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X ENS Mathématiques A MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces
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Le sujet travaille dans l'espace hermitien C^n. Il étudie d'abord les matrices normales et leur diagonalisation en base orthonormale, puis construit la racine carrée d'une matrice hermitienne positive, la décomposition polaire et la décomposition en valeurs singulières. Il établit enfin des inégalités de traces à l'aide de projecteurs orthogonaux et de matrices doublement stochastiques, jusqu'à une formule de distance minimale entre matrices hermitiennes pour la norme de Frobenius.

  1. 1Première partie : étude des matrices normalesAdjoint, matrices unitaires, diagonalisation des matrices normales en base orthonormale et caractérisations équivalentes.
  2. 2Deuxième partie : valeurs singulières d'une matriceMatrices hermitiennes et hermitiennes positives, racine carrée, décomposition polaire admise et existence et unicité des valeurs singulières.
  3. 3Troisième partie : inégalités de tracesProjecteurs orthogonaux de rang k, matrices doublement stochastiques, majoration de la trace d'un produit et distance minimale entre deux matrices hermitiennes.

Difficulté moyenne. Selon le jury, l'épreuve ne comportait pas de questions particulièrement difficiles, mais beaucoup étaient délicates à rédiger correctement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,12 / 20 · écart-type 4,41 · 1 840 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,12/ 20
Écart-type
4,41
Copies
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moyenne 9,1205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Structure hermitienne mal prise en compte · Quantificateurs et résultats affirmés · Récurrences mal construites
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Les candidats ont souvent été gênés par le produit scalaire hermitien, non défini explicitement, et certains ont confondu structures hermitienne et euclidienne. Le jury relève une rédaction désinvolte : quantificateurs absents, fins de démonstrations négligées, passages non justifiés. Cela explique des notes moyennes pour des candidats ayant pourtant abordé beaucoup de questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Structure hermitienne mal prise en compteQ1 et Q3a

    Produit scalaire mal défini, recours à un opérateur adjoint alors que l'énoncé parle de matrices, et oubli du caractère hermitien lors du passage du noyau à l'espace propre.

  2. 2
    Quantificateurs et résultats affirmésQ2a et Q2b

    L'absence de quantificateurs rend des démonstrations incorrectes, et certains résultats sont énoncés sans preuve.

  3. 3
    Récurrences mal construitesQ3b et Q5b

    Une récurrence simple de n à n + 1 ne convient pas en Q3b, et la rédaction de la récurrence en Q5b a souvent été très faible.

    « La récurrence simple n → n + 1 n'est pas adaptée ici. »
  4. 4
    Cas particuliers oubliésQ6a et Q7

    Il faut expliquer la construction du polynôme d'interpolation lorsque les valeurs propres ne sont pas distinctes, et traiter les valeurs propres nulles.

    « Il fallait notamment traiter correctement le cas des valeurs propres nulles. »
  5. 5
    Unicité négligéeQ9 et Q11

    Très peu de candidats justifient l'unicité de la racine carrée et des valeurs singulières.

  6. 6
    Maximum atteint mais non justifiéQ12b et Q12c

    Exhiber une matrice qui réalise la valeur ne prouve pas l'inégalité sur le maximum.

    « Trouver un élément ne donne qu'une inégalité sur le max »

Ce qui a été bien réussi

  • La plupart des candidats ont su utiliser la question 6a pour traiter la question 6b.
  • La question 10 a été traitée correctement par de nombreux candidats, en remarquant la stabilité par produit des matrices unitaires.
  • La question 13 a souvent été traitée correctement.

Conseils du jury

  • Justifier chaque passage d'une ligne de calcul à la suivante, en citant la question ou l'hypothèse utilisée.
  • Écrire systématiquement les quantificateurs et mener les démonstrations jusqu'au bout.
  • Ne pas utiliser sans démonstration des résultats hors programme.
  • S'appuyer sur les parties précédentes du sujet plutôt que de redémontrer le cours ex nihilo (question 8).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces

Notations et conventions

Dans ce problème l'espace vectoriel C^n est muni du produit scalaire hermitien usuel noté (.|.); on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique ( e_1, …, e_n ) de C^n est orthonormale. On note M_n(C) l'espace vectoriel sur C des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des endormorphismes de C^n et I_n la matrice identité de M_n(C). Le coefficient de la i-ième ligne et j-ième colonne d'une matrice A est noté A_(ij). On note A^∗, appelée adjointe de la matrice A de M_n(C), la matrice définie pour tous 1 ⩽ i, j ⩽ nparA_(ij)^∗ = A_(ji)^–.
On définit les sous-ensembles de M_n(C) suivants :
H_n, = {A ∈ M_n(C)|A^∗ = A}; H_n^+, = {A ∈ H_n|(∀x ∈ C^n), (x|Ax) ⩾ 0}; U_n, = {A ∈ M_n(C)|(∀x, y ∈ C^n), (Ax|Ay) = (x|y)}; N_n, = {A ∈ M_n(C)|AA^∗ = A^∗ A}; D_n, désigne l'ensemble des matrices diagonales dans M_n(C)
Enfin, pour tout sous-espace vectoriel F de C^n, F^⊥ désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.
Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de H_n définies à équivalence près par des changements de bases dans U_n.

Première partie : étude de N_n

  1. Soit A une matrice de M_n(C). Montrer pour tout couple ( x, y ) de vecteurs de C^n × C^n :
(A^∗ x|y) = (x|Ay)
2a. Montrer que A ∈ U_n si et seulement si A^∗ A = AA^∗ = I_n.
2b. Montrer que A ∈ U_n si et seulement si les colonnes de A forment une base orthonormale de C^n.
3a. Montrer que si A ∈ N_n, A((kerA)^⊥) ⊂ (kerA)^⊥. En déduire que si λ est une valeur propre de A et si E_λ est le sous-espace propre associé, alors A(E_λ^⊥) ⊂ E_λ^⊥.
3b. En déduire que N_n = {UDU^∗, U ∈ U_n, D ∈ D_n}.
4. Soit A une matrice de M_n(C). On note λ_1, λ_2, ⋯, λ_n les racines du polynôme caractéristique (non nécessairement distinctes) de A. Montrer que si A ∈ N_n, alors ∑_(i = 1)^n|λ_i|^2 = ∑_(i, j = 1)^n|A_(i, j)|^2. (On pourra calculer la trace de AA^∗.)
5a. Soit A une matrice de M_n(C). Montrer que si A ∈ N_n, alors A et A^∗ ont même noyau.
5b. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) A ∈ N_n.
(ii) Tout vecteur propre de A est vecteur propre de son adjointe A^∗.
Pour (ii) ⇒ (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension n et pour un vecteur propre x de A considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par x.
6a. Prouver que si la matrice A ∈ N_n, son adjointe A^∗ peut s'exprimer comme un polynôme en A à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange.)
6b. Prouver que si A et B sont dans N_n et commutent alors AB ∈ N_n.
7. Prouver que si A est une matrice de M_n(C) les deux propositions suivantes sont équivalentes:
(i) A ∈ N_n
(ii) Il existe une matrice U ∈ U_n commutant avec A telle que A^∗ = AU.
On pourra construire U à partir des valeurs propres de A et raisonner dans une base orthonormale bien choisie.

Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice

  1. Montrer que A ∈ H_n (resp. H_n^+) si et seulement si A est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).
  2. Montrer que si A ∈ H_n^+il existe une unique matrice S ∈ H_n^+telle que S^2 = A. (Pour l'unicité, on pourra se ramener au cas où A est un multiple de l'identité en considérant les sous-espaces propres de A.)
Si A est une matrice de M_n(C) on dit que A = US est une décomposition polaire de A si S ∈ H_n^+et U ∈ U_n. Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une décomposition polaire pour toute matrice A de M_n(C).
Si A est une matrice de M_n(C) on dit que A = UDW est une décomposition en valeurs singulières de A si U, W ∈ U_n et D ∈ D_n est à coefficients réels positifs ou nuls.
10. Prouver que toute matrice A de M_n(C) admet une décomposition en valeurs singulières. (On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de A.)
11. Soit A ∈ M_n(C). Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs singulières de A pour laquelle les coefficients diagonaux α_i = D_(ii) de D vérifient α_1 ⩾ ⋯ ⩾ α_n et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de A.

Troisième partie : inégalités de traces

  1. Soit P ∈ M_n(C) une matrice vérifiant
(P_k) P^2 = P = P^∗, rang(P) = k
12a. Montrer que les coefficients de P vérifient :
(i) 0 ⩽ P_(ii) ⩽ 1 pour tout entier i entre 1 et n,
(ii) ∑_(i = 1)^n P_(ii) = k.
12b. Soit λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ ⋯ ⩾ λ_n des réels et D la matrice diagonale telle que D_(ii) = λ_i pour tout entier i entre 1 et n. Montrer que Tr(PD) ⩽ ∑_(i = 1)^k λ_i. Trouver une matrice P vérifiant les conditions (P_k) telle que Tr(PD) = ∑_(i = 1)^k λ_i.
12c. Montrer que si P_1, P_2 sont deux matrices vérifiant les conditions ( P_k ), il existe U ∈ U_n telle que P_2 = UP_1 U^∗. En déduire que ∑_(i = 1)^k λ_i = max_(U ∈ U_n)Tr(UPU^∗ D) où P est une matrice vérifiant (P_k).
On dit qu'une matrice A de M_n(C) est doublement stochastique si A est à coefficients réels positifs et vérifie ∑_(i = 1)^n A_(ik) = 1 et ∑_(j = 1)^n A_(kj) = 1, pour tout entier k compris entre 1 et n. On note DS_n l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans M_n(C).
13. Montrer que si U ∈ U_n, la matrice dont les coefficients sont les |U_(i, j)|^2 est doublement stochastique.
14. Soit A une matrice doublement stochastique de M_n(C) et soient
α_1 ⩾ α_2 ⩾ ⋯ ⩾ α_n, β_1 ⩾ β_2 ⩾ ⋯ ⩾ β_n
des réels. On suppose que A n'est pas la matrice identité I_n et on note k le plus petit entier tel que A_(kk) ≠ 1.
14a. Montrer qu'il existe deux entiers m et ℓ vérifiant k < m ⩽ n, k < ℓ ⩽ n et tels que A_(mk) ≠ 0, A_(kℓ) ≠ 0, A_(mℓ) ≠ 1.
14b. Construire une matrice doublement stochastique A^′ de M_n(C) vérifiant :
(i) A_(ij)^′ = A_(ij) si (i, j) ∉ {(k, k), (m, k), (k, ℓ), (m, ℓ)},
(ii) A_(mk)^′ ou A_(kℓ)^′ est nul,
(iii) ∑_(i, j = 1)^n A_(i, j)^′ α_i β_j ⩾ ∑_(i, j = 1)^n A_(i, j)α_i β_j.
En déduire que max_(A ∈ DS_n)∑_(i = 1, j = 1)^n A_(i, j)α_i β_j = ∑_(i = 1)^n α_i β_i.
15. Soient A et B deux matrices dans M_n(C).
15a. Soit D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux α_i = D_(ii) sont les valeurs singulières de A et soit T la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux β_i = T_(ii) sont les valeurs singulières de B telles que
α_1 ⩾ α_2 ⩾ ⋯ ⩾ α_n, β_1 ⩾ β_2 ⩾ ⋯ ⩾ β_n
Montrer qu'il existe U et V dans U_n telles que Tr(AB) = Tr(UDVT).
15b. Montrer que Tr(AB) = ∑_(i, j = 1)^n U_(ij)V_(ji)α_j β_i et en déduire que
|Tr(AB)| ⩽ ∑_(i = 1)^n α_i β_i
15c. Soient A et B dans H_n^+. Montrer que |Tr(AB)| ⩽ Tr(A)Tr(B).
16. Soient A et B dans H_n et soient
α_1 ⩾ α_2 ⩾ ⋯ ⩾ α_n, β_1 ⩾ β_2 ⩾ ⋯ ⩾ β_n.
leurs valeurs propres.
Montrer que
min_(U ∈ U_n)‖A − U^∗ BU‖ = √(∑_(i = 1)^n(α_i − β_i)^2⎷),
où la norme sur M_n(C) est donnée par ‖A‖^2 = Tr(A^∗ A). On pourra commencer par déterminer max_(U ∈ U_n)Tr(AU^∗ BU).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X ENS maths A MP 2011 ?
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Sur quoi porte le sujet X ENS maths A MP 2011 ?

Sur les valeurs singulières d'une matrice complexe et les inégalités de traces : matrices normales, décompositions polaire et en valeurs singulières, matrices doublement stochastiques et distance minimale entre matrices hermitiennes.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths A X ENS MP 2011 ?

Le rapport indique une note moyenne de 9,12 sur 1840 copies, avec un écart-type de 4,41.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths A X 2011 MP ?

La confusion entre structures hermitienne et euclidienne, l'absence de quantificateurs, des récurrences mal construites, l'unicité oubliée et des inégalités sur un maximum justifiées par un seul exemple.

Le sujet de maths A X ENS MP 2011 était-il difficile ?

Le jury estime qu'il n'y avait pas de question particulièrement difficile, mais que beaucoup étaient délicates à traiter proprement. La qualité de la rédaction a fait la différence.

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