Centrale Mathématiques 2 MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Variables aléatoires discrètes décomposables, infiniment divisibles

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Présentation du sujet

Difficile

Variables aléatoires décomposables et infiniment divisibles

Le sujet étudie à quelles conditions une variable aléatoire à valeurs dans ℕ s'écrit comme somme de deux variables indépendantes non constantes (variable décomposable) ou de variables indépendantes de même loi (variable divisible). Il traite d'abord des exemples, dont les lois binomiales et uniformes, puis introduit les variables infiniment divisibles, et aboutit à leur caractérisation à l'aide du logarithme de la fonction génératrice.

1Partie I : variables aléatoires entières décomposablesFonctions génératrices, décomposabilité des lois binomiales et d'une loi définie par un polynôme, puis des lois uniformes via la division euclidienne et la factorisation de polynômes.
2Partie II : variables infiniment divisibles, exemplesVariables constantes et bornées, lois binomiales et de Poisson, sommes pondérées de variables de Poisson et séries de variables aléatoires entières.
3Partie III : variables entières infiniment divisibles, étude généraleSérie entière auxiliaire liée au logarithme de la fonction génératrice, variables λ-positives et caractérisation des variables infiniment divisibles.

Difficile. Le jury qualifie de décevantes les questions d'analyse et d'algèbre, relève une confusion fréquente entre variables et lois, et indique que la partie III a été peu abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Rayon de convergence oublié · Indépendance attribuée aux lois · Cas traités de façon non exhaustive

Une très grande partie des candidats confond variables aléatoires et lois, et comprend mal l'indépendance, pourtant centrale dans les définitions du sujet. Les questions sur les séries entières et les polynômes ont été décevantes, avec des « théorèmes » inventés en cas de difficulté. Les meilleurs candidats ont cité précisément les hypothèses et les théorèmes du cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Rayon de convergence oubliéI.A.1
Pour utiliser l'unicité des coefficients, il faut préciser que le rayon de convergence de la fonction génératrice est strictement positif.
2
Indépendance attribuée aux loisI.A.3, II.B.3
L'indépendance porte sur les variables, pas sur les lois, et doit être mentionnée explicitement dans chaque décomposition.
« l'indépendance est une notion qui s'applique aux variables aléatoires, pas aux lois »
3
Cas traités de façon non exhaustiveI.A.4a
Traiter un cas et déclarer l'autre similaire fait perdre des points ; les diviseurs d'un polynôme unitaire ne sont pas forcément unitaires.
4
Théorème d'identification inventéI.B.2b
Plus de la moitié des candidats affirment que deux factorisations de mêmes degrés ont des facteurs égaux, ce qui pénalise lourdement la suite.
5
Somme de variables confondue avec un multipleII.A.2a
Plus de 80 % de ceux qui traitent la question pensent que la somme de n variables indépendantes de même loi a la même loi que n fois l'une d'elles.
6
Outils probabilistes mal choisisII.C.1b, II.C.2a, III.A.6
La formule des probabilités totales est rarement citée, le théorème de continuité décroissante est utilisé à la place de l'inégalité de Boole, et le logarithme est pris sans vérifier la positivité.

Ce qui a été bien réussi

La question II.B.2 est une réussite.
La question difficile II.B.4 a permis aux candidats les plus solides de proposer une solution fortement valorisée.
Les idées pertinentes sur les questions délicates ont été valorisées même quand leur mise en œuvre était imparfaite.

Conseils du jury

S'approprier précisément les définitions du sujet en les vérifiant sur les premiers exemples.
Mentionner explicitement l'indépendance des variables chaque fois qu'elle intervient.
Citer les hypothèses et les théorèmes du cours utilisés, sans compter sur l'intuition seule.
Distinguer clairement une hypothèse supplémentaire d'une étape démontrée du raisonnement.
Rédiger lisiblement, dans un français correct, en mettant en valeur les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Ce problème a pour objet la représentation de la loi d'une variable aléatoire comme loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
On s'intéresse d'abord au cas d'une somme de deux variables à valeurs entières, puis au cas de variables aléatoires dont la loi est celle de la somme d'un nombre quelconque de variables indépendantes de même loi.

Notations

Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont discrètes. On note

ℙ_X

la loi d'une variable aléatoire

X

.
Si

X

X^'

sont deux variables aléatoires définies sur les espaces probabilisés respectifs (

Ω, A, ℙ

) et (

Ω^', A^', ℙ^'

), la notation

X \sim X^'

signifie que

X

X^'

ont même loi, c'est-à-dire

ℙ_X = ℙ_(X^')

.
Pour toute variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℕ

, on note

G_X

sa fonction génératrice, définie, pour

t \in ℝ

, par

G_X(t) = \sum_(n = 0)^\inftyℙ(X = n)t^n

lorsque la série converge.
On pourra si nécessaire utiliser librement le résultat suivant.
Si

m \in ℕ^*

et si

L

est une loi de probabilité sur un espace probabilisé

Ω_1

, alors il existe des variables aléatoires

X_1, \dots, X_m

, définies sur un espace probabilisé

Ω_m

, mutuellement indépendantes et de loi

L

.
Si

a

b

sont deux entiers tels que

a ⩽ b

, on désigne par

[ [a, b] ]

l'ensemble des entiers

k

tels que

a ⩽ k ⩽ b

I Variables aléatoires entières décomposables

Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

. On appelle décomposition de

X

toute relation de la forme

X \sim Y + Z

où

Y

Z

sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans

ℕ

, définies sur un espace probabilisé pouvant être distinct de celui sur lequel

X

est définie.
On dit que

X

est décomposable si

X

admet une décomposition où

Y

Z

ne sont pas constantes presque sûrement.

I.A - Premiers exemples

I.A.1) Soit

X

X^'

deux variables aléatoires à valeurs dans

ℕ

. Justifier que

X \sim X^'

si et seulement si

G_X = G_(X^')

.
I.A.2) Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

admettant une décomposition

X \sim Y + Z

, où

Y

Z

sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans

ℕ

. Quelle relation lie

G_X, G_Y

G_Z

?
I.A.3) Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale

B(n, p)

où

n ⩾ 1

p \in ]0, 1[

. Montrer que

X

est décomposable si et seulement si

n ⩾ 2

.
I.A.4) Soit

A(T) \in ℝ[T]

le polynôme :

A(T) = T^4 + 2T + 1

.
a) Soit

U(T)

V(T)

deux polynômes à coefficients réels positifs ou nuls tels que

U(T)V(T) = A(T)

. Montrer que l'un des polynômes

U(T)

V(T)

est constant.

On pourra distinguer les cas selon les valeurs des degrés de

U(T)

V(T)

.
b) En déduire qu'il existe une variable aléatoire décomposable

X

telle que

X^2

ne soit pas décomposable.

On pourra considérer le polynôme

1/4A(T)

I.B - Variables uniformes

Dans cette sous-partie,

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

X

est une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

, définie sur un espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

) et suivant la loi uniforme sur

[ [0, n - 1] ]

ℙ(X = k) = 1/n si k \in [ [0, n - 1] ] et ℙ(X = k) = 0 sinon

I.B.1) Variables uniformes décomposables

On suppose dans cette question que

n

n'est pas premier : il existe des entiers

a

b

, supérieurs ou égaux à 2 , tels que

n = ab

.
a) Montrer qu'il existe un unique couple de variables aléatoires entières (

Q, R

) définies sur

Ω

telles que

X = aQ + R et \forallω \in Ω, R(ω) \in [ [0, a - 1] ]

On pourra considérer une division euclidienne.
b) Préciser la loi de (

Q, R

), puis les lois de

Q

et de

R

.
c) Montrer que

X

est décomposable. En déduire une expression de

G_X

comme produit de deux polynômes non constants que l'on précisera.

I.B.2) Variables uniformes non décomposables

On suppose dans cette question que

n

est un nombre premier et on établit que

X

n'est pas décomposable.
a) Montrer qu'il suffit de prouver le résultat suivant : si

U

V

sont des polynômes de

ℝ[T]

unitaires à coefficients dans

ℝ_+

tels que

U(T)V(T) = 1 + T + \dots + T^(n - 1)

, alors l'un des deux polynômes

U

V

est constant.
Dans ce qui suit, on fixe des polynômes

U

V

ℝ[T]

unitaires à coefficients dans

ℝ_+

tels que

U(T)V(T) = 1 + T + \dots + T^(n - 1)

On pose

r = degU

s = degV

et on suppose par l'absurde que

r

s

sont non nuls.
b) Montrer que

U(T) = T^r U(1/T)

V(T) = T^s V(1/T)

On note alors

U(T) = 1 + u_1 T + \dots + u_(r - 1)T^(r - 1) + T^r

V(T) = 1 + v_1 T + \dots + v_(s - 1)T^(s - 1) + T^s

avec

r ⩽ s

(quitte à échanger les rôles de

U

V

).
c) Montrer que

\forallk \in [ [1, r] ], u_k v_k = 0

.
d) En déduire que

∀k ∈ [ [1, r] ], u_k ∈ {0, 1}

v_k ∈ {0, 1}

.
e) Conclure.

On pourra d'abord montrer que tous les coefficients de

V

sont à valeurs dans

{0, 1}

II Variables infiniment divisibles : exemples

Soit

X

une variable aléatoire discrète à valeurs dans

ℝ

. On dit que

X

est infiniment divisible si, pour tout

m \in ℕ^*

, il existe des variables aléatoires réelles discrètes

X_(m, 1), \dots, X_(m, m)

mutuellement indépendantes, de même loi, et vérifiant

X \sim X_(m, 1) + \dots + X_(m, m)

. Dans cette définition, l'espace probabilisé

Ω_m

sur lequel sont définies les

X_(m, i)

peut dépendre de

m

II.A - Variables bornées

II.A.1) On suppose que

X

est constante égale à

a \in ℝ

. Montrer que

X

est infiniment divisible.

L'objectif de cette sous-partie est de montrer que toute variable aléatoire bornée infiniment divisible est presque sûrement constante.
Soit

X

une variable aléatoire bornée infiniment divisible définie sur un espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

). On note

M = sup_Ω|X|

, de sorte que

|X(ω)| ⩽ M

pour tout

ω \in Ω

.
II.A.2) Soit

n \in ℕ^*

et soit

X_1, \dots, X_n

des variables aléatoires indépendantes et de même loi, et telles que

X_1 + \dots + X_n

ait même loi que

X

.
a) Pour tout

i \in [ [1, n] ]

, montrer que

X_i ⩽ M/n

presque sûrement, puis

|X_i| ⩽ M/n

presque sûrement.
b) En déduire que

𝕍(X) ⩽ (M^2)/n

, où

𝕍(X)

désigne la variance de

X

.
II.A.3) Conclure que

X

est presque sûrement constante.

II.B - Étude du caractère infiniment divisible de quelques variables entières

II.B.1) Une variable binomiale est-elle infiniment divisible ?
II.B.2) Soit

n

un entier naturel non nul et soit

X_1, \dots, X_n

des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs

λ_1, \dots, λ_n

.
Montrer que

X_1 + \dots + X_n

suit une loi de Poisson de paramètre

λ_1 + \dots + λ_n

.
II.B.3) Soit

X

une variable aléatoire de Poisson. Montrer que

X

est infiniment divisible.
II.B.4) Soit

r

un entier naturel non nul et soit

X_1, \dots, X_r

des variables aléatoires de Poisson mutuellement indépendantes. Montrer que

\sum_(i = 1)^r iX_i

est une variable aléatoire infiniment divisible.

II.C - Séries de variables aléatoires à valeurs entières

II.C.1) Soit

X

Y

deux variables aléatoires définies sur (

Ω, A, ℙ

) et à valeurs dans

ℕ

.
a) Montrer que si

A

B

sont des événements de

A

, et si

A¯

B¯

sont leurs événements contraires respectifs, alors

|ℙ(A) - ℙ(B)| ⩽ ℙ(A \cap B¯) + ℙ(A¯ \cap B)

b) En déduire que, pour tout

t \in [ - 1, 1], |G_X(t) - G_Y(t)| ⩽ 2ℙ(X \neq Y)

.
II.C.2) Soit

(U_i)_(i \in ℕ^*)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans

ℕ

telle que la série des

ℙ(U_i \neq 0)

soit convergente.
a) Soit

Z_n = {ω ∈ Ω|∃i ⩾ n, U_i(ω) ≠ 0}

. Montrer que (

Z_n

) est une suite décroissante d'événements et que

lim_(n \to \infty)ℙ(Z_n) = 0

.
b) En déduire que l'ensemble

{i ∈ ℕ^∗|U_i ≠ 0}

est presque sûrement fini.
c) On pose

S_n = \sum_(i = 1)^n U_i

S = \sum_(i = 1)^\inftyU_i

. Justifier que

S

est définie presque sûrement. Montrer que

G_(S_n)

converge uniformément vers

G_S

sur

[ - 1, 1]

.
II.C.3) Soit

(λ_i)_(i \in ℕ^*)

une suite de réels positifs ou nuls. On suppose que la série

\sumλ_i

est convergente, et on note

λ = \sum_(i = 1)^\inftyλ_i

.
Soit

(X_i)_(i \in ℕ^*)

une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout

i, X_i

suive une loi de Poisson de paramètre

λ_i

. On convient que, si

λ_i = 0, X_i

est la variable aléatoire nulle.
a) Montrer que la série

\sumℙ(X_i \neq 0)

est convergente.
b) Montrer que la série

\sum_(i ⩾ 1)X_i

est presque sûrement convergente et que sa somme (définie presque sûrement) suit une loi de Poisson de paramètre

λ

.
c) Montrer que la série

\sum_(i ⩾ 1)iX_i

est presque sûrement convergente et que sa somme

X = \sum_(i = 1)^\inftyiX_i

définit une variable aléatoire infiniment divisible.

III Variables entières infiniment divisibles : étude générale

III.A - Série entière auxiliaire

Dans cette sous-partie,

X

est une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

telle que

ℙ(X = 0) > 0

.
III.A.1) Montrer qu'il existe une unique suite réelle

(λ_i)_(i \in ℕ^*)

telle que, pour tout

k \in ℕ^*

kℙ(X = k) = \sum_(j = 1)^k jλ_j ℙ(X = k - j)

III.A.2) Pour tout

k \in ℕ^*

, montrer

|λ_k|ℙ(X = 0) ⩽ ℙ(X = k) + \sum_(j = 1)^(k - 1)|λ_j|ℙ(X = k - j) ⩽ (1 - ℙ(X = 0))(1 + \sum_(j = 1)^(k - 1)|λ_j|)

III.A.3) Pour tout

k \in ℕ^*

, montrer :

1 + \sum_(j = 1)^k|λ_j| ⩽ 1/(ℙ(X = 0)^k)

.
III.A.4) Montrer que la série entière

\sumλ_k t^k

a un rayon de convergence

ρ(X)

supérieur ou égal à

ℙ(X = 0)

Pour tout réel

t

] - ρ(X), ρ(X)[

, on pose

H_X(t) = ln(ℙ(X = 0)) + \sum_(k = 1)^\inftyλ_k t^k

À toute variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℕ

et telle que

ℙ(X = 0) > 0

, on associe ainsi une série entière

H_X

. Dans la suite du problème,

H_X

sera appelée série entière auxiliaire de

X

.
III.A.5) Pour

t \in ] - ρ(X), ρ(X)[

, montrer

G_X^'(t) = H_X^'(t)G_X(t)

, puis

G_X(t) = exp(H_X(t))

.
III.A.6) Soit

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes, définies sur l'espace

Ω

et à valeurs dans

ℕ

, et soit

H_X

H_Y

leurs séries entières auxiliaires. Montrer

H_(X + Y)(t) = H_X(t) + H_Y(t)

pour tout réel

t

vérifiant

|t| < min(ρ(X), ρ(Y))

III.B - Variables aléatoires entières $λ$ -positives

Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

telle que

ℙ(X = 0) > 0

, et soit

H_X

sa série entière auxiliaire :

H_X(t) = ln(ℙ(X = 0)) + \sum_(k = 1)^\inftyλ_k t^k

On dira que

X

est

λ

-positive si

λ_k ⩾ 0

pour tout

k ⩾ 1

.
On suppose dans cette sous-partie que

X

est

λ

-positive.
III.B.1) Pour tout

k \in ℕ^*

, montrer que

λ_k ⩽ (ℙ(X = k))/(ℙ(X = 0))

. En déduire que la série

\sumλ_k

converge.
III.B.2) Montrer que, pour tout

t \in [ - 1, 1], G_X(t) = exp(H_X(t))

et que

\sum_(k = 1)^\inftyλ_k = - ln(ℙ(X = 0))

.
III.B.3) Soit (

X_i

) la suite de variables aléatoires définie au II.C.3. Montrer que

X \sim \sum_(i = 1)^\inftyiX_i

III.C - Caractérisation des variables entières infiniment divisibles

Soit

X

une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans

ℕ

et telle que

ℙ(X = 0) > 0

.
Le but de cette sous-partie est de montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes.
(i)

X

est infiniment divisible ;
(ii)

X

est

λ

-positive ;
(iii) il existe une suite

(X_i)_(i ⩾ 1)

de variables de Poisson indépendantes, comme au II.C.3, telle que

X \sim \sum_(i = 1)^\inftyiX_i

Dans les questions III.C. 1 à III.C.4, on suppose que

X

est une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans

ℕ

et telle que

ℙ(X = 0) > 0

. Pour tout

n \in ℕ^*

, il existe donc

n

variables aléatoires indépendantes

X_(n, 1), \dots, X_(n, n)

de même loi telles que la variable aléatoire

X_(n, 1) + \dots + X_(n, n)

suive la loi de

X

III.C.1)

a) Pour tout

n \in ℕ^*

, montrer que

X_(n, 1)

est presque sûrement positive ou nulle.
b) Pour tout

n \in ℕ^*

, montrer que

ℙ(X_(n, 1) = 0) > 0

.
c) Montrer que les variables aléatoires

X_(n, i)

sont presque sûrement à valeurs dans

ℕ

III.C.2)

a) Montrer

lim_(n \to \infty)ℙ(X_(n, 1) = 0) = 1

.
b) En déduire que, pour tout

i \in ℕ^*, lim_(n \to \infty)ℙ(X_(n, 1) = i) = 0

.
III.C.3) Soit

H_X

la série entière auxiliaire de

X

, comme elle est définie à la question III.A.4, et soit

ρ(X)

son rayon de convergence.
Pour tout

n \in ℕ^*

, soit

H_n

la série entière auxiliaire de

X_(n, 1)

.
a) Pour tout

n \in ℕ^*

, montrer

nH_n = H_X

.
b) En déduire, pour tous

n

k

dans

ℕ^*

knℙ(X_(n, 1) = k) = \sum_(j = 1)^k jλ_j ℙ(X_(n, 1) = k - j)

III.C.4) Pour tout

k \in ℕ^*

, montrer que la suite

(nℙ(X_(n, 1) = k))_(n \in ℕ^*)

converge vers

λ_k

. En déduire que

X

est

λ

-positive.

III.C.5) Conclusion

a) Montrer le résultat annoncé au début de cette sous-partie III.C.
b) Comment adapter ce résultat aux variables aléatoires à valeurs dans

ℕ^*

?
c) Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique

G(p)

, où

p \in ]0, 1[

\forallk \in ℕ^* ℙ(X = k) = (1 - p)^(k - 1)p

La variable aléatoire

X

est-elle infiniment divisible ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Centrale maths 2 MP 2017 ?

Sur les variables aléatoires à valeurs dans ℕ décomposables ou infiniment divisibles, étudiées à l'aide des fonctions génératrices, des polynômes et des séries entières, avec des exemples binomiaux, uniformes et de Poisson.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale maths 2 MP 2017 ?

La confusion entre variables aléatoires et lois, l'oubli de l'indépendance, des théorèmes d'identification inventés sur les polynômes et l'idée fausse qu'une somme de variables de même loi a la loi d'un multiple de l'une d'elles.

Quelle partie de Centrale maths 2 MP 2017 a été la moins abordée ?

La partie III, consacrée à la caractérisation générale des variables infiniment divisibles, a été peu abordée selon le jury.

Comment réussir un sujet de probabilités comme Centrale maths 2 MP 2017 ?

Le jury conseille de s'approprier précisément les définitions, de citer hypothèses et théorèmes, et de mentionner l'indépendance chaque fois qu'elle est utilisée.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Notations

I Variables aléatoires entières décomposables

I.A - Premiers exemples

I.B - Variables uniformes

I.B.1) Variables uniformes décomposables

I.B.2) Variables uniformes non décomposables

II Variables infiniment divisibles : exemples

II.A - Variables bornées

II.B - Étude du caractère infiniment divisible de quelques variables entières

II.C - Séries de variables aléatoires à valeurs entières

III Variables entières infiniment divisibles : étude générale

III.A - Série entière auxiliaire

III.B - Variables aléatoires entières λ-positives

III.C - Caractérisation des variables entières infiniment divisibles

III.C.1)

III.C.2)

III.C.5) Conclusion

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet Centrale maths 2 MP 2017 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale maths 2 MP 2017 ?

Quelle partie de Centrale maths 2 MP 2017 a été la moins abordée ?

Comment réussir un sujet de probabilités comme Centrale maths 2 MP 2017 ?

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III.B - Variables aléatoires entières $λ$ -positives