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Centrale Mathématiques 1 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Partie symétrique d'une matrice : F-singularité et matrices positivement stables
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Le sujet étudie les matrices réelles carrées dont la partie symétrique est définie positive. Après des résultats préliminaires reliant une matrice à sa partie symétrique, il établit des conditions de F-singularité par rapport à un sous-espace, puis étudie les matrices positivement stables, dont toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement positive, avec une application aux équations différentielles matricielles.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesdeuxième annéeSupplémentarité orthogonale des matrices symétriques et antisymétriques, valeurs propres de la partie symétrique, racine carrée d'une matrice définie positive, partie symétrique des matrices orthogonales.
  2. 2Partie II : matrices F-singulièrespremière et deuxième annéeCaractérisation de la F-singularité par des déterminants de matrices par blocs, pour un hyperplan, un sous-espace de dimension n-2 puis en général, avec deux exemples numériques.
  3. 3Partie III : matrices positivement stablesdeuxième annéeExemples en dimension 2, lien avec la partie symétrique définie positive, bornitude de solutions d'équations différentielles via l'exponentielle de matrice, puis étude d'une équation matricielle.

Difficile. Le rapport donne des taux de réussite faibles au-delà des premières questions : moins de 10 % sur l'unicité de la racine carrée, une trentaine de candidats sur I.B.3c, et un seul candidat sur III.C.1 et III.C.2.

L'épreuve en chiffres

4 530 copies
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Copies
4 530

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème de Pythagore mal appliqué · Valeurs propres réelles et complexes confondues · Changements de base orthonormée non justifiés
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Les parties I et II ont été traitées par la quasi-totalité des candidats, mais le nombre de réponses pertinentes chute nettement dans les sous-parties II.C à II.E. Selon le jury, cette chute vient surtout de problèmes de rédaction : ces sous-parties reprenaient la partie II.A et beaucoup n'ont pas expliqué les différences. Un peu plus de la moitié des candidats a abordé la partie III, dont les premières questions étaient pourtant largement abordables.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de Pythagore mal appliquéI.A.2

    La distance d'une matrice à sa partie symétrique a souvent été calculée sans les carrés des normes.

    « Une erreur très grave a trop souvent été faite : l’oubli des carrés dans le théorème de Pythagore. »
  2. 2
    Valeurs propres réelles et complexes confonduesI.B.2, III.A.1

    Certains supposent toute matrice diagonalisable ou oublient les valeurs propres complexes dans le produit qui donne le déterminant.

    « il est faux de ne considérer que les valeurs propres réelles ! »
  3. 3
    Changements de base orthonormée non justifiésI.B.1, I.C.3

    Des candidats utilisent des bases de réduction non orthonormées ou ne vérifient pas que l'antisymétrie se conserve par changement de base orthonormée.

    « Presque aucun candidat n’a vérifié qu’une matrice antisymétrique reste antisymétrique après changement de base orthonormée »
  4. 4
    Condition nécessaire et condition suffisante confonduesII.A.8

    La question II.A.8 portait sur une condition nécessaire ; les résultats précédents ne servaient à rien et une preuve directe était attendue.

    « Beaucoup de candidats confondent « condition suffisante » et « condition nécessaire ». »
  5. 5
    Calculatrice utilisée à la place d'une preuveII.B.2

    Quand l'énoncé donne les valeurs à vérifier, écrire que la calculatrice les confirme ne rapporte rien. La calculatrice reste pertinente pour un calcul non donné.

    « Le jury n’a pas validé des réponses affirmant que la calculatrice confirmait les valeurs explicites de la question. »
  6. 6
    Calculs de déterminant sans explicationII.A.5

    Le jury demande d'expliquer le cheminement (développement selon une ligne, déterminant par blocs), sans quoi il ne peut pas valider la réponse.

    « le jury ne peut raisonnablement pas valider une réponse sans comprendre l’argumentation des candidats »

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.A.1 a été globalement bien traitée.
  • La question I.B.4, facile, a été globalement réussie.
  • La question II.A.4 a été résolue par presque tous ceux qui l'ont abordée, et II.A.7 réussie par presque tous ceux qui l'ont traitée.
  • Les questions III.C.3, abordées par moins d'une centaine de candidats, ont reçu des réponses essentiellement satisfaisantes.

Conseils du jury

  • Expliquer les différences quand une question reprend les arguments d'une partie précédente, par exemple les tailles de matrices.
  • Détailler les calculs de déterminant et ne pas simuler un résultat par des calculs hasardeux : tous les calculs sont lus.
  • Traiter moins de questions mais correctement : certaines questions difficiles comme I.B.3c ou III.C.2 ont été fortement valorisées.
  • Rédiger avec des phrases et soigner la lisibilité de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sur la partie symétrique d'une matrice

Notations

Si n et p sont des entiers naturels non nuls, on note M_(n, p)(ℝ) l'espace vectoriel des matrices réelles à n lignes et p colonnes et M_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices carrées M_(n, n)(ℝ). On définit de façon analogue M_(n, p)(ℂ) et M_n(ℂ).
La transposée d'une matrice A de M_(n, p)(ℝ) est notée A^⊤. On rappelle qu'une matrice A de M_n(ℝ) est dite symétrique si A^⊤ = A et qu'elle est dite antisymétrique si A^⊤ = − A.
Le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) constitué des matrices symétriques est noté S_n(ℝ). Le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) constitué des matrices antisymétriques est noté A_n(ℝ).
Le groupe des matrices orthogonales à n lignes et n colonnes est noté O_n(ℝ).
On note I_n la matrice identité dans M_n(ℝ).
Pour toute matrice carrée A ∈ M_n(ℝ), on note A_s = 1/2(A + A^⊤) et A_a = 1/2(A − A^⊤). Ainsi, A_s est une matrice symétrique, A_a est une matrice antisymétrique et A = A_s + A_a. On dit que A_s est la partie symétrique de A et que A_a est sa partie antisymétrique.
Pour A ∈ M_n(ℝ), on note sp_ℝ(A) le spectre réel de A, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres réelles de A. Une matrice symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives et elle est dite définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives.
On note S_n^+(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques positives de M_n(ℝ) et S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de M_n(ℝ).

Objectif

L'objectif du problème est d'étudier certaines propriétés des matrices réelles carrées dont la partie symétrique est définie positive.
La première partie apporte quelques résultats préliminaires.
La deuxième partie, où on étudie les matrices F-singulières, et la troisième partie, qui traite des matrices positivement stables, sont largement indépendantes.

I Résultats préliminaires

I.A - Distance de A à A_s

On munit M_n(ℝ) du produit scalaire canonique donné par(M, N) ↦ tr(M^⊤N) où tr désigne la trace. On note ‖ ⋅ ‖_2 la norme euclidienne associée.
I.A.1) Montrer que S_n(ℝ) et A_n(ℝ) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux dans M_n(ℝ) et préciser leurs dimensions.
I.A.2) Soit A ∈ M_n(ℝ). Montrer que pour toute matrice S ∈ S_n(ℝ), ‖A − A_s‖_2 ⩽ ‖A − S‖_2. Préciser à quelle condition sur S ∈ S_n(ℝ), cette inégalité est une égalité.

I.B - Valeurs propres de A_s

On considère A ∈ M_n(ℝ).
I.B.1) Si M ∈ M_n(ℝ) et X, Y ∈ M_(n, 1)(ℝ), la matrice X^⊤MY appartient à M_1(ℝ) et on convient de l'identifier au nombre réel égal à son unique coefficient.
Avec cette convention, montrer que A_s ∈ S_n^+(ℝ) si et seulement si ∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), X^⊤A_s X ⩾ 0 et que A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ) si et seulement si ∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, X^⊤A_s X > 0.
I.B.2) Pour toute valeur propre réelle λ de A, montrer que minsp se_ℝ(A_s) ⩽ λ ⩽ maxspse_ℝ(A_s).
En déduire que si A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ) alors A est inversible.
I.B.3) On suppose que A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
a) Montrer qu'il existe une unique matrice B de S_n^(+ +)(ℝ) telle que B^2 = A_s.
b) Montrer qu'il existe une matrice Q de A_n(ℝ) telle que det(A) = det(A_s)det(I_n + Q).
c) En déduire que det(A) ⩾ det(A_s).
I.B.4) On suppose A inversible et, conformément aux notations du problème, (A^(− 1))_s désigne la partie symétrique de l'inverse de A. Montrer que (det(A))^2 det((A^(− 1))_s) = det(A_s).
On pourra considérer A(A^(− 1))_s A^⊤.

I. C − Partie symétrique des matrices orthogonales

I.C.1) Soit A ∈ O_n(ℝ). Montrer que les valeurs propres de A_s sont dans [ − 1, 1].
I.C.2) Donner un exemple de matrice symétrique S dans S_2(ℝ) telle que sp_ℝ(S) ⊂ [ − 1, 1] et pour laquelle il n'existe pas de matrice A ∈ O_2(ℝ) vérifiant A_s = S.
I.C.3) Soit S ∈ S_n(ℝ).
a) On suppose que sp_ℝ(S) ⊂ [ − 1, 1] et que pour toute valeur propre λ de S dans ] − 1, 1[, l'espace propre de S associé à λ est de dimension paire. Montrer qu'il existe A ∈ O_n(ℝ) telle que A_s = S.
b) Réciproquement, montrer que s'il existe A ∈ O_n(ℝ) telle que A_s = S, alors sp_ℝ(S) ⊂ [ − 1, 1] et pour toute valeur propre λ de S dans ] − 1, 1[, l'espace propre de S associé à λ est de dimension paire.

II Matrices F-singulières

Dans la suite de cette partie, on note E_n = M_(n, 1)(ℝ) qu'on munit du produit scalaire ( ⋅ | ⋅ ) défini par
∀X, Y ∈ E_n, (X|Y) = X^⊤Y
où, comme au I.B.1, on identifie la matrice X^⊤Y à son unique coefficient.
Si 1 ⩽ p ⩽ n, on note G_(n, p)(ℝ) l'ensemble des matrices de M_(n, p)(ℝ) de rang égal à p.
Une matrice de M_n(ℝ) est dite singulière si elle n'est pas inversible.
Si F est un sous-espace vectoriel non réduit à {0} de E_n et si K ∈ M_n(ℝ), on dit que K est F-singulière s'il existe X ∈ F non nul tel que ∀Z ∈ F, Z^⊤KX = 0. Dans le cas contraire, on dit que K est F-régulière.

II.A - Cas où F est un hyperplan

II.A.1) Montrer qu'une matrice de M_n(ℝ) est singulière si et seulement si elle est E_n-singulière.
Dans cette sous-partie II.A, on suppose désormais n ⩾ 2. Soit F = H un hyperplan de E_n et soit N ∈ E_n un vecteur unitaire normal à H.
II.A.2) Montrer que A est H-singulière si et seulement s'il existe un vecteur non nul X de H et un réel λ tels que AX = λN.
II.A.3) En déduire que A est H-singulière si et seulement si la matrice A_N = (A, N; N^⊤, 0) ∈ M_(n + 1)(ℝ) est singulière.
Dans les questions suivantes, A est une matrice inversible de M_n(ℝ).
II.A.4) Montrer qu'il existe une matrice B = (B_1, B_2; B_3, B_4) avec B_1 ∈ M_n(ℝ), B_2 ∈ M_(n, 1)(ℝ), B_3 ∈ M_(1, n)(ℝ), B_4 ∈ M_1(ℝ) telle que : A_N B = (I_n, 0; N^⊤A^(− 1), − N^⊤A^(− 1)N).
II.A.5) En déduire que det(A_N) = − N^⊤A^(− 1)Ndet(A).
II.A.6) Montrer que si det((A^(− 1))_s) = 0, alors il existe un hyperplan H de E_n tel que A est H-singulière.
II.A.7) En déduire que si det(A_s) = 0, alors il existe un hyperplan H de E_n tel que A est H-singulière.
II.A.8) On suppose que A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ). Montrer que A est H-régulière pour tout hyperplan H de E_n.

II.B - Exemple

On traitera l'exemple
A = A(μ) = (2 − μ, − 1, μ; − 1, 2 − μ, μ − 1; 0, − 1, 1)
II.B.1) Montrer que A(μ) est inversible pour tout réel μ.
II.B.2) Calculer A(μ)_s et montrer que A(μ)_s est singulière pour μ = 1, 1 − √3, 1 + √3.
II.B.3) Déterminer un hyperplan H tel que A(1) soit H-singulière.

II.C - Cas où F est de dimension n-2

On suppose ici n ⩾ 3. Soit F un sous-espace vectoriel de E_n de dimension n − 2. On considère ( N_1, N_2 ) une base de F^⊥ et on pose
N = (N_1, N_2) ∈ M_(n, 2)(ℝ)
II.C.1) Montrer que A est F-singulière si et seulement s'il existe un élément non nul X de F et deux réels λ_1, λ_2 tels que AX = λ_1 N_1 + λ_2 N_2.
II.C.2) En déduire que A est F-singulière si et seulement si la matrice
A_N = (A, N_1, N_2; N_1^⊤, 0, 0; N_2^⊤, 0, 0) = (A, N; N^⊤, 0_2) ∈ M_(n + 2)(ℝ)
est singulière.
Dans les questions suivantes, A est une matrice inversible de M_n(ℝ).
II.C.3) Montrer qu'il existe une matrice B = (B_1, B_2; B_3, B_4) avec B_1 ∈ M_n(ℝ), B_2 ∈ M_(n, 2)(ℝ), B_3 ∈ M_(2, n)(ℝ) et B_4 ∈ M_2(ℝ) telle que
A_N B = (I_n, 0; N^⊤A^(− 1), − N^⊤A^(− 1)N)
II.C.4) En déduire que det(A_N) = det(N^⊤A^(− 1)N)det(A).
II.C.5) Montrer qu'il existe P ∈ G_(n, 2)(ℝ) telle que det(P^⊤A^(− 1)P) = 0 si et seulement s'il existe P^′ ∈ G_(n, 2)(ℝ) telle que det(P^(′⊤)AP^′) = 0.
II.C.6) Montrer que si N^′ = (N_1^′, N_2^′) alors
det(N^(′⊤)AN^′) = (N_1^(′⊤)A_s N_1^′)(N_2^(′⊤)A_s N_2^′) − (N_1^(′⊤)A_s N_2^′)^2 + (N_1^(′⊤)A_a N_2^′)^2
II.C.7) En déduire que si A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ), alors det(N^⊤A^(− 1)N) > 0.
II.C.8) En conclure que si A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ), alors A est F-régulière pour tout sous-espace vectoriel F de dimension n − 2 de E_n.

II.D - Exemple

On reprend l'exemple de la sous-partie II.B avec μ = 1.
II.D.1) Comment choisir N^′ = (N_1^′, N_2^′) de façon que det(N^(′⊤)AN^′) = 0 ?
II.D.2) Déterminer un sous-espace vectoriel F de E_3 tel que dimF = 1 et tel que A(1) soit F-singulière.

II.E - Cas général

Soit F un sous-espace vectoriel de E_n de dimension n − p, où 1 ⩽ p ⩽ n − 1.
II.E.1) Montrer que A est F-singulière si det(N^(′⊤)AN^′) = 0 pour une matrice N^′ ∈ G_(n, p)(ℝ) que l'on définira. On suppose désormais que A_s ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
II.E.2) Montrer que si X ∈ M_(p, 1)(ℝ) est non nul alors X^⊤N^(′⊤)AN^′ X > 0.
II.E.3) En déduire que les valeurs propres réelles de N^(′⊤)AN^′ sont strictement positives.
II.E.4) En déduire que det(N^(′⊤)AN^′) > 0.
II.E.5) En déduire que A est F-régulière pour tout sous-espace vectoriel F ≠ {0} de E_n.

III Matrices positivement stables

On dit qu'une matrice A de M_n(ℝ) est positivement stable si toutes ses valeurs propres complexes ont une partie réelle strictement positive.

III.A - Exemples

III.A.1) Soit A ∈ M_2(ℝ). Montrer que A est positivement stable si et seulement sitr(A) > 0 et det(A) > 0. III.A.2)
a) La somme de deux matrices positivement stables de M_2(ℝ) est-elle nécessairement positivement stable ?
b) Soit A, B dans M_n(ℝ) deux matrices positivement stables qui commutent. Montrer que A + B est positivement stable.
III.A.3) Soit A ∈ M_n(ℝ) telle que A_s soit définie positive.
a) Soit X = Y + iZ une matrice colonne de M_(n, 1)(ℂ), où Y et Z appartiennent à M_(n, 1)(ℝ). On pose X¯ = Y − iZ et on identifie la matrice X¯^⊤AX ∈ M_1(ℂ) au nombre complexe égal à son unique coefficient.
Montrer que, si X ≠ 0, alors Re(X¯^⊤AX) > 0, où Re(z) désigne la partie réelle de z ∈ ℂ.
b) Montrer que A est positivement stable.
III.A.4) Donner un exemple de matrice A positivement stable telle que A_s n'est pas définie positive.
III.B - Dans cette sous-partie III.B, on établit un résultat sur l'exponentielle de matrice qui sera utile par la suite.
On rappelle que, pour toute matrice M ∈ M_n(ℂ), l'exponentielle de M est définie par
exp(M) = ∑_(k = 0)^∞(M^k)/(k!)
La fonction t ↦ exp(tM) est définie et de classe C^∞ sur ℝ et sa fonction dérivée est donnée par
t ↦ Mexp(tM) = exp(tM)M
de plus, exp(− tM)exp(tM) = I_n pour tout réel t.
III.B.1) Soit λ ∈ ℂ tel que Re(λ) > 0. Soit u une fonction à valeurs complexes de classe C^1 sur ℝ^+.
On suppose que la fonction v = u^′ + λu est bornée sur ℝ^+. Montrer que u est bornée sur ℝ^+.
On pourra considérer l'équation différentielle y^′ + λy = v.
III.B.2) Soit T ∈ M_n(ℂ) une matrice triangulaire supérieure à coefficients complexes. On suppose que les coefficients diagonaux de T sont des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit u_1, …, u_n des fonctions à valeurs complexes, définies et de classe C^1 sur ℝ^+et soit, pour tout t ∈ ℝ^+,
U(t) = (u_1(t); ⋮; u_n(t))
On suppose que, pour tout t ∈ ℝ^+, U^′(t) + TU(t) = 0.
Montrer que les fonctions u_j, où 1 ⩽ j ⩽ n, sont bornées sur ℝ^+.
III.B.3) Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice positivement stable de valeurs propres complexes λ_1, …, λ_n et soit α un réel tel que 0 < α < min_(1 ⩽ j ⩽ n)Re(λ_j).
Montrer que la fonction t ↦ e^(αt)exp(− tA) est bornée sur ℝ^+.
On pourra appliquer la question III.B. 2 à une matrice triangulaire T semblable à A − αI_n.

III.C - Une caractérisation des matrices positivement stables

Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice positivement stable. On considère l'endomorphisme Φ de M_n(ℝ) tel que
∀M ∈ M_n(ℝ), Φ(M) = A^⊤M + MA.
III.C.1) Montrer que Φ est positivement stable, c'est-à-dire que sa matrice dans une base quelconque de M_n(ℝ) est positivement stable.

III.C.2)

a) Montrer qu'il existe une unique matrice B ∈ M_n(ℝ) telle que A^⊤B + BA = I_n.
b) Montrer que B est symétrique et que det(B) > 0.
III.C.3) Pour tout réel t, on pose V(t) = exp(− tA^⊤)exp(− tA) et W(t) = ∫_0^t V(s)ds.
a) Montrer que, pour tout réel t, V(t) ∈ S_n^(+ +)(ℝ) et que, si t > 0, W(t) ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
b) Montrer que, pour tout réel t, A^⊤W(t) + W(t)A = I_n − V(t).
c) Qu'obtient-on en faisant tendre t vers + ∞ dans l'égalité précédente ? En déduire que la matrice B de la question III.C. 2 est définie positive.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2017 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire et bilinéaire : espaces euclidiens, matrices symétriques définies positives, réduction, déterminants par blocs, puis exponentielle de matrice et équations différentielles linéaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 MP 2017 ?

L'oubli des carrés dans le théorème de Pythagore, la confusion entre valeurs propres réelles et complexes, la confusion entre condition nécessaire et suffisante, et des calculs de déterminant non expliqués.

Combien de candidats ont composé en Centrale Maths 1 MP 2017 ?

Le rapport indique que ses statistiques portent sur 4530 copies de candidats présents.

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2017 est-il difficile ?

Les premières questions sont abordables, mais les taux de réussite chutent vite : moins de 10 % sur plusieurs questions de la partie I et quelques pourcents sur la partie III. Le jury rappelle qu'on peut obtenir une bonne note en traitant bien une partie du sujet.

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