CCINP Mathématiques 2 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Commutant d'une matrice trigonalisable, puis inégalités sur les déterminants de matrices symétriques réelles avec réduction simultanée et décomposition de Choleski

L'exercice porte sur le commutant d'une matrice trigonalisable : après trigonalisation, on cherche le commutant de la matrice triangulaire obtenue puis, par isomorphisme, celui de la matrice de départ. Le problème étudie des inégalités de déterminants pour des matrices symétriques réelles, en s'appuyant sur un théorème de réduction simultanée puis sur le théorème de Choleski, et demande la mise en œuvre d'un algorithme sur calculatrice programmable.

1Exercice : commutant d'une matriceTrigonalisation d'une matrice, recherche du commutant de la matrice triangulaire puis de la matrice de départ.
2Problème, partie IPremiers résultats sur les matrices symétriques positives, notamment un critère de positivité.
3Problème, partie II : théorème de réduction simultanéeRéduction simultanée de deux matrices symétriques, dont une définie positive.
4Problème, partie III : théorème de CholeskiDécomposition de Choleski d'une matrice symétrique définie positive et mise en œuvre d'un algorithme sur calculatrice.

Accessible. Le rapport indique que le sujet ne comportait aucune difficulté sérieuse et proposait des questions accessibles jusqu'à la fin, avec des parties largement indépendantes permettant à un candidat bien préparé de le traiter dans son intégralité.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,79 / 20 · écart-type 3,81 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,79/ 20
Écart-type: 3,81

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre polynôme annulateur et polynôme minimal · Matrice de passage non inversible · Confusion entre matrices semblables et matrices congruentes

Le jury juge le sujet bien équilibré et progressif, sans difficulté sérieuse, et estime qu'il a parfaitement rempli son rôle de classement des candidats. Il regrette que trop de candidats laissent échapper des points faciles sur des questions de cours ou proches du cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre polynôme annulateur et polynôme minimal
Les candidats confondent souvent le polynôme annulateur et le polynôme minimal, allant jusqu'à parler du polynôme annulateur comme s'il était unique.
« Confusions entre polynôme annulateur et polynôme minimal. On lit même souvent : soit P »
2
Matrice de passage non inversible
Certaines matrices de passage proposées par les candidats ne sont pas inversibles, par exemple parce qu'elles comportent deux colonnes identiques.
3
Confusion entre matrices semblables et matrices congruentes4
Une grosse confusion est relevée entre matrices semblables et matrices congruentes dans la question 4 du problème.
« GROSSE confusion entre matrices semblables et matrices congruentes. »
4
Symétrie non vérifiée avant la positivité3
Pour démontrer qu'une matrice est symétrique positive, certains candidats oublient de vérifier d'abord qu'elle est symétrique.
5
Argument de continuité oublié pour la densité7
Sur la question de densité, souvent présente dans les sujets CCP, l'argument de continuité est fréquemment oublié dans la partie b.

Ce qui a été bien réussi

La question 6 du problème est la mieux réussie du problème.
La question 2 du problème est en général bien traitée.
Ceux qui ont traité la question 9, pourtant très peu abordée, ont en général obtenu le maximum de points.

Conseils du jury

Réviser le cours et savoir refaire les démonstrations des théorèmes importants.
Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment de les utiliser, même si elles figurent quelques lignes plus haut.
Traiter les questions d'algorithmique, qui demandent du temps mais rapportent beaucoup de points.
Mettre en évidence les résultats de chaque question en les soulignant ou en les encadrant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie.

Ce sujet est composé d'un exercice et d'un probléme qui sont indépendants.

Exercice Commutant d'une matrice

Pour

A \in M_3(ℝ)

, on note

C(A) = {M ∈ M_3(ℝ)/AM = MA}

le commutant de la matrice

A

Démontrer que pour $A \in M_3(ℝ)$ , $C(A)$ est un espace vectoriel.
Démontrer, en détaillant, que la matrice $A = (1, 4, - 2; 0, 6, - 3; - 1, 4, 0)$ est semblable à la matrice $T = (3, 0, 0; 0, 2, 1; 0, 0, 2)$ . Pour cela, on donnera une matrice de passage que l'on notera $P$ .
Déterminer le commutant $C(T)$ de la matrice $T$ . Déterminer sa dimension.
Démontrer que l'application $M \mapsto P^(- 1)MP$ est un automorphisme d'espaces vectoriels de $M_3(ℝ)$ .
Que peut-on en déduire pour la dimension de $C(A)$ ?
(a) Existe-t-il un polynôme annulateur de $A$ de degré inférieur ou égal à 2 ?
(b) Démontrer alors que $C(A) = vect{I_3, A, A^2}$ .
(c) En déduire que $C(A)$ est l'ensemble des polynômes en $A$ .

Ce résultat reste-t-il vrai pour toute matrice

A \in M_3(ℝ)

Problème Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques

Dans ce problème, on note pour

n

entier naturel non nul :

$S_n$ l'ensemble des matrices symétriques de $M_n(ℝ)$ ,
$S_n^+$ l'ensemble des matrices symétriques positives de $M_n(ℝ)$ ,
$S_n^(+ +)$ l'ensemble des matrices symétriques définies positives de $M_n(ℝ)$ .

On admet que si

x_1, x_2, \dots, x_n

sont

n

réels positifs,

1/n\sum_(i = 1)^n x_i \geq (\prod_(i = 1)^n x_i)^(1/n)

Question préliminaire

On rappelle qu'une matrice

S

appartient à

S_n^+

, si

S

appartient à

S_n

et si, pour toute matrice

X \in M_(n, 1)(ℝ)

, on a

^t XSX \geq 0

.
Démontrer qu'une matrice

S

S_n

est élément de

S_n^+

si et seulement si toutes les valeurs propres de

S

sont positives.

Partie I

Soit $S \in S_n^+$ . Démontrer que $n\sqrt(detS) \leq 1/n$ trace $S$ .
Application : soit $M \in M_n(ℝ)$ .
(a) Démontrer que $^t MM \in S_n^+$ .
(b) Si $M = (m_(ij))$ , en déduire l'inégalité $(detM)^2 \leq (1/n)^n(\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n m_(ij)^2)^n$ .

Partie II : Théorème de réduction simultanée

On se donne deux matrices $A \in S_n^(+ +)$ et $B \in S_n$ . On note $B$ la base canonique de $ℝ^n$ et, dans cette base, $A$ est la matrice d'un produit scalaire $φ$ . On note l'espace euclidien $E = (ℝ^n, φ)$ . Soit $B^'$ une base orthonormée de $E$ et $R$ la matrice de passage de la base $B$ vers la base $B^'$ .
(a) Justifier que $I_n = ^t RAR$ .
(b) On note $C = ^t RBR$ , justifier qu'il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice diagonale $D$ telle que $^t QCQ = D$ .
(c) Déterminer, en fonction des matrices $R$ et $Q$ , une matrice inversible $P$ telle que :

é è é é A = ^t PP et B = ^t PDP (théorème de réduction simultanée)

(d) Dans cette question, on prend l'exemple de la matrice

B = (1, 1; 1, 1)

Démontrer qu'une matrice inversible

P

telle que la matrice

^t PBP

soit diagonale n'est pas nécessairement une matrice orthogonale.
On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à la matrice

B

.
5. Démontrer l'inégalité «

det(A + B) \geq detA + detB≫

dans les deux cas suivants :
(a)

A \in S_n^(+ +)

B \in S_n^+

, en utilisant le théorème de réduction simultanée. On pourra remarquer ici que, avec tous les

λ_i \geq 0, \prod_(i = 1)^n(1 + λ_i) \geq (1 + \prod_(i = 1)^n λ_i)

.
(b)

A \in S_n^+

B \in S_n^+

, en démontrant d'abord que

A + B \in S_n^+

et en considérant les cas où les matrices sont dans

S_n^+

sans être dans

S_n^(+ +)

.
6. Soient

A

B

deux matrices de

S_n^(+ +)

t \in [0, 1]

. On note

P

une matrice inversible et

D = diag(λ_1, λ_2, \dots, λ_n)

une matrice diagonale dans le théorème de réduction simultanée.
(a) Exprimer

det(tA + (1 - t)B)

en fonction

dedetP, t

et les

λ_i

.
(b) En utilisant la fonction ln, démontrer que pour tout

i

entier compris entre 1 et

n

t + (1 - t)λ_i \geq λ_i^(1 - t)

.
(c) Démontrer que

det(tA + (1 - t)B) \geq (detA)^t(detB)^(1 - t)

.
7. Si

A

est une matrice de

S_n^(+ +)

B

une matrice de

S_n^+

, on démontre de même par le théorème de réduction simultanée (par la convexité de la fonction

x \mapsto ln(1 + e^x)

) le résultat suivant qui est admis :

(det(A + B))^(1/n) \geq (detA)^(1/n) + (detB)^(1/n)

(a) Démontrer que

S_n^(+ +)

est dense dans

S_n^+

.
(b) Démontrer l'inégalité ci-dessus pour

A

B

deux matrices de

S_n^+

Partie III : Théorème de Choleski

Si $A$ est une matrice de $S_n^(+ +)$ , il est possible, par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible à coefficients diagonaux positifs $T$ , vérifiant $A = ^t TT$ (décomposition de Choleski).
On ne demande pas de prouver ce résultat.
(a) On se propose de démontrer que cette matrice $T$ est unique.

Si on pose

A = ^t T_1 T_1 = ^t T_2 T_2

, démontrer que

T_1 T_2^(- 1) = I_n

et conclure.
On pourra admettre que si

T

est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles de

M_n(ℝ)

, (

T

,.) est un groupe.
(b) Exemple : si

A = (a_(ij))

, où pour tout couple

(i, j)

d'entiers compris entre 1 et

n

a_(ij) = min(i, j)

, donner la décomposition de Choleski de la matrice

A

.
On ne demande pas de vérifier que

A

est une matrice de

S_n^(+ +)

.
9. Un peu d'informatique

Pour une matrice

A

S_3^(+ +)

, écrire un algorithme en français permettant de trouver la matrice

T

de la décomposition de Choleski.
Entrer cet algorithme dans la calculatrice (on ne demande pas le programme sur la copie) puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice

T

A_1 = (49, 14, - 14; 14, 20, - 8; - 14, - 8, 21), A_2 = (1, 0, 1/2; 0, 1/2, 0; 1/2, 0, 3/4),; A_3 = (1, 0, - 2; 0, 1, - 1; - 2, - 1, 6) et A_4 = (1, 2, 3; 2, 20, 26; 3, 26, 70).

Inégalité d'Hadamard
(a) Soit $S = (s_(ij)) \in S_n^(+ +)$ , démontrer que $detS \leq \prod_(i = 1)^n s_(ii)$ .
(b) Application : démontrer que pour toute matrice inversible $M \in M_n(ℝ), M = (a_(ij))$ , $|detM| \leq (\prod_(i = 1)^n(\sum_(k = 1)^n a_(ki)^2))^(1/2)$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2011 ?

L'épreuve couvre la réduction des endomorphismes et le commutant d'une matrice trigonalisable, puis les matrices symétriques réelles avec la réduction simultanée, le théorème de Choleski et un algorithme sur calculatrice programmable.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2011 ?

Le jury relève des confusions entre polynôme annulateur et polynôme minimal, entre matrices semblables et matrices congruentes, ainsi que des oublis de vérification d'hypothèses de base comme la symétrie d'une matrice.

L'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2011 est-elle difficile ?

Non, le rapport indique qu'elle ne comportait aucune difficulté sérieuse et restait accessible jusqu'à la fin, avec des parties largement indépendantes.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2011 ?

La moyenne de l'épreuve est de 10,79 sur 20, avec un écart type de 3,81, d'après le rapport du jury.

Pas de description pour le moment

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