Centrale Physique Chimie 1 MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique
Dipôle magnétique
Équation de Schrödinger
Relation d'indétermination de Heisenberg
Facteur de Boltzmann
Ordres de grandeur et questions ouvertes

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BanqueCentrale Année2016 FilièreMP MatièrePhysique-Chimie

Annales Centrale MP Physique-Chimie Centrale MP 2016 MP Physique-Chimie Physique-Chimie 2016

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Présentation du sujet

Difficile

Confinement de particules : piégeage magnétique terrestre, boîtes quantiques et oscillateur harmonique quantique

Le sujet étudie le confinement d'une particule selon deux approches. La première partie, classique, part des aurores polaires et analyse le mouvement d'un électron dans un champ magnétique uniforme puis non uniforme pour comprendre le piégeage magnétique. La seconde, quantique, traite une boîte quantique modélisée par un puits harmonique, la levée de dégénérescence et la spectroscopie d'absorption, puis l'influence de la température sur un oscillateur harmonique quantique. Trois questions ouvertes sont clairement signalées.

1Partie I.A : aurores polaires terrestresQuestions qualitatives appuyées sur un texte d'introduction sur la magnétosphère.
2Partie I.B : électron dans un champ magnétique uniformeOrdres de grandeur, trajectoire circulaire ou hélicoïdale et perte d'énergie par rayonnement.
3Partie I.C et I.D : champ magnétique non uniformeComposante radiale du champ, moment magnétique associé à l'orbite, invariance de ce moment, question ouverte sur le confinement terrestre et ceintures de Van Allen.
4Partie II.A : électrons dans une boîte quantiqueÉquation de Schrödinger, états stationnaires, relation d'indétermination, puits à deux dimensions, spectroscopie d'absorption sous champ magnétique, anisotropie de la boîte et puits carré infini selon z.
5Partie II.B : oscillateur harmonique quantique en équilibre thermiqueProbabilités d'occupation par la loi de Boltzmann, énergie moyenne et comparaison avec l'oscillateur classique.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de dense et indique un pourcentage de réussite de 33 % sur le champ uniforme, qui tombe à 14 % pour le champ non uniforme et pour la mécanique quantique.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Questions qualitatives superficielles · Ordres de grandeur incohérents · Signes et calculs arrangés

Le sujet alternait questions qualitatives, analyses proches du cours et questions délicates. Les résultats sont décevants sur la partie magnétique et plus encore sur la mécanique quantique, grande perdante de l'épreuve, alors que la partie statistique, proche du cours, a souvent été bien traitée. Le jury dénonce aussi des manipulations opportunistes pour retrouver les résultats donnés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Questions qualitatives superficiellesI.A
Les questions sur le texte d'introduction ont souvent été paraphrasées ou traitées sans lien de cause à effet ; une comparaison de cartes de champ doit expliciter analogies et différences.
« Le résultat est quasi désastreux : les explications physiques sont trop souvent farfelues sans aucune consistance physique. »
2
Ordres de grandeur incohérentsI.B.1
Pour comparer interactions électrique et gravitationnelle, il faut des grandeurs de même nature, avec leurs unités.
« on ne peut comparer une force à un champ. »
3
Signes et calculs arrangésI.B.4, I.C.1
Dans le bilan de puissance lié au rayonnement, le signe disparaît puis revient opportunément, et l'accélération est confondue avec la vitesse radiale ; c'est lourdement sanctionné. Même démarche pour la composante radiale du champ.
« Très souvent le signe est omis dans l’écriture du théorème de la puissance cinétique, mais il réapparait opportunément dans l’équation différentielle. »
4
Équation de Schrödinger fausseII.A.1b, II.A.1c
Beaucoup écrivent une équation à coefficients réels ou donnent un sens imprécis à la fonction d'onde ; un état stationnaire exige une densité de probabilité indépendante du temps.
« l’omission du caractère complexe de cette équation fondamentale de la physique ne pouvait que déboucher sur une lourde sanction. »
5
Énergie potentielle oubliéeII.A.1f
Pour estimer l'énergie du fondamental par la relation d'indétermination, il faut minimiser l'énergie totale, énergie potentielle comprise.
« Malheureusement tous les candidats ou presque « oublient » le terme d’énergie potentielle dans l’expression de l’énergie. »
6
Spectroscopie d'absorption mal compriseII.A.2b, II.A.3
Un pic d'absorption doit être relié à une transition entre niveaux ; les questions ouvertes de cette partie ont été délaissées, et II.A.3 n'a été traitée correctement par personne.
« Un pic d’absorption n’est que rarement analysé comme une transition entre deux niveaux quantiques. »

Ce qui a été bien réussi

La partie II.B sur l'oscillateur en équilibre thermique a souvent été traitée entièrement par ceux qui l'ont abordée.
Le rapport gyromagnétique de la partie I.C a été bien traité quand il a été abordé.
Le calcul de trajectoire en coordonnées cartésiennes a été le mieux mené.
Les bons candidats ont souvent réussi une explication semi-quantitative de la première question ouverte.
L'équation de Schrödinger à deux dimensions n'a pas gêné ceux qui la connaissaient à une dimension.

Conseils du jury

Lire tout l'énoncé pour repérer les questions simples, qui ne sont pas toujours en début de partie, et consulter le formulaire final.
Traiter sérieusement les questions qualitatives, car elles conditionnent la compréhension de la suite.
Dans une question ouverte, expliciter la démarche, les paramètres retenus et leurs valeurs numériques.
Consolider les définitions, les relations fondamentales et les techniques mathématiques de base : le sujet dense exige de la vitesse d'exécution.
Employer un vocabulaire rigoureux propre à chaque domaine (quantique, statistique, classique).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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__La magnétosphère de la Terre

D'après : Gilbert Pietryk (sous la direction de), Panorama de la physique, Pour la Science, Belin, 2007.
La magnétosphère est la dernière enveloppe d'une planète, avant le milieu interplanétaire. Ce milieu est dominé essentiellement par le vent solaire, constitué de protons et d'électrons très rapides. Comme son nom l'indique, la magnétosphère est caractéristique des planètes qui ont un champ magnétique propre. La magnétosphère terrestre est la mieux connue puisqu'elle est la plus facilement accessible et qu'elle est explorée depuis l'ère des projets spatiaux. Pourtant de nombreux mystères subsistent quant à son fonctionnement, en particulier sur la manière dont elle répond aux modifications de l'activité solaire.

Figure 1 Coupe méridienne de la magnétosphère de la Terre. Le Soleil est loin sur la gauche. Les traits fins symbolisent les lignes de champ magnétique, les flèches jaunes le mouvement du plasma.

L'avant de la magnétosphère se caractérise par une première frontière nette, le choc. Ce choc est dû au fait que le vent solaire a une vitesse d'ensemble supérieure à toutes les vitesses possibles de propagation des ondes dans le milieu. Derrière le choc se trouve la magnétogaine, région où le plasma du vent solaire est ralenti, chauffé et où l'on observe une turbulence importante. Le champ magnétique est encore celui du vent solaire un peu modifié par la traversée du choc. Cette région intermédiaire est suivie d'une autre frontière nette, la magnétopause. Cette frontière sépare la zone d'influence du champ magnétique terrestre de celle du vent solaire. Cette frontière est une discontinuité mince comme un choc mais ce n'est pas un choc, c'est une frontière qui isole vraiment les deux milieux, l'énorme majorité des particules du vent solaire restant à l'extérieur. On constate donc que ce qui fait obstacle au vent solaire ce n'est pas la planète elle-même, ni son atmosphère, mais son champ magnétique. Le contournement du vent solaire donne à la magnétosphère sa forme caractéristique, avec une queue allongée dans la direction opposée au Soleil et deux immenses «lobes» presque totalement vides. L'ionosphère est une région importante dans la dynamique de la magnétosphère (bien qu'invisible à l'échelle de la figure). Elle résulte de l'ionisation des couches supérieures de l'atmosphère par le rayonnement UV du Soleil qui la rend conductrice, et lui fait jouer un rôle dans la fermeture des courants magnétosphériques.
La magnétosphère et son intense activité électromagnétique ne sont pas visibles du sol sauf dans les régions polaires où elles peuvent se manifester de façon très spectaculaire. Le champ magnétique terrestre est à peu près celui d'un dipôle dont l'axe passe dans les régions polaires. Les lignes de champ qui viennent des régions éloignées de la Terre plongent donc dans l'atmosphère dans les régions polaires. Comme dans la magnétosphère le plasma est peu dense, il n'y a pas de collisions et les particules chargées restent liées aux lignes de champ. Quand une reconfiguration magnétique intervient (ce qu'on appelle un sous-orage magnétique), les particules

Figure 2 Aurore boréale vue du sol sur la Terre. La Lune, visible à côté de l'aurore, donne une idée de la luminosité (Centre d'étude spatiale des rayonnements ©CNRS Photothèque/V. Génot).

accélérées dans la queue de la magnétosphère arrivent le long du champ sur les couches denses de l'atmosphère et produisent des aurores. Dans le même temps, ces électrons accélérés émettent un rayonnement radio dont la longueur d'onde est de l'ordre du kilomètre et qui s'échappe de la magnétosphère par les pôles.

Une liste de données numériques et un formulaire sont disponibles à la fin du sujet.
Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l'initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées, si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement.

I Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique

I.A - Aurores polaires terrestres

Les aurores polaires sont des phénomènes lumineux se produisant entre 80 et 400 km d'altitude causés par la précipitation de particules chargées en provenance de l'espace sur les atomes et les molécules des couches externes de l'atmosphère terrestre. Ces particules sont principalement des électrons dont l'énergie cinétique est de l'ordre du keV pour les aurores les plus spectaculaires.
I.A.1) Expliquer le caractère lumineux d'une aurore polaire.
I.A.2) Pourquoi une aurore boréale (hémisphère nord) apparaît-elle simultanément à une aurore australe (hémisphère sud) ?
I.A.3) Comparer la carte de champ magnétique donnée figure 1 à celle d'un unique dipôle modélisant l'activité magnétique terrestre.

I.B - Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme

Afin d'interpréter l'arrivée des particules chargées à l'origine des aurores polaires, on se propose dans la suite de modéliser la dynamique d'un électron dans une zone de champ magnétique stationnaire.
I.B.1) Dans le référentiel géocentrique (

R

) supposé galiléen, on considère tout d'abord un électron de masse

m

pénétrant en

O

dans une zone de champ magnétique

B⃗_0 = B_0 u⃗_z(B_0 > 0)

. La force gravitationnelle terrestre a-t-elle une influence sur la dynamique de cet électron ? On attend un argument qualitatif fondé sur un calcul d'ordre de grandeur.
I.B.2) On suppose que la vitesse initiale de la particule s'écrit

v⃗_0 = v_(0z)u⃗_z(v_(0z) > 0)

. Comment se déplace l'électron vis à vis des lignes de champ magnétique?
I.B.3) On suppose désormais que l'électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en

O

avec une vitesse initiale

v⃗_0 = v_(0x)u⃗_x(v_(0x) > 0)

.
a) Mettre en évidence une pulsation

ω_c

caractéristique du mouvement de l'électron et l'évaluer dans le champ magnétique terrestre régnant à l'altitude d'un satellite géostationnaire.
b) Montrer que la trajectoire de l'électron est circulaire en établissant son équation cartésienne. Évaluer son rayon

R_c

.
I.B.4) Un électron accéléré non relativiste perd de l'énergie en rayonnant à un instant donné une puissance électromagnétique

P = 1/(4πε_0)2/3e^α c^β‖(dv⃗)/(dt)‖^2

.
a) Déterminer les valeurs

α

β

.
b) Après avoir exprimé la variation de l'énergie cinétique de l'électron

dE

lorsque

R_c

varie de

dR_c

, établir l'expression de la fonction

R_c(t)

et établir que le temps caractéristique

τ

mis en évidence s'écrit

τ = (6πε_0 c^3 B_0)/(eω_c^3)

. Conclure.
I.B.5) On suppose désormais que l'électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en

O

avec la vitesse initiale

v⃗_0 = v_(0x)u⃗_x + v_(0z)u⃗_z(v_(0x) > 0

v_(0z) > 0)

. Comment se déplace l'électron vis à vis des lignes de champ magnétique?

I. $C$ - Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme

On se limite ici au cas d'un champ magnétique stationnaire

B⃗ = B_z(r, z)u⃗_z + B_r(r, z)u⃗_r

possédant une géométrie cylindrique autour d'une ligne de champ confondue avec l'axe (

Oz

). On note

L

l'échelle caractéristique de variation de ce champ magnétique selon l'axe

Oz

. On supposera en première approximation que

B_z

ne dépend que de

z : B_z(z)

Figure 3

Initialement, l'électron possède la vitesse

v⃗_0 = v_(0x)u⃗_x + v_(0z)u⃗_z(v_(0x) > 0, v_(0z) > 0)

et se situe au point de coordonnées cartésiennes

(0, - R_c(0), 0)

.
I.C.1) Montrer qu'une propriété structurelle du champ magnétique impose :

B_r(r, z) ≃ - r/2(dB_z)/(dz)

.
I.C.2) À quelle condition sur

L

, la composante radiale

B_r(r, z)

du champ magnétique pourra-t-elle être traitée comme une perturbation de la composante axiale

B_z

?
Dans la suite, on supposera cette condition vérifiée.
I.C.3) Justifier qualitativement l'existence d'un rayon caractéristique

R(z)

, dépendant de

z

, pour la trajectoire électronique. On donnera l'expression de

R(z)

en fonction de

B_z

et de

v_θ

, composante orthoradiale de la vitesse de l'électron.
I.C.4) En assimilant le mouvement de l'électron à une boucle de courant, associer un moment magnétique

M^(\to-)

au mouvement de l'électron et l'exprimer en fonction de

R(z)

et de la composante du champ magnétique suivant (Oz). Établir que la relation entre

M_z

, composante de

M^(\to-)

selon

u⃗_z

, et

L_z

, moment cinétique de l'électron par rapport à l'axe (

Oz

), s'écrit

M_z = - e/(2m)L_z

I.C.5) En supposant que l'on puisse utiliser les résultats relatifs à l'action d'un champ magnétique sur un dipôle magnétique, justifier que

M_z

est une constante du mouvement. Comment se déplace l'électron vis à vis des lignes de champ magnétique ?
I.C.6) Dans cette question, on suppose un champ axial de la forme

B_z(r, z) ≃ B_0(1 + (z^2)/(L^2))

.
a) Pourquoi peut-on dire que cette configuration de champ magnétique assure un confinement de l'électron dans un domaine de l'espace situé entre deux limites appelées miroirs magnétiques ?

Le candidat pourra s'appuyer sur la conservation de l'énergie.
b) Exprimer une pulsation caractéristique

ω_m

associée à ce confinement et en déduire l'ordre de grandeur du temps mis par un électron confiné pour accomplir un aller-retour entre le pôle Nord et le pôle Sud terrestres.
I.C.7) La Terre émet un rayonnement radio au-dessus de ses régions aurorales (cf. document d'introduction).
a) Expliquer les localisations spatiale et spectrale de ce phénomène.
b) Pourquoi a-t-il fallu attendre l'ère spatiale pour observer ce rayonnement ?

I.D - Ceintures de Van Allen

La Terre est entourée d'une zone où des particules de haute énergie cinétique, typiquement de quelques 100 MeV au GeV , sont piégées par le champ magnétique. Ces particules sont réparties dans des ceintures autour du plan équatorial dites ceintures de Van Allen ou ceintures de radiation. Ces ceintures sont très stables et contrairement aux autres éléments de la magnétosphère, elles sont peu sensibles aux orages, sous-orages et autres reconfigurations de la magnétosphère. De ce fait, les particules s'en échappent difficilement.
Évaluer la vitesse typique d'un électron dans ces ceintures. La dynamique d'un tel électron peut-elle se déduire des résultats précédents?

II Confinement d'objets quantiques

II.A - Confinement d'électrons dans une boîte quantique

On sait réaliser depuis quelques années des «boîtes quantiques», de dimensions nanométriques, qui confinent les électrons de conduction d'un solide à basse température. La possibilité de contrôler les états d'énergie d'un tel dispositif ouvre des perspectives très riches en opto-électronique. Une boîte quantique est constituée d'un matériau

A

jouant le rôle de puits, autour duquel on dépose un matériau

B

qui forme une barrière de potentiel autour de

A

(figure 4).

Figure 4 Ensemble de boîtes quantiques de GaN (matériau

A

) déposées à

705^\circC

sur un substrat d'AlN (matériau

B

) et mûries sous vide. Image obtenue par microscopie à force atomique. Source : CEA-Grenoble/DSM/DRFMC/SP2M Rapport d'activité 1996-1998 du SP2M

II.A.1) Fonction d'onde électronique

Nous nous intéressons ici au confinement d'un électron dans une telle boîte. Les directions

x

y

étant supposées équivalentes, on traite dans un premier temps le problème à une dimension horizontale

x

. L'influence du confinement vertical suivant la direction

z

sera abordé ultérieurement.
On admet que dans la boîte, la dynamique de l'électron est décrite par l'équation de Schrödinger où :

la masse de l'électron libre $m$ est remplacée par une masse effective $m^* = 0, 07m$ ;
l'ensemble des atomes des matériaux $A$ et $B$ crée un potentiel effectif harmonique $V(x) = 1/2m^* ω^2 x^2$ qui varie lentement à l'échelle atomique et pour lequel $ω = 9, 10 \times 10^(13)rad \cdot s^(- 1)$ .
Dans tout le problème, on néglige tout effet associé au spin de l'électron.
a) Citer deux exemples de systèmes analogues de confinement, dans des domaines différents de la physique classique. Pour chacun d'eux, établir l'équation d'évolution par une méthode énergétique et décrire les échanges énergétiques mis en jeu.
b) Écrire l'équation de Schrödinger vérifiée par la fonction d'onde $Ψ_(1D)(x, t)$ associée à l'état quantique de l'électron dans la boîte. Que représente cette fonction d'onde?
c) On s'intéresse aux états stationnaires unidimensionnels $Ψ_(1D)(x, t) = φ(x)g(t)$ solutions de cette équation. Expliciter la fonction $g(t)$ et justifier le caractère stationnaire de ces états.
d) Ces états stationnaires sont-ils libres ou liés ? Que dire des fonctions d'onde $Ψ_(1D)(x, t)$ associées ?
e) La partie spatiale de la fonction d'onde associée à l'état fondamental $Ψ_(1D, 0)(x, t)$ de l'électron dans la boîte s'écrit $φ_0(x) = ((m^* ω)/(2πℏ))^(1/4)exp(- (m^* ωx^2)/(2ℏ))$ .
Quelle est dans cet état la position moyenne $⟨x⟩$ de l'électron ? Quelle est l'extension caractéristique $Δx$ de la distribution en position de l'électron?
Effectuer l'application numérique.
f) Déduire de la relation d'indétermination spatiale d'Heisenberg l'énergie de l'état fondamental $E_0$ pour un électron dont l'impulsion moyenne $⟨p_x⟩$ est nulle.
Montrer que cette valeur de l'énergie est liée au confinement spatial de l'électron.
Comparer au cas classique.
Dans la suite, on admettra que les états stationnaires unidimensionnels $Ψ_(1D, n_x)(x, t)$ ont des énergies du type $E_0 + n_x ℏω$ avec $n_x \in ℕ$ .
On souhaite désormais prendre en compte le confinement équivalent de l'électron dans la direction horizontale $y$ . Le potentiel effectif bidimensionnel dans lequel évolue l'électron doit alors s'écrire

V(x) + V(y) = 1/2m^* ω^2 x^2 + 1/2m^* ω^2 y^2

g) On cherche les états stationnaires bidimensionnels

Ψ_(2D)(x, y, t) = φ(x)χ(y)g(t)

solutions de l'équation de Schrödinger. Montrer que l'énergie

E

de ces états s'écrit sous la forme

E = E_x + E_y, E_x

E_y

désignant les énergies des états stationnaires unidimensionnels suivant les directions

x

y

.
h) Quelle est le nombre d'états quantiques (dégénérescence)

g_(2D)

associé à chacun des niveaux d'énergie bidimensionnels de l'électron?

II.A.2) Propriétés optiques de la boîte

a) Citer un dispositif usuel qui met à profit les propriétés optiques de telles boîtes quantiques. Quel est le domaine spectral concerné ?
b) L'étude précise des niveaux d'énergie bidimensionnels de la boîte se fait par spectroscopie d'absorption. Décrire le principe de cette technique en explicitant le fonctionnement d'un dispositif couramment utilisé en chimie.

La figure 5 fournit les résultats expérimentaux obtenus pour la fréquence des deux premiers pics d'absorption de la boîte quantique lorsqu'on lui applique un champ magnétique statique et uniforme

B⃗_s = B_s u⃗_z

Figure 5 Fréquence des deux premiers pics d'absorption de la boîte quantique en fonction du champ magnétique appliqué à une température

T = 10 K

Dans la suite, on désigne par

ω_c

la pulsation cyclotron mise en évidence dans la première partie. On admet alors que, dans le régime

ω_c < ω/\sqrt2

, la résolution de l'équation de Schrödinger dans le potentiel

V(x) + V(y)

conduit pour les trois premiers niveaux d'énergie accessibles par l'électron à

E_0^' = ℏΩ E_- ≃ 2ℏΩ - (ℏω_c)/2 E_+ ≃ 2ℏΩ + (ℏω_c)/2

avecΩ = \sqrt(ω^2 + ω_c^2/4)

.
c) Déterminer les valeurs de champ magnétique vérifiant l'inégalité

ω_c < ω/\sqrt2

ω_c = eB_s/m^*

.
d) À une température de 10 K , on constate que seul le niveau d'énergie

E_0^'

contribue de manière significative au signal d'absorption. Justifier quantitativement ce fait.
e) En exploitant la figure 5 reproduite en figure A dans le document réponse, déterminer le domaine de champ magnétique pour lequel le modèle adopté pour la boîte quantique permet d'interpréter les résultats expérimentaux obtenus.

II.A.3) Anisotropie de la boîte quantique

On peut montrer que les résultats expérimentaux précédents sont interprétables intégralement si on prend en compte une légère anisotropie de la boîte quantique, ce qui revient à considérer le potentiel de confinement

V~(x, y) = 1/2m^* ω^2(1 + ε)x^2 + 1/2m^* ω^2(1 - ε)y^2 avec ε≪1

En exploitant la figure 5, déterminer la valeur de l'anisotropie

ε

II.A.4) Rôle de la dimension $z$

Le confinement dans la direction

z

peut être modélisé par un puits carré infini de largeur

D

.
a) Établir les énergies

E_z

des états stationnaires unidimensionnels de l'électron suivant la direction

z

.
b) À quelle condition reliant

D

ω

est-il légitime de considérer que le mouvement de l'électron selon

z

est «gelé », c'est à dire que l'on peut ne s'intéresser qu'aux premiers niveaux du mouvement harmonique dans la direction

x

y

?
c) Sur la figure 4, l'échelle de la direction verticale n'est pas la même que l'échelle dans le plan

xOy

. En supposant que l'approximation consistant à ignorer le mouvement selon

z

est valide, déterminer si cette échelle verticale est dilatée ou contractée. On se servira de la grandeur

Δx

déterminée à la question II.A.1.
d) Déterminer complètement l'expression des états stationnaires unidimensionnels de l'électron suivant la direction

z

.
e) Proposer une analogie formelle entre ces résultats et ceux obtenus pour une corde vibrante. Mettre en regard les différences notables entre ces deux systèmes.
f) Représenter les fonctions d'ondes spatiales de l'électron dans la direction

z

pour les trois premiers niveaux d'énergies

E_z

sur la figure B du document réponse ainsi que les densités de probabilité de présence associées. Commenter.
g) Discuter des résultats attendus dans le cas des énergies élevées.

II.B - Oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique

Nous allons préciser les propriétés physiques d'un unique oscillateur harmonique quantique à une dimension en équilibre thermodynamique avec un thermostat à la température

T

. Comme indiqué dans la partie précédente, la résolution de l'équation de Schrödinger pour un tel oscillateur de pulsation

ω

conduit à des états stationnaires d'énergie

E_n = E_0 + nℏω

avec

n \in ℕ

.
On admet qu'à l'équilibre avec le thermostat, cet oscillateur ne se trouve pas dans un état stationnaire mais dans un mélange statistique des états stationnaires d'énergie

E_n

affectés des poids respectivement proportionnels au facteur de Boltzmann

e^(- (E_n)/(k_B T))

.
II.B.1) Exprimer la probabilité d'occupation

p_n

de l'état d'énergie

E_n

.
II.B.2) En déduire le rapport

r

entre la probabilité d'occupation de l'état d'énergie

E_(n + 1)

et celle de l'état d'énergie

E_n

. Comment la température influence-t-elle ce résultat?
II.B.3) Déterminer l'énergie moyenne

⟨E⟩

de l'oscillateur harmonique quantique en équilibre thermodynamique.
II.B.4) La figure 6 représente la variation en fonction de la température des énergies moyennes d'un oscillateur harmonique quantique et d'un oscillateur harmonique classique. Identifier, en justifiant votre réponse, chacune des courbes.

Énergie moyenne

Figure 6

Commenter le comportement de ces oscillateurs

à $T = 0 K$ ;
à basse température ;
à haute température.

Données numériques

Célérité de la lumière dans le vide
Masse de l'électron
Charge élémentaire
Permittivité diélectrique du vide
Constante d'Avogadro
Constante de Boltzmann
Constante de Planck
Constante de Planck réduite
Rayon de la Terre
Vitesse angulaire de rotation propre de la Terre
Rayon de l'orbite géostationnaire
Intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre
Ordre de grandeur du champ magnétique à la surface de la Terre

c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

m = 9, 11 \times 10^(- 31) kg

e = 1, 60 \times 10^(- 19)C

ε_0 = 8, 85 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)

N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)

k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)

h = 6, 63 \times 10^(- 34) J \cdot s

ℏ = h/(2π)

R_T = 6, 37 \times 10^3 km

Ω_T = 7, 29 \times 10^(- 5)rad \cdot s^(- 1)

R_g = 4, 22 \times 10^4 km

g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)

5 \times 10^(- 5) T

Formulaire

Impulsion d'une particule relativiste

p⃗ = γmv⃗ avec γ = 1/(\sqrt(1 - v^2/c^2))

Énergie cinétique d'une particule relativiste

E_c = mc^2(γ - 1) avec γ = 1/(\sqrt(1 - v^2/c^2))

Champ créé au point $M$ par un dipôle de moment magnétique $M^(\to-)$ placé en $O$

B⃗(M) = (μ_0)/(4πr^3)(3(M^(\to-) \cdot r⃗)/(r^2)r⃗ - M^(\to-)) avec r⃗ = OM^(\to-)

Couple subi par un dipôle de moment magnétique $M^(\to-)$ dans un champ magnétique extérieur $B⃗$

Γ⃗ = M^(\to-) \land B⃗

Opérateur divergence en coordonnées cylindriques au point $M(r, θ, z)$

divA⃗ = 1/r(\partial(rA_r))/(\partialr) + 1/r(\partialA_θ)/(\partialθ) + (\partialA_z)/(\partialz)

Densité de probabilité pour une loi normale d'espérance (moyenne) $⟨x⟩$ et d'écart type $σ$

f(x) = 1/(σ\sqrt(2π))exp(- 1/2((x - ⟨x⟩)/σ)^2)

Relation d'indétermination spatiale d'Heisenberg

ΔxΔp_x ⩾ ℏ/2

Prénom :

Épreuve de Physique-chimie 1 Filière MP

NUMÉRO
DE PLACE

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Figure A Fréquence des deux premiers pics d'absorption de la boîte quantique en fonction du champ magnétique appliqué à une température

T = 10 K

Figure B Tracés des fonctions d'ondes spatiales des trois premiers niveaux d'énergie et des densités de probabilité de présence associées

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Centrale physique-chimie 1 MP 2016 ?

Sur le confinement de particules : électron piégé par un champ magnétique (aurores polaires, ceintures de Van Allen), boîtes quantiques et oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique.

Quelle partie de Centrale physique-chimie 1 MP 2016 a été la moins réussie ?

La mécanique quantique, avec 14 % de réussite selon le jury, à égalité avec l'étude du champ magnétique non uniforme.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale physique-chimie 1 MP 2016 ?

Des réponses qualitatives sans consistance physique, des calculs arrangés pour retrouver le résultat, une équation de Schrödinger sans son caractère complexe et l'oubli de l'énergie potentielle dans l'estimation par la relation d'indétermination.

Comment sont notées les questions ouvertes de Centrale physique-chimie 1 MP 2016 ?

Toute démarche structurée et physiquement cohérente est acceptée. Le barème tient compte du temps qu'elles demandent et de la clarté de la démarche présentée.

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__La magnétosphère de la Terre

I Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique

I.A - Aurores polaires terrestres

I.B - Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme

I. C - Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme

I.D - Ceintures de Van Allen

II Confinement d'objets quantiques

II.A - Confinement d'électrons dans une boîte quantique

II.A.1) Fonction d'onde électronique

II.A.2) Propriétés optiques de la boîte

II.A.3) Anisotropie de la boîte quantique

II.A.4) Rôle de la dimension z

II.B - Oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique

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Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet Centrale physique-chimie 1 MP 2016 ?

Quelle partie de Centrale physique-chimie 1 MP 2016 a été la moins réussie ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale physique-chimie 1 MP 2016 ?

Comment sont notées les questions ouvertes de Centrale physique-chimie 1 MP 2016 ?

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 MP 2016

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 MP 2016

I. $C$ - Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme

II.A.4) Rôle de la dimension $z$

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