème de Weyl sur les suites polynomiales, puis relier ce résultat à l'approximation rationnelle des nombres irrationnels (nombres de Liouville).

  1. 1I. PréliminairesÉtablit des résultats de continuité uniforme et de convergence de moyennes de Cesàro utilisés dans la partie suivante.
  2. 2II. Théorème de Fejér et applicationsDémontre que toute fonction continue périodique est limite uniforme de ses sommes de Cesàro, à l'aide du noyau de Fejér.
  3. 3III. ÉquirépartitionCaractérise l'équirépartition modulo 1 d'une suite réelle par le comportement de ses sommes exponentielles.
  4. 4IV. Théorème de WeylDémontre, via l'inégalité et le lemme de van der Corput, que la suite des valeurs d'un polynôme à coefficient dominant irrationnel est équirépartie.
  5. 5V. Approximation rationnelle et équirépartition quantitativeÉtudie les nombres de Liouville et le théorème de Liouville, puis établit une vitesse de convergence pour l'équirépartition de la suite (alpha n + x).

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pour tout y ∈ R, on notera ⌊y⌋ la partie entière de y, c'est-à-dire l'unique entier relatif ⌊y⌋ ∈ Z tel que ⌊y⌋ ≤ y < ⌊y⌋ + 1. Pour tout sous-ensemble A ⊂ R, on notera 1_A sa fonction caractéristique.
Pour tout z ∈ C, on notera |z| le module de z. On notera ℓ^1(Z) l'ensemble des suites de nombres complexes (z_k)_(k ∈ Z) telles que ∑_(k ∈ Z)|z_k| < + ∞.
On dira qu'une fonction continue f : R → C est périodique de période T > 0 si pour tout x ∈ R, on a f(x + T) = f(x). Dans ce problème, on supposera toujours que T = 1 et on dira simplement qu'une fonction continue f : R → C est périodique si pour tout x ∈ R, on a f(x + 1) = f(x). On notera C_(per) l'espace vectoriel de toutes les fonctions f : R → C continues et périodiques muni de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ R)|f(x)|.
Si f ∈ C_(per) est une fonction continue et périodique que l'on suppose de plus de classe C^∞ sur R, on notera f^((m)) pour tout m ∈ N, la dérivée m-ième de f qui appartient encore à l'espace C_(per). On rappelle qu'une suite (f_n)_(n ∈ N) de fonctions de C_(per) converge uniformément vers f ∈ C_(per) lorsque lim_(n → + ∞)‖f_n − f‖_∞ = 0.
Pour tout k ∈ Z, on notera e_k ∈ C_(per) la fonction définie par
e_k(x) = exp(2πikx) pour tout x ∈ R
Soit une fonction f ∈ C_(per). Pour tout k ∈ Z, on définit c_k(f) ∈ C, le k-ième coefficient de Fourier de f, par
c_k(f) = ∫_0^1 f(y)e_(− k)(y)dy
Pour tous n, N ∈ N, on définit les fonctions S_n(f) ∈ C_(per) et σ_N(f) ∈ C_(per) par
S_n(f) = ∑_(k = − n)^n c_k(f)e_k et σ_N(f) = 1/(N + 1)∑_(n = 0)^N S_n(f).
Le sujet est composé de cinq parties. Les résultats de la partie I seront utilisés dans la partie II. Les résultats de la partie II seront utilisés dans les parties III et V. Les résultats de la partie III seront utilisés dans la partie IV.

I. Préliminaires

Le but de cette partie est d'étabir des résultats préliminaires qui seront utiles dans la partie II.
(I.1) Soit f : [0, 1] → C une fonction continue telle que f(0) = f(1). Soit f˜ : R → C la fonction définie par f˜(x) = f(x − ⌊x⌋) pour tout x ∈ R. Montrer que f˜ ∈ C_(per).
(I.2) Montrer que toute fonction f ∈ C_(per) est uniformément continue sur R.
(I.3) Soit (z_n)_(n ∈ N) une suite de nombres complexes qui converge vers z ∈ C. Montrer que la suite de nombres complexes (Z_N)_(N ∈ N) definie par
Z_N = 1/(N + 1)∑_(n = 0)^N z_n
converge aussi vers z.

II. Théorème de Fejér et applications

Le but de cette partie est de démontrer le Théorème de Fejér qui affirme que toute fonction f ∈ C_(per) est la limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (S_n(f))_(n ∈ N).
Pour tout N ∈ N, on définit la fonction K_N ∈ C_(per) par
K_N = 1/(N + 1)∑_(n = 0)^N∑_(k = − n)^n e_k
(II.1) Soit N ∈ N. Montrer que
∫_0^1 K_N(y)dy = 1
(II.2) Soient N ∈ N et x ∈ R∖Z. Montrer que
K_N(x) = 1/(N + 1)((sin((N + 1)πx))/(sin(πx)))^2
(II.3) Soit f ∈ C_(per). Soient N ∈ N et x ∈ R.
(II.3.a) Montrer que
σ_N(f)(x) = ∫_0^1 f(y)K_N(x − y)dy.
(II.3.b) En déduire que
σ_N(f)(x) − f(x) = ∫_0^1(f(x − y) − f(x))K_N(y)dy
(II.4) Théorème de Fejér. Soit f ∈ C_(per).
(II.4.a) Montrer que pour tout ε > 0, il existe 0 < δ < 1/2 tel que pour tout N ∈ N et tout x ∈ R, on a
∫_0^δ|f(x − y) − f(x)|K_N(y)dy ≤ ε et ∫_(1 − δ)^1|f(x − y) − f(x)|K_N(y)dy ≤ ε
(II.4.b) Montrer que pour tout δ > 0, il existe une constante κ_(δ, f) > 0 (qui dépend de δ et de f ) telle que pour tout N ∈ N et pour tout x ∈ R, on a
∫_δ^(1 − δ)|f(x − y) − f(x)|K_N(y)dy ≤ (κ_(δ, f))/(N + 1)
(II.4.c) En déduire que la suite de fonctions (σ_N(f))_(N ≥ 1) converge uniformément vers f.
(II.5) Soit f ∈ C_(per) une fonction que l'on suppose de plus de classe C^∞ sur R.
(II.5.a) Soient k ∈ Z et n ∈ N. Établir une relation entre les coefficients de Fourier c_k(f) et c_k(f^((n))).
(II.5.b) En déduire que (c_k(f))_(k ∈ Z) ∈ ℓ^1(Z).
(II.5.c) Montrer que la suite de fonctions (S_n(f))_(n ∈ N) converge uniformément vers f.

III. Équirépartition

Le but de cette partie est d'étudier l'équirépartition modulo 1 des suites de nombres réels.
Pour tout sous-ensemble fini X ⊂ N, on notera ♯X le cardinal de l'ensemble X. Pour tout entier N ≥ 1, on notera simplement [ [1, N] ] = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ N}. Pour tout entier N ≥ 1, toute suite de nombres réels (x_n)_(n ≥ 1) et tout sous-ensemble non vide Y ⊂ [0, 1], on notera
γ(N, (x_n), Y) = 1/N♯{1 ≤ n ≤ N : x_n − ⌊x_n⌋ ∈ Y}.
On dira qu'une suite de nombres réels (x_n)_(n ≥ 1) est équirépartie si pour tous 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, on a
lim_(N → + ∞)γ(N, (x_n), [a, b]) = b − a.
(III.1) Montrer qu'une suite de nombres réels (x_n)_(n ≥ 1) est équirépartie si et seulement pour tous 0 ≤ a < b ≤ 1, on a
lim_(N → + ∞)γ(N, (x_n), [a, b[) = b − a.
(III.2) Soit f ∈ C_(per). Pour tout entier M ≥ 1, on notera
Φ_M(f) = ∑_(k ∈ Z)∑_(j = 0)^(M − 1)f(k + j/M)1_([k + j/M, k + (j + 1)/M[)
(III.2.a) Montrer que pour tout ε > 0, il existe un entier M ≥ 1 tel que
sup_(x ∈ R)|f(x) − Φ_M(f)(x)| ≤ ε.
(III.2.b) Soit (x_n)_(n ≥ 1) une suite de nombres réels équirépartie. En déduire que
lim_(N → + ∞)1/N∑_(n = 1)^N f(x_n) = ∫_0^1 f(y)dy.
(III.3) On se propose de montrer la réciproque de la question III.2. Soit (x_n)_(n ≥ 1) une suite de nombres réels qui vérifie ( ∗ ) pour toute fonction f ∈ C_(per). Soient 0 ≤ a < b ≤ 1.
(III.3.a) Étant donné ε > 0, en vous aidant d'un dessin, construire des fonctions f_ε^−, f_ε^+ ∈ C_(per) telles que pour tout x ∈ [0, 1], on a
f_ε^−(x) ≤ 1_([a, b])(x) ≤ f_ε^+(x)
et
∫_0^1(f_ε^+(y) − f_ε^−(y))dy ≤ ε
(III.3.b) En déduire que la suite (x_n)_(n ≥ 1) est équirépartie.
(III.4) Soit (x_n)_(n ≥ 1) une suite de nombres réels telle que pour tout k ∈ Z∖{0}, on a
lim_(N → + ∞)1/N∑_(n = 1)^N e_k(x_n) = 0
Montrer que la suite (x_n)_(n ≥ 1) est équirépartie.
(III.5) Soient α ∈ R∖Q et x ∈ R. Montrer que la suite (αn + x)_(n ≥ 1) est équirépartie.
(III.6) Soit α ∈ R∖Q et f ∈ C_(per). Pour tout n ∈ N, on note F_n ∈ C_(per) la fonction définie par F_n(x) = f(αn + x) pour tout x ∈ R. Montrer que
lim_(N → + ∞)‖∫_0^1 f(y)dy − 1/N∑_(n = 1)^N F_n‖_∞ = 0

IV. Théorème de Weyl

Le but de cette partie est de démontrer le Théorème de Weyl qui affirme que pour tout polynôme de degré d ≥ 1 à coefficients réels P(X) = α_d X^d + ⋯ + α_1 X + α_0 ∈ R[X] tel que α_d ∈ R∖Q, la suite de nombres réels (P(n))_(n ≥ 1) est équirépartie.
(IV.1) Inégalité de van der Corput. Soit (z_n)_(n ≥ 1) une suite de nombres complexes tels que |z_n| ≤ 1 pour tout n ≥ 1. Soient 1 ≤ H ≤ N.
(IV.1.a) Montrer que
|∑_(n = 1)^N z_n − 1/H∑_(n = 1)^N∑_(h = 1)^H z_(n + h)| ≤ H + 1.
(IV.1.b) Montrer que
|1/N∑_(n = 1)^N z_n| ≤ 1/(N^(1/2))1/H(∑_(n = 1)^N|∑_(h = 1)^H z_(n + h)|^2)^(1/2) + (H + 1)/N.
(IV.1.c) En écrivant
∑_(n = 1)^N|∑_(h = 1)^H z_(n + h)|^2 = ∑_(n = 1)^N∑_(h, h^′ = 1)^H z_(n + h)z_(n + h^′)^– = ∑_(n = 1)^N∑_(h = 1)^H|z_(n + h)|^2 + 2∑_(n = 1)^N∑_(1 ≤ h^′ < h ≤ H)z_(n + h)z_(n + h^′)^–,
et en effectuant un changement de variables approprié, montrer que
∑_(n = 1)^N|∑_(h = 1)^H z_(n + h)|^2 ≤ NH + 2H∑_(h = 1)^H|∑_(n = 1)^N z_(n + h)z_n^–| + H^2(H + 1).
(IV.1.d) En déduire que
|1/N∑_(n = 1)^N z_n| ≤ √2(1/H∑_(h = 1)^H|1/N∑_(n = 1)^N z_(n + h)z_n^–|)^(1/2) + 1/(H^(1/2)) + ((H + 1)/N)^(1/2) + (H + 1)/N.
(IV.2) Lemme de van der Corput. Soit (x_n)_(n ≥ 1) une suite de nombres réels tels que pour tout h ≥ 1, la suite de nombres réels (x_(n + h) − x_n)_(n ≥ 1) est équirépartie. Montrer que la suite (x_n)_(n ≥ 1) est équirépartie.
(IV.3) Démontrer le Théorème de Weyl en raisonnant par récurrence sur le degré d ≥ 1.

V. Approximation rationnelle et équirépartition quantitative

Le but de cette partie est d'étudier l'approximation des nombres réels par les nombres rationnels et les liens avec l'équirépartition.
On dira qu'un nombre réel α est de Liouville si pour tout entier n ≥ 1, il existe un couple (p_n, q_n) ∈ Z × (N∖{0, 1}) tel que
0 < |α − (p_n)/(q_n)| < (1/(q_n))^n.
On dira qu'un nombre réel α est algébrique s'il existe un polynôme P(X) ∈ Q[X] non constant tel que P(α) = 0.
(V.1) Montrer qu'un nombre réel de Liouville est irrationnel.
(V.2) Théorème de Liouville.
(V.2.a) Soit α ∈ R∖Q tel qu'il existe un polynôme P(X) ∈ Q[X] irréductible à coefficients entiers de degré d ≥ 2 tel que P(α) = 0. Montrer qu'il existe une constante c_α > 0 (qui dépend de α ) telle que
|α − p/q| ≥ (c_α)/(q^d) pour tout (p, q) ∈ Z × N^∗
(V.2.b) En déduire qu'un nombre réel algébrique sur Q n'est pas de Liouville.
(V.2.c) Montrer que le nombre réel
α = ∑_(n = 1)^∞1/(10^(n!))
n'est pas algébrique.
(V.3) Équirépartition quantitative. Dans cette question, on prouve une version quantitative de la convergence de la question III.6.
Soit α un nombre irrationnel qui n'est pas de Liouville. Soit f ∈ C_(per) une fonction que l'on suppose de plus de classe C^∞ sur R. Pour tout n ∈ N, on note F_n ∈ C_(per) la fonction définie par F_n(x) = f(αn + x) pour tout x ∈ R.
Montrer qu'il existe une constante C_(α, f) > 0 (qui dépend de α et de f ) telle que
‖∫_0^1 f(y)dy − 1/N∑_(n = 1)^N F_n‖_∞ ≤ (C_(α, f))/N pour tout N ≥ 1
Indication : on pourra utiliser les résultats de la question II.4.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C des ENS MP 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C des ENS MP 2017 ?

Il porte sur les séries de Fourier et la convergence uniforme (théorème de Fejér), puis sur l'équirépartition modulo 1 des suites réelles, le théorème de Weyl et l'approximation des irrationnels par des rationnels.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé indique que les résultats de la partie I servent en II, ceux de II servent en III et V, et ceux de III servent en IV. Les parties ne sont donc pas indépendantes entre elles, sauf une partie de la partie V (théorème de Liouville) qui peut être traitée à part.

Faut-il connaître le théorème de Weyl avant de traiter ce sujet ?

Non, il est entièrement redémontré dans la partie IV à partir de l'inégalité de van der Corput, elle-même établie dans le sujet.

Quel bagage de première année est mobilisé ?

Essentiellement la continuité uniforme et les suites numériques classiques ; l'essentiel du sujet (séries de Fourier, équirépartition) relève du programme de deuxième année.

Pas de description pour le moment