Centrale Mathématiques 1 MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Difficile

Matrices positives primitives et irréductibles : chemins, rayon spectral et coefficient d'imprimitivité

Le problème étudie les matrices à coefficients positifs à l'aide de la notion de chemin dans une matrice, issue de la théorie des graphes. Il établit l'indice de primitivité maximal d'une matrice primitive (partie III) puis relie le coefficient d'imprimitivité au pgcd des longueurs des circuits (partie VI). Les parties I et IV traitent de la limite des puissances d'une matrice en lien avec son rayon spectral, le théorème de Perron-Frobenius étant admis en partie IV.

1Partie I : si ρ(A) < 1, alors A^m tend vers 0Construction de normes sous-multiplicatives sur M_n(K) puis preuve que les puissances d'une matrice de rayon spectral strictement inférieur à 1 tendent vers 0.
2Partie II : chemins dans les matrices positivesRéduction d'un chemin à un chemin élémentaire, caractérisation de l'existence d'un chemin et lien avec les coefficients des puissances de A.
3Partie III : matrices primitives et indice de primitivitéPropriétés des puissances d'une matrice primitive, étude de la matrice de Weilandt et majoration de l'indice de primitivité.
4Partie IV : puissances d'une matrice primitiveAvec le théorème de Perron-Frobenius admis, étude d'une projection de rang 1 et preuve que les puissances de A/r convergent, r étant le rayon spectral.
5Partie V : matrices positives irréductiblesPremières propriétés, caractérisations de l'irréductibilité et conditions suffisantes de primitivité.
6Partie VI : le coefficient d'imprimitivitéDiagonales des puissances d'une matrice imprimitive, matrice de Weilandt modifiée, lien avec le polynôme caractéristique puis avec les longueurs des circuits.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de très long et note une sélectivité assez forte, presque aucune question n'ayant été entièrement réussie par plus de la moitié des candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Norme et convergence confondues · Équivalence démontrée par récurrence · Positivité des éléments propres

Le sujet, long et inhabituel, comportait six parties indépendantes mais chacune exigeait de s'approprier des notations spécifiques, ce qui limitait le grappillage. Les questions étant surtout fermées, la qualité de la rédaction a beaucoup pesé dans la notation. Le jury déplore un nombre important de copies à la limite de la lisibilité et constate de nombreuses notes très basses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Norme et convergence confonduesI.B
La moitié des candidats invoque la continuité de la norme pour passer de la convergence de la norme de A^m vers 0 à celle de A^m vers 0, ce qui ne convient pas. Peu de copies construisent un δ convenable.
« le jury a été surpris de voir que la moitié des candidats invoque la continuité de la norme »
2
Équivalence démontrée par récurrenceII.B
Prouver par récurrence que deux propriétés sont équivalentes a posé des problèmes de logique à environ la moitié des copies.
3
Positivité des éléments propresIII.B.5
Une erreur fréquente consiste à croire qu'une valeur propre ou un vecteur propre d'une matrice positive est forcément positif.
4
Calcul de déterminant maquilléIII.C.1
Le résultat étant donné, le jury attendait l'explication du développement (lignes et colonnes utilisées). Les calculs faux menant au bon résultat ont été lourdement sanctionnés, et l'argument de la matrice compagnon, hors programme, n'a rapporté aucun point.
« le jury a rencontré de nombreux procédés malhonnêtes, notamment des calculs faux aboutissant au résultat exact »
5
Confusions en algèbre linéaire et euclidiennePartie IV
La partie IV concentre le plus d'erreurs : supplémentaire confondu avec supplémentaire orthogonal, théorème du rang mal appliqué, confusion entre R^n et M_n(R), produits de matrices de tailles incompatibles.
« confusion entre supplémentaire et supplémentaire orthogonal »
6
Quantificateurs et exemples non justifiésV.A.2, V.A.3, V.A.4
La dépendance de m vis-à-vis de (i, j) est souvent mal comprise. Les exemples demandés sont donnés sans expliquer pourquoi la matrice est, ou n'est pas, irréductible ou primitive.

Ce qui a été bien réussi

Les deux tiers des candidats connaissent les propriétés caractéristiques d'une norme (partie I.A).
Le calcul des coefficients de Δ⁻¹TΔ en I.B a été plutôt bien réalisé.
La partie III, probablement la plus facile, a été la mieux réussie dans ses sous-parties III.A, III.B et III.C.
La notation de la transposée conforme au programme est plutôt bien assimilée.

Conseils du jury

Soigner la lisibilité et produire des phrases grammaticalement correctes, en mettant en valeur les arguments principaux.
Éviter les abréviations abusives et ne pas utiliser les quantificateurs comme des mots à l'intérieur d'une phrase.
Détailler les calculs dont le résultat est donné, par exemple en précisant la ligne ou la colonne de développement d'un déterminant.
Justifier précisément chaque exemple fourni au lieu de se contenter de donner une matrice.
Ne s'appuyer que sur des notions du programme.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Matrices positives (im)primitives

Ce problème étudie diverses propriétés des matrices primitives et des matrices irréductibles, définies dans les parties III et V respectivement, et s'appuie sur la notion de chemin dans une matrice positive, que l'on définit dans le préambule.

Généralités

Dans tout le problème $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2 .

Pour tous entiers naturels

i

j

, avec

i ⩽ j

, la notation

[ [i, j] ]

désigne

{k \in ℕ, i ⩽ k ⩽ j}

On note $M_n(𝕂)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $𝕂$ (avec $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ ).

A

est dans

M_n(𝕂)

, on notera

a_(i, j)

[A]_(i, j)

le coefficient de

A

situé en ligne

i

et colonne

j

.
On note

GL_n(𝕂)

l'ensemble des matrices carrées inversibles d'ordre

n

à coefficients dans

𝕂

.
On note

diag(λ_1, λ_2, \dots, λ_n)

la matrice diagonale de coefficients diagonaux successifs

λ_1, λ_2, \dots, λ_n

.
Si

A

est une matrice carrée de terme général

a_(i, j)

, on note

a_(i, j)^((m))

le terme général de la matrice

A^m

Soit $A$ dans $M_n(𝕂)$ . On note $Sp(A)$ (spectre de $A$ ) l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$ .

On appelle rayon spectral de

A

la quantité

ρ(A) = max{|λ|, λ \in Sp(A)}

.
On dit qu'une valeur propre

λ

A

est dominante si:

\forallμ \in Sp(A)∖{λ}, |μ| < |λ|

On identifie une matrice $A$ de $M_n(𝕂)$ avec l'endomorphisme de $𝕂^n$ qui lui est canoniquement associé. Cela permet de légitimer les notations $Im(A)$ et $Ker(A)$ .
On note $A^⊤$ la transposée d'une matrice $A$ .
On identifie un élément $x = (x_i)$ de $𝕂^n$ avec la matrice-colonne associée, ce qui légitime la notation $Ax$ pour tout $A$ dans $M_n(𝕂)$ . Dans ces conditions $x^⊤$ désigne la matrice-ligne associée au vecteur $x$ .
Dans la partie IV, on munit $ℝ^n$ de son produit scalaire canonique, défini par $(x|y) = \sum_(i = 1)^n x_i y_i = x^⊤y$ .

Matrices positives

On dit que $A = (a_(i, j)) \in M_n(ℝ)$ est positive et on note $A ⩾ 0$ , si: $\forall(i, j), a_(i, j) ⩾ 0$ .

On dit que

A

est strictement positive et on note

A > 0

, si:

\forall(i, j), a_(i, j) > 0

.
Ces définitions s'appliquent aux vecteurs

x

ℝ^n

(notations

x ⩾ 0

x > 0

).
On prendra bien garde au fait que l'implication (

A ⩾ 0

A \neq 0) ⟹ A > 0

est fausse !

Il est clair (et on ne demande pas de le démontrer) que les puissances $A^k$ (avec $k ⩾ 1$ ) d'une matrice carrée positive (respectivement strictement positive) sont positives (respectivement strictement positives).

Chemins dans une matrice positive

Soit $A = (a_(i, j))$ une matrice positive de $M_n(ℝ)$ .

Un chemin dans

A

est une suite

C = (i_k)_(0 ⩽ k ⩽ m)

[ [1, n] ]

, avec

m ⩾ 1

, telle que :

\forallk \in [ [0, m - 1] ], a_(i_k, i_(k + 1)) > 0

. Un tel chemin sera noté :

i_0 \to \dots \to i_k \to \dots \to i_m

On dit que $C$ a pour longueur $m$ et qu'il va de $i_0$ (son origine) à $i_m$ (son extrémité) en passant par les $i_k$ .
On dit que $C$ est un chemin élémentaire si $i_0, \dots, i_m$ sont distincts deux à deux.
On dit que $C$ est un circuit si $i_m = i_0$ et un circuit élémentaire si de plus $i_0, \dots, i_(m - 1)$ sont distincts. Dans un circuit, la notion d'origine et d'extrémité perd de son intérêt. On pourra donc dire d'un circuit qu'il passe par un indice $i$ (sans se préoccuper de la position de $i$ dans ce circuit).

I Si $ρ(A) < 1$ , alors $lim_(m \to + \infty)A^m = 0$

Cette partie est pratiquement indépendante du reste du problème. Elle démontre un résultat qui ne sera utilisé que dans la question IV.B.
On dit qu'une norme

A \mapsto ‖A‖

sur

M_n(𝕂)

est sous-multiplicative si :

\forall(A, B) \in M_n(𝕂)^2, ‖AB‖ ⩽ ‖A‖‖B‖

I.A - Deux exemples de normes sous-multiplicatives

Pour toute matrice

A

M_n(𝕂)

, on pose

N(A) = max_(1 ⩽ i ⩽ n)(\sum_(j = 1)^n|a_(i, j)|)

.
I.A.1) Montrer que l'application

A \mapsto N(A)

est une norme sous-multiplicative sur

M_n(𝕂)

.
I.A.2) Soit

Q \in GL_n(𝕂)

. Montrer que

A \mapsto ‖A‖ = N(Q^(- 1)AQ)

est une norme sous-multiplicative sur

M_n(𝕂)

.
I.B - Une conséquence de l'inégalité

ρ(A) < 1

On se donne

A

dans

M_n(ℂ)

, avec

ρ(A) < 1

. On veut montrer que

lim_(m \to + \infty)A^m = 0

.
I.B.1) Soit

P

dans

GL_n(ℂ)

et soit

T

triangulaire supérieure, telles que

A = PTP^(- 1)

. On se donne

δ > 0

. On pose

Δ = diag(1, δ, \dots, δ^(n - 1))

Tˆ = Δ^(- 1)TΔ

.
Montrer que

Tˆ

est triangulaire supérieure et qu'on peut choisir

δ

de sorte que

N(Tˆ) < 1

.
I.B.2) Avec ce choix de

δ

, on pose

Q = PΔ

et on munit

M_n(ℂ)

de la norme

M \mapsto ‖M‖ = N(Q^(- 1)MQ)

Montrer que

‖A‖ < 1

et en déduire

lim_(m \to + \infty)A^m = 0

II Chemins dans les matrices positives

Cette partie aborde les notions de base sur les chemins dans une matrice positive

A

(et notamment le lien entre l'existence de tels chemins et le caractère strictement positif de coefficients des puissances de

A

).
Une bonne compréhension des résultats démontrés ici est importante dans la perspective des parties III et IV. Dans cette partie,

A

désigne une matrice positive de

M_n(ℝ)

II.A - Réduction d'un chemin à un chemin élémentaire

Montrer que s'il existe dans

A

un chemin de

i

vers

j

, avec

i \neq j

, alors il existe un chemin élémentaire de

i

vers

j

et de longueur

ℓ ⩽ n - 1

. De même, montrer que s'il existe dans

A

un circuit passant

i

, alors il existe un circuit élémentaire passant par

i

et de longueur

ℓ ⩽ n

II.B - Une caractérisation de l'existence d'un chemin de i à $j$

Soit

A ⩾ 0

dans

M_n(ℝ)

. Soit

i, j

dans

[ [1, n] ]

. Soit

m ⩾ 1

. Montrer l'équivalence des propositions :

il existe dans $A$ un chemin d'origine $i$ , d'extrémité $j$ , de longueur $m$ ;
le coefficient d'indice $i, j$ de $A^m$ (noté $a_(i, j)^((m))$ ) est strictement positif.

On pourra procéder par récurrence sur l'entier

m ⩾ 1

II.C - Chemins dans une puissance de $A$

Soit

i, j

dans

[ [1, n] ]

, et soit

ℓ

m

dans

ℕ^*

. Montrer l'équivalence des propositions :

il existe dans $A^m$ un chemin d'origine $i$ , d'extrémité $j$ , de longueur $ℓ$ ;
il existe dans $A$ un chemin d'origine $i$ , d'extrémité $j$ , de longueur $mℓ$ .

III Matrices primitives et indice de primitivité

Soit

A

dans

M_n(ℝ)

, avec

A ⩾ 0

. On dit que

A

est primitive s'il existe

m ⩾ 1

tel que

A^m > 0

.
Avec cette définition, il est clair que toute matrice carrée strictement positive est primitive.
Dans toute la suite, matrice primitive signifie matrice carrée positive primitive.
Si

A

est primitive, on appelle indice de primitivité de

A

le plus petit entier

m ⩾ 1

tel que

A^m > 0

III.A - Chemins élémentaires dans une matrice primitive

Soit

A

une matrice primitive de

M_n(ℝ)

.
Montrer que pour tous

i \neq j

il existe dans

A

un chemin élémentaire de

i

j

et de longueur

ℓ ⩽ n - 1

, et que pour tout

i

il existe dans

A

un circuit élémentaire passant par

i

et de longueur

ℓ ⩽ n

III.B - Puissances d'une matrice primitive

III.B.1) Donner un exemple simple d'une matrice carrée primitive mais non strictement positive.
III.B.2) Soit

B > 0

dans

M_n(ℝ)

x ⩾ 0

dans

ℝ^n

avec

x \neq 0

. Montrer que

Bx > 0

.
III.B.3) Soit

A

une matrice primitive et

m \in ℕ^*

tel que

A^m > 0

. Montrer que

\forallp ⩾ m, A^p > 0

On pourra remarquer, en le justifiant, qu'aucune des colonnes

c_1, c_2, \dots, c_n

A

n'est nulle.
III.B.4) Prouver que si

A

est primitive, alors

A^k

est primitive pour tout

k ⩾ 1

.
III.B.5) Montrer que le rayon spectral d'une matrice primitive est strictement positif.

III.C - La matrice de Weilandt

On définit la matrice

W_n = (w_(i, j))

M_n(ℝ)

par

w_(i, j) = {1, si 1 ⩽ i < n et j = i + 1; 1, si i = n et j ∈ {1, 2}; 0, dans tous les autres cas

Par exemple, pour

n = 5, W_5 = (0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1; 1, 1, 0, 0, 0)

Le but de cette question est de prouver que

W_n

est primitive, d'indice de primitivité

n^2 - 2n + 2

.
III.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de

W_n

est

X^n - X - 1

En déduire

W_n^(n^2 - 2n + 1) = \sum_(k = 1)^(n - 1)((n - 2)/(k - 1))W_n^k

, puis que

W_n^(n^2 - 2n + 2) = I_n + W_n + \sum_(k = 2)^(n - 1)((n - 2)/(k - 2))W_n^k

.
III.C.2) Préciser le plus court circuit passant par l'indice 1 dans la matrice

W_n

En déduire que la matrice positive

W_n^(n^2 - 2n + 1)

n'est pas strictement positive.
III.C.3) Montrer que pour tous

i, j

[ [1, n] ]

, avec

i \neq j

, il existe dans

W_n

au moins un chemin d'origine

i

, d'extrémité

j

, et de longueur inférieure ou égale à

n - 1

On pourra traiter successivement les deux cas

1 \notin {i, j}

1 \in {i, j}

.
En déduire que la matrice

W_n^(n^2 - 2n + 2)

est strictement positive et conclure.

III.D - Indice de primitivité maximum

Le but de cette sous-partie est de prouver que si

A \in M_n(ℝ)

est primitive, on a toujours

A^(n^2 - 2n + 2) > 0

, c'est-àdire que l'indice de primitivité de

A

est inférieur ou égal à

n^2 - 2n + 2

. Ce majorant est en fait un maximum, comme on l'a vu avec la matrice

W_n

de Weilandt dans la question précédente.
Dans toute cette sous-partie,

A

est une matrice primitive donnée dans

M_n(ℝ)

.
On peut donc appliquer à la matrice

A

les résultats de la question III.A.
En particulier, on note

ℓ \in [ [1, n] ]

la plus petite longueur d'un circuit élémentaire de

A

.
III.D.1) Par l'absurde, on suppose

ℓ = n

Montrer qu'alors tous les circuits de

A

sont de longueur multiple de

n

.
En déduire que les matrices

A^(kn + 1)

(avec

k \in ℕ

) sont de diagonale nulle et aboutir à une contradiction.
III.D.2) D'après ce qui précède, il existe dans

A

un circuit élémentaire

C

de longueur

ℓ ⩽ n - 1

Pour simplifier la rédaction, et parce que cela n'enlève rien à la généralité du problème, on suppose qu'il s'agit du circuit

1 \to 2 \to \dots \to ℓ - 1 \to ℓ \to 1

(les

n - ℓ

indices restants

ℓ + 1, ℓ + 2, \dots, n

étant donc situés «en dehors» du circuit

C

).
Nous allons montrer que

A^(n + ℓ(n - 2))

est strictement positive.
Pour cela, on se donne

i

j

dans

[ [1, n] ]

. Tout revient à établir qu'il existe dans

A

un chemin d'origine

i

, d'extrémité

j

et de longueur

n + ℓ(n - 2)

.
a) Montrer que dans

A

, on peut former un chemin d'origine

i

, de longueur

n - ℓ

, et dont l'extrémité est dans

{1, 2, \dots, ℓ}

(on notera

k

cette extrémité).

On pourra traiter le cas

1 ⩽ i ⩽ ℓ

, puis le cas

ℓ + 1 ⩽ i ⩽ n

.
b) Dire pour quelle raison les

ℓ

premiers coefficients diagonaux de

A^ℓ

(et en particulier le

k

-ième) sont strictement positifs.
Montrer alors qu'il existe un chemin de longueur

n - 1

dans

A^ℓ

(c'est-à-dire un chemin de longueur

ℓ(n - 1)

dans

A)

d'origine

k

et d'extrémité

j

.
c) En déduire finalement

A^(n + ℓ(n - 2)) > 0

, puis

A^(n^2 - 2n + 2) > 0

IV Étude des puissances d'une matrice primitive

Cette partie utilise uniquement la définition des matrices primitives : elle est pratiquement indépendante de la partie III. Par ailleurs, les résultats de la partie IV ne seront pas réutilisés dans les parties V et VI.
Pour toute matrice primitive

A

dans

M_n(ℝ)

, on admet le résultat suivant :
Le rayon spectral

ρ(A)

A

(dont on sait qu'il est strictement positif) est une valeur propre dominante de

A

et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle qui possède un vecteur directeur

x > 0

.
Dans toute cette partie, on se donne une matrice primitive

A

M_n(ℝ)

.
Pour simplifier les notations, on note

r

(plutôt que

ρ(A)

) le rayon spectral de

A

. On rappelle que

r > 0

.
Il est clair que

A^⊤

est primitive, et que

A

A^⊤

ont le même rayon spectral

r

.
On peut donc noter

x

(respectivement

y

) un vecteur directeur strictement positif de la droite

D = Ker(A - rI_n)

(respectivement de la droite

Δ = Ker(A^⊤ - rI_n)

). On note

H = Im(A - rI_n)

.
Quitte à multiplier

y

par un coefficient strictement positif adéquat, on suppose

(y|x) = y^⊤x = 1

.
On note

L = xy^⊤

(c'est un élément de

M_n(ℝ)

).
IV.A - Puissances de la matrice

B = A - rL

IV.A.1) Montrer que

H

est l'hyperplan orthogonal à la droite

Δ

(c'est-à-dire

H = Δ^⊥

).
IV.A.2) Prouver que

L

est la matrice, dans la base canonique, de la projection de

ℝ^n

sur la droite

D

, parallèlement à l'hyperplan

H

.
IV.A.3) Vérifier que

L

est de rang 1 , qu'elle est strictement positive, et que

L^⊤y = y

.
IV.A.4) Montrer que

AL = LA = rL

. En déduire:

\forallm \in ℕ^*, (A - rL)^m = A^m - r^m L

.
IV.B - La matrice

B = A - rL

vérifie

ρ(B) < r

Dans cette question, on pose

B = A - rL

. On va montrer que

ρ(B) < r

et en déduire un résultat intéressant sur la suite des puissances successives de

A

.
Soit

λ

une valeur propre non nulle de

B

et soit

z

un vecteur propre associé.
IV.B.1) Montrer que

Lz = 0

, puis

Az = λz

. En déduire

ρ(B) ⩽ r

.
IV.B.2) Par l'absurde, on suppose

ρ(B) = r

. On peut donc choisir

λ

de telle sorte que

|λ| = r

. Montrer qu'alors

λ = r

puis

Lz = z

et aboutir à une contradiction. Conclure.
IV.B.3) Déduire de ce qui précède (et de la sous-partie IV.A) que

lim_(m \to + \infty)(1/rA)^m = L

IV.C - Le rayon spectral de $A$ est une valeur propre simple

Dans cette sous-partie, on montre que la valeur propre dominante de

A

(c'est-à-dire son rayon spectral

r

) est simple (on sait déjà que le sous-espace propre associé est une droite vectorielle).
Soit

μ

la multiplicité de

r

comme valeur propre de

A

et soit

T = PAP^(- 1)

une réduite triangulaire de

A

.
En examinant la diagonale de

(1/rT)^m

quand

m \to + \infty

, montrer que

μ = 1

V Matrices carrées positives irréductibles

Soit

A = (a_(i, j))

dans

M_n(ℝ)

, avec

A ⩾ 0

. On dit que

A

est irréductible si, pour tous

i

j

dans

[ [1, n] ]

, il existe

m ⩾ 0

(dépendant a priori de

i

j

) tel que

a_(i, j)^((m)) > 0

.
Avec cette définition, il est clair que toute matrice primitive est irréductible.
Dans toute la suite, matrice irréductible signifie matrice carrée positive irréductible.
Dans toute cette partie,

A

est une matrice positive donnée dans

M_n(ℝ)

V.A - Premières propriétés des matrices irréductibles

V.A.1) Exprimer l'irréductibilité de

A

en termes de chemins dans

A

.
V.A.2) Montrer que si

A

est irréductible, alors pour tous

i

j

dans

[ [1, n] ]

, il existe

m \in [ [0, n - 1] ]

(dépendant a priori de

i

j

) tel que

a_(i, j)^((m)) > 0

.
V.A.3) Donner un exemple simple d'une matrice carrée irréductible mais non primitive.
V.A.4) Montrer que si

A

n'est pas irréductible, alors

A^2

n'est pas irréductible.

En revanche, donner un exemple simple d'une matrice

A

irréductible telle que

A^2

ne soit pas irréductible.
V.A.5) Montrer que le rayon spectral d'une matrice irréductible est strictement positif.

V. $B$ - Deux caractérisations de l'irréductibilité et une condition nécessaire

V.B.1) Pour la matrice positive

A

M_n(ℝ)

, montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

la matrice $A$ est irréductible ;
la matrice $B = I_n + A + A^2 + \dots + A^(n - 1)$ est strictement positive ;
la matrice $C = (I_n + A)^(n - 1)$ est strictement positive.
V.B.2) Soit $A$ irréductible. Montrer qu'aucune ligne (et aucune colonne) de $A$ n'est identiquement nulle.

V. $C$ - Deux conditions suffisantes de primitivité

Dans cette question,

A

est une matrice irréductible donnée.
V.C.1) On suppose que

\foralli \in [ [1, n] ], a_(i, i) > 0

. Montrer que

A^(n - 1) > 0

(donc

A

est primitive).

On raisonnera en termes de chemins dans

A

.
V.C.2) On suppose que:

\existsi \in [ [1, n] ], a_(i, i) > 0

. Montrer que

A

est primitive.

Pour tous

j

k

dans

[ [1, n] ]

, on pourra montrer qu'il existe dans

A

un chemin de

j

k

et passant par

i

, et considérer le maximum

m

des longueurs des chemins ainsi obtenus. On prouvera que

A^m > 0

VI Le coefficient d'imprimitivité

Soit

A = (a_(i, j))

dans

M_n(ℝ)

, avec

A ⩾ 0

.
On dit que

A

est imprimitive si

A

est irréductible mais n'est pas primitive.
Pour toute matrice

A

imprimitive dans

M_n(ℝ)

, on admet le résultat suivant :

Les valeurs propres $λ$ de A telles que $|λ| = ρ(A)$ sont simples. Ce sont les solutions de l'équation $λ^p = ρ(A)^p$ pour un certain entier $p ⩾ 2$ . En particulier $ρ(A)$ est valeur propre simple de $A$ . Plus généralement, la totalité du spectre de $A$ est invariante dans la multiplication par $ω = exp(2iπ/p)$ . Par ailleurs, et pour la valeur propre $ρ(A)$ , la matrice $A$ possède un vecteur propre $x > 0$ .

L'indice

p ⩾ 2

dont il est question dans le résultat précédent est appelé le coefficient d'imprimitivité de

A

.
Remarque : si on rapproche ce qui précède et le résultat admis au début de la partie IV, on peut fort bien dire qu'une matrice primitive a pour coefficient d'imprimitivité

p = 1

VI.A - Diagonales des puissances d'une matrice imprimitive

Soit

A

une matrice imprimitive de coefficient d'imprimitivité

p ⩾ 2

.
Pour tout entier

m

non multiple de

p

, montrer que la diagonale de

A^m

est identiquement nulle.
On pourra s'intéresser à la trace de

A^m

.
En déduire que le résultat de la question IV.B. 3 ne tient plus si

A

est imprimitive.

VI.B - Une matrice de Weilandt «modifiée»

On définit la matrice

Z_n = (z_(i, j)) \in M_n(ℝ)

par

z_(i, j) = {1, si 1 ⩽ i < n et j = i + 1; 1, si (i, j) ∈ {(n − 1, 1), (n, 2)}; 0, dans tous les autres cas

Par exemple, pour

n = 5 : Z_5 = (0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 1, 0, 0, 0, 1; 0, 1, 0, 0, 0)

.
Le but de cette question est de prouver que

Z_n

est imprimitive.
VI.B.1) Montrer que la matrice

Z_n

est irréductible.
VI.B.2) Montrer que le polynôme caractéristique de

Z_n

est

X(X^(n - 1) - 2)

En déduire que

Z_n

est imprimitive et préciser son coefficient d'imprimitivité.
VI.B.3) Montrer que

Z_n^(n^2 - 2n + 2) = 2^(n - 1)Z_n

et retrouver le fait que

Z_n

n'est pas primitive.

VI.C - Coefficient d'imprimitivité et polynôme caractéristique

Soit

A ⩾ 0

dans

M_n(ℝ)

, une matrice irréductible. On note

r

son rayon spectral.
Soit

p ⩾ 1

le coefficient d'imprimitivité de

A

(rappel : par convention,

p = 1

A

est primitive).
Soit

χ_A(X) = X^n + c_(k_1)X^(n - k_1) + c_(k_1)X^(n - k_2) + \dots + c_(k_s)X^(n - k_s)

son polynôme caractéristique, écrit suivant les puissances décroissantes et en ne laissant apparaître que les coefficients

c_k

non nuls.
On va montrer la propriété suivante : l'entier

p

est le pgcd des entiers

k_1, k_2, \dots, k_s

.
VI.C.1) On rappelle que le spectre de

A

est invariant par le produit

z \mapsto ωz

, où

ω = exp(2iπ/p)

En déduire que, pour tout

k ∈ {k_1, k_2, …, k_s}

, l'entier

k

est divisible par

p

.
Penser aux fonctions symétriques élémentaires des

λ_i

.
VI.C.2) Réciproquement, on suppose par l'absurde que les

k_j

sont tous divisibles par

qp

, avec

q ⩾ 2

On pose

β = e^(2iπ/(qp))

(donc

β^q = ω

). Montrer que

βr

est valeur propre de

A

et conclure.

VI.D - Coefficient d'imprimitivité et longueur des circuits

Dans cette question, on va établir un théorème de Romanovsky en 1936, établissant que le coefficient d'imprimitivité

p

d'une matrice irréductible (éventuellement

p = 1

dans le cas d'une matrice primitive) est le pgcd des longueurs des circuits passant un indice donné (ce pgcd ne dépendant en fait pas de l'indice en question).
Soit

A \in M_n(ℝ)

une matrice irréductible. Pour tout

i

[ [1, n] ]

, on note

L_i = {m ∈ ℕ^∗, a_(i, i)^((m)) > 0}

l'ensemble (non vide) des longueurs des circuits de

A

qui passent par

i

, et on note

d_i

le pgcd des éléments de

L_i

.
VI.D.1) Soit

i, j

dans

[ [1, n] ]

. On sait qu'il existe

r

s

dans

ℕ

tels que

a_(i, j)^((r)) > 0

a_(j, i)^((s)) > 0

Pour tout

k

dans

{0} ∪ L_j

, montrer que

d_i

divise

r + k + s

. En déduire que

d_i

divise

d_j

.
Par symétrie, il en résulte évidemment que tous les

d_i

sont égaux. On note

d

leur valeur commune.
VI.D.2) Montrer que si

p = 1

(c'est-à-dire si

A

est primitive), alors

d = 1

(utiliser la question III.B.3).
VI.D.3) Dans la suite de cette question, on suppose

p ⩾ 2

Montrer que

p

divise

d

(utiliser la question VI.A).
VI.D.4) On va montrer que

d

divise

p

. Il en résultera bien sûr l'égalité

d = p

On rappelle que la diagonale de

A

est nulle (c'est une conséquence de la question VI.A).
Soit

χ_A(x) = det(xI_n - A)

le polynôme caractéristique de

A

.
On sait que

χ_A(x) = \sum_σ ε(σ)\prod_(j = 1)^n[xI_n - A]_(j, σ(j))

, où la somme est étendue aux permutations

σ

[ [1, n] ]

.
On fixe une permutation

σ

[ [1, n] ]

, on pose

Ψ(σ) = \prod_(j = 1)^n[xI_n - A]_(j, σ(j))

et on suppose

Ψ(σ) \neq 0

.
On note

H

l'ensemble des éléments

j

[ [1, n] ]

tels que

σ(j) \neq j

, et

card(H) = h

, avec

0 ⩽ h ⩽ n

.
a) Montrer que

Ψ(σ) = (- 1)^h x^(n - h)\prod_(j \in H)a_(j, σ(j))

.
b) La restriction à

H

de la permutation

σ

se décompose en produits de cycles à supports disjoints (et de longueur

⩾ 2

puisque par hypothèse aucun des éléments de

H

n'est invariant par

σ

).
Soit

s = (j_1, j_2, \dots, j_m)

, avec

m ⩾ 2

, l'un quelconque des cycles entrant dans cette décomposition.
Montrer que

j_1 \to j_2\dots \to j_m \to j_1

est un circuit dans la matrice

A

.
En déduire que

m

, puis

h

, sont des multiples de

d

.
c) Montrer finalement que

χ_A(x)

s'écrit :

χ_A(x) = x^n + α_1 x^(n - d) + α_2 x^(n - 2d) + \dots + α_k x^(n - kd) + \dots

En déduire que

d

est un diviseur de

p

(utiliser le résultat de la question VI.C). Conclure.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2016 ?

Il porte sur les matrices positives primitives et irréductibles, étudiées à l'aide de chemins et de circuits. Il mobilise la réduction des matrices, les normes sous-multiplicatives, le rayon spectral et l'algèbre euclidienne.

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2016 était-il long ?

Oui, le jury le qualifie de très long. La dernière partie, qui débutait par des questions assez difficiles, n'a été sérieusement abordée que dans très peu de copies.

Quelles erreurs le jury de Centrale Maths 1 MP 2016 a-t-il relevées ?

Une mauvaise utilisation de la continuité de la norme, des erreurs de logique dans les récurrences, des confusions d'algèbre linéaire et euclidienne en partie IV et des calculs de déterminant truqués pour retrouver le résultat donné.

Quelle partie du sujet Centrale Maths 1 MP 2016 était la plus abordable ?

Selon le jury, la partie III sur les matrices primitives était probablement la plus facile et la mieux réussie dans ses premières sous-parties.

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Matrices positives (im)primitives

Généralités

Matrices positives

Chemins dans une matrice positive

I Si ρ(A) < 1, alors lim_(m → + ∞)A^m = 0

I.A - Deux exemples de normes sous-multiplicatives

II Chemins dans les matrices positives

II.A - Réduction d'un chemin à un chemin élémentaire

II.B - Une caractérisation de l'existence d'un chemin de i à j

II.C - Chemins dans une puissance de A

III Matrices primitives et indice de primitivité

III.A - Chemins élémentaires dans une matrice primitive

III.B - Puissances d'une matrice primitive

III.C - La matrice de Weilandt

III.D - Indice de primitivité maximum

IV Étude des puissances d'une matrice primitive

IV.C - Le rayon spectral de A est une valeur propre simple

V Matrices carrées positives irréductibles

V.A - Premières propriétés des matrices irréductibles

V. B - Deux caractérisations de l'irréductibilité et une condition nécessaire

V. C - Deux conditions suffisantes de primitivité

VI Le coefficient d'imprimitivité

VI.A - Diagonales des puissances d'une matrice imprimitive

VI.B - Une matrice de Weilandt «modifiée»

VI.C - Coefficient d'imprimitivité et polynôme caractéristique

VI.D - Coefficient d'imprimitivité et longueur des circuits

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2016 ?

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2016 était-il long ?

Quelles erreurs le jury de Centrale Maths 1 MP 2016 a-t-il relevées ?

Quelle partie du sujet Centrale Maths 1 MP 2016 était la plus abordable ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 MP 2016

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 MP 2016

I Si $ρ(A) < 1$ , alors $lim_(m \to + \infty)A^m = 0$

II.B - Une caractérisation de l'existence d'un chemin de i à $j$

II.C - Chemins dans une puissance de $A$

IV.C - Le rayon spectral de $A$ est une valeur propre simple

V. $B$ - Deux caractérisations de l'irréductibilité et une condition nécessaire

V. $C$ - Deux conditions suffisantes de primitivité