CCINP Mathématiques 2 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Quelques utilisations des projecteurs

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MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB

: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS

Notations et objectifs :
Dans tout le texte

E

désigne un

ℝ

-espace vectoriel de dimension finie

n ⩾ 1

. On note id l'endomorphisme identité de

E, M_n(ℝ)

ℝ

-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille

n

E_1

E_2

sont des sous-espaces vectoriels de

E

supplémentaires, c'est-à-dire

E = E_1 \oplus E_2

, on appelle projecteur sur

E_1

parallèlement à

E_2

l'endomorphisme

p

E

qui, à un vecteur

x

E

se décomposant comme

x = x_1 + x_2

, avec

(x_1, x_2) \in E_1 \times E_2

, associe le vecteur

x_1

.
On rappelle que si

A

est une matrice de

M_n(ℝ)

, la matrice exponentielle de

A

est la matrice :

exp(A) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(A^k)/(k!)

De même si

u

est un endomorphisme de

E

, l'exponentielle de

u

est l'endomorphisme :

exp(u) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(u^k)/(k!)

Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d'exponentielle de matrice à l'aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable. Dans la dernière partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances à des parties.
Les quatre parties sont indépendantes.

I. Questions préliminaires

Soit les matrices $A = (0, 1; 0, 0)$ et $B = (0, 0; 1, 0)$ .

Calculer

exp(A), exp(B), exp(A)exp(B)

exp(A + B)

(pour

exp(A + B)

, on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh).
2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices

A

B

M_n(ℝ)

vérifient l'égalité

exp(A)exp(B) = exp(A + B)

II. Un calcul d'exponentielle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable

Soit

A \in M_n(ℝ)

une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont :

λ_1 < λ_2 < \dots < λ_r

où

r

désigne un entier vérifiant

1 ⩽ r ⩽ n

.
3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note

ℝ_(r - 1)[X]

ℝ

-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

r - 1

.
On considère l'application linéaire

φ

ℝ_(r - 1)[X]

dans

ℝ^r

définie par :

P \mapsto (P(λ_1), P(λ_2), \dots, P(λ_r)).

Déterminer le noyau de

φ

, puis en déduire qu'il existe un unique polynôme

L

ℝ_(r - 1)[X]

tel que pour tout

i ∈ {1, …, r}, L(λ_i) = e^(λ_i)

.
4. Pour

i \in {1, \dots, r}

, on définit le polynôme

l_i

ℝ_(r - 1)[X]

par :

l_i(X) = \prod_(k = 1; k \neq i)^r(X - λ_k)/(λ_i - λ_k)

(a) Calculer

l_i(λ_j)

selon les valeurs de

i

j

dans

{1, \dots, r}

.
(b) En déduire une expression du polynôme

L

comme une combinaison linéaire des polynômes

l_i

avec

i \in {1, \dots, r}

.
5. Une propriété de l'exponentielle : soit

P

une matrice inversible de

M_n(ℝ)

D

une matrice de

M_n(ℝ)

.
(a) Justifier que l'endomorphisme de

M_n(ℝ)

défini par

M \mapsto PMP^(- 1)

est une application continue.
(b) En déduire que :

exp(PDP^(- 1)) = Pexp(D)P^(- 1)

Déduire des questions 3. et 5. que $exp(A) = L(A)$ .
On suppose que $E$ est munie d'une base $B$ et on désigne par $v$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice par rapport à $B$ est $A$ . Soit $λ$ une valeur propre de $v$ , et $x$ un vecteur propre associé. Démontrer que pour tout polynôme $P \in ℝ[X]$ , on a :

P(v)(x) = P(λ)x.

Soit $i \in {1, \dots, r}$ , on note $E_i = Ker(v - λ_i id)$ le sous-espace propre de $v$ associé à $λ_i$ .
(a) Démontrer que l'endomorphisme de $E, p_i = l_i(v)$ est le projecteur sur $E_i$ , parallèlement à $⨁^r E_k$ (on dit que les $p_i$ sont les projecteurs spectraux de $v$ ).
$k = 1$
$k \neq i$
(b) En déduire une expression de $exp(A)$ comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs.

III. Un calcul d'exponentielle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas non diagonalisable

Soit

u

un endomorphisme de

E

dont le polynôme minimal est

(X - 1)^2(X - 2)

.
9. L'endomorphisme

u

est-il diagonalisable? Justifier la réponse.
10. Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de

M_3(ℝ)

dont l'endomorphisme canoniquement associé a pour polynôme minimal

(X - 1)^2(X - 2)

.
11. Démontrer, sans aucun calcul, que

E = Ker(u - id)^2 \oplus Ker(u - 2id)

.
12. On considère les endomorphismes de

E : p = (u - id)^2

q = u \circ (2id - u)

. Calculer

p + q

.
13. Démontrer que l'endomorphisme

p

est le projecteur sur

Ker(u - 2id)

, parallèlement à

Ker(u - id)^2

. Que dire de l'endomorphisme

q

?
14. Soit

x

un élément de

E

.
(a) Préciser

(u - 2id)(p(x))

.
(b) Déterminer un nombre réel

α

tel que pour tout entier naturel

k, u^k \circ p = α^k p

.
(c) En déduire que

exp(u) \circ p = βp

où

β

est un réel à déterminer.
15. Que vaut pour tout entier

k ⩾ 2, (u - id)^k \circ q

Démontrer que

exp(u) \circ q = γu \circ q

où

γ

est un réel à déterminer (on pourra écrire en justifiant que

exp(u) = exp(id) \circ exp(u - id))

.
16. Écrire enfin l'endomorphisme

exp(u)

comme un polynôme en

u

IV. Calcul de distances à l'aide de projecteurs orthogonaux

Dans cette partie, on suppose en plus que l'espace

E

est muni d'un produit scalaire

< \cdot, \cdot >

, ce qui lui confère une structure d'espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée

‖ \cdot ‖

, est définie par :

\forallx \in E, ‖x‖ = \sqrt(⟨x, x⟩).

F

est un sous-espace vectoriel de

E

, on note

F^⊥

son orthogonal, et on appelle projecteur orthogonal sur

F

, noté

p_F

le projecteur sur

F

, parallèlement à

F^⊥

.
Enfin, si

x

est un vecteur de

E

, la distance euclidienne de

x

F

, notée

d(x, F)

est le réel :

d(x, F) = inf{‖x - y‖ | y \in F}

Théorème de la projection orthogonale : soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $x$ un vecteur de $E$ . Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer $d(x, F)$ à l'aide du vecteur $p_F(x)$ .
Cas des hyperplans : soit $n$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ l'hyperplan de $E$ orthogonal à $n$ , c'est à dire $H = (Vect{n})^⊥$ . Exprimer pour $x \in E$ , la distance $d(x, H)$ en fonction de $< x, n >$ et de $‖n‖$ .
Une application : dans cette question uniquement, $E = M_n(ℝ)$ muni de son produit scalaire canonique : si $A$ et $B$ sont dans $M_n(ℝ)$ , en notant Tr la trace,

< A, B>=Tr(^t AB).

Enfin on note

H

l'ensemble des matrices de

M_n(ℝ)

dont la trace est nulle.
(a) Justifier que

H

est un hyperplan de

M_n(ℝ)

et déterminer

H^⊥

.
(b) Si

M

est une matrice de

M_n(ℝ)

, déterminer la distance

d(M, H)

.
20. Et pour une norme non euclidienne? Dans cette question

E = ℝ^2

est muni de la norme infinie notée

N_\infty

: si

x = (x_1, x_2) ∈ ℝ^2, N_∞(x) = max{|x_1|, |x_2|}

. On pose

F = Vect{(1, 0)}

x = (1, 1)

. Déterminer la distance «infinie» du vecteur

x

F

, c'est-à-dire le réel :

d_∞(x, F) = inf{N_∞(x − y) | y ∈ F}

et préciser l'ensemble des vecteurs

m

pour lesquels cette distance est atteinte, c'est-à-dire

d_\infty(x, F) = N_\infty(x - m)

. Commenter.

Fin de l'énoncé

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