ENS Mathématiques C MP 2016Sujet et corrigé

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2016 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires, la réduction des endomorphismes, les séries entières, les séries de fonctions et une application à l'équation de la chaleur.

Q: Quelles parties du sujet ENS maths C MP 2016 sont indépendantes ?

La partie 1 est utile pour la partie 2, et les parties 3, 4 et 5 forment une deuxième chaîne indépendante des parties 1 et 2, comme l'indique le schéma de dépendance donné en préambule.

Q: Qu'est-ce que la classe de Gevrey étudiée dans ce sujet ?

C'est un ensemble de fonctions indéfiniment dérivables dont les dérivées successives sont majorées par une expression du type M (n!)^s / R^n, ce qui généralise les fonctions analytiques (cas s=1).

Q: Ce sujet traite-t-il de théorie du contrôle ?

Oui, il étudie la contrôlabilité de systèmes différentiels et, dans la dernière partie, de l'équation de la chaleur, c'est-à-dire l'existence d'une commande permettant d'amener la solution à zéro en un temps fixé.

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Contrôlabilité d'équations différentielles, classes de Gevrey et équation de la chaleur

Le sujet étudie la contrôlabilité d'une équation différentielle linéaire scalaire puis d'un système différentiel linéaire, c'est-à-dire l'existence d'une commande ramenant la solution à zéro en temps fini. Il introduit ensuite les classes de Gevrey, des fonctions régulières dont les dérivées sont contrôlées par une croissance factorielle, construit des exemples explicites de telles fonctions, puis les utilise pour résoudre un problème de contrôlabilité pour l'équation de la chaleur.

1Partie 1 : équation différentielle scalaireDémonstration de l'existence d'une commande u amenant une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n et ses dérivées à s'annuler en temps T, à l'aide d'un isomorphisme entre polynômes et conditions aux bords.
2Partie 2 : système différentielDémonstration de l'équivalence entre la contrôlabilité d'un système différentiel linéaire y' = Ay + ub et le caractère de base de la famille (b, Ab, ..., A^{n-1}b), par mise sous forme compagnon de la matrice A.
3Partie 3 : classe de Gevrey, résultats générauxÉtude des propriétés de stabilité de la classe de Gevrey d'ordre s (structure d'espace vectoriel, stabilité par produit et par inverse d'une fonction minorée).
4Partie 4 : classe de Gevrey, exemplesConstruction explicite de fonctions plateau appartenant à la classe de Gevrey d'ordre 3/2, à l'aide de développements en série entière et d'estimations de coefficients de Cauchy.
5Partie 5 : équation de la chaleurConstruction d'une solution de l'équation de la chaleur sur un segment, à partir d'une fonction de Gevrey, permettant de montrer un résultat de contrôlabilité en temps T pour cette équation.

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2016

filière MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)
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On note

$ℝ_N[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré $⩽ N$ ,
$⟨.,$ . $⟩leproduitscalaireeuclidiensurℝ^n : ⟨x, y⟩ = \sum_(j = 1)^n x_j y_j$ pour tout $x = (x_1, \dots, x_n), y = (y_1, \dots, y_n) \in ℝ^n$ ,
$M_n(ℝ)$ l'algèbre des matrices carrées $n \times n$ à coefficients réels,
$I_n$ son élément unité,
exp l'exponentielle sur $M_n(ℝ) : exp(A) = \sum_(k = 0)^\infty(A^k)/(k!), \forallA \in M_n(ℝ)$ ,
$f^((k))$ la dérivée $k$ -ième de la fonction $f$ , pour $k ⩾ 1$ , lorsque $I$ est un intervalle ouvert de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ est $k$ -fois dérivable sur $I$ ; par convention $f^((0)) = f$ ,
$C^m([0, T], ℝ)$ , pour $m ⩾ 1$ , l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle fermé $[0, T]$ , de classe $C^m$ sur l'intervalle ouvert $]0, T[$ , admettant des dérivées à droite en 0 , et à gauche en $T$ , jusqu'à l'ordre $m$ et telles que $f^((k))$ soit continue sur $[0, T]$ pour $k = 1, \dots, m$ ,
$C^\infty([0, T], ℝ):= \cap _(m \in ℕ)C^m([0, T], ℝ)$ ,
$(n/k)$ les coefficients binomiaux: $(n/k) = (n!)/(k!(n − k)!), ∀n ∈ ℕ^∗, k ∈ {0, …, n}$ .

Les relations entre les 5 parties sont:

1 \Rightarrow 2 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5

Ainsi, la partie 1 est utile pour résoudre la partie 2 mais les parties

(3, 4, 5)

sont indépendantes des parties ( 1,2 ), etc.

1 Équation différentielle scalaire

Dans cette partie, on fixe

n \in ℕ^*, T > 0, a_0, \dots, a_(n - 1), c_0, \dots, c_(n - 1) \in ℝ

. Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant.

Proposition 1 Il existe

u \in C^0([0, T], ℝ)

tel que la solution

f

du système

(Σ) : {f^((n))(t) + a_(n − 1)f^((n − 1))(t) + ⋯ + a_0 f(t) = u(t), ∀t ∈ [0, T]; f^((k))(0) = c_k pour k = 0, …, n − 1

vérifie

f^((k))(T) = 0

pour

k = 0, \dots, n - 1

Justifier, pour tout $u \in C^0([0, T], ℝ)$ , l'existence et l'unicité de $f \in C^n([0, T], ℝ)$ vérifiant $(Σ)$ .
Montrer que l'application suivante est un isomorphisme

L : ℝ_(2n - 1)[X], \to ℝ^(2n); P, \mapsto (P(0), \dots, P^((n - 1))(0), P(T), \dots, P^((n - 1))(T))

Montrer qu'il existe $f \in C^\infty(ℝ, ℝ)$ telle que $f^((k))(0) = c_k$ et $f^((k))(T) = 0$ pour $k = 0, \dots, n - 1$ .
Montrer la Proposition 1.
La fonction $u$ évoquée dans la Proposition 1 est-elle unique?

2 Système différentiel

Dans cette partie, on fixe

n \in ℕ^*, T > 0, A \in M_n(ℝ)

b \in ℝ^n

. Le but de cette partie est de montrer l'équivalence entre les énoncés suivants.

(E1): $(b, Ab, \dots, A^(n - 1)b)$ est une base de $ℝ^n$ .
(E2): Pour tout $y^0 \in ℝ^n$ , il existe $u \in C^0([0, T], ℝ)$ tel que la solution de

{(dy)/(dt)(t) = Ay(t) + u(t)b, ∀t ∈ [0, T]; y(0) = y^0

vérifie

y(T) = 0

Justifier, pour tout $u \in C^0([0, T], ℝ)$ et tout $y^0 \in ℝ^n$ , l'existence et l'unicité de $y \in C^1([0, T], ℝ^n)$ vérifiant (2.1).
Exprimer $y(T)$ en fonction de $A, b, u$ et $y^0$ . En déduire une reformulation de l'égalité $y(T) = 0$ de la forme $y^0 = Φ(A, b, u)$ .
Montrer que, pour tout $k ⩾ n$ , il existe un polynôme $P_k \in ℝ_(n - 1)[X]$ tel que $A^k = P_k(A)$ .
Le but de cette question est de démontrer $(E2) \Rightarrow (E1)$ . On suppose que $(b, Ab, \dots, A^(n - 1)b)$ n'est pas une base de $ℝ^n$ .
(a) Justifier l'existence de $z ∈ ℝ^n∖{0}$ tel que $⟨z, A^k b⟩ = 0$ pour tout $k \in ℕ$ .
(b) Que dire de $⟨z, exp(At)b⟩$ pour $t \in ℝ$ ?
(c) Soit $y^0 \in ℝ^n$ tel que $⟨z, y^0⟩ \neq 0$ . Montrer qu'il n'existe pas de fonction $u \in C^0([0, T], ℝ)$ pour laquelle la solution de (2.1) vérifie $y(T) = 0$ .
(d) Conclure.

Jusqu'à la fin de la partie 2, notre but est de démontrer (E1)

\Rightarrow

(E2). On suppose donc que (E1) est vérifié. On note

a_0, \dots, a_(n - 1)

les coefficients du polynôme caractéristique de

A

det(XI_n - A) = X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0

et on définit une famille

(v_1, \dots, v_n)

ℝ^n

par récurrence descendante, de la façon suivante

{v_n:=b; v_k:=Av_(k + 1) + a_k v_n pour k = n − 1, n − 2, …, 1

Exprimer $v_k$ en fonction de $A$ et $b$ pour $k = 1, \dots, n$ .
Montrer que $A^j b ∈ Vect{v_1, …, v_n}$ pour $j = 0, \dots, n - 1$ . En déduire que $(v_1, \dots, v_n)$ est une base de $ℝ^n$ .
Montrer que $Av_1 = - a_0 v_n$
En déduire l'existence de $U \in GL_n(ℝ)$ telle que

A˜:=U^(- 1)AU = (0, 1, 0, \dots, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, \dots, 0, 1; - a_0, - a_1, \dots, \dots, - a_(n - 1)) et U^(- 1)b = (0; ⋮; 0; 1)

Soit $y^0 \in ℝ^n, u \in C^0([0, T], ℝ)$ et $y$ la solution de (2.1).
(a) Quel problème de Cauchy la fonction

F : [0, T], \to ℝ^n; t, \mapsto U^(- 1)y(t)

résout-elle?
(b) Notons

f(t)

la première composante de

F(t)

. Quel problème de Cauchy la fonction

f

résout-elle?
10. Conclure.

3 Classe de Gevrey: résultats généraux

Dans cette partie, on fixe

s \in [1, \infty[

T > 0

.
Définition: Une fonction

f : [0, T] \to ℝ

est dans la classe de Gevrey d'ordre

s

sur

[0, T]

f \in C^\infty([0, T], ℝ)

et s'il existe

M, R > 0

tels que

|f^((n))(t)| ⩽ (M(n!)^s)/(R^n), \foralln \in ℕ, t \in [0, T]

On note alors

f \in G^s(0, T)

Montrer que, si $f \in G^s(0, T)$ alors la fonction

g : [0, T], \to ℝ; t, \mapsto f(T - t)

est dans la classe de Gevrey d'ordre

s

sur

[0, T]

.
2. Montrer que

G^s(0, T)

contient les fonctions polynomiales.
3. Montrer que

G^s(0, T)

est un espace vectoriel.
4. Montrer que si

f_1, f_2 \in G^s(0, T)

alors leur produit

f_1 f_2

est dans la classe de Gevrey d'ordre

s

sur

[0, T]

.
5. Soit

f \in G^s(0, T)

M, R

des constantes associées comme dans la définition ci-dessus. On suppose qu'il existe

δ > 0

tel que

f(t) ⩾ δ

pour tout

t \in [0, T]

.
(a) Montrer que, pour tout

n \in ℕ^*, (1/f)^((n)) = - 1/f\sum_(k = 1)^n(n/k)f^((k))(1/f)^((n - k))

.
(b) Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que, pour tout

n \in ℕ^*

\sum_(k = 1)^n(n/k)^(1 - s)ε^k ⩽ δ/M

1/f \in G^s(0, T)

avec, par exemple, les constantes

M^' = 1/δ

R^' = εR

4 Classe de Gevrey: exemples

On fixe

T > 0

. Le but de cette partie est de montrer que les fonctions

h

φ : [0, T] \to ℝ

définies par

h(t) = {0, si t = 0,; e^(− 1/(t^2)), si t ∈ ]0, T], φ(t) = {1, si t = 0; (e^(− 1/((T − t)^2)))/(e^(− 1/((T − t)^2)) + e^(− 1/(t^2))), si t ∈ ]0, T[; 0, si t = T

sont dans la classe de Gevrey d'ordre

3/2

sur

[0, T]

Montrer que $h^((k))(t) ⟶ _(t \to 0^+)0$ pour tout $k \in ℕ$ .
Montrer que $h \in C^\infty([0, T], ℝ)$ .
Soit $(a_n)_(n \in ℕ)$ une suite de nombres réels tels que la série entière $\suma_n z^n$ ait un rayon de convergence $ρ > 0$ . Pour $z \in ℂ$ tel que $|z| < ρ$ , on note $F(z) = \sum_(n = 0)^\inftya_n z^n$ . Montrer que, pour tout $r \in ]0, ρ[$ , on a

a_n = 1/(2π)\int_0^(2π)(F(re^(iθ)))/((re^(iθ))^n)dθ

Dans cette question, on fixe $t_0 \in ]0, T]$ et $r:=(t_0)/3$ .
(a) Montrer que, pour tout $z ∈ ℂ∖{t_0}$ , on a

e^(- 1/((t_0 - z)^2)) = \sum_(n = 0)^\infty((- 1)^n)/(n!t_0^(2n))1/((1 - z/(t_0))^(2n))

(b) En déduire qu'il existe une suite

(a_n)_(n \in ℕ)

de nombres réels tels que

e^(- 1/((t_0 - z)^2)) = \sum_(n = 0)^\inftya_n z^n

pour tout

z \in ℂ

vérifiant

|z| < t_0

.
(c) Montrer que

|(h^((n))(t_0))/(n!)| = |1/(2π)\int_0^(2π)(e^(- 1/((t_0 - re^(iθ))^2)))/((re^(iθ))^n)dθ|

(d) Montrer que, pour un certain

λ > 0

indépendant de

t_0

, on a

|h^((n))(t_0)| ⩽ n!(e^(- λ/(r^2)))/(r^n)

(e) Montrer que, pour tout

α, β, x > 0

alors

x^α e^(- βx) ⩽ (α/(eβ))^α

.
(f) Montrer que

n^n ⩽ e^(n - 1)n

! pour tout

n \in ℕ^*

.
(g) En déduire que

h \in G^(3/2)(0, T)

.
5. Montrer que

φ \in G^(3/2)(0, T)

.
6. Soit

P \in ℝ[X]

. Montrer que la fonction

t \mapsto P(t)φ(t)

est dans la classe de Gevrey d'ordre

3/2

sur

[0, T]

7. Calculer

φ^((n))(0), φ^((n))(T), (Pφ)^((n))(0)

(Pφ)^((n))(T)

pour tout

n \in ℕ

5 Équation de la chaleur

Dans cette partie, on fixe

s \in [1, 2[, T > 0

et une fonction

f \in G^s(0, T)

Montrer que

H(t, x) = \sum_(n = 0)^\inftyf^((n))(t)(x^(2n))/((2n)!)

est bien défini, pour tout

(t, x) \in [0, T] \times [0, 1]

.
2. Montrer que toutes les dérivées partielles de

H

sont définies et continues sur

[0, T] \times [0, 1]

.
3. Montrer que

(\partialH)/(\partialt) - (\partial^2 H)/(\partialx^2) = 0

sur

[0, T] \times [0, 1]

et que

(\partialH)/(\partialx)(t, 0) = 0

pour tout

t \in [0, T]

.
4. En déduire que, pour tout polynôme pair

H^0

, il existe une fonction

u \in C^0([0, T], ℝ)

et une solution

H

du système

{(∂H)/(∂t)(t, x) − (∂^2 H)/(∂x^2)(t, x) = 0,, ∀(t, x) ∈ [0, T] × [0, 1]; (∂H)/(∂x)(t, 0) = 0,, ∀t ∈ [0, T]; (∂H)/(∂x)(t, 1) = u(t),, ∀t ∈ [0, T]; H(0, x) = H^0(x),, ∀x ∈ [0, 1]

qui satisfasse

H(T, x) = 0

pour tout

x \in [0, 1]

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2016 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires, la réduction des endomorphismes, les séries entières, les séries de fonctions et une application à l'équation de la chaleur.

Quelles parties du sujet ENS maths C MP 2016 sont indépendantes ?

La partie 1 est utile pour la partie 2, et les parties 3, 4 et 5 forment une deuxième chaîne indépendante des parties 1 et 2, comme l'indique le schéma de dépendance donné en préambule.

Qu'est-ce que la classe de Gevrey étudiée dans ce sujet ?

C'est un ensemble de fonctions indéfiniment dérivables dont les dérivées successives sont majorées par une expression du type M (n!)^s / R^n, ce qui généralise les fonctions analytiques (cas s=1).

Ce sujet traite-t-il de théorie du contrôle ?

Oui, il étudie la contrôlabilité de systèmes différentiels et, dans la dernière partie, de l'équation de la chaleur, c'est-à-dire l'existence d'une commande permettant d'amener la solution à zéro en un temps fixé.

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