X ENS Mathématiques A MP 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Annales X-ENS MP Mathématiques X-ENS MP 2017 MP Mathématiques Mathématiques 2017

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Présentation du sujet

Difficile

Formes symplectiques réelles : bases symplectiques, réduction simultanée et structures complexes domptées

Le sujet étudie les formes symplectiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie à l'aide de leurs matrices, en particulier la réduction simultanée de deux telles formes. Il caractérise d'abord les formes symplectiques et construit une base où la matrice est J_2n, établit ensuite deux outils sur les polynômes (discriminant, densité du complémentaire des zéros), puis décompose l'espace en sous-espaces orthogonaux de dimension 2 ou 4 pour deux formes, et termine par une condition d'existence d'une structure complexe domptée par deux formes.

1Partie I : bases symplectiquesMatrice d'une forme bilinéaire, caractérisation des formes symplectiques, parité de la dimension, orthogonal symplectique et construction par récurrence d'une base symplectique (questions 1 à 9).
2Partie II : deux outils sur les polynômesApplication linéaire liée au résultant, discriminant et racines simples, densité du complémentaire des zéros d'un polynôme à plusieurs variables (questions 10 à 12).
3Partie III : réduction simultanéeAutomorphisme associé à deux formes, cas de la dimension 4, lemme des noyaux et décomposition en sous-espaces orthogonaux (questions 13 à 23).
4Partie IV : structures complexes domptées simultanémentCondition analytique d'existence d'une structure complexe domptée par deux formes symplectiques (questions 24 à 26).

Difficile. Le jury juge le sujet assez long, avec plusieurs questions de synthèse ; la deuxième partie a été peu et mal traitée et la moyenne est de 8,02.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,02 / 20 · écart-type 3,34 · 1 527 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,02/ 20
Écart-type: 3,34
Copies: 1 527

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Unicité non démontrée · Récurrence mal rédigée · Confusions logiques élémentaires

Les nouvelles définitions, bâties sur des objets familiers, n'ont pas gêné les candidats en première partie. La deuxième partie a en revanche été peu et mal traitée, et les questions de synthèse, présentes dès le début, demandaient de comprendre l'enchaînement du sujet. Le jury insiste sur une rédaction rigoureuse et une copie bien structurée.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Unicité non démontréeQuestions 3-a, 13 et 14-a
Pour prouver l'unicité d'une matrice, en exhiber une qui convient ne suffit pas ; cette unicité sert pourtant dans la partie III.
« exhiber une matrice qui fonctionne ne »
2
Récurrence mal rédigéeQuestion 8
Propriété mal énoncée, initialisation (question 6) omise et argument clé jugé évident : très peu de copies ont tous les points.
« très peu de copies ont obtenu la totalité des points »
3
Confusions logiques élémentairesQuestions 7-a et 7-b
Ne pas appartenir à F n'implique pas appartenir à un supplémentaire G ; le vide n'est pas {0}.
« encore trop de candidats confondent ∅ et {0}, ainsi que raisonnement par équivalence et raisonnement par double implication »
4
Zéros d'un polynôme à plusieurs variablesQuestion 12
Un polynôme non nul à plusieurs variables peut avoir une infinité de zéros, comme X − Y.
« Rappelons qu’il est totalement faux »
5
Condition nécessaire et condition suffisante inverséesQuestion 14-b
Vérifier qu'une matrice de la forme proposée convient ne prouve pas que toute solution a cette forme.
6
Polynôme minimal et polynôme annulateur confondusQuestions 14-c et 15
La formule du polynôme caractéristique en taille 2 est parfois ignorée et Cayley-Hamilton n'est pas cité.
« révéler une confusion entre polynôme minimal et polynôme annulateur »

Ce qui a été bien réussi

Le changement de base de la question 6 est correctement fait dans l'ensemble.
La question de cours 7-a est globalement bien traitée.
La question 10 est globalement bien traitée.
L'existence de u en question 13 est correctement établie dans l'ensemble.

Conseils du jury

Lire tout le sujet avant de composer pour repérer les questions accessibles des parties tardives.
Numéroter les questions et présenter clairement les résultats.
Ne pas viser seulement les questions élémentaires : le barème est proportionnel à la difficulté.
Rédiger complètement quelques parties plutôt que survoler l'ensemble.
Citer explicitement les théorèmes utilisés (théorème du rang, Cayley-Hamilton, Bézout).
« C'est du cours » ne constitue pas une démonstration.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - A - (XLCR)

(Duré: 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dans tout le problème

$E$ est un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie $n \in ℕ^*$ ,
Id est l'application identité sur $E : Id(x) = x$ pour tout $x \in E$ ,
L (E) est l'algèbre des endomorphismes de E,
GL $(E)$ est le groupe des automorphismes de $E$ ,
$E^* = L(E, ℝ)$ est l'espace vectoriel des formes linéaires sur $E$ ,
A(E) est l'espace vectoriel des applications $ω : E \times E \to ℝ$ qui sont bilinéaires et antisymétriques, c'est-à-dire qui vérifient, quel que soit $(x, y, z) \in E^3$ et quel que soit $λ \in ℝ$ ,

ω(λx + y, z) = λω(x, z) + ω(y, z), ω(x, λy + z) = λω(x, y) + ω(x, z); ω(x, y) = - ω(y, x)

Pour tout

ω \in A(E)

x \in E

, on note

ω(x, \cdot)

la forme linéaire définie par

ω(x, \cdot) : E, \to ℝ; y, \mapsto ω(x, y)

Pour tout

ω \in A(E)

, on note

φ_ω

l'application linéaire définie par

φ_ω : E, \to E^*; x\mapsto̸ω(x, \cdot)

Un élément

ω

A(E)

est appelé forme symplectique sur

E

φ_ω

est un isomorphisme de

E

sur

E^*

.
Un élément

J

L(E)

est appelé structure complexe sur

E

s'il vérifie

J^2 = - Id

.
On dit qu'une forme symplectique

ω

sur

E

dompte une structure complexe

J

ω(x, J(x)) > 0

pour tout

x \in E∖{0}

On note

$M_n(ℝ)$ l'algèbre des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels,
$GL_n(ℝ)$ le groupe des matrices inversibles de taille $n$ à coefficients réels,
$I_n$ la matrice unité de taille $n$ ,
lorsque $n$ est pair, $J_n$ la matrice carrée de taille $n$ définie par blocs

J_n = (0, - I_(n/2); I_(n/2), 0)

det l'application déterminant sur $M_n(ℝ)$ ,
$^t M$ la transposée de la matrice $M$ .

On identifie tout élément de

M_1(ℝ)

à un nombre réel.

La partie I est utilisée dans les parties III et IV. Les parties II et III indépendantes entre elles, sont utilisées dans la partie IV.

Partie I: Bases symplectiques

Montrer que la dimension de l'espace vectoriel $E^*$ vaut $n$ .
Montrer que $ω(x, x) = 0$ pour tout $ω \in A(E)$ et pour tout $x \in E$ .
Soit $ω \in A(E)$ et $B = (b_1, \dots, b_n)$ une base de $E$ .
(a) Montrer qu'il existe une unique matrice $M \in M_n(ℝ)$ , dont on précisera les coefficients, telle que pour tout $(x, y) \in E^2, ω(x, y) = ^t XMY$ où $X, Y \in ℝ^n$ sont les matrices colonnes représentant respectivement $x$ et $y$ dans la base $B$ :

X = (x_1; ⋮; x_n), Y = (y_1; ⋮; y_n), x = x_1 b_1 + \dots + x_n b_n; y = y_1 b_1 + \dots + y_n b_n

On notera alors

M = Mat_B(ω)

.
(b) Montrer que

M

est antisymétrique, c'est-à-dire que

^t M = - M

.
(c) Montrer que l'espace vectoriel

A(E)

est de dimension 1 lorsque

E

est de dimension 2.
(d) Montrer l'équivalence entre les trois énoncés suivants.

(E_1) : ω

est une forme symplectique sur

E

(E_2) :

Pour tout

x \in E∖{0}

, il existe

y \in E

tel que

ω(x, y) \neq 0

(E_3) : Mat_B(ω)

est inversible.
4. Montrer que, s'il existe une forme symplectique sur

E

, alors

E

est de dimension paire.

Dorénavant, jusqu'à la fin du problème,

n

est un entier pair

⩾ 2

.
5. Montrer que l'application

ω_0

définie par

ω_0 :, ℝ^n \times ℝ^n, \to, ℝ; (X, Y), \mapsto, ^t XJ_n Y

est une forme symplectique sur

ℝ^n

.
Jusqu'à la fin de cette partie, on fixe une forme symplectique

ω

sur

E

Le but des questions 6 à 9 est de montrer qu'il existe une base

B

E

telle que

Mat_B(ω) = J_n

.
6. Traiter le cas où

E

est de dimension 2 .
7. Soit

F

un sous-espace vectoriel de

E

.
(a) Montrer que, pour toute forme linéaire

u : F \to ℝ

, il existe une forme linéaire

u˜ : E \to ℝ

dont la restriction à

F

coïncide avec

u

On note

F^ω

le sous-espace vectoriel de

E

défini par

F^ω = {x ∈ E : ∀y ∈ F, ω(x, y) = 0}

ψ_F

l'application linéaire définie par

ψ_F : E, \to F^*; x, \mapsto φ_ω(x)|_F

où

φ_ω(x)|_F

est la restriction de

φ_ω(x)

F

.
(b) Montrer que la restriction de

ω

F \times F

est une forme symplectique sur

F

si et seulement si

F ∩ F^ω = {0}

.
(c) Quels sont le noyau et l'image de

ψ_F

?
(d) Montrer que

dim(F) + dim(F^ω) = dim(E)

.
(e) Montrer que, si la restriction de

ω

F \times F

est une forme symplectique sur

F

, alors

E = F \oplus F^ω

et la restriction de

ω

F^ω \times F^ω

est une forme symplectique sur

F^ω

.
8. Montrer par récurrence qu'il existe une base

B˜

E

telle que

Mat_(B˜)(ω) = (J_2, 0, \dots, 0; 0, J_2, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, J_2)

Conclure. En déduire que $ω$ dompte au moins une structure complexe sur $E$ .

Partie II: Deux outils sur les polynômes

On note

ℝ_d[X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré

⩽ d

à coefficients réels, pour tout

d \in ℕ

.
10. Soit

P, Q \in ℝ[X]

des polynômes non nuls de degrés respectifs

p

q

strictement positifs. Montrer que l'application linéaire

L_(P, Q)

définie par

L_(P, Q) : ℝ_(q - 1)[X] \times ℝ_(p - 1)[X], \to, ℝ_(p + q - 1)[X]; (V, W), \mapsto VP + WQ

est un isomorphisme si et seulement si

P

Q

sont premiers entre eux dans

ℝ[X]

.
11. Soit

d \in ℕ^*

. Construire une application

r : ℝ_d[X], \to ℝ; P, \mapsto r(P)

polynomiale en les coefficients de

P

, telle que, si

r(P)

est non nul, alors les racines de

P

dans

ℂ

sont simples.
Indication: On pourra utiliser la question précédente.
12. Soit

d \in ℕ^*

f

une fonction polynomiale sur

ℝ^d

. On suppose que la fonction

f

est non nulle. Montrer que

f^(− 1)(ℝ∖{0})

est dense dans

ℝ^d

.
Indication: On pourra utiliser le fait qu'un polynôme non nul à une variable n'a qu'un nombre fini de racines.

Dans les parties III et IV, on fixe deux formes symplectiques

ω

ω_1

sur

E

Partie III: Réduction simultanée

Montrer qu'il existe un unique $u \in GL(E)$ tel que $ω_1(x, y) = ω(u(x), y)$ pour tout $(x, y) \in E^2$ . Montrer alors que $u$ appartient à l'ensemble $S$ défini par

S = {u ∈ GL(E) : ∀(x, y) ∈ E^2, ω(x, u(y)) = ω(u(x), y)}

Dans les questions 14 à 19, on suppose que

E

est de dimension 4.
14. Soit

B

une base de

E

telle que

Mat_B(ω) = J_4

. Soit

U \in M_4(ℝ)

la matrice de

u

dans la base

B

.
(a) Quelle relation y a-t-il entre les matrices

J_4

U

?
(b) Montrer qu'il existe

N \in M_2(ℝ)

α, β \in ℝ

tels que

U = (N, αJ_2; βJ_2, ^t N)

N, α

β

les coefficients du polynôme

T

défini par

T(X) = det(N - XI_2) + αβ

. Montrer que

T

est un polynôme annulateur de

U

Dans les questions 15 à 19, on suppose que u n'admet aucune valeur propre réelle.
Le but des questions 15 à 19 est de montrer qu'il existe une base

B˜

E, r > 0

θ \in ℝ∖πℤ

tels que

Mat_(B˜)(ω) = J_4 et Mat_(B˜)(ω_1) = r(0, - R_(- θ); R_θ, 0)

où

R_θ = (cosθ, - sinθ; sinθ, cosθ)

.
15. Montrer que

U

est diagonalisable sur

ℂ

. En déduire qu'il existe

λ \in ℂ∖ℝ

et des vecteurs

Z

Y

ℂ^4

linéairement indépendants sur

ℂ

tels que

UZ = λZ

UY = λY

.
16. Soient

Z_1, Z_2, Y_1, Y_2

des vecteurs de

ℝ^4

tels que

Z = Z_1 + iZ_2

Y = Y_1 + iY_2

. Soient

(z_1, z_2, y_1, y_2) \in E^4

de coordonnées respectives

Z_1, Z_2, Y_1, Y_2

dans la base

B

. Montrer que

B˜:=(z_1, z_2, y_1, - y_2)

est une base de

E

.
17. Montrer que

ω(z_1, z_2) = ω(y_1, y_2) = 0; ω(z_1, y_1) = - ω(z_2, y_2); ω(z_1, y_2) = ω(z_2, y_1)

Montrer que, quitte à remplacer $Y$ par $ξY$ avec $ξ \in ℂ∖{0}$ bien choisi, on a $ω(z_1, y_1) = - 1$ et $ω(z_1, y_2) = 0$ .
Montrer qu'il existe $r > 0$ et $θ \in ℝ∖πℤ$ tels que

Mat_(B˜)(u) = r(R_θ, 0; 0, R_(- θ))

et conclure.

Jusqu'à la fin de cette partie, on ne fait plus d'hypothèse sur la dimension de

E

ni sur l'endomorphisme

u

. On considère un polynôme

P \in ℝ[X]

annulateur de

u

et une décomposition

P = P_1\dotsP_r

, où

r \in ℕ^*

P_1, \dots, P_r

sont des polynômes premiers entre eux deux à deux dans

ℝ[X]

. On note

F_j = ker[P_j(u)]

pour

j = 1, \dots, r

.
20. Montrer que

E = F_1 \oplus \dots \oplus F_r

et que

F_j

est stable par

u

pour

j = 1, \dots, r

.
21. Montrer que, pour tous

j

k

appartenant à

{1, \dots, r}

et distincts, on a

F_k \subset F_j^ω

F_k \subset F_j^(ω_1)

(la notation

F^ω

est définie en question 7 ).

On dit alors que

F_1, \dots, F_r

sont deux à deux orthogonaux pour

ω

et pour

ω_1

.
22. En déduire que, pour tout

j \in {1, \dots, r}

, les restrictions de

ω

ω_1

F_j \times F_j

sont des formes symplectiques sur

F_j

.
23. On suppose que le polynôme caractéristique de

u

est à racines au plus doubles dans

ℂ

. Montrer que

E

est la somme directe de sous-espaces de dimension 2 ou 4 , deux à deux orthogonaux pour

ω

ω_1

, et sur lesquels les restrictions de

ω

ω_1

sont des formes symplectiques.

Partie IV: Structures complexes domptées simultanément

Dans cette partie, nous allons étudier les liens entre les propositions
(

F_1

) : Il existe une structure complexe domptée par

ω

et par

ω_1

(F_2) :

Le segment

[ω, ω_1] = {(1 − θ)ω + θω_1; θ ∈ [0, 1]}

est inclus dans l'ensemble des formes symplectiques sur

E

.
24. Soit

u

l'automorphisme de E défini en question 13 . On suppose que

(F_2)

est satisfaite et que le polynôme caractéristique de

u

est à racines au plus doubles dans

ℂ

. Montrer que (

F_1

) est satisfaite.
Indication: On pourra démontrer puis utiliser le fait que, pour tout

θ \in ℝ∖πℤ

, il existe

φ \in ℝ

tel que, pour tout

X ∈ ℝ^2∖{0}, ^t XR_φ X > 0

^t XR_(θ + φ)X > 0

.
25. Soit

S

l'ensemble défini en question 13. Montrer que l'ensemble des éléments de

S

, dont le polynôme caractéristique

P

est à racines au plus doubles dans

ℂ

, est dense dans

S

.
Indication: On pourra utiliser

r(P^')

où l'application

r

est définie en question 11.
26. Que peut-on conclure?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet X ENS Maths A MP 2017 ?

Sur les formes symplectiques réelles : bases symplectiques, outils sur les polynômes (discriminant, densité), réduction simultanée de deux formes et structures complexes domptées.

Quelle est la moyenne en Maths A X ENS MP 2017 ?

Le rapport donne, pour les 1527 candidats français, une moyenne de 8,02 et un écart-type de 3,34.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A X MP 2017 ?

Unicités non démontrées, récurrences mal rédigées, confusions logiques (vide et {0}, équivalence et double implication), confusion entre polynôme minimal et annulateur, et entre condition nécessaire et suffisante.

Faut-il traiter la partie IV en Maths A X ENS 2017 ?

Non : selon le jury, il n'était pas nécessaire d'aborder la quatrième partie pour obtenir d'excellents résultats. Mieux vaut rédiger complètement quelques parties.

Pas de description pour le moment

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