Centrale Mathématiques 2 MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Marches aléatoires symétriques unidimensionnelles

Le problème porte sur les marches aléatoires symétriques unidimensionnelles, d'abord sur Z puis avec des longueurs de déplacements variables dans le temps. La première partie établit des résultats d'analyse (intégrale à paramètre, équivalent par une méthode voisine de celle de Laplace), avant d'étudier en probabilités l'espérance de la valeur absolue de la marche et sa convergence presque sûre.

1Partie I : outils d'analyseExpression intégrale de la fonction valeur absolue à l'aide d'une intégrale à paramètre, puis équivalent d'une intégrale par une méthode voisine de celle de Laplace.
2Partie II : marche aléatoire symétrique sur ZÉtude de l'espérance de |Sn| et de la convergence presque sûre de Sn/n vers 0.
3Partie III : marche aléatoire pondéréeGénéralisation avec des coefficients affectés aux déplacements (Tn), étude de l'espérance de |Tn| et application à une suite d'intégrales.

Difficile. Le rapport observe d'énormes défauts de rigueur, caractéristiques des débutants de première année, et un niveau globalement faible en probabilités, la partie III ayant été très peu abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Question I.A.1) particulièrement mal traitée · Théorème de convergence dominée version séquentielle utilisé à tort · Invention de théorèmes faux en probabilités

La majorité des candidats n'a souvent fait qu'effleurer les parties de probabilités, concentrant leurs efforts sur l'analyse. Le niveau en probabilités est jugé globalement faible, avec des hypothèses de théorèmes non citées, des calculs menés sans justification et des inventions de théorèmes fréquentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Question I.A.1) particulièrement mal traitéeI.A.1
Les hypothèses des théorèmes sont vaguement connues mais dispersées dans une rédaction confuse, avec des erreurs comme affirmer que 1/t² est intégrable sur R+*.
2
Théorème de convergence dominée version séquentielle utilisé à tortI.A.2
De nombreux candidats reviennent à la version séquentielle du théorème de convergence dominée, alors que sa version continue est maintenant au programme.
3
Invention de théorèmes faux en probabilitésII.A.2
Les candidats n'hésitent pas à inventer des théorèmes, par exemple que S+T et S-T ont même loi, ou que cos(S+T) et cos(S-T) ont même espérance, ce qui est faux en général.
4
Permutation espérance-intégrale non justifiéeII.A.4
Permuter l'espérance et l'intégrale est le point le plus délicat de la question II.A.4), mais cela n'a que rarement été détaillé correctement par les candidats.
5
Inégalité de Markov appliquée sans ses hypothèsesII.B.3
L'inégalité de Markov, nécessaire pour la question II.B.3), est un théorème qui possède des hypothèses, ce qui ne semble pas être connu des candidats.
6
Variance négative ou nulle non détectéeII.A.1
Certains candidats encadrent une variance négative ou nulle sans s'en apercevoir, révélant une méconnaissance des propriétés fondamentales de l'espérance et de la variance.

Ce qui a été bien réussi

Certains candidats, moins nombreux, ont su garder du temps pour approfondir les questions les plus délicates de probabilités en traitant efficacement la première partie.
Pour la question II.B.1), une récurrence suffisait en utilisant les propriétés de l'espérance, et certains candidats s'en sont sortis par un dénombrement soigneux.
Les candidats sont plus nombreux à avoir grappillé des points dans la partie III.B, où l'on pouvait se contenter d'appliquer les résultats précédents.
Le théorème de la continuité décroissante est bien connu des candidats.

Conseils du jury

Citer explicitement les hypothèses des théorèmes utilisés, notamment en probabilités, plutôt que de les appliquer sans justification.
Étudier les probabilités avec la même application que le reste du programme, avec une connaissance précise des théorèmes et de leurs hypothèses.
Ne pas se contenter de deviner ou d'admettre un résultat : les erreurs dans les calculs élémentaires de première année sont particulièrement pénalisées.
Soigner la présentation et mettre en valeur les résultats ou étapes intermédiaires, par exemple en les soulignant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Sujet en PDF

Le problème étudie quelques propriétés de variables aléatoires réelles finies de la forme

\sum_(k = 1)^n a_k X_k

, où les

a_k

sont des réels et les

X_k

sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans

{1, - 1}

La première partie établit des résultats sur des intégrales, utilisés dans les parties suivantes.
À partir de la deuxième partie, on suppose donnée une suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

), à valeurs dans

{1, - 1}

et vérifiant

\forallk \in ℕ^*, P(X_k = 1) = P(X_k = - 1) = 1/2

I Suites et intégrales

I.A - Étude d'une intégrale à paramètre

Pour

x \in ℝ^+

, on pose

f(x) = \int_0^\infty(1 - cost)/(t^2)e^(- xt) dt

I.A.1) Montrer que

f

est définie et continue sur

[0, + \infty[

et de classe

C^2

sur

]0, + \infty[

.
I.A.2) Déterminer les limites de

f

f^'

+ \infty

.
I.A.3) Exprimer

f^('')

sur

]0, + \infty[

à l'aide de fonctions usuelles et en déduire que

\forallx > 0, f^'(x) = ln(x) - 1/2ln(x^2 + 1)

I.A.4) Montrer

{∀x > 0, f(x) = xln(x) − 1/2xln(x^2 + 1) − arctan(x) + π/2; f(0) = π/2

I.A.5) Montrer

\foralls \in ℝ, |s| = 2/π\int_0^\infty(1 - cos(st))/(t^2) dt

I.B - Étude d'une suite d'intégrales

Dans cette section, on étudie la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

définie par

\foralln \in ℕ^*, u_n = \int_0^\infty(1 - (cost)^n)/(t^2) dt

I.B.1) Justifier l'existence de la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

et préciser la monotonie de la sous-suite

(u_(2n))_(n \in ℕ^*)

.
I.B.2) Montrer que

u_1 = u_2 = π/2

.
I.

C -

Calcul d'un équivalent de

u_n

I.C.1) Montrer que

\foralln \in ℕ^*, u_n = (\sqrtn)/(2\sqrt2)v_n avec v_n = \int_0^\infty(1 - (cos(\sqrt(2u/n)))^n)/(u\sqrtu) du

I.C.2) Montrer que

\forall(n, u) \in ℕ^* \times ]0, 1], |1 - (cos(\sqrt(2u/n)))^n| ⩽ u

I.C.3) Montrer que la suite

(v_n)_(n \in ℕ^*)

admet une limite finie

l

vérifiant

l = \int_0^\infty(1 - e^(- u))/(u\sqrtu) du

I.C.4) On admet la relation

\int_0^\infty(e^(- u))/(\sqrtu) du = \sqrtπ

Conclure que

u_n \sim \sqrt((nπ)/2)

II Autour du pile ou face

Dans cette partie, comme il est indiqué dans le préambule, on considère une suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans

{1, - 1}

et telles que, pour tout

k \in ℕ^*

P(X_k = 1) = P(X_k = - 1) = 1/2

Pour tout

n \in ℕ^*

, on pose

S_n = X_1 + \dots + X_n

.
L'espérance d'une variable aléatoire réelle finie

Z

est notée

E(Z)

et sa variance

V(Z)

.
II.A - Étude de

E(|S_n|)

II.A.1) Déterminer l'espérance et la variance de

S_n

.
II.A.2) Soit

S

T

deux variables aléatoires réelles finies indépendantes définies sur (

Ω, A, P

). On suppose que

T

- T

ont même loi.
Montrer que

E(cos(S + T)) = E(cos(S))E(cos(T))

.
II.A.3) On considère la fonction

φ_n

ℝ

dans

ℝ

telle que

φ_n(t) = E(cos(S_n t))

pour tout réel

t

Montrer que

φ_n(t) = (cost)^n

pour tout entier

n \in ℕ^*

et tout réel

t

.
II.A.4) Montrer, pour tout

n \in ℕ^*, E(|S_n|) = 2/πu_n

On utilisera l'expression intégrale de la valeur absolue obtenue à la question I.A.5.
II.A.5) Déduire de la question précédente que, pour tout

n \in ℕ, u_(2n + 1) = u_(2n + 2)

.
II.B - Étude de

(S_n)/n

On se propose de démontrer que la suite

((S_n)/n)_(n \in ℕ^*)

converge presque sûrement vers 0 , c'est-à-dire qu'il existe un événement négligeable

Z \in A

tel que

\forallω \in Ω∖z, (S_n(ω))/n ⟶ _(n \to \infty)0

Pour tout

n \in ℕ^*

, on pose

U_n = ((S_n)/n)^4 et z_n = {ω ∈ Ω, ∃k ⩾ n, U_k(ω) ⩾ 1/(√k)}

II.B.1) Montrer que

E(S_n^4) = 3n^2 - 2n

pour tout

n \in ℕ^*

.
II.B.2) Montrer que, pour tout

n \in ℕ^*, P(U_n ⩾ 1/(\sqrtn)) ⩽ 3/(n^(3/2))

.
II.B.3) Montrer que

Z_n \in A

pour tout

n \in ℕ^*

et que

lim_(n \to \infty)P(Z_n) = 0

.
II.B.4) En considérant

z = ⋂_(n \in ℕ^*)z_n

, montrer que

((S_n)/n)

converge presque sûrement vers 0 .

III D'autres sommes aléatoires

On conserve la suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de la partie précédente et on considère de plus une suite

(a_n)_(n \in ℕ^*)

de réels positifs ou nuls. Pour tout

n \in ℕ^*

, on pose

T_n = \sum_(k = 1)^n a_k X_k

.
III.A - Étude de

E(|T_n|)

III.A.1) Montrer que la suite

(E(|T_n|))_(n \in ℕ^*)

est croissante.
III.A.2) Montrer que si la série

\suma_n^2

est convergente, alors la suite

(E(|T_n|))_(n \in ℕ^*)

est convergente.
III.A.3) On suppose

a_1 ⩾ a_2 + \dots + a_n

. Montrer

E(|T_n|) = E(|T_1|) = a_1

.
III.B - Application à une suite d'intégrales

Pour

n \in ℕ^*

, soit

J_n = \int_0^\infty(1 - cos(t)cos(t/3)\dotscos(t/(2n - 1)))/(t^2) dt

III.B.1) Montrer que

(J_n)_(n \in ℕ^*)

est une suite bien définie et qu'elle est croissante et convergente.

On posera

a_k = 1/(2k - 1)

et on exprimera l'espérance de

|T_n|

avec la méthode de la question II.A.4.
III.B.2) Montrer que

J_n = π/2

pour

1 ⩽ n ⩽ 7

et que

(J_n)_(n ⩾ 7)

est strictement croissante.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte centrale maths 2 MP 2016 ?

Le sujet porte sur les marches aléatoires symétriques unidimensionnelles, avec des outils d'analyse (intégrales à paramètre) et de probabilités (espérance, variance, convergence presque sûre).

Ce sujet centrale maths 2 MP 2016 est-il difficile ?

Le rapport signale un niveau globalement faible, notamment en probabilités, avec d'énormes défauts de rigueur caractéristiques de candidats débutants, et une partie III très peu abordée.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet centrale MP de probabilités ?

Des inventions de théorèmes faux, l'utilisation de l'inégalité de Markov sans citer ses hypothèses, et une permutation de l'espérance et de l'intégrale non justifiée.

Ce sujet centrale maths 2 MP 2016 porte-t-il sur le programme de première année ?

Le rapport souligne que ce sont surtout les notions de première année, mal maîtrisées, qui ont pénalisé les candidats, bien que le sujet dans son ensemble relève du programme de deuxième année.

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